2.2 等腰三角形+2.3 等腰三角形的性质定理13大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦特殊三角形核心知识，系统梳理等腰三角形概念、性质（等边对等角、三线合一）、尺规作图及等边三角形性质，构建从概念辨析到性质应用再到综合解题的学习支架。 资料通过“特别提醒”规避易错点，“即学即练”及时巩固，题型涵盖存在性、旋转等综合问题，新定义题型培养创新意识，助力学生提升几何直观与推理能力，课中辅助教学高效，课后便于查漏补缺。

第二章 特殊三角形 2.2 等腰三角形+2.3 等腰三角形的性质定理 课标要点 1.理解等腰、等边三角形相关概念，分清腰、底边、顶角、底角，能够准确识别图形，辨析两类三角形之间的包含关系。 2.掌握 “等边对等角” 性质，能利用定理进行角度计算，规范写出推理过程，初步建立几何等量转化思维。 3.理解等腰三角形 “三线合一” 定理，明确适用条件，分清三线指代，能借助定理寻找相等线段与垂直关系。 4.掌握等边三角形各项性质，知晓三角均相等且为 60°，厘清等边三角形与等腰三角形性质的联系与区别。 5.通过观察、猜想、证明探究性质，提升识图与逻辑推理能力，学会运用性质解决基础计算与简单证明题型。 学习重难点 重点： 1.掌握等边对等角，熟练运用定理求解等腰三角形相关角度问题。 2.理解并正确运用等腰三角形三线合一的性质定理解题。 3.熟记等边三角形性质，理清等腰与等边三角形性质关联。 难点： 1.正确把握三线合一适用前提，杜绝不分条件盲目套用结论。 2.等腰三角形边角问题合理分类讨论，避免解题出现漏解。 3.综合运用多个性质定理完成复杂几何推理与证明。 知识点一 等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 特别提醒 等腰三角形指有两条边相等的三角形，相等两边为腰，另一边是底边，两腰夹角为顶角，腰与底边夹角是底角。注意等边三角形属于特殊等腰三角形，不可二者并列。解题留意分类讨论：未指明边长是腰还是底边、角度为顶角或底角时，要分情况验证三边能否构成三角形。区分 “等边对等角” 只适用于同一三角形，牢记三线合一针对底边上中线、高与顶角平分线，不可随意套用在腰上。 即学即练 1．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为________________. 知识点二 尺规作等腰三角形 等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 特别提醒 垂直平分线不要漏画两弧上下交点； 不要直接徒手画垂线、相等线段，严格使用直尺圆规； 看清要求：是否需要作出对称轴。 即学即练 3．已知：中，边上一点D． 求作：等腰，使为等腰的底边，且点P到、两边的距离相等．（保留作图痕迹，不必写作法） 4．已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题． (1)填空：由作图可知，射线是的______； (2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由． 知识点三 等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 特别提醒 运用等腰三角形性质解题时，最易出错的是滥用“三线合一”，该性质仅适用于顶角平分线、底边上的中线和高，不能用于腰上的线段。未明确已知角、已知边类型时，必须分类讨论，区分顶角与底角、腰与底边，舍去不符合三角形三边关系的情况。牢记等边对等角仅限同一个三角形，不可跨三角形套用。同时注意等边三角形具备等腰三角形所有性质，做题切勿遗漏特殊情况，避免因思维片面导致答案不全或解题错误。 即学即练 5．如图，把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．如图，四边形中，，对角线平分，，，则______． 知识点四 等边三角形的性质 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 特别提醒 等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的全部性质，做题不可将二者割裂看待。等边三角形三边相等、三个内角均为60°，任意一角均可作为顶角，任意边上的中线、高、角平分线都满足三线合一，切勿局限单一底边。判定时注意区分条件，避免仅凭两角相等误判等边三角形。解题时不要忽略其轴对称性，同时需分清等腰与等边性质差异，避免乱用普通等腰三角形的分类讨论方法造成多余解题失误。 即学即练 7．如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于____． 8．如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．    (1)求证：； (2)求． 题型01 等腰三角形的定义与求解 典｜例｜精｜析 1．下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；③腰长相等且有一个角是的两个等腰三角形全等；④等腰三角形的对称轴是底边中线；其中说法正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变｜式｜巩｜固 2．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 3．如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 4．已知等腰三角形周长为25． (1)若一边长为9，则另两边长分别为 ． (2)若一边长为1，则另两边长分别为 ． 题型02 尺规作等腰三角形 解题贴士 尺规作等腰三角形需严格保留圆弧、虚线等作图痕迹，禁止徒手描线。利用垂直平分线作图时，依据三线合一确定顶点位置，保证图形对称。分清已知条件是腰、底边还是高，找准对应作图步骤。作图完成必须写结论，同时检验边长关系，避免出现无法构成三角形的错误。 典｜例｜精｜析 5．在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 6．如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 8．如图中，，，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）在射线上找一点，使为等腰三角形，并求的度数． 题型03 等边对等角 解题贴士 运用等边对等角时，前提必须在同一个三角形内，不可跨三角形使用。相等的两条边所对的角才相等，注意找准边角对应关系。题目没有指明边是腰时，需要分类讨论，求出角度后验证内角和。切勿凭直观判定等角，严格依据定理推理，防止出现边角匹配错误。 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，D在延长线上，，则________． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 11．如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 12．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 题型04 三线合一 解题贴士 使用三线合一务必看清适用条件，只针对等腰三角形顶角平分线、底边上的高与底边上的中线。不适用于腰上的高线、中线与角平分线，不可随意套用。解题先明确底边与顶角，找准对应线段。不能直接逆推证明等腰三角形，书写推理过程规范，避免不加条件滥用定理。 典｜例｜精｜析 13．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 变｜式｜巩｜固 14．如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 15．浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 16．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型05 利用等腰三角形的性质求角度 典｜例｜精｜析 17．如图，等腰中，，，线段的垂直平分线交于，交于，连接，则(  ) A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，点分别在边上，且满足，，则______． 20．如图，在中，，D、E为边上的两点，且，，是等边三角形． (1)求证：； (2)求的度数． 题型06 利用等腰三角形的性质求长度 典｜例｜精｜析 21．如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 变｜式｜巩｜固 22．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 23．如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 24．如图，，，，． (1)求证：； (2)若点F在的延长线上，求证：平分； (3)若，，直接写出的长度为______________． 题型07 根据等腰三角形的性质证明 典｜例｜精｜析 25．如图，在中，． (1)求作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作痕迹） (2)若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空． 解：， ______（等边对等角）， 又是的垂直平分线， ______（垂直平分线的性质）， ， ， ______（等量代换）． ． ， ． （三角形的内角和为）． ______． 由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的垂直平分线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为______度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”． 变｜式｜巩｜固 26．下面是小明设计的尺规作图过程： 已知：如图，． 求作：，使点D在上，且． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线，交于点D； ③连接． 所以为所求 据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明：     证明：连接． ∵， ∴点M，N均在线段的垂直平分线上． 即：直线是线段的垂直平分线． ∵点D在直线上， ∴_____（_______________________________________）（填推理的依据)． ∴（__________________________________）（填推理的依据)． ∵， ∴． 27．在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 28．如图，在中，． (1)作出边，的垂直平分线，，并分别与边交于点，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，． ①若，则的周长为______． ②若，求的度数． 题型08 等边三角形的性质 典｜例｜精｜析 29．如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 30．如图，已知为等边三角形，点D，E分别在边，上，且，若交于点F，则的大小为___________度． 31．如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 32．综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 (3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 题型09 利用等边三角形的性质证明 典｜例｜精｜析 33．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 变｜式｜巩｜固 34．在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ 35．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 36．如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，判断的形状，并说明理由． 题型10 等腰（等边）三角形的存在性问题 解题贴士 解决等腰、等边三角形存在性问题，优先分类讨论等腰三角形三边谁为底边。结合距离相等条件列出情况，逐一画图分析。求出边长后检验三边能否构成三角形，及时舍去不合理解。等边三角形只需满足三边相等，注意区分动点位置，防止漏解、多解，规范梳理所有可能性。 典｜例｜精｜析 37．为等边三角形，点E在边上，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，从下列①②两问中选择一个解答． ①是否存在点E，使得?若存在，求的度数；若不存在，说明理由． ②判断是否成立，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 38．如图，在中，，，，点为边上的中点，连接；点从点出发，以每秒2个单位长度向点运动，同时点从点出发，以同样的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，，，设运动时间为． (1)求的大小； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)在点的运动过程中，的面积是否存在最小值，若存在最小值，请求出运动时间的值；若不存在最小值，请说明理由． 39．如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．如图1，以的两边，为边向外作等边三角形，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，连接，探究的大小； (3)如图3，若，，，，射线上是否存在一点，使也是等边三角形，若存在，试探究满足的条件；若不存在，请说明理由． 题型11 等腰三角形的旋转问题 典｜例｜精｜析 41．已知，如图，和是两个等边三角形，可以绕点A旋转，连接并延长交于点G，F为延长线上一点，连接，连接并延长交于点H，若点H为中点，时，此时______．    变｜式｜巩｜固 42．如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 43．如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，． (1)求证：； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． 试猜想与的数量关系，并说明理由； 你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 44．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC与PE的和最小是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型12 等腰三角形的最值问题 典｜例｜精｜析 45．如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为__________时，线段的和最小． 变｜式｜巩｜固 46．教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接，两点，交直线于点，此时，，共线，即． 在直线上另取任一点，连接，，在中可知， 综上所述：．故，当，，共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图，在直线的同侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴的对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 (1)如图3，在等边中，，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 (2)如图4，在四边形中，，，在，上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 47．如图，中，，以为边在外作等边三角形，过点作的垂线，垂足为，与相交于点，连接．． (1)说明：； (2)若是直线上的一点，则当在何处时，最小，并求出此时的值． 48．如图，在中，，的垂直平分线与，分别相交于点E，D，连接． (1)若，则的度数为______； (2)若，的周长为14． ①求的长； ②在直线上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 题型13 等腰三角形的新定义问题 典｜例｜精｜析 49．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 50．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为______． 51．定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，等腰△ABC中，若，则它的特征值k＝_____． 52．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【定义】如果一个三角形的一条角平分线和一条中线互相垂直，则称它们的交点为中垂点，该三角形为中垂三角形，这条角平分线平分的内角为中垂角． 为了更好的研究中垂三角形的一般性质，请利用特殊化策略进行探究． 【特殊图形】 (1)从下列特殊的三角形切入研究，根据定义，是中垂三角形的有________． ①等边三角形；②顶角为的等腰三角形；③三边长分别为4，4，2的等腰三角形． 【一般性质】 (2)勤思组在上述特殊的三角形中探究发现，中垂三角形的边满足特定的数量关系．如图1，在中，平分交于点，为的中线，与交于点，若，则为中垂三角形，此时的边和满足怎样的数量关系？请你写出来并说明理由． 【拓展应用】 (3)如图2，线段的长度为，在射线上取一点，使是以为中垂角的中垂三角形，作平分交于点，中垂点为点，若的面积为3，请你画出符合题意的图形（不限作图工具），在图上标注的长度（用含的式子表示），并直接写出的面积． 基础通关 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线，点分别在直线和上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知、是等腰的两边且，则的周长是________． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，是上的高，，，则的度数为______． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为______． 9．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，已知在锐角中，点在上，，在线段上找一点，使得，甲、乙两人分别给出了正确的作法： 甲：作的垂直平分线交于点，则即为所求； 乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点），则即为所求． 请从以上作法中选择一种，作图并证明． 10．（2022·浙江温州·三模）如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 素养提升 11．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 13．（2026·浙江绍兴·二模）如图，和都是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，等腰中，，，点、、、在同一直线上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点在的垂直平分线上，，若，则的度数为_____． 16．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，已知，的角平分线交于点，交于点．若，则的度数为____________． 17．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 18．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为_______； （2）当是等腰三角形时，的度数为______． 19．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． (1)若，求∠的度数． (2)若，的周长为，求的长． 20．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，和均为等边三角形，点E在内，连接，． (1)证明：； (2)如图2，若点B、E、D恰好在同一条直线上，且，的面积为1，求的面积． 迁移创新 21．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是内一点，连接，，，且满足．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 23．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知，在边上顺次取点，在边上顺次取点，使得，得到等腰 （1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是_________． （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是，则的度数的取值范围是_________． 24．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）浙教版八年级配套资料《数学作业本2》有这样一道题： 7．如图，在中，．你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？．．．．．． (1)请根据题意，在图1中画出一种分法，并标出各等腰三角形内角度数． (2)小明在完成解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣．思考后提出了下列两个问题请你解答： 【问题一】如图2，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数．（示意图画在答题卡上） 【问题二】如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为___________． 25．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在全等三角形的学习中，同学们发现全等不仅是图形间的重要关系，更是推导线段相等、角相等的重要理论依据．基于这一知识基础，数学综合实践课上，老师组织同学们开展探究活动，进一步挖掘全等三角形在几何问题解决中的应用价值，深化对知识的理解与灵活运用． (1)【观察猜想】 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． (2)【拓展探究】 如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【解决问题】 在中，，，，为等腰直角三角形，，请求出点C到的距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.2 等腰三角形+2.3 等腰三角形的性质定理 课标要点 1.理解等腰、等边三角形相关概念，分清腰、底边、顶角、底角，能够准确识别图形，辨析两类三角形之间的包含关系。 2.掌握 “等边对等角” 性质，能利用定理进行角度计算，规范写出推理过程，初步建立几何等量转化思维。 3.理解等腰三角形 “三线合一” 定理，明确适用条件，分清三线指代，能借助定理寻找相等线段与垂直关系。 4.掌握等边三角形各项性质，知晓三角均相等且为 60°，厘清等边三角形与等腰三角形性质的联系与区别。 5.通过观察、猜想、证明探究性质，提升识图与逻辑推理能力，学会运用性质解决基础计算与简单证明题型。 学习重难点 重点： 1.掌握等边对等角，熟练运用定理求解等腰三角形相关角度问题。 2.理解并正确运用等腰三角形三线合一的性质定理解题。 3.熟记等边三角形性质，理清等腰与等边三角形性质关联。 难点： 1.正确把握三线合一适用前提，杜绝不分条件盲目套用结论。 2.等腰三角形边角问题合理分类讨论，避免解题出现漏解。 3.综合运用多个性质定理完成复杂几何推理与证明。 知识点一 等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 特别提醒 等腰三角形指有两条边相等的三角形，相等两边为腰，另一边是底边，两腰夹角为顶角，腰与底边夹角是底角。注意等边三角形属于特殊等腰三角形，不可二者并列。解题留意分类讨论：未指明边长是腰还是底边、角度为顶角或底角时，要分情况验证三边能否构成三角形。区分 “等边对等角” 只适用于同一三角形，牢记三线合一针对底边上中线、高与顶角平分线，不可随意套用在腰上。 即学即练 1．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握有两边相等的三角形是等腰三角形． 由等腰三角形的定义和图形，即可得到答案． 【详解】解：如图，这样的格点C的个数为5个， 故选：B． 2．若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为________________. 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键． 设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为，分①为腰；②为腰两种情况讨论即可． 【详解】解：设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为. ①当为腰时， ， 不能组成三角形； ②当为腰时，能够组成三角形， ， ， ∴该等腰三角形底边长为2． 故答案为：2． 知识点二 尺规作等腰三角形 等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 特别提醒 垂直平分线不要漏画两弧上下交点； 不要直接徒手画垂线、相等线段，严格使用直尺圆规； 看清要求：是否需要作出对称轴。 即学即练 3．已知：中，边上一点D． 求作：等腰，使为等腰的底边，且点P到、两边的距离相等．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见解析 【分析】作BD的垂直平分线和∠ACB的平分线，两条线的交点即为点P，顺次连接即可． 【详解】解：如图所示： 则即为所求. 【点睛】本题考查了尺规作图，解题关键是明确垂直平分线和角平分线的性质及作法． 4．已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题． (1)填空：由作图可知，射线是的______； (2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)角平分线 (2) ，理由如下： 由作图可知：， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查尺规作图--作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定． （1）根据作图可知：射线是的角平分线； （2）根据作图可知，得到，进而推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由作图可知，射线是的角平分线； 故答案为：角平分线； （2）略 知识点三 等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 特别提醒 运用等腰三角形性质解题时，最易出错的是滥用“三线合一”，该性质仅适用于顶角平分线、底边上的中线和高，不能用于腰上的线段。未明确已知角、已知边类型时，必须分类讨论，区分顶角与底角、腰与底边，舍去不符合三角形三边关系的情况。牢记等边对等角仅限同一个三角形，不可跨三角形套用。同时注意等边三角形具备等腰三角形所有性质，做题切勿遗漏特殊情况，避免因思维片面导致答案不全或解题错误。 即学即练 5．如图，把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，由三角形内角和定理得到，再由折叠性质得到，，结合等腰三角形性质得到，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，则， 把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，则，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质、折叠性质是解决问题的关键． 6．如图，四边形中，，对角线平分，，，则______． 【答案】65 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 根据平行线的性质证得和，进而证得，由平分证得，通过三角形内角和为，求解的度数即可． 【详解】解：，， 、 平分 故答案为：． 知识点四 等边三角形的性质 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 特别提醒 等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的全部性质，做题不可将二者割裂看待。等边三角形三边相等、三个内角均为60°，任意一角均可作为顶角，任意边上的中线、高、角平分线都满足三线合一，切勿局限单一底边。判定时注意区分条件，避免仅凭两角相等误判等边三角形。解题时不要忽略其轴对称性，同时需分清等腰与等边性质差异，避免乱用普通等腰三角形的分类讨论方法造成多余解题失误。 即学即练 7．如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于____． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：1． 8．如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．    (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，得； （2）结合（1）可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ∴，，， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 题型01 等腰三角形的定义与求解 典｜例｜精｜析 1．下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；③腰长相等且有一个角是的两个等腰三角形全等；④等腰三角形的对称轴是底边中线；其中说法正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可判断①，利用全等三角形的判定方法结合等腰三角形的性质可判断②③，由等腰三角形是轴对称图形，结合对称轴是直线可判断④． 【详解】解：顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等，描述正确，故①符合题意； 底边相等的两个等腰三角形，只有一边对应相等，不能判定全等；故②不符合题意； 腰长相等且有一个角是的两个等腰三角形的角不一定对应相等，不能判定全等；故③不符合题意； 等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线，故④不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练的记忆等腰三角形的性质是解本题的关键． 变｜式｜巩｜固 2．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 3．如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 【答案】 19 20或80 【分析】先根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系求出三边长，即可求解周长；然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解顶角即可． 【详解】解：∵等腰三角形中，有两条边的长度分别是， ∴这个等腰三角形的三边分别为：或， ∵ ∴这个等腰三角形的三边长只能为， ∴这个等腰三角形的周长为； ∵如果一个等腰三角形中，有一个角是， 当角为底角时，则顶角为； 当角为顶角时，则底角为 ∴这个三角形的顶角度数为或． 4．已知等腰三角形周长为25． (1)若一边长为9，则另两边长分别为 ． (2)若一边长为1，则另两边长分别为 ． 【答案】(1)，或， (2)， 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系计算即可得出结果； （2）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系计算即可得出结果． 【详解】（1）解：当腰长为时，底边长为，此时三边分别为，，，符合三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，若一边长为9，则另两边长分别为，或，； （2）解：当腰长为1时，底边长为，此时三边分别为，，，不符合三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，若一边长为1，则另两边长分别为，． 题型02 尺规作等腰三角形 解题贴士 尺规作等腰三角形需严格保留圆弧、虚线等作图痕迹，禁止徒手描线。利用垂直平分线作图时，依据三线合一确定顶点位置，保证图形对称。分清已知条件是腰、底边还是高，找准对应作图步骤。作图完成必须写结论，同时检验边长关系，避免出现无法构成三角形的错误。 典｜例｜精｜析 5．在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和作图－复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由于，则点为的垂直平分线与的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当时，，即， ∴点为的垂直平分线与的交点． A中，是的角平分线，故该选项不符合题意； B中，点为的垂直平分线与的交点，故该选项符合题意； C中，，故该选项不符合题意； D中，，故，故该选项不符合题意； 故选：B． 变｜式｜巩｜固 6．如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出，由等边对等角得出，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】∵以点A为圆心，的长为半径画弧交直线m于点B、点D， ∴, ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图， 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解． 【详解】解：如图， 根据作图可得 ∴ 8．如图中，，，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）在射线上找一点，使为等腰三角形，并求的度数． 【答案】 如图，有三种情形： 或或． 【分析】本题主要考查尺规作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情形分别求解即可得解． 【详解】，， ， ①当时， ； ②当时，； ③当时，， ， 综上，的度数为或或． 题型03 等边对等角 解题贴士 运用等边对等角时，前提必须在同一个三角形内，不可跨三角形使用。相等的两条边所对的角才相等，注意找准边角对应关系。题目没有指明边是腰时，需要分类讨论，求出角度后验证内角和。切勿凭直观判定等角，严格依据定理推理，防止出现边角匹配错误。 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，D在延长线上，，则________． 【答案】 【分析】根据等边对等角得出，再根据外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ． 11．如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 如图，即为所求作． ∵ ∴ ∵是的平分线 ∴． 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作出的平分线，然后利用三线合一即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差． （1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）先由已知得，则，再根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵，即， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型04 三线合一 解题贴士 使用三线合一务必看清适用条件，只针对等腰三角形顶角平分线、底边上的高与底边上的中线。不适用于腰上的高线、中线与角平分线，不可随意套用。解题先明确底边与顶角，找准对应线段。不能直接逆推证明等腰三角形，书写推理过程规范，避免不加条件滥用定理。 典｜例｜精｜析 13．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 变｜式｜巩｜固 14．如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，即点到所在直线的距离是． 15．浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线、等边对等角、三线合一等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）连接，得，进而得，根据三线合一即可求证； （2）求出，推得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型05 利用等腰三角形的性质求角度 典｜例｜精｜析 17．如图，等腰中，，，线段的垂直平分线交于，交于，连接，则(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案． 【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C==70°， ∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=40°， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°． 故选D． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据轴对称的性质得到，所以，然后结合三角形外角性质求得，再根据等腰三角形的性质求得，即可求得答案． 【详解】解：沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．如图，在中，，点分别在边上，且满足，，则______． 【答案】30° 【分析】如图，在边上取一点，使得，连接，，则，且，证，得，得 【详解】如图，在边上取一点，使得，连接，， 则，且， 从而，. ∵， ∴， ∴. 故. 【点睛】考核知识点：等腰三角形的性质.构造等腰三角形进行角的转移是关键. 20．如图，在中，，D、E为边上的两点，且，，是等边三角形． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）先由三角形内角和定理得到，由等边对等角得到，进而利用三角形内角和定理得到，则可证明，据此可得； （2）由等边三角形的性质得到，证明得到，再证明，可得． 【详解】（1）略． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型06 利用等腰三角形的性质求长度 典｜例｜精｜析 21．如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．由题意可得：即，由等边三角形的性质可得，为中线，得到，即可求解． 【详解】解：等边中，， 则，， ∵， ∴，即 ∴为中线，则， 故选：C ． 变｜式｜巩｜固 22．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，验证三边关系后，根据“和谐比”的定义计算即可． 【详解】解：等腰的周长为，一边长为， ∴分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 当为底边长时，腰长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 综上：等腰的“和谐比”为或， 23．如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴． ∵， ∴， 即的周长为． 24．如图，，，，． (1)求证：； (2)若点F在的延长线上，求证：平分； (3)若，，直接写出的长度为______________． 【答案】(1) 证明：设、相交于G， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ； (2)证明：过C作于N，连接，则， ∵， ， ∴， 在与中， ， ， ， ∵，, 是的角平分线． (3)2 【分析】（1）设、相交于G，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一可得出 ，结合已知得出，结合三角形内角和定理、对顶角的性质可得出； （2）过C作于N，连接，证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证； （3）根据全等三角形的性质得出，，结合已知得出，解方程即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 是的角平分线， ， 又，， ， ， ， 又，， ， 解得. 题型07 根据等腰三角形的性质证明 典｜例｜精｜析 25．如图，在中，． (1)求作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作痕迹） (2)若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空． 解：， ______（等边对等角）， 又是的垂直平分线， ______（垂直平分线的性质）， ， ， ______（等量代换）． ． ， ． （三角形的内角和为）． ______． 由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的垂直平分线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为______度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”． 【答案】(1) 解：如图所示： ． (2)，，，，36 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键． （1）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点，交于点，连接，由此即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据等量代换可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 26．下面是小明设计的尺规作图过程： 已知：如图，． 求作：，使点D在上，且． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线，交于点D； ③连接． 所以为所求 据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明：     证明：连接． ∵， ∴点M，N均在线段的垂直平分线上． 即：直线是线段的垂直平分线． ∵点D在直线上， ∴_____（_______________________________________）（填推理的依据)． ∴（__________________________________）（填推理的依据)． ∵， ∴． 【答案】(1) 图形如图所示： (2)，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，等边对等角 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用线段的垂直平分线的性质以及等边对等角解决问题即可． 【详解】（1）略 （2）证明：连接． ∵， ∴点M，N均在线段的垂直平分线上． 即：直线是线段的垂直平分线． ∵点D在直线上， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）． ∴（等边对等角）． ∵， ∴． 故答案为：，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，等边对等角． 27．在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图2，延长到点H，使，连接，则， ∵是的中线，是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）延长到点F，使，连接，则，而，，即可根据“”证明，则，而，由，然后可求解； （2）延长到点H，使，连接，则，而，所以，，可证明，得，，再证明，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，延长到点F，使，连接，则， ∵是的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． （2） 略 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．如图，在中，． (1)作出边，的垂直平分线，，并分别与边交于点，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，． ①若，则的周长为______． ②若，求的度数． 【答案】(1) 如图， (2)①8；② 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法画图即可； （2）①由线段垂直平分线的性质得，，，进而可求出的周长； ②先由三角形内角和求出，进而得出，进而可求的度数． 【详解】（1）解：略； （2）解：①如图， ∵点D在的垂直平分线上， ∴． 同理：， ∴的周长 ． 故答案为：8； ②∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型08 等边三角形的性质 典｜例｜精｜析 29．如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形的性质得，，再证明得到，则，然后根据三角形外角定理计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 30．如图，已知为等边三角形，点D，E分别在边，上，且，若交于点F，则的大小为___________度． 【答案】60 【分析】根据题目中的条件和等边三角形的性质可以得到和全等，从而可以得到，然后根据等边三角形的性质和三角形外角和内角的关系即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，点D，E分别在边，上，且， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 31．如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴； (2)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而得到，根据即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，进而根据三线合一得到，根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 32．综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 (3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 【答案】(1)C (2)，且， 理由：如图，设交于点， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据判定三角形全等即可； （2）设交于点，由角的和差得夹角相等，证明，得到，再通过三角形内角和定理求出，即可得到； （3）设与交于点，首先证明，得到，再通过三角形内角和定理求出； 【详解】（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； （2）略； （3）解：如图，设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 题型09 利用等边三角形的性质证明 典｜例｜精｜析 33．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 变｜式｜巩｜固 34．在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ 【答案】(1)图中有2个等边三角形 (2)能，的周长为30 (3)能，的周长为45 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据“等角对等边”得到，即可证明是等边三角形．同理证明，可得出是等边三角形； （2）由，，得到．根据角平分线的定义及平行线的性质得到，得出，同理可得，即可得到．再根据是等边三角形，即可根据等边三角形的性质求出周长； （3）根据是等边三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 综上所述，图中共有2个等边三角形． （2）解：根据（1）可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得． ∴． 根据（1）可得是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 由（1）可知是等边三角形， ∴． 35．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 36．如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵，是的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵， ∴， 又∵，且点在的内部， ∴点在的角平分线上， ∴平分． (2) 解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）已证：平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）先得出，，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）先得出，再根据平行线的性质可得，进而求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型10 等腰（等边）三角形的存在性问题 解题贴士 解决等腰、等边三角形存在性问题，优先分类讨论等腰三角形三边谁为底边。结合距离相等条件列出情况，逐一画图分析。求出边长后检验三边能否构成三角形，及时舍去不合理解。等边三角形只需满足三边相等，注意区分动点位置，防止漏解、多解，规范梳理所有可能性。 典｜例｜精｜析 37．为等边三角形，点E在边上，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，从下列①②两问中选择一个解答． ①是否存在点E，使得?若存在，求的度数；若不存在，说明理由． ②判断是否成立，并说明理由． 【答案】 ①不存在点E，使得，理由如下： 连接，设 ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，, ∴ 当时，，故， 解得：（不符合题意）． 即不存在点E，使得； ②成立，理由如下： 在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故成立． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识．①连接，设，求出，，当时，，故，解得：（不符合题意）．即可解答①；在上截取，连接，证明，得到，证明，得到，，则，即可解答②． 【详解】解：①略 ②略 变｜式｜巩｜固 38．如图，在中，，，，点为边上的中点，连接；点从点出发，以每秒2个单位长度向点运动，同时点从点出发，以同样的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，，，设运动时间为． (1)求的大小； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)在点的运动过程中，的面积是否存在最小值，若存在最小值，请求出运动时间的值；若不存在最小值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂线段最短； （1）根据等腰三角形的性质可得平分，即可得出结论； （2）先根据等腰三角形的性质求得，再根据①当时，②当时，分类讨论即可求解； （3）证明得出进而证明是等腰直角三角形，根据可得，当有最小值时，的面积是否存在最小值，进而根据，有最小值时，的面积有最小值．求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 是等腰三角形 又点为边上的中点 平分 （2）解：由题意可知： 点为边上的中点，， ①当时，则， 解得：； ②当时，则， ，， ，， ， 点为的中点， ， 当是以为腰的等腰三角形时，或 （3）由题意可知：，， ，， ， 由（1）可知：， 在和中， ， ， 是等腰三角形 ，点为边上的中点 ， 是等腰直角三角形 当有最小值时，的面积是否存在最小值 是等腰三角形 当为的中点时，，有最小值时，的面积有最小值． ，； 当时，的面积有最小值：． 39．如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点D坐标为 (2) (3)存在，，或 【分析】本题主要考查长方形的性质、三角形面积计算以及等腰三角形的存在性问题，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据题意得，，求得长方形的面积为24，根据直线能否将长方形的面积分为两部分，分别求出两部分的面积分别为8和16，设，根据三角形面积公式列式求出的面积为8和16，即可解答问题； （2）分点在上、上和上三种情况结合的面积讨论求解即可； （3）分点在上、上和上三种情况结合等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，且， ∴，， ∴长方形的面积为， 若直线将长方形面积分为两部分，则两部分面积分别为8和16． 设，则的面积为． 当的面积为8时，， 解得， 此时 当的面积为16时，， 解得（舍去）， 所以直线能将长方形面积分为两部分，点D坐标为； （2）解：当D在上时，的面积， 此时没有这样的； 当D在上时，设D运动的路程为t，则，则： 的底为，高为， 所以，面积为． 令， 解得， 所以，； 当D在上时，的面积为0，不符合要求． 综上，点D的坐标为； （3）解：∵， ∴； ①当时，，则，因为D在长方形边上，所以； ②当时，，，则． ③当时，则点在边的中点，即, 综上，点的坐标分别为，或． 40．如图1，以的两边，为边向外作等边三角形，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，连接，探究的大小； (3)如图3，若，，，，射线上是否存在一点，使也是等边三角形，若存在，试探究满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）根据等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）根据得出，进而可得，在上截取，则是等边三角形，证明，即可得出结论； （3）假设是等边三角形，证明得出，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 如图所示，设交于点， ∵ ∴ ∵ ∴ 在上截取，则是等边三角形， ∴，，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：射线上存在一点，使也是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴即， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型11 等腰三角形的旋转问题 典｜例｜精｜析 41．已知，如图，和是两个等边三角形，可以绕点A旋转，连接并延长交于点G，F为延长线上一点，连接，连接并延长交于点H，若点H为中点，时，此时______．    【答案】2 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识．过点A作交的延长线于点M，证明得到，证明，得到，证明，则，则，求出，即可得到． 【详解】解：过点A作交的延长线于点M， 则， ∵点H为中点， ∴， ∴， ∴， ∵和是两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 变｜式｜巩｜固 42．如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中 ， ． (2) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，旋转性质，对顶角，三角形外角性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． （1）根据等边三角形性质推出，求出，根据证即可； （2）根据等边三角形性质推出，根据三角形外角性质推出，求出的度数，根据对顶角相等求出即可． 【详解】（1）略 （2）证明：如图，与交于点G， ， ， ， ， ， ， ． 43．如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，． (1)求证：； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． 试猜想与的数量关系，并说明理由； 你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； (2) 解：，，理由， 如图，设与交于点，与交于点， ∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)，理由， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 能，与的夹角度数为． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键． （）由，则，证明，然后通过全等三角形性质即可求证； （）设与交于点，与交于点，同（）理证明，则有，，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）理证明，然后通过全等三角形性质即可求证； 设与交于点，由得，则，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 能，与的夹角度数为，理由， 如图，设与交于点， 由得， ∴， ∴ ， ∴与的夹角度数为． 44．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC与PE的和最小是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接BE，与AD交于点P，连接CP，则BE的长度即为PE与PC和的最小值，根据三角形的面积公式即可证出BE=AD=6，从而得出结论． 【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，连接CP， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC，BC=AC， ∴PC=PB， ∴PE+PC=PB+PE=BE，根据两点之间线段最短，BE的长就是PE+PC的最小值， ∵E是AC的中点， ∴BE⊥AC， ∵S△ABC=BC·AD=AC·BE， ∴BE=AD=6， 即PC与PE的和最小值是6． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 题型12 等腰三角形的最值问题 典｜例｜精｜析 45．如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为__________时，线段的和最小． 【答案】2 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识．作于点，连接、，由是周长为的等边三角形，求得，则，由为边上的中线，得垂直平分，则，所以，由可知当且的值最小时，的和最小，此时的和最小，所以当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小，此时，即可得出答案． 【详解】解：作于点，连接、， ∵是周长为的等边三角形， ∴ ∴ ∵为边上的中线， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴当且的值最小时，的和最小，此时的和最小， ∴当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小， ∴， 故答案为：2． 变｜式｜巩｜固 46．教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接，两点，交直线于点，此时，，共线，即． 在直线上另取任一点，连接，，在中可知， 综上所述：．故，当，，共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图，在直线的同侧分别有，两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴的对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 (1)如图3，在等边中，，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 (2)如图4，在四边形中，，，在，上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，根据题意可得都是等边的高，则，据此可得答案； （2）分别作点关于的对称点、，连接，由轴对称的性质可得，则；可证明当、、、四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出，则，进而可得． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为； （2）如图所示，分别作点关于的对称点、，连接， 由轴对称的性质可得， ∴； ∵的周长， ∴当、、、四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 47．如图，中，，以为边在外作等边三角形，过点作的垂线，垂足为，与相交于点，连接．． (1)说明：； (2)若是直线上的一点，则当在何处时，最小，并求出此时的值． 【答案】(1) 解：∵是等边三角形，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)当点与点共点时，的值最小，最小值为12 【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）首先证明，再证明即可解决问题． （2）当最小时，也就是最小，即共线时最小，推出当点与点共点时，的值最小，最小值为12． 【详解】（1）略 （2）连接． ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当最小时，也就是最小，即共线时最小， ∴当点与点共点时，的值最小，最小值为12． 48．如图，在中，，的垂直平分线与，分别相交于点E，D，连接． (1)若，则的度数为______； (2)若，的周长为14． ①求的长； ②在直线上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)30° (2)①；②存在，的最小值为8 【分析】（1）利用等腰三角形求顶角，然后利用垂直平分线得到解题； （2）①利用垂直平分线转化线段长，得到三角形的周长为解题，②当P点与D点重合时，的值最小解题． 【详解】（1）在中，， ， ， 垂直平分， ， ． 故答案为：30°． （2）①垂直平分， ． 的周长为14，， ． ． ②存在．当P点与D点重合时，的值最小，此时， ． 即的最小值为8． 【点睛】本题考查等腰三角形和垂直平分线的性质，利用垂直平分线转化线段是解题的关键． 题型13 等腰三角形的新定义问题 典｜例｜精｜析 49．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及等角对等边，大角对大边，小角对小边进行判断即可得到答案． 【详解】解：A.在直角三角形ABC中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴，即BD不是“优美线” 故选项A不符合题意； B.在中， ∴是等边三角形， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴ ∴ ∴，，即BD不是“优美线” 故选项B不符合题意； C.在中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴，即BD不是“优美线” 故选项C不符合题意； D. 在中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴，即BD是“优美线” 故选项D符合题意； 故选D 【点睛】本题主要考查了“优美线”的定义，熟练掌握“优美线”的定义是解答本题的关键． 变｜式｜巩｜固 50．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当腰是底的2倍时，底边为， ∵， ∴可以构成三角形； ②当底是腰的2倍时，底边为， ∵， ∴不能构成三角形． ∴的周长= 故答案为：． 51．定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，等腰△ABC中，若，则它的特征值k＝_____． 【答案】或 【分析】分两种情况： 为顶角或 为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，即可得到它的特征值k． 【详解】解：当为顶角时，则底角； 此时，特征值； 当为底角时，则顶角为； 此时，特征值； 故答案为或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 52．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【定义】如果一个三角形的一条角平分线和一条中线互相垂直，则称它们的交点为中垂点，该三角形为中垂三角形，这条角平分线平分的内角为中垂角． 为了更好的研究中垂三角形的一般性质，请利用特殊化策略进行探究． 【特殊图形】 (1)从下列特殊的三角形切入研究，根据定义，是中垂三角形的有________． ①等边三角形；②顶角为的等腰三角形；③三边长分别为4，4，2的等腰三角形． 【一般性质】 (2)勤思组在上述特殊的三角形中探究发现，中垂三角形的边满足特定的数量关系．如图1，在中，平分交于点，为的中线，与交于点，若，则为中垂三角形，此时的边和满足怎样的数量关系？请你写出来并说明理由． 【拓展应用】 (3)如图2，线段的长度为，在射线上取一点，使是以为中垂角的中垂三角形，作平分交于点，中垂点为点，若的面积为3，请你画出符合题意的图形（不限作图工具），在图上标注的长度（用含的式子表示），并直接写出的面积． 【答案】(1)③ (2) ，理由如下： ∵平分交于点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴； (3) 画出图形如下： 24 【分析】（1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）证明，得到，根据中线，得到，进而得到即可； （3）根据新定义，结合（2）的结论，分2种情况，画出图形，根据三角形的中线平分面积，求出面积即可． 【详解】（1）解：①如图，等边三角形，既为角平分线也为中线，也是高线， 故两两均不垂直，不符合题意； ②等腰直角三角形，既是中线也是角平分线，是角平分线，是中线， 则，， 即与均不可能垂直，不符合题意； 同理和边上的中线或的角平分线均不垂直，不符合题意； 当为角平分线，为中线， 明显不垂直，不符合题意； 同理当为中线，为角平分线时，也不符合题意； ③如图，为中线，为角平分线， ∵， ∴， ∴， 故该三角形为中垂三角形；故③符合题意； （2）解：略； （3）解：由（2）可知：当或，为中垂三角形， 对于图1：∵平分， ∴点到的距离相等， 根据同高（等高）三角形的面积比等于底边比，可知：， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵为中线， ∴， ∴， ∴； 对于图2，连接， 同理：，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 基础通关 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三边的关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况：当边长为的边为底边时；当边长为的边为腰长时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当边长为的边为底边时，两腰长， 此时三角形另两边长分别为，，能组成三角形； 当边长为的边为腰长时，另一腰长， 则底边长 ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，三角形另边长分别为，． 故选D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线，点分别在直线和上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等及平行线内错角相等的性质是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出，再利用平行线性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知、是等腰的两边且，则的周长是________． 【答案】10或11 【分析】该题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，利用非负数的性质求出a和b的值，再根据等腰三角形的定义，分情况讨论三角形的三边组成，并验证三角形不等式是否成立，从而求出周长． 【详解】解：由，根据非负数的性质，得且， 解得，． 因为是等腰三角形，且和是两边，所以有两种情况： ①当腰长为3，底边为4时，三边分别为3、3、4，满足三角形不等式（，，），周长为； ②当腰长为4，底边为3时，三边分别为4、4、3，满足三角形不等式（，，），周长为． 故答案为：10或11． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，是上的高，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，由三线合一可得，进而由等边对等角得到，再根据角的和差即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为______． 【答案】110 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：在中，，D为的中点， ，即， ，， ， ； 故答案为：． 9．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，已知在锐角中，点在上，，在线段上找一点，使得，甲、乙两人分别给出了正确的作法： 甲：作的垂直平分线交于点，则即为所求； 乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点），则即为所求． 请从以上作法中选择一种，作图并证明． 【答案】选择一种即可： 选择甲，根据题意作图，连结，如图1所示， 由题意，得， ， 在中，， ， 在中，， ． 选择乙，根据题意作图，连结，如图2所示， 由题意，得 ， ， ． 【分析】甲：由可知，是等腰三角形，是它的顶角，所以可以构造以为底角的等腰三角形即可，这里可以利用垂直平分线性质，在上找一点，使；乙：因为与互补，所以，可以在上取一点，使即可，这里可以转化为使即可． 【详解】略． 10．（2022·浙江温州·三模）如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， ， ， 又，， ； (2) 【分析】（1）利用“角边角”即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 又， ， 又， ∴， ， ． 素养提升 11．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形性质求出与的度数，再根据得到相等角，最后用三角形内角和求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据轴对称的性质得到，所以，然后结合三角形外角性质求得，再根据等腰三角形的性质求得，即可求得答案． 【详解】解：沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（2026·浙江绍兴·二模）如图，和都是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，得出对应角相等，然后利用三角形的内角和定理求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，等腰中，，，点、、、在同一直线上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等腰三角形的性质求出底角的度数；再根据等腰的性质和三角形外角的性质，求出的度数；最后同理利用等腰的性质和三角形外角的性质，求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 同理可得：． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点在的垂直平分线上，，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形中等边对等角，垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据，，求出，结合点在的垂直平分线上，以及三角形外角的性质，可求出，最终可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，已知，的角平分线交于点，交于点．若，则的度数为____________． 【答案】/20度 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，得到，进而得到，根据等腰三角形的性质，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 【答案】/105度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为_______； （2）当是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解． （2）分类讨论：当时， 当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， 故答案为：． （2）分类讨论： 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ，题干要求，故该情况不存在； 故答案为：或． 19．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． (1)若，求∠的度数． (2)若，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则； （2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴． 20．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，和均为等边三角形，点E在内，连接，． (1)证明：； (2)如图2，若点B、E、D恰好在同一条直线上，且，的面积为1，求的面积． 【答案】(1) 证明：在等边和等边中， ， ，即， ； (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）利用即可证明； （2）求得，作，垂足分别为，，利用角平分线的性质求得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：B，E，D恰好在同一条直线上， ， ， ， 又， ， 作，垂足分别为，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ， 而， ． 迁移创新 21．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是内一点，连接，，，且满足．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，设，分别表示出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ A. 不一定等于，故该选项不正确，不符合题意； B. ，， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 没有条件得出，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 22．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练利用线段的和差是解题的关键． 证明，可得，根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为，再利用线段的转换和线段的和差，最终可得，则可得的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， 根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知，在边上顺次取点，在边上顺次取点，使得，得到等腰 （1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是_________． （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是，则的度数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质，求出的度数，结合三角形内角和定理，即可判断； （2）同（1）可推出，，由得到的最后一个等腰三角形是，则需要满足且，解不等式即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵等腰三角形的底角小于， ∴等腰不存在， ∴得到的最后一个等腰三角形是； （2）设， 由（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵最后一个等腰三角形是， ∴且， 即且， 解得． 24．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）浙教版八年级配套资料《数学作业本2》有这样一道题： 7．如图，在中，．你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？．．．．．． (1)请根据题意，在图1中画出一种分法，并标出各等腰三角形内角度数． (2)小明在完成解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣．思考后提出了下列两个问题请你解答： 【问题一】如图2，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数．（示意图画在答题卡上） 【问题二】如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为___________． 【答案】(1) 画法一：若其中一个等腰三角形的顶角是，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图： 画法二：若其中一个等腰三角形的底角是，作的垂直平分线，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图： (2)问题一，如图， 问题二，或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定（等角对等边）、三角形内角和定理，运用分类讨论思想和构造法解题，关键是根据内角和与等腰三角形性质合理分割三角形，易错点在于忽略不同分割情况导致漏解； （1）需根据等腰三角形 “等角对等边”，尝试从不同顶点作线段分割，使分割后的两个三角形均满足两内角相等； （2）问题一，要构造一个与原三角形内角完全相同的小三角形，再使另一个为等腰三角形；问题二则通过设定原三角形含角，分类讨论不同分割方式下的最大内角． 【详解】（1）略 （2）解：问题一：作的角平分线，即可得解． 问题二：设：原三角形三个内角为、、 （）； 分情况讨论： 分割后一个三角形内角为、、，另一个等腰三角形 若分割后等腰三角形顶角为，则底角为； 此时原三角形最大角, 代入内角和得 符合条件，最大角为； 若分割后等腰三角形底角为， 则，即， 此时原三角形最大角， 符合条件，最大角为； 若 符合条件，最大角为； 故答案为或或． 25．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在全等三角形的学习中，同学们发现全等不仅是图形间的重要关系，更是推导线段相等、角相等的重要理论依据．基于这一知识基础，数学综合实践课上，老师组织同学们开展探究活动，进一步挖掘全等三角形在几何问题解决中的应用价值，深化对知识的理解与灵活运用． (1)【观察猜想】 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． (2)【拓展探究】 如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【解决问题】 在中，，，，为等腰直角三角形，，请求出点C到的距离． 【答案】(1)①；② (2) ，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； (3)点C到的距离为1或5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是分类讨论点C的位置． （1）①由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由角度的关系可求解； ②根据与全等即可得线段、之间的数量关系． （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，由此可得数量关系． （3）分类讨论点C在上方时与点C在下方时，添加合适的辅助线，构造全等三角形证明全等得到边与角的关系求解即可． 【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 故答案为：； ②由①知，， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）解：如图所示，当点C在上方时， 过点C作于点E，连接，在上截取． ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 设， ∴， ∵， ∴，解得，即， ∴点C到的距离为1； 如图所示，当点C在下方时， 过点C作于点E，过点C作交的延长线于点D， ∵，， ∴， 又， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，，， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 又∵， 在与中， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得，即， ∴点C到的距离为5； 综上所述，点C到的距离为1或5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $