专题 2.4 等腰三角形的判定定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦等腰三角形判定定理核心知识点，系统梳理“等角对等边”判定定理及等边三角形两种判定方法，通过对比性质（等边对等角）与判定（等角对等边）构建学习支架，明确定理适用条件与应用场景。 资料亮点在于分层设计与素养融合，基础题型夯实判定应用，综合题型（如角平分线+平行线模型）提升推理能力，课本经典测量河宽问题培养数学眼光与模型意识。同步检测分层练习助力课中教学与课后查漏，强化几何直观与应用意识。

专题 2.4 等腰三角形的判定定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形判定定理（等角对等边） 2 【知识点二】等边三角形的判定定理 2 三.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】利用等角对等边判定等腰三角形 3 【题型 2】等边三角形判定（基础应用） 3 【题型 3】课本经典模型：测量河宽问题 4 四.题型精析（综合提升） 6 【题型 4】角平分线+平行线证等腰（高频模型） 6 【题型 5】等边三角形性质与判定综合 9 【题型 6】等腰三角形性质与判定综合 10 五.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 熟练掌握等腰三角形“等角对等边”判定定理，理解并能规范书写定理证明过程。 2. 掌握等边三角形的两种判定方法，能准确判定等边三角形。 3. 清晰区分等腰三角形的性质与判定，杜绝概念混淆，精准运用定理解题。 4. 能结合平行线、角平分线、外角性质等知识，解决等腰三角形综合证明与计算问题。 （二）重难点 重点：等腰三角形“等角对等边”判定定理的理解与应用；等边三角形的判定方法。 难点：性质与判定的辨析运用；含60°角等腰三角形的分类讨论；几何综合推理证明。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形判定定理（等角对等边） 定理内容：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 简称：等角对等边。 【要点辨析】性质 vs 判定 1. 性质（等边对等角）：边相等 → 推角相等，用于已知等腰，求角度、证角相等； 2. 判定（等角对等边）：角相等 → 推边相等、证等腰，用于未知等腰，判定三角形形状。 【要点提示】定理仅适用于同一个三角形，跨三角形边角关系不能使用。 【知识点二】等边三角形的判定定理 判定方法1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。 推导：三角形内角和180°，三角相等则每个内角均为60°，三边对应相等，为等边三角形。 判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 分类推导： ① 若60°为顶角：两底角=(180°−60°)÷2=60°，三角均为60°； ② 若60°为底角：另一底角为60°，顶角=180°−60°−60°=60°，三角均为60°。 【要点提示】仅有一个角为60°的普通三角形，不能判定为等边三角形，必须满足等腰前提。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用等角对等边判定等腰三角形 【例题1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【变式1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，若，，平分，则图中共有______个等腰三角形． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点在边上，连接，，的角平分线交于点，交于点，求证：． 【题型 2】等边三角形判定（基础应用） 【例题2】（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，点，在上，． （1）求证：； （2）若，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为_______三角形． 【变式3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【题型 3】课本经典模型：测量河宽问题 【例题3】（23-24八年级上·福建龙岩·期中）一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A，B之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线成角的方向前进至C，在C处测得．量出的长，它就是河的宽度（即点A，B之间的距离）．这个方法正确吗？请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为，停放的小车可近似看成长方形，如图2所示．已知，车长约为5米，宽约为2米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长至少为_____米．（    ） A． B． C．7 D． 【变式2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）据《荆门州志》记载，竹皮河古时称“权水”，绕城区段称“蒙水”，下游称竹陂河，后来才演变成“竹皮河”．现在是附近居民散步休闲的好去处，为了测量竹皮河某一段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组测得米，则河宽为 米； （2）第二小组认为只要测得的长度就能得到河宽．你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）除上述方法外，请你运用所学知识再设计一种方案对河宽进行测量（画出示意图，并写出简要步骤和原理）． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】角平分线+平行线证等腰（高频模型） 【例题4】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作BC平行线交于、E． （1）请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，的平分线分别交过顶点A的的平行线于点E，D．若，则的长为_______ 【变式3】（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务： （1）在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． （2）在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． （3）如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型 5】等边三角形性质与判定综合 【例题5】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【变式1】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，已知四边形是平行四边形，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作： ①连接，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、； ②作直线，分别交、、于点、、，连接、．若，平分，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． （1）①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ （2）若连接，试判断的形状． （3）与在位置上有什么关系？ 