第二十五章 一元二次方程 单元测试2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 《一元二次方程》单元测试卷，100分钟120分，覆盖定义、解法、根的判别式、应用等核心知识，融合杨辉数学文化、神舟飞船科技情境，适配初中单元复习，提升运算能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的判别式、传播模型|第8题杨辉矩形问题体现文化传承，第7题病毒传播培养应用意识| |填空题|5/15|一般形式、握手问题、新定义|第15题“同族二次方程”考查抽象能力，第12题握手问题发展模型观念| |解答题一|3/24|解方程、面积与增长率|17题鸡场面积结合几何直观，18题增长率培养数据意识| |解答题二|3/27|根的判别式证明、改造与利润|19题证明发展推理能力，21题神舟模型利润关联科技热点| |解答题三|2/24|动态几何、赵爽解法|22题动态PQ长度考查空间观念，23题赵爽几何解法渗透创新意识|

第二十五章《一元二次方程》单元测试 考试时间：100分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．一元二次方程2x2﹣x+1＝0的一次项系数是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．0 2．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m＝2 C．m＞2 D．m≠0 3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+x﹣t＝0的一个根，则t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．对一元二次方程x2+2x+5＝0的根的情况叙述正确的是（　　） A．方程有一个实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个相等的实数根 D．方程没有实数根 5．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4 6．已知关于x的一元二次方程x2+6x+5＝0有两个根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 7．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　） A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A．x•864 B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 9．已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则2a2﹣4a的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2或6 10．若关于x的一元二次方程，x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C．D． 二．填空题（共4小题） 11．一元二次方程3x（x﹣2）＝﹣4的一般形式是 　 　 ． 12．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握了55次手，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是　 　 ． 13．已知﹣2是关于x的方程x2﹣6x﹣m＝0的一个根，则m的值为 　 　 ． 14．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣25x﹣1＝0的两个实数根，则代数式的值为　　 ． 15．新定义：关于x的一元二次方程a1（x﹣h）2+k＝0与a2（x﹣h）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+2＝0与3（x﹣3）2+2＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式a﹣b的值是　 　 ． 三．解答题一（共3小题，每小题8分，共24分） 16．（1）解方程：2（x﹣3）＝（x﹣3）2； （2）解方程：2x2+3x﹣1＝0． 17．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？ 18．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2016年投资1000万元，预计2018年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． （1）求平均每年投资增长的百分率；（2）按此增长率，计算2019年投资额能否达到1360万？ 四．解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣5m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+β﹣α•β＝9，求m的值． 20．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2． （1）求原正方形空地的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度． 21．2025年10月31日夜成功发射神舟二十一号载人飞船，载人航天发射任务圆满收官、某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元、为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 五．解答题三（共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2． （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm． （3）请用含t的代数式表示PQ2，并求出PQ2取值范围． 23．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 　 　 ． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝　 　 ，b＝　 　 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 　 　 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章《一元二次方程》单元测试 考试时间：100分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．一元二次方程2x2﹣x+1＝0的一次项系数是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．0 2．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m＝2 C．m＞2 D．m≠0 3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+x﹣t＝0的一个根，则t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．对一元二次方程x2+2x+5＝0的根的情况叙述正确的是（　　） A．方程有一个实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个相等的实数根 D．方程没有实数根 5．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4 6．已知关于x的一元二次方程x2+6x+5＝0有两个根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 7．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　） A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A．x•864 B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 9．已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则2a2﹣4a的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2或6 10．若关于x的一元二次方程，x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C．D． 二．填空题（共4小题） 11．一元二次方程3x（x﹣2）＝﹣4的一般形式是 　 　 ． 12．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握了55次手，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是　 　 ． 13．已知﹣2是关于x的方程x2﹣6x﹣m＝0的一个根，则m的值为 　 　 ． 14．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1000＝0的两个实数根，则代数式的值是　 　 ． 15．新定义：关于x的一元二次方程a1（x﹣h）2+k＝0与a2（x﹣h）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+2＝0与3（x﹣3）2+2＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式a﹣b的值是　 　 ． 三．解答题一（共3小题，每小题8分，共24分） 16．（1）解方程：2（x﹣3）＝（x﹣3）2； （2）解方程：2x2+3x﹣1＝0． 17．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？ 18．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2016年投资1000万元，预计2018年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． （1）求平均每年投资增长的百分率；（2）按此增长率，计算2019年投资额能否达到1360万？ 四．解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣5m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+β﹣α•β＝9，求m的值． 20．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2． （1）求原正方形空地的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度． 21．2025年10月31日夜成功发射神舟二十一号载人飞船，载人航天发射任务圆满收官、某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元、为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 五．解答题三（共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2． （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm． （3）请用含t的代数式表示PQ2，并求出PQ2取值范围． 23．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 　 　 ． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝　 　 ，b＝　 　 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．一元二次方程2x2﹣x+1＝0的一次项系数是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．0 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案． 【解答】解：一元二次方程2x2﹣x+1＝0的一次项是﹣x，其系数是﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于基础题，注意一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m＝2 C．m＞2 D．m≠0 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：由题意，得m﹣2≠0， m≠2， 故选：A． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+x﹣t＝0的一个根，则t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到2﹣t＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+x﹣t＝0的一个解， ∴1+1﹣t＝0，解得t＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．对一元二次方程x2+2x+5＝0的根的情况叙述正确的是（　　） A．方程有一个实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个相等的实数根 D．方程没有实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣16＜0，进而即可得出该方程没有实数根，此题得解． 【解答】解：∵Δ＝22﹣4×1×5＝﹣16＜0， ∴方程x2+2x+5＝0没有实数根． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 5．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4 【分析】根据配方法的步骤进行配方即可． 【解答】解： 移项得：x2+6x＝5， 配方可得：x2+6x+9＝5+9， 即（x+3）2＝14， 故选：A． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键． 6．已知关于x的一元二次方程x2+6x+5＝0有两个根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【分析】直接根据根与系数的关系求解，得出x1x2，x1+x2代入式子求得答案即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+5＝0有两个根为x1和x2， ∴x1x2＝5，x1+x2＝﹣6， ∴x1x2+x1+x2＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 7．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　） A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100 【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）台，根据题意列方程即可． 【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得 （x+1）2＝100， 故选：C． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A．x•864 B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 【分析】根据长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据面积得出x（60﹣x）＝864． 【解答】解：若设长为x步，则宽为（60﹣x）步， ∴x（60﹣x）＝864， 故选：C． 【点评】本题考查了有实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 9．已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则2a2﹣4a的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2或6 【分析】根据方程的解的定义把x＝a代入一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0，得到a2﹣2a＝3，然后将其整体代入所求的代数式进行求值． 【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根， ∴a2﹣2a﹣3＝0， ∴a2﹣2a＝3， ∴2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）＝2×3＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用． 10．若关于x的一元二次方程，x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可． 【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4（kb+1）＞0， 解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．k＝0，b＞0，即kb＝0，故D不正确． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 二．填空题（共5小题） 11．一元二次方程3x（x﹣2）＝﹣4的一般形式是 　3x2﹣6x+4＝0　 ． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）． 【解答】解：3x（x﹣2）＝﹣4， 去括号，得3x2﹣6x＝﹣4， 移项得3x2﹣6x+4＝0， 原方程的一般形式是3x2﹣6x+4＝0． 故答案为：3x2﹣6x+4＝0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号． 12．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握了55次手，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是　　 ． 【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：聚会人数×（聚会人数﹣1）＝总握手次数，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：参加聚会的人数为x名，每个人都要握手（x﹣1）次， ∴可列方程为x（x﹣1）＝55． 故答案为x（x﹣1）＝55． 【点评】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键． 13．已知﹣2是关于x的方程x2﹣6x﹣m＝0的一个根，则m的值为 　16　 ． 【分析】把x＝﹣2代入方程x2﹣6x﹣m＝0中得：（﹣2）2﹣6×（﹣2）﹣m＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2﹣6x﹣m＝0中得： （﹣2）2﹣6×（﹣2）﹣m＝0， 4+12﹣m＝0， ﹣m＝﹣4﹣12， ﹣m＝﹣16， m＝16， 故答案为：16． 14．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣25x﹣1＝0的两个实数根，则代数式的值为　26　 ． 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程解的意义可得x1+x2＝25，25x1＝1，将原式变形后代入数值计算即可； 【解答】解：（1）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣25x﹣1＝0的两个实数根， 则x1+x2＝25，25x1＝1， 25x1+x1+x2 ＝1+25 ＝26， 故答案为：26； 【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握其关系是解题的关键． 15．新定义：关于x的一元二次方程a1（x﹣h）2+k＝0与a2（x﹣h）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+2＝0与3（x﹣3）2+2＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式a﹣b的值是　15　 ． 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【解答】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+2+1， ∴， 解得， ∴a﹣b＝5﹣（﹣10）＝5+10＝15． 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识、二元一次方程组的知识、代数式求值的知识，难度不大．解题关键是列出二元一次方程组． 三．解答题一（共3小题） 16．（1）解方程：2（x﹣3）＝（x﹣3）2； （2）解方程：2x2+3x﹣1＝0． 【分析】（1）运用因式分解法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【解答】解：（1）移项，得2（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 因式分解，得（x﹣3）[2﹣（x﹣3）]＝0， 即（x﹣3）（5﹣x）＝0， ∴x﹣3＝0或5﹣x＝0， 解得x1＝3，x2＝5； （2）∵a＝2，b＝3，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝32﹣4×2×（﹣1） ＝17＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 17．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？ 【分析】设AB长为x米，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，BC＝（15﹣2x+1）米，长×宽为面积30米2，根据这两个式子可解出AB的值． 【解答】解：设AB长为x米， 依题意得：（15﹣2x+1）x＝30， 解得x＝3或x＝5． 当x＝3时，BC＝15﹣2x+1＝15﹣6+10＞8，不合题意，舍去． 故x＝5符合题意． 答：鸡场的宽AB是5米． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积求解：长×宽＝面积，一元二次方程的求解是本题的关键与重点． 18．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2016年投资1000万元，预计2018年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． （1）求平均每年投资增长的百分率； （2）按此增长率，计算2019年投资额能否达到1360万？ 【分析】（1）利用2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元，进而得出等式求出即可； （2）利用（1）中所求，得出2016年投资额即可． 【解答】解：（1）设平均每年投资增长的百分率是x． 由题意得1000（1+x）2＝1210， 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）． 答：平均每年投资增长的百分率为10%； （2）∵1210×（1+10%）＝1331＜1360， ∴不能达到． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程式解题关键． 四．解答题二（共3小题） 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣5m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+β﹣α•β＝9，求m的值． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝16+20m2，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得α+β＝4，αβ＝﹣5m2，再由α+β﹣α•β＝9得到4+5m2＝9，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝42﹣4×（﹣5m2） ＝16+20m2＞0， 所以方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得α+β＝4，αβ＝﹣5m2， ∵α+β﹣α•β＝9， ∴4+5m2＝9， 整理得m2＝1， 解得m1＝1，m2＝﹣1， ∴m的值为1或﹣1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 20．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2． （1）求原正方形空地的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度． 【分析】（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，根据剩余部分面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，根据栽种鲜花区域的面积为812m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m， 依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650， 整理得：x2﹣9x﹣630＝0， 解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）． 答：原正方形空地的边长为30m． （2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形， 依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812， 整理得：y2﹣59y+58＝0， 解得：y1＝1，y2＝58（不合题意，舍去）． 答：小道的宽度为1m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．2025年10月31日夜成功发射神舟二十一号载人飞船，载人航天发射任务圆满收官、某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元、为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每个模型降价的钱数，可求出平均每天的销售量；利用总利润＝每个模型的销售利润×日销售量，即可求出结论； （2）设每个模型降价x元，则每个模型的销售利润为（40﹣x）元，平均每天可以售出（20+2x）个模型，利用总利润＝每个模型的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合每个模型盈利不少于25元，即可确定结论． 【解答】解：（1）根据题意得：20+2×5 ＝20+10 ＝30（个）， （40﹣5）×30 ＝35×30 ＝1050（元）． 答：若每个模型降价5元，平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元； （2）设每个模型降价x元，则每个模型的销售利润为（40﹣x）元，平均每天可以售出（20+2x）个模型， 根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意； 当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合题意，舍去． 答：每个模型应降价10元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五．解答题三（共2小题） 22．如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2． （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm． （3）请用含t的代数式表示PQ2，并求出PQ2取值范围． 【分析】（1）设x秒后，△PBQ的面积为4cm2，表示出AP，BQ，BP，根据三角形面积公式表示出△PBQ的面积，令其等于4cm2即可求解； （2）由勾股定理得：BP2+BQ2＝（5cm）2，即可求解； （3）根据PQ2＝BP2+BQ2表示出PQ2＝5（x﹣1）2+20，求出x的取值范围，根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设x秒后，△PBQ的面积为4cm2， 此时，AP＝xcm，BQ＝2xcm，则BP＝（5﹣x）cm， 则， 令，即， 整理得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x1＝1或x2＝4， 当x2＝4时，2x＝8＞7，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去， 答：1秒后△PBQ的面积为4cm2； （2）由（1）得：BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm， 由勾股定理得：BP2+BQ2＝（5cm）2，得（5﹣x）2+（2x）2＝52， 整理得x2﹣2x＝0， 解方程得：x1＝0（舍去），x2＝2， 所以2秒后PQ的长度等于5cm； （3）由（1）得：BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm， ∵PQ2＝BP2+BQ2， ∴PQ2＝（5﹣x）2+（2x）2＝5x2﹣10x+25＝5（x﹣1）2+20 ∵0＜2x≤7 ∴ ∴当x＝1时，PQ2有最小值20， 当时，PQ2有最大值 ∴PQ2取值范围： 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 　﹣7　 ． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝　2　 ，b＝　3　 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 　﹣1　 ． 【分析】（1）运用直接开平方法解方程（x+x+2）2＝144，即可得到方程的另一个根． （2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4，画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为x+2，由题意得x（x+2）＝3，整理得x2+2x﹣3＝0，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 【解答】解：（1）由（x+x+2）2＝144得， （2x+2）2＝144， 2x+2＝±12， ∴x1＝5，x2＝﹣7， ∴原方程的另一个根是﹣7． 故答案为：﹣7； （2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4， 画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x﹣3）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x﹣3）+32＝4×4+9＝25，因此，可得新的一元二次方程（x+x﹣3）2＝25， ∵x表示边长， ∴2x﹣3＝5， 即x＝4． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为x+2， 由题意得x（x+2）＝3， 整理得x2+2x﹣3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×3+4＝16，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝16， ∵x表示边长， ∴2x+2＝4， 即x＝1． ∴方程x2+ax+b＝0的一个正根为x＝1． 故答案为：2，﹣3，1． 【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/9 20:23:26；用户：姚红淼；邮箱：13360151528；学号：28124974 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $