2027届高三数学一轮复习第六讲 函数的概念及表示

**基本信息** 以函数三要素为核心，通过“概念-方法-题型”三层架构系统构建函数基础，突出定义域求解、同一函数判定等高频考点的方法迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念与三要素|4知识点|定义域七类限制条件、值域求法归纳|从集合映射定义到三要素判定，形成“概念本质-要素辨析-表示方法”逻辑链| |必考题型|21题|同一函数判定（三要素验证）、分段函数求值、抽象函数赋值法|基础题型（定义域/同一函数）→综合题型（分段函数/新定义）→跨模块题型（函数与解析几何），梯度覆盖核心考法|

2027届高三数学一轮复习 第六讲 函数的概念及表示 【学习目标】1. 会用集合语言表述函数概念； 2. 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 【学习重点】 函数的概念. 【学习难点】 函数的概念. 必掌握知识点 1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为 （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 必考题型全归纳 题型一：同一函数的判定（三要素：定义域、对应法则、值域完全相同） 1．下列各组函数中，表示为同一个函数的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与且 【答案】D 【分析】A，B两选项定义域不同，C选项对应法则不同，D选项定义域和对应法则均相同，即可得选项. 【详解】A.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数， B.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数， C.，两个的对应法则不相同，不是同一函数 D.，，两个函数的定义域和对应法则相同是相同函数， 故选D． 【点睛】此题是个基础题．本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域.. 2．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】注意函数的定义域不同，即可否定BC；进一步考查函数的解析式是否相同，从而对AD作出判定. 【详解】对于A选项，，与g(x)=x的解析式不同，不是同一函数； 对于B选项，，与解析式不同，故不是同一函数； 对于C选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一函数， 对于D选项，与，的定义域和解析式完全相同，只是表示自变量的字母不同，是同一函数. 故选：D. 【点睛】本题考查同一函数的概念，属于基础题. 判断两个函数是否为同一函数，先利用定义域进行排除是效率较高的方法，然后注意考察函数的解析式是否相同或者可以等价变形为相同即可，注意函数中的自变量或者函数值的字母只是函数的形式，不是函数的本质. 3．下列四组中的函数f（x），g（x），表示同一个函数的是 A．, B． C． D． 【答案】D 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 【详解】解：对A，f（x）=1定义域为R,g（x）=x0的定义域是{x|x≠0，x∈R}，两函数定义域不同，∴不是同一函数； 对B，f（x）的定义域是{x|x≠1，x∈R}，g（x）=x1定义域为R​,两函数定义域不同，∴不是同一函数； 对C，g（x）=|x|与f（x）=x的对应法则不同，∴不是同一函数； 对D，g（x）==x2与f（x）=x2，定义域与对应法则都相同，∴是同一函数． 故选D. 【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一函数．方法是先看定义域是否相同，再看对应法则是否相同，属于基础题. 4．下列四组函数，表示同一函数的是 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】，，由于，对应法则不同不是同一函数； B. 的定义域为，的对应法则是，定义域不同不是同一函数；C. 的定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一函数；D. ，定义域和对应法则均相同，是同一函数，选D. 题型二：函数定义域求解 5．若函数=的定义域为,则函数的定义域是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为=的定义域为,所以,所以函数=的定义域是.选C. 6．函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足，定义域为 考点：函数定义域 7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有(　　) A．9 B．8个 C．5个 D．4个 【答案】A 【详解】当时，，当时，，则满足条件的“同族函数”有，，，，，，，，，共9个；故选A. 8．函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求函数的定义域，即求使有意义的x的取值范围． 【详解】解：欲使有意义，则有，解得． ∴的定义域是．故选B． 【点睛】本题属基础题，考查了函数的定义域及其求法，解析法给出的函数要使解析式有意义，具有实际背景的函数要考虑实际意义． 9.（多选）．下列有关函数的命题正确的是（     ） A．已知函数满足，且，则 B．函数，若，则实数 C．满足对任意的都有成立，则 D．若的定义域是，则的定义域为 【答案】ABD 【分析】对A：通过赋值，即可求得参数值； 对B：讨论的范围，代入不同的解析式，求解即可； 对C：对已知关系式进行赋值，即可求得结果； 对D：根据已知函数定义域，求得的定义域，再求目标函数定义域即可. 【详解】对A：，令，则，故，故A正确； 对B：，，故可得； 若，则，该方程在实数范围内无解； 若，则，解得，满足； 综上所述，，故B正确； 对C：，对任意的成立， 令，可得；令，可得； 令，可得；令，可得； 则，故C错误； 对D：的定义域是，故可得，则， 则对，，则，其定义域为，故D正确； 故选：ABD. 题型三：函数对应关系与函数定义 10.（多选）．已知集合，，则下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分析每个选项中函数在对应定义域的单调性，求解出值域，即可判断. 【详解】对A，当时，函数单调递增，所以，不符合题意；对B，当 时，函数单调递增，所以，符合题意；对C，函数的定义域为，不符合题意；对D，当时，函数单调递增，所以，符合题意.故选：BD 11．判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数： （1），，，，； （2），，，； （3），； （4），； （5），，n为奇数时，；n为偶数时，. 【答案】（1）是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）是. 【分析】按照函数的定义判断即可. 【详解】若“A，B为非空数集，且对集合A中的每一个数在集合B中都有唯一的数与之对应”，则f能构成从集合A到集合B的函数. （1）满足函数的定义，f是从集合A到集合B的函数； （2）满足函数的定义，f是从集合A到集合B的函数； （3），，因为，所以不满足函数的定义，f不是从集合A到集合B的函数； （4）满足函数的定义，f是从集合A到集合B的函数； （5）满足函数的定义，f是从集合A到集合B的函数. 题型四：分段函数、取整函数、符号函数 12．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数给出，其中是不小于m的最小整数，例如，，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为（    ） A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元 【答案】B 【解析】由是不小于的最小整数可得，再代入分段函数解析式中计算即可. 解：由是不小于的最小整数可得， 所以，故从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为4.24元． 故选：． 【点睛】本题考查分段函数的应用，属于基础题. 13．设，定义符号函数 则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确； 对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确； 对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确； 对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确； 考点：函数的值域；函数的定义域及其求法 14．已知函数，满足 （1）求常数的值； （2）解不等式. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）当时，则 当时，则 （舍） 所以由上得： （2） 当时，则， 时，则，,由上得： 题型五：函数对称性、周期性综合 15．定义在上的函数满足，且当时，.若关于的方程（，）有且只有6个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，结合图象以及方程有且只有个不同的实数根列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，定义在上的函数满足，所以是偶函数，图象关于轴对称. 由于当时，，从而可画出的图象如下图所示. ，. 令，，结合图象可知， 此方程的两根满足：，时， 方程有且只有个不同的实数根. ，设， ①当时，， . ②当时，， ，解得. ③当时，，， ，，解得. 综上所述，的取值范围是.故选：A 【点睛】求解二次型“复合方程”的根有关问题，要结合两个方面来考虑，一个是一元二次方程根的分布，另一个是“内部”函数的图象与性质，如本题中的.分类讨论时，要做到不重不漏. 题型六：抽象函数性质（赋值法、奇偶、单调性、函数值计算） 16．已知定义在上的函数满足对，都有，且.当时，都有成立，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B． C．不等式的解集是 D． 【答案】BD 【分析】对于A，利用赋值法，结合奇偶性的定义即可判断；对于B，利用单调性的定义证明函数的单调性，结合奇偶性可解不等式；对于C，利用可得，根据函数的定义域，奇偶性，单调性可解不等式；对于D，令，得，进而求和，即可判断. 【详解】A：令，则，即； 令，则，则； 令，则，所以函数是偶函数，故A错误； B：任取且，则，则，， ，， 在上单调递增，又因函数是偶函数，所以函数在上单调递减； 因为，又，所以， 又函数在上单调递增，所以，故B正确； C：因为，所以； 则不等式等价于，又函数是偶函数， 则且，，解得且，故C错误； D：令，则，则. 则 ，故D正确；故选：BD. 题型七：函数对称性、周期性综合 17．已知定义在R上且周期为T的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)和f(8+x)=f(8-x)．则T的最大值为． A．16 B．14 C．8 D．2 【答案】B 【详解】 根据周期定义知T≤14.下图是符合条件、周期为14的函数图像.故T的最大值为14. 故答案为B 题型八：狄利克雷函数（特殊分段创新函数） 18（多选）．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家狄利克雷（Dirichlet），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：（Q是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可以定义为：（其中，且）.以下对说法正确的有（    ） A．的定义域为R B．是非奇非偶函数 C．在实数集的任何区间上都不具有单调性 D．任意非零有理数均是的周期 【答案】ACD 【分析】根据有理数、无理数和实数的概念判断A；根据奇偶函数的定义判断B；根据函数的值域为即可判断C；根据周期函数的定义即可判断D. 【详解】A：由，所以{有理数}{无理数｝=｛实数｝，故A正确； B：当时，，有，所以， 当时，，有，所以，所以为偶函数，故B错误； C：当时，有，当时，有， 所以的值域为，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，故C正确； D：设T为非零有理数，当时，，所以， 所以任意的非零有理数均是的周期，故D正确.故选：ACD 19．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得_______. 【答案】1 【分析】根据函数表达式计算（注意判断自变量的值是有理数还是无理数）． 【详解】由题意， 故答案为：1. 题型九：函数新定义题型 20．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【解析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：和存在分渐近线的充要条件是时，． 对于①，，， 当时，令， 由于，所以为增函数， 不符合时，，所以不存在分渐近线； 对于②，，，， ， 因为当且时，，所以存在分渐近线； 对于③，，， 当且时，与均单调递减，但的递减速度比快， 所以当时，会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线； 对于④，，， 当时， ，且， 因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD．故选：BD． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题. 题型十：解析几何跨模块（圆与公共弦） 21（多选）．圆：和圆：的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．过直线上任意一点作圆：的切线，与圆切于点，则线段长度的最小值为 C．公共弦的长为 D．圆：与圆关于直线对称 【答案】ABD 【分析】对于A，将两圆方程相减即可； 对于B，切线段长，圆半径为定值，故令最小即可，而的最小值，就是到直线的距离； 对于C，求出圆或圆的圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式求解即可； 对于D，判断两圆半径是否相同，圆心是否关于直线对称即可. 【详解】对于A，由已知两圆相交，将两圆方程相减得，即， ∴公共弦所在直线方程为，故选项A正确； 对于B，由选项A的判断知，直线的方程为， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，直线与圆相离， 过作圆的切线，与圆切于点，则， ∵，∴， ∴线段长度的最小值为，故选项B正确； 对于C，圆：的圆心，半径， 由选项A的判断知，公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦所在直线的距离， ∴公共弦长，故选项C错误， 对于D，圆：的圆心，半径， 由选项C的判断知，圆的圆心，半径， 两圆心连线的斜率，直线的斜率， ∵，∴两圆心连线与直线垂直， 又∵中点在直线上 ∴圆与圆的圆心关于直线对称， 又∵，∴圆与圆关于直线对称，故选项D正确.故选：ABD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第六讲 函数的概念及表示 【学习目标】1. 会用集合语言表述函数概念； 2. 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 【学习重点】 函数的概念. 【学习难点】 函数的概念. 必掌握知识点 1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为 （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 必考题型全归纳 题型一：同一函数的判定（三要素：定义域、对应法则、值域完全相同） 1．下列各组函数中，表示为同一个函数的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与且 2．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列四组中的函数f（x），g（x），表示同一个函数的是 A．, B． C． D． 4．下列四组函数，表示同一函数的是 A．， B．， C．， D．， 题型二：函数定义域求解 5．若函数=的定义域为,则函数的定义域是 A． B． C． D． 6．函数的定义域为 A． B． C． D． 7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有(　　) A．9 B．8个 C．5个 D．4个 8．函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 9.（多选）．下列有关函数的命题正确的是（     ） A．已知函数满足，且，则 B．函数，若，则实数 C．满足对任意的都有成立，则 D．若的定义域是，则的定义域为 题型三：函数对应关系与函数定义 10.（多选）．已知集合，，则下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 11．判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数： （1），，，，； （2），，，； （3），； （4），； （5），，n为奇数时，；n为偶数时，. 题型四：分段函数、取整函数、符号函数 12．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数给出，其中是不小于m的最小整数，例如，，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为（    ） A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元 13．设，定义符号函数 则 A． B． C． D． 14．已知函数，满足 （1）求常数的值； （2）解不等式. 题型五：函数对称性、周期性综合 15．定义在上的函数满足，且当时，.若关于的方程（，）有且只有6个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A．B． C． D． 题型六：抽象函数性质（赋值法、奇偶、单调性、函数值计算） 16．已知定义在上的函数满足对，都有，且.当时，都有成立，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B． C．不等式的解集是 D． 题型七：函数对称性、周期性综合 17．已知定义在R上且周期为T的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)和f(8+x)=f(8-x)．则T的最大值为． A．16 B．14 C．8 D．2 题型八：狄利克雷函数（特殊分段创新函数） 18（多选）．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家狄利克需（Dirichlet），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：（Q是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可以定义为：（其中，且）.以下对说法正确的有（    ） A．的定义域为R B．是非奇非偶函数 C．在实数集的任何区间上都不具有单调性 D．任意非零有理数均是的周期 19．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得_______. 题型九：函数新定义题型 20．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十：解析几何跨模块（圆与公共弦） 21（多选）．圆：和圆：的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．过直线上任意一点作圆：的切线，与圆切于点，则线段长度的最小值为 C．公共弦的长为 D．圆：与圆关于直线对称 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $