第十五章 轴对称 单元 练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学第十五章轴对称，适用于单元复习，覆盖8个核心知识点，通过基础识别、推理证明、坐标应用等梯度设计，培养抽象能力、推理意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约13题|轴对称图形识别、坐标变换、30°角性质|基础巩固，如正n边形对称轴规律探究| |解答题|约12题|线段垂直平分线、等腰/等边三角形判定与性质|能力提升，如结合垂直平分线与全等证明；创新应用，如网格中轴对称作图与面积计算|

第十五章 轴对称 知识点1 轴对称图形的识别 1.下列四个图案中，是轴对称图形的是( ) 2.下列几何图形中，一定是轴对称图形的是( ) A.三角形 B.直角三角形 C.正方形 D.梯形 3.如图，画出正多边形(各边都相等、各个内角都相等的多边形)的所有对称轴，并完成表格. 正多边形的边数 3 4 5 6 7 对称轴的条数 根据上表，猜想正 n边形有 条对称轴. 知识点2 线段的垂直平分线 1.如图,在△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,AE =4 cm,△ACD 的周长为 18 cm,则 AD 的长是 cm. 2.如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC 边于点D,连接BD.若∠ADM=60°,∠ABD =20°,求∠A的度数. 3.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,BE=CF,求证:AD 是 BC 的垂直平分线. D 4.如图,AD⊥BC,BD =CD,点 C 在AE 的垂直平分线上,若AB =5,BD=3,求BE 的长. 5.(2026 江西模拟)如图,在△ABC中,MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC.若△APQ的周长为12,BC 的长为8,求 PQ的长. 知识点3 互逆命题与互逆定理 1.下列命题中，其逆命题不成立的是( ) A.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B.全等三角形的对应角相等 C.等边三角形的三条边相等 D.两直线平行，同位角相等 2.(2026中山期中)把命题“同位角相等，两直线平行”改成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的句式为 ,它的逆命题为 . 3.请你写出一个逆命题为真命题的命题： . 4.下列定理：①对顶角相等；②等腰三角形两底角相等；③两直线平行，同位角相等.其中有逆定理的序号是 . 知识点4 轴对称图形与坐标 1.点P(-2,3)关于x轴对称的点的坐标是( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,-3) D.(3,-2) 2.已知点A(a,5)与B(2,b)关于y轴对称,则a-b= . 3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为(-4,5),(-1,3). (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'; (3)点B'的坐标为 ; (4)求△ABC 的面积. 4.如图,已知A(0,4),B(-2,2),C(3,0). (1)作△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁; (2)写出点A₁,B₁,C₁的坐标: A₁( ),B₁( ),C₁( ); (3)△A₁B₁C₁的面积 知识点5 等腰三角形的性质 1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm ，2cm ，则该等腰三角形的周长是 . 2.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为 . 3.如图,在等腰△ABC 中,∠BAC =120°,DE 是AC 的垂直平分线,DE=1 cm,求 BD 的长. 4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=30°,AD=AE,求∠EDC 的度数. 4.如图,已知A(0,4),B(-2,2),C(3,0). (1)作△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁; (2)写出点A₁,B₁,C₁的坐标: A₁( ),B₁( ),C₁( ); (3)△A₁B₁C₁的面积 知识点5 等腰三角形的性质 1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm ，2cm ，则该等腰三角形的周长是 . 2.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为 . 3.如图,在等腰△ABC 中,∠BAC =120°,DE 是AC 的垂直平分线,DE=1 cm,求 BD 的长. 4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=30°,AD=AE,求∠EDC 的度数. 4.(2026 自贡月考)如图,在△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,过D作直线平行于BC,交AB,AC于E,F,求证:EF=BE+CF. 5.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的点,E 在边AC上,已知BD=CE,∠BAD=∠CDE,∠ADE=∠C.求证：△ADE是等腰三角形. 知识点7 等边三角形的性质 1.如图,在等边△ABC中,D 是AC 的中点,E 是BC 延长线上的一点,且 CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证:M是BE 的中点. 2.如图,在等边△ABC中,D 为BC边的中点,过点 D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. (1)求证:DE=DF; (2)若 BE=5,求△ABC 的周长. 3.如图,在等边△ABC 中,D 是边AC 上的一点,点 E在边 BC 的延长线上,若 BD =ED,CD =CE,求证:D为AC的中点. 知识点8 等边三角形的判定 1.如图,AC与BD 相交于点O,若OA=OB,∠A =60°,且AB∥CD,求证:△OCD是等边三角形. 2.如图,AB =AC,点 D 是 BC 的中点,AB 平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为 E. (1)求证:AD=AE; (2)若BE∥AC,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 3.(2026 江门月考)如图，已知点 D 是等边三角形ABC 的边BC延长线上的一点,∠EBC =∠DAC,CE∥AB.求证:△CDE 是等边三角形. 2.如图,AB =AC,点 D 是 BC 的中点,AB 平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为 E. (1)求证:AD=AE; (2)若BE∥AC,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 3.(2026 江门月考)如图，已知点 D 是等边三角形ABC 的边BC延长线上的一点,∠EBC =∠DAC,CE∥AB.求证:△CDE 是等边三角形. 知识点10 30°角所对直角边等于斜边的一半 1.如图,在△ABC 中,∠B =30°,BC 的垂直平分线交AB于E,垂足为 D,若 DE =3,则 CE 的长为 ———. 2.如图,在 Rt△ABC 中,∠A =30°,BC =5,则 AB = . 3.如图,在△ABC 中,AB =AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4 cm,求 BC 的长. 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B =15°,AB 的垂直平分线交 BC于点D,交AB 于点 E,若BD=20cm,求AC的长. 第十五章 轴对称 知识点1 轴对称图形的识别 1. D 2. C 3.图略 3 4 5 6 7 n 知识点2 线段的垂直平分线 1.5 2.解:∵∠ADM=60°,∴∠CDN=60°,又∵MN垂直平分BC, ∴∠DEC=90°,DB=DC, ∵∠C=∠DBC=90°-60°=30°, ∵∠ABD=20°,∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=50°,∵∠A=180°-∠C-∠ABC=100°. 3.证明:∵AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, 在 Rt△BED和Rt△CFD中 ∴∠B=∠C,∴AB=AC. :AD 是△ABC的角平分线,∴AD是BC的垂直平分线. 4.解:∵AD⊥BC,BD=CD,∴AD垂直平分BC, ∴AB=AC, ∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE, :BD=CD=3, 5.解:∵△APQ 的周长为12, ∴AQ+PQ+AP=12, ∵MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC, ∴AP=PB,AQ=CQ, ∴CQ+PQ+PB=12, 即CQ+BQ+2PQ=12, ∴BC+2PQ=12, ∵BC=8,∴PQ=2. 知识点3 互逆命题与互逆定理 1. B 2.如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行 两直线平行，同位角相等 3.两直线平行，内错角相等(答案不唯一) 4.②③ 知识点4 轴对称图形与坐标 1. C 2.-7 3.解:(1)如图. (2)如图. (3)(2,1) -1-4=4. 4.(1)图略. (2)0,-4 - 2,-2 3,0 (3)7知识点5 等腰三角形的性质 1.12 cm 2.55°,55°或70°,40° 3.解:∵在等腰△ABC中,∠BAC=120°, 如图，连接AD，∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD,∴∠C=∠CAD=30°, ∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-30°=90°. ∵DE=1cm,DE⊥AC, ∴CD=2DE=2cm,∴AD=CD=2cm. 在Rt△ABD中,BD=2AD=2×2=4(cm). 4.解:设∠EDC=x,∠B=∠C=y,∠AED=∠EDC+∠C=x+y. ∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=x+y, ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y. ∵∠ADC=∠B+∠BAD,∴2x+y=y+30°,解得x=15°,∴ ∠EDC 的度数是15°. 5.解:(1)∵DE垂直平分AC, ∴AE=CE,∴∠ECD=∠A=36°. (2)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°. ∵∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∴∠B=∠BEC,∴BC=CE=5. 知识点6 等腰三角形的判定 1.8 2.3 3.证明:∵BD,CE是锐角△ABC的两条高, ∴∠BEC=∠CDB=90°, 在△BOE和△COD中, ∴△BOE≌△COD(AAS),∴∠OBE=∠OCD, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠ABC=∠ACB, ∴△ABC是等腰三角形. 4.证明:如图,∵在△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB, ∴∠1=∠2,∠5=∠6. ∵EF∥BC,∴∠2=∠3,∠4=∠6, ∴∠1=∠3,∠4=∠5, ∴BE=ED,DF=CF, ∴EF=ED+DF=BE+CF.C 5.证明:由题意可得∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE, ∠DEC=180°-∠CDE-∠C, 又∠ADE=∠C,∴∠ADB=∠DEC, 在△ADB和△DEC中, ∴△ADB≌△DEC(AAS), ∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形. 知识点7 等边三角形的性质 1.证明:如图,连接BD. ∵在等边△ABC中,D是AC的中点, =30°,∠ACB=60°. ∵CE=CD,∴∠CDE=∠E. ∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30°,∴∠DBC=∠E=30°, ∴BD=ED,∴△BDE是等腰三角形. 又∵DM⊥BC,∴M是BE的中点. 2.(1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°. ∵在等边△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C. ∵D是BC的中点,∴ BD=CD. 在△BED和△CFD中 ∴△BED≌△CFD(AAS),∴ DE=DF. (2)解:∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°. ∵BE=5,∴BD=10,∴BC=2BD=20, ∴△ABC的周长为60. 3.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°, ∵CD=CE,∴∠CED=∠CDE, ∵∠ACB=∠CED+∠CDE, ∵BD=ED,∴∠CBD=∠CED=30°, ∵∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-30°=30°, ∴∠ABD=∠CBD,∴BD是△ABC的角平分线, ∵△ABC是等边三角形,∴BD是△ABC的AC边上的中线,∴D为AC的中点. 知识点8 等边三角形的判定 1.证明:∵OA=OB,∴∠A=∠B=60°. 又∵AB∥DC,∴∠A=∠C=60°,∠B=∠D=60°,∴∠COD=60°,∴△OCD 是等边三角形. 2.(1)证明:如图,∵AB=AC,点D是BC的中点, ∴AD⊥BC,∴ ∠ADB=90°. ∵AE⊥BE,∴∠E=90°=∠ADB. ∵AB平分∠DAE,∴∠1=∠2, 在△ADB和△AEB中, ∴△ADB≌△AEB(AAS),∴AD=AE. (2)解:△ABC是等边三角形. 理由：如图， ∵BE∥AC,∴∠EAC=90°. ∵AB=AC,点D是BC的中点, ..∠1=∠2=∠3=30°, ∴∠BAC=∠1+∠3=60°, ∴△ABC是等边三角形. 3.证明:∵∠ABE+∠CBE=60°,∠CAD +∠ADC=60°,∠EBC=∠DAC,∴∠ABE=∠ADC. 又CE∥AB,∴∠BEC=∠ABE,∴∠BEC=∠ADC. 又BC=AC,∠EBC=∠DAC,∴△BCE≌△ACD(AAS), ∴CE=CD,∠BCE=∠ACD,即∠ECD=∠ACB=60°, ∴△CDE是等边三角形. 知识点9 等腰三角形的“三线合一” 1.3 2.90 3.解:(1)∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∴AD⊥BC. ∵△ABC的面积是20,且BC=4, ∴AD=10. (2)∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°, ∴AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠CAD=40°, ∵CE是△ABC的角平分线,∴ 4.解:∵AB=AC,AE平分∠BAC, ∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一的性质). ∵∠ADC=125°,∴∠CDE=55°, ∴∠DCE=90°-∠CDE=35°. 又∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=70°. 又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=70°, ∴∠BAC=180-(∠B+∠ACB)=40°. 知识点10 30°角所对直角边等于斜边的一半 1.6 2.10 3.解:∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=∠C=30°. ∵AB⊥AD,∴BD=2AD=2×4=8(cm), ∠B+∠ADB=90°,∴ ∠ADB=60°.∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°,∴∠DAC=30°, ∴∠DAC=∠C, ∴DC=AD=4cm,∴BC=BD+DC=8+4=12(cm). 4.解:如图,连接AD, ∵DE是AB的垂直平分线， ∴ BD=AD=20cm, ∴∠B=∠BAD=15°, ∴∠ADC=30°. 又∵∠C=90°,. 学科网（北京）股份有限公司 $