【题型 6】等腰三角形性质与判定综合 【例题6】（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，求证：． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，中，，平分交于D，点E在的延长线上，满足，若，，则线段的长为_________． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 2．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，是线段的中垂线．下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 8．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 9．（25-26八年级上·全国·期末）若a，b，c为的三边，且关于x的二次三项式为完全平方式，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．只有两边相等的等腰三角形 10．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，若，则的长为________． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点做，分别交、于点、，则的周长是___________． 13．（25-26九年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图所示，直线，直线分别与，相交于点A，B．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则线段的长为________ ． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，有一根长米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 17．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是（ ）平方厘米． 18．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，当最小时，的度数为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·浙江·阶段检测）一艘轮船从港口出发，以10海里/时的速度向正北航行，从港口A处测得一礁石C在北偏西方向上，若这艘船上午从港口A出发到达小岛B，此时在小岛B测得礁石在北偏西方向上． （1）画出礁石的位置； （2）求出小岛距礁石多远． 22．（本小题满分10分）（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． （1）试判定的形状，并说明你的理由； （2）若，求的周长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）连接交于点，若，，求的长． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山东聊城·期末）【初步探究】 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 如图1，当点为的中点时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 以下是探究此问题时，小亮和小莹的思路： 小亮说：相等，可以利用“三线合一”的性质，将转化为，……； 小莹说：相等，可以过点作的平行线，构造全等三角形，⋯⋯． （1）请结合以上信息，写出此题目的完整解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）在等边三角形中，点在边的延长上，点在线段上，且，若的边长为6，，请你在图3中补全图形，并直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 等腰三角形的判定定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形判定定理（等角对等边） 2 【知识点二】等边三角形的判定定理 2 三.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】利用等角对等边判定等腰三角形 3 【题型 2】等边三角形判定（基础应用） 5 【题型 3】课本经典模型：测量河宽问题 8 四.题型精析（综合提升） 12 【题型 4】角平分线+平行线证等腰（高频模型） 12 【题型 5】等边三角形性质与判定综合 18 【题型 6】等腰三角形性质与判定综合 23 五.同步检测 28 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 40 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 熟练掌握等腰三角形“等角对等边”判定定理，理解并能规范书写定理证明过程。 2. 掌握等边三角形的两种判定方法，能准确判定等边三角形。 3. 清晰区分等腰三角形的性质与判定，杜绝概念混淆，精准运用定理解题。 4. 能结合平行线、角平分线、外角性质等知识，解决等腰三角形综合证明与计算问题。 （二）重难点 重点：等腰三角形“等角对等边”判定定理的理解与应用；等边三角形的判定方法。 难点：性质与判定的辨析运用；含60°角等腰三角形的分类讨论；几何综合推理证明。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形判定定理（等角对等边） 定理内容：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 简称：等角对等边。 【要点辨析】性质 vs 判定 1. 性质（等边对等角）：边相等 → 推角相等，用于已知等腰，求角度、证角相等； 2. 判定（等角对等边）：角相等 → 推边相等、证等腰，用于未知等腰，判定三角形形状。 【要点提示】定理仅适用于同一个三角形，跨三角形边角关系不能使用。 【知识点二】等边三角形的判定定理 判定方法1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。 推导：三角形内角和180°，三角相等则每个内角均为60°，三边对应相等，为等边三角形。 判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 分类推导： ① 若60°为顶角：两底角=(180°−60°)÷2=60°，三角均为60°； ② 若60°为底角：另一底角为60°，顶角=180°−60°−60°=60°，三角均为60°。 【要点提示】仅有一个角为60°的普通三角形，不能判定为等边三角形，必须满足等腰前提。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用等角对等边判定等腰三角形 【例题1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【答案】解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ， ，． ． ． 是等腰三角形． 【分析】由平分，得；由，根据平行线的同位角、内错角相等，得，．等量代换得，由等角对等边得，故是等腰三角形． 解：略 【变式1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，若，，平分，则图中共有______个等腰三角形． 【答案】/三 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，根据题意分别求得，进而根据等角对等边判断等腰三角形，即可求解． 解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴，即是等腰三角形， 又∵ ∴，即是等腰三角形． 综上所述，共有个等腰三角形， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点在边上，连接，，的角平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】证明：∵平分角， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【分析】由角平分线得到，再由推出，再利用三角形的外角性质证明，进而推出． 解：略 【题型 2】等边三角形判定（基础应用） 【例题2】（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，点，在上，． （1）求证：； （2）若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断和等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确； “三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确； “有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误； “有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为_______三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果． 解：∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵a，b，c为的三边长， ∴，即 ∵a是方程的解 ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【变式3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：平分，，， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由（）可知， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查了角平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由角平分线性质可得，然后通过等边对等角即可求证； （）由，，可得，所以，由（）可知，从而可得，则有，最后由等边三角形的判定方法即可求证． 解：（1）略 （2）略 【题型 3】课本经典模型：测量河宽问题 【例题3】（23-24八年级上·福建龙岩·期中）一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A，B之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线成角的方向前进至C，在C处测得．量出的长，它就是河的宽度（即点A，B之间的距离）．这个方法正确吗？请说明理由． 【答案】这一方法正确．理由见分析 【分析】根据三角形外角的性质求出，进而得出，最后根据“等角对等边”得出答案． 解：这一方法正确．理由如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，掌握三角形外角的性质是解题的关键．即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 【变式1】（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为，停放的小车可近似看成长方形，如图2所示．已知，车长约为5米，宽约为2米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长至少为_____米．（    ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】等腰直角三角形的性质，根据题意得出米，进而即可求解． 解：在中，，米． ∴（米）． 【变式2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，则，则，此时P点到A与B的距离和最小，过作，延长与交于点M，则，得到，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案． 解：作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P， ∴， ∴，此时P点到A与B的距离和最小， 过作，延长与交于点M， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与C点的距离是， 故答案为： 【点拨】此题考查了轴对称最短路径问题，还考查了等腰直角三角形的判定和性质，按照要求正确作图是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）据《荆门州志》记载，竹皮河古时称“权水”，绕城区段称“蒙水”，下游称竹陂河，后来才演变成“竹皮河”．现在是附近居民散步休闲的好去处，为了测量竹皮河某一段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组测得米，则河宽为 米； （2）第二小组认为只要测得的长度就能得到河宽．你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）除上述方法外，请你运用所学知识再设计一种方案对河宽进行测量（画出示意图，并写出简要步骤和原理）． 【答案】（1）；（2）解：我认为第二小组的方案可行，理由如下： 由题意得，，， 在和中， ∴， ， ∴只要测得的长度就能得到河宽； （3）解：如图，观察者从点向东走到点，此时恰好测得， 由题意得，，， ， ， 即要知道河宽，只需要知道线段的长度． 【分析】（）利用三角形外角性质求出，进而根据等腰三角形的性质即可求解； （）证明即可说明理由； （）利用等腰直角三角形的性质解答即可求解； 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：； （2）略 （3）略 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】角平分线+平行线证等腰（高频模型） 【例题4】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作BC平行线交于、E． （1）请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【答案】（1），理由如下： ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）， 证明：∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边： （1）和的平分线相交于点O， ，所以， 进而，即可求解； （2）和的平分线相交于点O，所以，过O点作平行线交于D、E．得，进而即可求解； 解：（1）略 （2）略 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，的平分线分别交过顶点A的的平行线于点E，D．若，则的长为_______ 【答案】21 【分析】本题综合考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质． 由平行线的性质、角平分线的性质推知，则．同理可得，所以线段的长度转化为线段、的和． 解：， ． 平分， ， ， ． 同理可得：， ． 故答案为：21． 【变式3】（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务： （1）在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． （2）在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． （3）如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明：过点作于点，如图 ， ． ， ． ． ， ∴是等腰三角形 ； （3）解： 理由如下：过点作交的延长线于点． 答图2为等边三角形， ． ， ． 为等边三角形． ． ，即． ， ． 又， ． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，平行线的性质，推出，进而得到，均为等腰三角形； （2）过点作于点，三线合一，结合平行线的性质，推出，即可得证； （3）过点作交的延长线于点，推出为等边三角形，进而得到，推出，三线合一，即可得证． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （2）略 （3）略 【题型 5】等边三角形性质与判定综合 【例题5】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）；（2）证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． （1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 【变式1】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，已知四边形是平行四边形，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作： ①连接，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、； ②作直线，分别交、、于点、、，连接、．若，平分，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知是的垂直平分线，所以可得，，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，即可得出答案． 解：由作图可知是的垂直平分线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， ， ∴， 是等边三角形， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 【答案】/75度 【分析】先证明是等边三角形，，然后求出的度数，再由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 解：∵是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． （1）①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ （2）若连接，试判断的形状． （3）与在位置上有什么关系？ 【答案】（1）①证明：∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； （2）为等边三角形 （3） 【分析】（1）①由等边三角形的性质得到，则可利用证明；可证明，，则可证明，同理可证明； （2）由（1）得，，则，据此可证明为等边三角形； （3）可证明，得到． 解：（1）①略； ②解：∵， ∴， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明； （2）解：如图所示， 由（1）得，， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：由（2）得为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【题型 6】等腰三角形性质与判定综合 【例题6】（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，求证：． 【答案】（1）证明：， ． ， ， ． ． ． ． （2）证明：如图，过点作于点， ， ， ． ，， ． 是的中点， ． ， ． ． ， 【分析】（1）由得，，由得，证得，进一步可得结论． （2）过点作于点，则可证明，再证明，得，得出，故可得结论． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，根据一线三垂直模型证得，得到，套用三角形面积公式即可求解． 解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为边上的高，是等腰三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，中，，平分交于D，点E在的延长线上，满足，若，，则线段的长为_________． 【答案】10 【分析】延长到M，作于H．首先证明，推出，再证明，然后问题可求解． 解：延长到M，作于H，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）解：①，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ，， ， ， ， ， ， 综上：， ② 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）①证明，进一步利用全等三角形的性质证明即可；②由，可得，证明，可得，再进一步求解即可． （1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，，， ∴； （2）证明：①略 ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 2．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，根据三线合一得出，，即可判断． 解：∵， ∴， 又D为的中点， ∴，，， 故A、C、D选项正确，但不符合题意； B选项无法证明，故错误，符合题意． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形与等边三角形的判定和性质，利用“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”的结论即可求解. 解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴. 5．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，是线段的中垂线．下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识．根据线段垂直平分线的性质得到，，则，即可判断选项． 解：∵是线段的中垂线． ∴，， ∴， 但无法推出，故选项D不正确， 故选：D. 7．（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由和角平分线的性质可得，根据等角对等边得出，再由线段的和差关系可得的值． 解：∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点F，G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 8．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 9．（25-26八年级上·全国·期末）若a，b，c为的三边，且关于x的二次三项式为完全平方式，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．只有两边相等的等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，三角形的分类，由于二次三项式为完全平方式，得到，由此得出关于a、b、c的方程，进而推导出． 解：∵ 二次三项式 为完全平方式， ∴， 展开得， 简化得 ， 两边乘以2得， ∴， ∴， ∵ 平方项非负， ∴ ，，，即 ， ∴ 为等边三角形． 故选：B． 10．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点做，分别交、于点、，则的周长是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等角对等边，角平分线的定义，平行线的性质，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，再根据三角形周长计算公式列式求解即可． 解：∵与的平分线交于点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ， 故答案为：． 13．（25-26九年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图所示，直线，直线分别与，相交于点A，B．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则线段的长为________ ． 【答案】 【分析】由得到，根据作图步骤得到，进而得到，即可得到． 解：∵， ， 根据作图步骤可知平分， ， ， ． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 【答案】或 或 或或 【分析】根据等边三角形的判定，解答即可； 解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填或； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，也可以填或或． 15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，有一根长米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质． 求出，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出的长． 解：由图可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为：． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解决本题的关键在于根据等腰三角形的性质和已知条件求出的度数． 需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为求解角度即可． 解：， ，， ①当时，， ，此时不符合； ②当时，即， ， ； ③当时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时， 的度数是或． 故答案为：或． 17．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是（ ）平方厘米． 【答案】32 【分析】根据折叠易得，长，利用等腰直角三角形的性质求得的长度，的面积． 解：由折叠的性质知，第二个图中，， ∴， 第三个图中， ∴，则， ∴， ∴的面积（平方厘米）． 18．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，当最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小，过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，利用三角形外角的性质得到，进而得到，可知，求出即可． 解：如图，连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图，过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识，数形结合是关键，根据角平分线的定义，平行线的性质得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 解：略 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：平分 ， ， ， ， ； （2） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 解：（1）略 （2）解：， ， ，F是的中点， ． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·浙江·阶段检测）一艘轮船从港口出发，以10海里/时的速度向正北航行，从港口A处测得一礁石C在北偏西方向上，若这艘船上午从港口A出发到达小岛B，此时在小岛B测得礁石在北偏西方向上． （1）画出礁石的位置； （2）求出小岛距礁石多远． 【答案】（1）见分析；（2）20海里 【分析】本题考查作图，方向角，三角形外角性质，等腰三角形的判定，理解方向角的定义，掌握等角对等边的性质是解题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）由题意和图形可以得到，则，因此求出的长即可． （1）解：根据题意，画出图形如下： （2）解：由题意，得，， ∴， ∴， ∴（海里）， 答：小岛B与礁石C的距离为20海里． 22．（本小题满分10分）（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． （1）试判定的形状，并说明你的理由； （2）若，求的周长． 【答案】（1）是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ，， ，， 为等边三角形． （2）10 【分析】（1）证明，证明，，即可解决问题． （2）证明，同理可证；即可解决问题． 解：（1）略 （2）解：平分，， ，， ， ， 同理可证； 的周长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； （2） 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山东聊城·期末）【初步探究】 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 如图1，当点为的中点时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 以下是探究此问题时，小亮和小莹的思路： 小亮说：相等，可以利用“三线合一”的性质，将转化为，……； 小莹说：相等，可以过点作的平行线，构造全等三角形，⋯⋯． （1）请结合以上信息，写出此题目的完整解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）在等边三角形中，点在边的延长上，点在线段上，且，若的边长为6，，请你在图3中补全图形，并直接写出的长． 【答案】（1）小亮的说法： ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小莹的说法： 如图所示，过点作， ∵三角形是等边三角形，即， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 如图所示，过点作，同理，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ， ∴； （3）根据题意，补全图形如下， ． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． （1）小亮的说法：根据“三线合一”得到，再根据等边对等角，三角形外角的性质得到，，等量代换即可求解； 小莹的说法：如图所示，过点作，可得是等边三角形，，证明，得到，再证明，等量代换即可求解； （2）如图所示，过点作，同理，，则是等边三角形，，证明，得，即可求解； （3）根据题意作图，过点作，交延长线于点，可得是等边三角形，，，，即，再证明，，由此即可求解． 解：（1）略 （2） 略 （3）过点作，交延长线于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $