第6讲 几何图形初步的拓展 奥数培优讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

人教版初中数学竞赛培优讲义 ★ 第6讲 几何图形初步的拓展 人教版初中七年级上册奥数培优讲义 第 6 讲　几何图形初步的拓展 —— 立体图形 · 线段与角 · 几何计数 · 最短路径 —— 【课程信息】 项目 内容 适用年级 初中七年级（人教版上册学段） 专题名称 几何图形初步的拓展（第6讲） 难度星级 ★★★★☆（竞赛培优 · 拓展篇） 建议课时 3 课时（约 120 分钟），建议分三次完成 前置知识 几何图形、直线射线线段、角、余角与补角（教材第四章） 本讲重点 展开图与三视图、线段中点与分类讨论、角平分线与钟表角度、几何计数 本讲难点 三视图还原计数、钟表夹角公式、立体表面最短路径 核心方法 空间想象、分类讨论、方程思想、转化思想（化立体为平面）、相对运动思想 本讲亮点 10 道原创例题（含动点方程、圆柱表面最短路等综合题）+ 15 道分层原创习题，每题配"思路分析—解答—方法点睛—变式训练"四段式详解 【学习目标】 1. 认识立体图形与平面图形的联系，掌握正方体展开图"141 / 231 / 222 / 33"四种基本形态及相对面判断方法，能准确完成展开图与折叠还原的互推。 2. 掌握三视图（正视图、左视图、俯视图）的画法与读法，会用"俯视打底、分层填数"法确定几何体所需小正方体的最少与最多个数。 3. 掌握线段中点、n 等分点的性质，能对"点在直线上 / 线段上 / 延长线上"三种情形分类讨论，解决线段长度计算与动态问题。 4. 掌握角平分线的性质与角的和差计算，会用"设未知数、列方程"处理比例型角度问题，理解两条角平分线夹角与原角的关系。 5. 掌握钟表问题的核心规律（时针每分钟走 、分针每分钟走 ），会求任意时刻两针夹角及两针重合、垂直的时刻。 6. 理解几何计数的基本原理，掌握线段、角的计数公式与直线交点、直线分平面的计数公式，体会组合数学的入门思想。 7. 掌握余角、补角的性质及折叠问题中"折痕即角平分线"的作用，会用"两点之间线段最短"解决立体表面最短路径问题。 8. 综合运用：能把线段上的动点问题转化为方程求解，会区分"相遇前、相遇后"两种状态列式，并能对圆柱、长方体等立体图形选择最优展开方式求最短路径。 【前言】 【数学史话】几何学的起源 "几何"一词源于希腊语 geo（土地）+ metria（测量），本义是"丈量土地"。古埃及人因尼罗河洪水泛滥后需要重新划分田地，发展出最早的几何知识；古希腊数学家欧几里得集前人之大成，写成《几何原本》，建立起从公理出发的演绎体系。我国先秦典籍《墨经》中也有"平，同高也""圜，一中同长也"等几何命题，与古希腊几何交相辉映。今天我们要研究的正方体展开图、线段中点、角平分线，正是这门古老学科的入门基石。 【问题思考】 想一想：(1) 一个正方体有 6 个面、12 条棱、8 个顶点。把它沿棱剪开铺平，能得到多少种不同的展开图？(2) 从正面、左面、上面看同一个物体，看到的图形一定相同吗？(3) 钟面上 3 点整，时针与分针的夹角是多少度？9 点半呢？(4) 一只蚂蚁在正方体表面爬行，从一个顶点到相对的顶点，最短路线一定是"走直线"吗？ 动手试一试：用硬纸板剪一个"141"型展开图（中间四个方格连成一排，上下各一个方格错开），沿折痕围拢，验证它能否拼成一个正方体；再试着改动其中一格的位置，观察哪些改动会"拼不起来"。这种"先剪后折"的实验，是培养空间想象最直接的方式。 【单元地位】为什么学这一讲？ 几何是初中数学的"另一半天地"。七年级上册第四章《几何图形初步》第一次系统地建立点、线、面、体的概念，是后续相交线与平行线、三角形、全等、相似、圆等全部几何内容的地基。本讲在教材基础上做竞赛拓展：以空间想象（展开图、三视图）打开立体视角，以线段与角的计算锤炼几何直觉，以几何计数埋下组合思想种子，为八年级的几何证明做好直观铺垫。 一、知识导航（六大考点） 图1 本讲知识地图：六大考点一条主线 本讲六大考点环环相扣：先从"体"上建立空间感（考点1），再到"线"（考点2）与"角"（考点3、4）的度量计算，随后用计数方法统观图形（考点5），最后以最短路径收束（考点6）。建议按考点顺序依次学习。 ◆ 考点1　立体图形与展开图（空间想象的起点） 正方体展开图共有 11 种，可归为四类：第一行 1 个、中间 4 个、第三行 1 个的"141"型（6 种）；"231"型（3 种）；"222"型（1 种）；"33"型（1 种）。 相对面判断"两步法"：① 同一行（列）中隔一个面的两个面相对；② 不在同一行（列）时，找"Z"字形两端，两端相对。折叠还原可用"指定底面、逐面翻折"验证。 三视图：正视图（从前向后看）、左视图（从左向右看）、俯视图（从上向下看）。由三视图还原立体图形，常用"俯视打底、正左定高、分层填数"法。 展开图"一眼排除"：出现"田"字形（4 格围成 2×2）或"一"字形超过 4 格连排时，必不能折成正方体；验证是否共面或重叠是快速判断的关键。 三视图的对应关系："长对正、高平齐、宽相等"——正视图与俯视图等长，正视图与左视图等高，左视图与俯视图等宽。还原时先用俯视图定位置，再用正、左视图定高度。 展开图类型 结构示意 种数 "141"型 上1格 + 中4格 + 下1格 6 种 "231"型 上2格 + 中3格 + 下1格 3 种 "222"型 三行各 2 格（楼梯状） 1 种 "33"型 两行各 3 格（错开一列） 1 种 ◆ 考点2　线段与中点（度量的基本功） 线段公理：两点之间，线段最短；两点确定一条直线。 中点：点 M 是线段 AB 的中点 ⟺ 。n 等分点同理把线段分成 n 等份。 直线上有 n 个点时，以这些点为端点的线段数为 条。 分类讨论：题中只说"点 C 在直线 AB 上"时，C 可能在线段 AB 上，也可能在延长线上，必须画图分情形讨论。 中点叠加结论：若 M、N 分别是线段 AC、BC 的中点，则 ——C 在 AB 内部取"＋"（MN 等于 AB 一半），C 在 AB 外部取"−"，可作快速检验。 动点问题：点沿线段运动时，用"路程 = 速度 × 时间"表示位置，再按相遇前后分段列式，本质是把几何问题转化为代数方程。 ◆ 考点3　角与角平分线（60 进制的世界） 角的度量是 60 进制：，。换算时注意进位与借位。 角平分线：OC 平分 ∠AOB ⟺ 。 比例型角度：若 ∠AOC : ∠COB = m : n，设 ∠AOC = mx、∠COB = nx，由总角列方程求解——方程思想入几何。 两条角平分线夹角定理：若 OE、OD 分别平分 ∠AOC、∠COB（两角共边 OC 且分居两侧），则 。 余角与补角：和为 的两个角互余，和为 的两个角互补；同角（或等角）的余角相等、补角相等，是后续几何证明的常用依据。 度分秒混合运算示范：，先分相加 ，满 60 进 1° 得 ；减法借位时把 1° 拆成 60′。 ◆ 考点4　钟表与角度（动点问题初体验） 指针速度：分针每分钟走 ，时针每分钟走 ，分针相对时针每分钟多走 。 夹角公式：x 时 y 分时，两针夹角为 （x 取 0~11）；若结果大于 ，取 减去该值。 重合 / 垂直 / 反向：先求整点夹角，再以相对速度 /分列方程求解。 整点时刻速查：12 点 0°、3 点 90°、6 点 180°、9 点 90°，可作为估算基准；例如求 9 点 15 分夹角，先算 ，超过 180°，取 。 钟表问题本质是"圆周上的追及问题"：把 360° 看成一周，两针的角速度差恒定，故任何"再过多少分钟重合 / 垂直"都归结为解一元一次方程。 ◆ 考点5　几何计数（组合思想入门） 线段计数：n 个点（任意三点不共线）确定线段 条；从一个顶点出发的 n 条射线构成角 个。 直线交点：n 条直线两两相交，最多有 个交点（任意两条交于一点，且无三线共点）。 直线分平面：n 条直线最多把平面分成 部分——第 k 条直线最多被前 k-1 条分成 k 段，每段把所在区域一分为二，故增加 k 个区域。 特殊情形计数：若 n 条直线中有 m 对平行，交点总数在原基础上每对减少 1 个；分平面数则须逐条加入，被第 k 条直线分成的段数 = 它与其他直线的交点个数 + 1。 计数通法："先选对象，再定组合"——数线段任取两点、数交点任取两线、数三角形任取三点，全部归结为组合数 ，注意避免重复与遗漏。 ◆ 考点6　余角补角与最短路径（转化的妙用） 余角：和为 的两个角互为余角；补角：和为 的两个角互为补角。同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 折叠（翻折）的本质是轴对称：① 折痕是对应点连线的垂直平分线；② 折痕平分对应角（∠AEF = ∠A′EF）。 立体表面最短路径：把立体图形的表面展开成平面，再作两点间的线段，用勾股定理求长度；若展开方式不唯一，需比较后取最小。 展开策略：正方体任取两相邻面展开即可（对称性保证结果相同）；长方体须比较三种展开（沿长+宽、长+高、宽+高三条棱分别展开）；圆柱沿母线展开成矩形，两点水平距离取"沿弧的最短弧长"。 二、易错辨析（10 个高频陷阱） 常见错误 正确做法 凭"隔一个"就判断相对面，忽略"Z 字两端" 相对面两类位置：同行（列）隔一个面；"Z"字形两端。两种都要会找，必要时折叠验证。 三视图求块数只看一个方向，漏掉行列约束 俯视图打底，正视图限列高、左视图限行高，先定最少再算最多，逐格取约束的交集。 "点在直线 AB 上"只当在线段上算 "直线 / 射线 / 线段"是分类讨论信号：点在线段上、在延长线上要分别画图计算。 角平分线只当"等分线"用，忽视相等关系 OC 平分 ∠AOB ⟺ ∠AOC = ∠COB = ∠AOB 的一半，两个相等角必须同时成立。 度分秒按十进制换算 角的度量是 60 进制：1° = 60′，1′ = 60″；如 45′ = 0.75°，35°42′ + 24°58′ = 60°40′。 钟表夹角把 5.5°/分当成某一指针速度 分针 6°/分、时针 0.5°/分；5.5°/分是两者的相对速度，用于求重合、垂直所经时间。 计数时重复或遗漏交点 每对直线恰交一点：n 条直线交点数为 n(n−1)/2（每条与其余 n−1 条交 n−1 次，再除以 2）。 折叠题不会用"折痕即角平分线" 折叠前后图形全等，对应角相等，折痕平分对应角；配合等腰三角形与平角 180° 列式求解。 判断展开图只看形状，不检查"共面重叠" 出现"田"字形（2×2 四格）或 6 格一字排开必不能折成正方体；141/231/222/33 四类之外基本可排除。 动点问题只算相遇前，漏掉相遇后的状态 动点分段：相遇前 PQ = AB − (v1+v2)t，相遇后 PQ = (v1+v2)t − AB，两段都要用"距离差"重新列式。 三、典例精讲（10 道原创例题） 每题按"题目 → 思路分析 → 解答 → 方法点睛 → 变式训练"五步展开。建议先独立动笔，再对照解析；方法与结论（红色标记处）务必整理进笔记本。 例1【空间想象】正方体展开图中的相对面（考点1） 题目：一个正方体的六个面分别写着数字 1、2、3、4、5、6，展开图如图2所示。求：(1) 与数字"1"相对的面上的数字；(2) 与数字"5"相对的面上的数字。 【思路分析】 相对面是"隔着正方体内部"的一对面，在展开图中表现为两类位置：① 同一行（列）中相隔一个面的两个面；② 呈"Z"字形的两端。把展开图折回正方体即可验证。 【解答】 (1) 观察展开图："1"所在行（中行）为 6、1、2、3。"1"与"3"之间恰好隔一个面"2"，故与"1"相对的面上的数字是 3。 (2) "5"位于上行、"4"位于下行，二者呈"Z"字形两端，故与"5"相对的面上的数字是 4。 （校验：剩余一面"6"与"2"同行相隔"1"，相对，与折纸验证一致。） 【方法点睛】 展开图找相对面"两步法"：① 同行（列）隔一个面必相对；② 不在同行（列）时找"Z"字两端。用"141"型记住口诀——中间一行四个面围成一圈，首尾相对、相邻相对。 【变式训练】 变式：正方体展开图改为"231"型：第一行 2 格、第二行 3 格、第三行 1 格，已知中间三个格依次为 1、2、3。求与"2"相对的面上的数字能否确定？说明理由。 【变式解答】不能唯一确定。因为"2"的相邻面可能是 1、3 及两个未知面，无法仅凭位置确定其相对面，需补充其他面的数字。 例2【空间想象】三视图确定小正方体的个数（考点1） 题目：用小正方体搭成一个立体图形，从正面看、从左面看、从上面看的形状分别如图3(a)(b)(c)所示（俯视图为 3×3 的底层网格，正视图三列高度依次为 2、1、2，左视图三行高度依次为 1、2、2）。搭成这个立体图形至少需要多少个小正方体？最多呢？ 【思路分析】 以俯视图为"底层地图"，每个格子至少放 1 个小正方体；正视图限制每一列的"最高层数"，左视图限制每一行的"最高层数"。先求最少（让增高的格子尽量重合），再求最多（每格取行列约束的最小值）。 【解答】 最少：俯视图 9 格各放 1 个，共 9 个。正视图要求第 1、3 列各至少有一个 2 层（补 2 个），左视图要求第 2、3 行各至少有一个 2 层（补 2 个）。把第 1 列的 2 层放在第 2 行、第 3 列的 2 层放在第 3 行，使列需求与行需求重合，只需补 2 个。故最少为 个。 最多：每一格的层数不超过"所在列的正视高度"与"所在行的左视高度"中的较小者。逐格计算： 第1行：； 第2行：； 第3行：。 最多为 个。 【方法点睛】 三视图还原计数三步：① 俯视打底（每格 ≥1）；② 正视定列高、左视定行高；③ 最少 = 底数 + 必要增层（尽量重合），最多 = 每格取 min(列高, 行高) 后求和。 【变式训练】 变式：若正视图三列高度改为 2、2、1，左视图不变，最少与最多分别是多少？ 【变式解答】最少 11 个（第 1、2 列的增层分别与第 2、3 行重合）；最多 个。 例3【分类讨论】线段中点的双解问题（考点2） 题目：已知线段 AB = 12 cm，点 C 在直线 AB 上，且 AC = 2BC，点 M 为 AC 的中点。求 AM 的长。 【思路分析】 "点 C 在直线 AB 上"是分类讨论信号：C 可能在线段 AB 上，也可能在 AB 的延长线上。分别画出图形，用方程求出 AC，再取中点。 【解答】 情形一：C 在线段 AB 上。此时 ，又 ，所以 ， cm， cm。M 为 AC 的中点，故 cm。 情形二：C 在 AB 的延长线上（B 的右侧）。此时 ，又 ，所以 ， cm， cm。 故 cm。 综上所述，AM 的长为 4 cm 或 12 cm。 【方法点睛】 ① 见到"直线 / 射线 / 线段"务必分类；② 中点问题先画图、用字母表示线段、列方程；③ 常用结论：M、N 分别为 AC、BC 中点时，（C 在内部取"＋"，C 在外部取"−"）。 【变式训练】 变式：AB = 16 cm，点 C 在直线 AB 上，AC = 3BC，M 为 AB 的中点，N 为 BC 的中点，求 MN。 【变式解答】C 在线段 AB 上时，BC = 4，AC = 12，MN = AN − AM = 14 − 8 = 6 cm；C 在 B 右侧时，BC = 8，AC = 24，MN = AN − AM = 20 − 8 = 12 cm。故 MN = 6 cm 或 12 cm。 例4【几何计数】数线段与数交点（考点2、5） 题目：(1) 直线 l 上有 2026 个不同的点，以这些点为端点，一共可以组成多少条不同的线段？(2) 平面内有 n 条直线，最多有多少个交点？最多把平面分成多少部分？ 【思路分析】 (1) 任意两个点确定一条线段，问题转化为"从 2026 个点中任取 2 个"的组合数。(2) 每对直线至多交于一点；分平面用"逐条加入"的增量思想。 【解答】 (1) 线段条数 条。 (2) 每一条直线与其他 条直线各有一个交点，共计数 次，但每个交点被两条直线重复计数，故最多交点数为 个。 分平面：第 k 条直线最多被前面 k−1 条直线分成 k 段，每段把所在区域一分为二，增加 k 个区域。 故最多部分数 。 【方法点睛】 几何计数的核心是"先定对象、再选组合"：线段 = 任意两点；交点 = 任意两线；n 个点（任意三点不共线）确定三角形数为 。注意除以 2 消除重复计数。 【变式训练】 变式：平面内有 n 个点，任意三点不共线，最多可以确定多少条直线、多少个三角形？ 【变式解答】直线 条，三角形 个。 例5【方程思想】比例角与角平分线（考点3） 题目：如图5，∠AOB = 90°，射线 OC 在 ∠AOB 内部，且 ∠AOC : ∠COB = 2 : 3，OD 平分 ∠COB，OE 平分 ∠AOC。求：(1) ∠COD 的度数；(2) ∠DOE 的度数。 【思路分析】 比例型角度设未知数：设 ∠AOC = 2x、∠COB = 3x，由 ∠AOB = 90° 列方程；角平分线把角一分为二，逐角求出。 【解答】 (1) 设 ∠AOC = 2x，∠COB = 3x，则 ，解得 。所以 ∠COB = 54°，又 OD 平分 ∠COB，故 。 (2) ∠AOC = 36°，OE 平分 ∠AOC，故 ∠COE = 18°。所以 。 （另解：OE、OD 分别平分 ∠AOC、∠COB，故 ∠DOE 恒等于 ∠AOB 的一半，即 45°。） 【方法点睛】 ① 比例角用"设 x、列方程"破题；② 两条角平分线（两角共边且分居两侧）的夹角等于原角的一半，可作快速检验；③ 若 OC 在 ∠AOB 外部，要重新分类。 【变式训练】 变式：∠AOB = α，射线 OC 在 ∠AOB 内部，∠AOC : ∠COB = 1 : 2，OD 平分 ∠AOC，求 ∠DOB（用 α 表示）。 【变式解答】。 例6【动态角度】钟表上的夹角问题（考点4） 题目：(1) 3 点 20 分时，钟面上时针与分针所成的较小夹角是多少度？(2) 从 2 点整开始，经过多少分钟，分针与时针第一次重合？ 【思路分析】 抓住指针速度：分针 /分、时针 /分。(1) 以 3 点整（夹角 90°）为起点，20 分钟内分针相对时针多走 度，作差取绝对值。(2) 2 点整夹角 60°，分针相对时针以 /分追赶。 【解答】 (1) 3 点整两针夹角为 90°。20 分钟里，分针相对时针多走 ，故 3 点 20 分时夹角 。 (2) 2 点整两针夹角为 60°。设经过 x 分钟重合，则分针追上时针：，解得 （分钟），即约 10 分 55 秒后第一次重合。 【方法点睛】 钟表问题万能公式：x 时 y 分时两针夹角 （结果大于 180° 时用 360° 减去；x 取 0~11）。重合、垂直、反向问题用相对速度 /分列方程。 【变式训练】 变式：8 点 30 分时，时针与分针的夹角是多少度？ 【变式解答】。 例7【折叠与对称】折痕中的角度计算（考点6） 题目：如图6，将长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠（点 E 在 AB 上，点 F 在 AD 上），使顶点 A 落在对角线 AC 上的点 A′ 处。若 ∠BAC = 40°，求：(1) ∠AEF 的度数；(2) ∠A′EB 的度数。 【思路分析】 折叠的本质是轴对称：A 与 A′ 关于折痕 EF 对称，故 EF 垂直平分 AA′，且 ∠AEF = ∠A′EF。由垂直平分线得 AE = A′E，三角形 AEA′ 是等腰三角形，配合平角 180° 求解。 【解答】 (1) 由折叠知 EF 垂直平分 AA′，故 AE = A′E，且 ∠AEF = ∠A′EF。在等腰三角形 AEA′ 中，∠EAA′ = ∠AA′E = ∠BAC = 40°（A′ 在 AC 上），所以 ，故 。 (2) 点 A、E、B 共线，所以 。 【方法点睛】 折叠问题两条黄金性质：① 折痕是对应点连线的垂直平分线（得等腰三角形）；② 折痕平分对应角。再借助平角 180°、三角形内角和与平行线性质，即可求出所有角。 【变式训练】 变式：若 ∠BAC = 30°，求 ∠AEF 与 ∠A′EB 的度数。 【变式解答】∠AEA′ = 180° − 60° = 120°，∠AEF = 60°，∠A′EB = 180° − 120° = 60°。 例8【转化思想】立体表面最短路径（考点6） 题目：正方体木块的棱长为 2。一只蚂蚁从顶点 A 出发，沿正方体表面爬到相对顶点 G，求蚂蚁爬行的最短路线长度。 【思路分析】 立体表面不能直接连线，需"化立体为平面"：把经过的两个相邻面沿公共棱展开成同一平面，两点之间线段最短，再用勾股定理求长。 【解答】 把顶点 A 所在的面与顶点 G 所在的相邻面沿公共棱展开（如图7），A 与 G 在展开图中构成直角三角形：一条直角边长为 ，另一条直角边长为 2。 由勾股定理：。 由于正方体表面展开有三类不同路径（经过不同的棱），由对称性三类长度均为 ，故最短路线长度为 。 【方法点睛】 立体表面最短路径三步：① 展开成平面；② 连接两点取线段；③ 勾股定理求长。长方体表面最短路须比较不同展开方式，取最小值。 【变式训练】 变式：长方体长、宽、高分别为 5、4、3，从顶点 A 沿表面到相对顶点 G 的最短路径是多少？ 【变式解答】三种展开方式分别得 、、，最短为 。 例9【方程与动态】线段上的动点问题（考点2） 题目：已知线段 AB = 24 cm。点 P 从点 A 出发，以每秒 2 cm 的速度在线段 AB 上向点 B 运动；点 Q 同时从点 B 出发，以每秒 1 cm 的速度在线段 AB 上向点 A 运动。设运动时间为 t 秒（0 < t < 12）。(1) 用含 t 的式子表示 AP、BQ 和 PQ 的长；(2) 当 PQ = 6 cm 时，求 t 的值；(3) 两动点相遇后继续运动，求从出发到第二次满足 PQ = 6 cm 所用的时间。 【思路分析】 动点问题的核心是"用速度 × 时间表示路程"：(1) P 运动 2t cm，Q 运动 t cm，三者共线且 PQ = AB − AP − BQ；(2) 相遇前 P、Q 相向，PQ 随 t 减小；(3) 相遇后 P 越过 Q，PQ = AP + BQ − AB，需分段列式。 【解答】 (1) cm， cm， cm。 (2) 令 ，解得 （秒）。 (3) 先求相遇时间：，得 （秒）。相遇后 ，令 ，解得 （秒）。故从出发到第二次满足 PQ = 6 cm 共需 10 秒。 答：PQ = 6 cm 的时刻为 秒或 秒。 【方法点睛】 动点题三步走：① 用"速度 × 时间"表示各动点到端点的距离；② 判断相遇前后，分两段写两点间距离（相遇前相减、相遇后相加再减全长）；③ 距离表达式是含 t 的代数式，令其等于已知值解方程即可。 【变式训练】 变式：若点 Q 改为从点 B 以每秒 1 cm 的速度向点 A 运动，点 P 从点 A 以每秒 3 cm 的速度向点 B 运动，两动点到达端点即停止。求当 PQ = 4 cm 时 t 的值。 【变式解答】相遇时间 ，。相遇前 ，；相遇后 ，。故 或 7 秒。（验证：t ≤ 8，两解均在运动时间内。） 例10【转化思想】圆柱侧面的最短路径（考点6） 题目：圆柱形玻璃杯的底面周长为 8 cm，高为 6 cm。杯壁内底面圆周上的点 A 处有一只蚂蚁，要沿杯壁内侧面爬到上底面圆周上与点 A 相对（即底面直径的另一端）的点 B 处，求蚂蚁爬行的最短距离。 【思路分析】 圆柱侧面无法直接画"直线"，沿母线展开成矩形后即可连线。关键：展开后 A、B 的水平距离不是底面周长 8，而是"沿圆周走最短弧"的半周长 4。 【解答】 沿过点 A 的母线把圆柱侧面展开成矩形：宽为底面周长 8 cm、高为 6 cm。点 A 在矩形左下角；点 B 与 A 水平相距半周长 4 cm、竖直相距 6 cm，位于矩形内相应位置。 由"两点之间线段最短"，最短路径即展开图中 A、B 的连线： cm。 答：蚂蚁爬行的最短距离为 cm。 【方法点睛】 圆柱表面最短路径两要点：① 沿母线展开成矩形，宽 = 底面周长、高 = 圆柱高；② 两点的水平距离取"沿底面圆周的最短弧长"（同侧为 0，相对为半周长，不同位置按比例取弧长），再与高度构成直角三角形用勾股定理求解。 【变式训练】 变式：圆柱底面周长为 12，高为 9，点 A 在底面圆周上，点 C 在 A 所在母线的正上方（同一条母线），蚂蚁从 A 沿侧面爬到 C，最短距离是多少？若改为爬到与 A 相对的点 B 呢？ 【变式解答】A、C 在同一条母线上，展开后水平距离为 0，；A、B 相对，水平距离为半周长 6，。 四、方法总结（一表收尽） 考点 核心方法 关键结论 / 公式 展开图·三视图 折叠验证、俯视打底分层填数 相对面：同行隔一、Z 字两端；11 种展开图归 4 类；田字形、一字 6 格必排除 线段与中点 画图、分类讨论、方程 AM = MB = AB/2；n 点线段数 n(n−1)/2；中点叠加 MN = (AC±BC)/2 角与角平分线 设 x 列方程 平分 ⟺ 两角相等且为原角一半；两角平分线夹角 = 原角一半 钟表问题 相对速度 5.5°/分 夹角 = |30x − 5.5y|（取 ≤180°）；整点基准 12 点 0°、6 点 180° 几何计数 组合计数、增量思想 交点 n(n−1)/2；分平面 n(n+1)/2 + 1；有平行线时逐条加入算 折叠与对称 轴对称、折痕平分角 对应角相等、对应线段相等、折痕垂直平分对应点连线 最短路径 展开化平、两点线段 勾股定理求长；长方体比较 3 种展开取最小；圆柱取最短弧长 动点问题 速度 × 时间 = 路程 相遇前 PQ = 全长 − (v1+v2)t；相遇后 PQ = (v1+v2)t − 全长 易错防线 审词分类 "直线/射线/线段"必分类；60 进制勿按十进制；展开图查共面 五、解题口诀 『展开图，找对面』 同行隔一相对面，Z 字两端面对面；折纸验证最保险。 『判展开，先排除』 田字共面必不行，一字长龙折不起；141 型最常见。 『三视图，还原体』 俯视打底先铺层，正视定列左视行；最少多重重合放，最多逐格取最小。 『线段长，先画图』 点在直线要分类，延长线上别漏掉；中点二分要记牢。 『比例角，设 x 破』 见比设参列方程，和角相等把值求。 『角平分，记性质』 平分两角必相等，都是原角的一半。 『钟表题，抓速度』 分针六度时半度，相对五五来追补；夹角公式取小值。 『动点题，分两段』 速度乘时表路程，相遇前后各自列；距离相等解方程。 『折叠题，用对称』 折痕垂直平分线，对应角等折痕分。 『最短路，先展开』 表面展开化平面，线段最短勾股算；多种展开比最小。 六、习题分层训练（15 道） 说明：A 组为基础过关（5 题），B 组为能力提升（5 题），C 组为挑战冲刺（5 题）。建议先独立完成，再对照答案订正；做错的题在题号旁标注原因，滚动复习。 ◆ A 组　基础过关（5 题） A1.（展开图）如图8，正方体展开图"141"型中，已知与"1"同行相邻的数字为 ?、?、3（见图示），底面数字为 2。求与"1"、与"3"、与"5"相对的面上的数字。 A2.（中点）已知线段 AB = 8 cm，C 是 AB 的中点，D 是 BC 的中点，求线段 AD 的长。 A3.（度分秒）计算：(1) ；(2) 。 A4.（钟表）求 6 点整、9 点 15 分时时针与分针的夹角。 A5.（展开图判断）如图11，四个展开图中，哪些能折叠成正方体？哪些不能？请说明理由。 ◆ B 组　能力提升（5 题） B1.（分类讨论）线段 AB = 10 cm，点 C 在直线 AB 上，AC : CB = 3 : 2，点 M 为 AC 的中点，求 AM 的长。 B2.（几何计数）平面内有 10 条直线，最多有多少个交点？最多把平面分成多少部分？ B3.（钟表）4 点多少分时，时针与分针第一次重合？（结果用分数表示） B4.（折叠）将长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′ 处，∠BFE = 45°，求 ∠B′EF 与 ∠AEB′ 的度数。 B5.（钟表进阶）求 7 点 15 分时时针与分针的夹角；再求从 7 点整到 8 点整，两针第一次互相垂直的时刻。 ◆ C 组　挑战冲刺（5 题） C1.（三视图）用小正方体搭成立体图形，正视图三列高度为 3、1、2，左视图三行高度为 1、2、3，俯视图为 3×3 网格。最少需要多少个小正方体？最多呢？ C2.（线段综合）AB = 24 cm，点 C 在直线 AB 上，AC : BC = 5 : 1，M 为 AC 的中点。(1) 求 AM；(2) 若点 P 在直线 AB 上且 PA : PB = 2 : 1，求 PB。 C3.（交点存在性）平面内 5 条直线两两相交：最多有多少个交点？若要求恰好有 7 个交点，至少需要多少条直线？说明理由。 C4.（表面最短路径）长方体长、宽、高分别为 5、4、3，一只蚂蚁从顶点 A 沿表面爬到相对顶点 G，求最短路径的长度。 C5.（计数与平行）平面内有 8 条直线，其中恰有 2 条互相平行，其余任意两条都相交，且无三线共点。求：(1) 所有直线的交点总数；(2) 这些直线最多把平面分成的部分数。 七、参考答案与详细解析 ◆ A 组 A1：与"1"相对的是 3，与"3"相对的是 1，与"5"相对的是 2。（"1"与"3"同行隔一个"?"相对；"5"与底面"2"呈 Z 字形两端相对。） A2：C 为 AB 中点， cm；D 为 BC 中点， cm； cm。 A3：(1) ； (2) 。 A4：6 点整，两针夹角为 180°（分针指向 12、时针指向 6）。 9 点 15 分：，大于 180°，取 。 A5：能折成正方体的是 (a)（"141"型）和 (b)（"222"型）；不能的是 (c) 和 (d)。(c) 左侧四格构成"田"字形，折叠时两面重叠；(d) 六格一字排开，无法围出正方体（侧面最多 4 格连排）。 ◆ B 组 B1：C 在线段 AB 上时， cm， cm；C 在 AB 延长线上时， cm， cm。故 AM = 3 cm 或 15 cm。 B2：最多交点 个；分平面最多 部分。 B3：4 点整夹角 120°，设 x 分钟后重合：，解得 （分钟），即 4 点 分。 B4：∠B = 90°，∠BFE = 45°，故 ∠BEF = 45°；折叠得 ∠B′EF = ∠BEF = 45°；。 B5：7 点 15 分：。 7 点整两针夹角 210°（取较小角 150°）；分针追上时针前，两针夹角先减小后增大。 设 7 点 x 分垂直（分针在时针前方）：，即 或 。 解得 （分钟）（第一次垂直，7 点 分）或 （分钟）（第二次垂直）。 第一次垂直在 7 点 分（约 7 点 21 分 49 秒）。 ◆ C 组 C1：最少 12 个。俯视图 9 格各放 1 个；第 1 列需 3 层（补 2）、第 3 列需 2 层（补 1）、第 2 行需 2 层（与第 1 列重合）、第 3 行需 3 层（补 2）。配置：第 3 行第 1 列放 3 个、第 2 行第 3 列放 2 个，其余各 1 个，合计 。最多 14 个：逐格取 min(列高, 行高) 为 。 C2：(1) C 在线段 AB 上时， cm， cm；C 在延长线上时， cm， cm。故 AM = 10 cm 或 15 cm。 (2) P 在线段 AB 上时， cm；P 在 B 右侧时，PB = 24 cm。故 PB = 8 cm 或 24 cm。 C3：最多交点 个。 恰有 7 个交点至少需要 5 条直线：4 条直线两两相交最多 个交点 < 7，故至少 5 条；5 条可行——令直线 a、b、c 三线共点 P，且令两直线d∥e，直线 d、e 分别与 a、b、c 各交于互不相同的点，则交点数为 个。 C4：三种展开方式：，，。最短为 。 C5：(1) 8 条直线两两相交最多 个交点；恰有一对平行使这对直线少交 1 个点，故交点总数为 个。 (2) 先取 7 条两两相交的直线（含平行对中的一条），分平面 部分；第 8 条直线与其平行的直线不交，只与其他 6 条直线相交，被分成 7 段，每段增加 1 个区域，共增加 7 部分。故最多 部分。 八、本讲小结 本讲从"体、线、角、数、用"五个维度完成了几何入门的竞赛拓展： 1. 空间想象：掌握 11 种正方体展开图的四类归并，会用"俯视打底、分层填数"还原三视图； 2. 度量计算：线段中点与角平分线是两大"平分工具"，比例问题一律设参列方程； 3. 动态分析：钟表问题本质是"相对速度"问题，公式 一劳永逸； 4. 计数与转化：几何计数抓"任取两元素"的组合思想，最短路径靠"展开化平、两点线段"； 5. 方程与综合：动点问题把几何线段与代数方程打通，是后续数轴动点、行程问题的先声。 学完本讲，建议回看教材第四章的例题与习题，用本讲的方法重新审视，会获得"居高临下"的新理解；再把 A、B 两组错题整理成错题本，两周后重做一遍 C 组题检验掌握程度。 九、易错警示与学习建议 【易错警示】 1. 分类讨论不完整：题目出现"直线 AB 上"却只考虑"线段 AB 上"，是失分主因——先在草稿纸上画出所有可能图形。 2. 钟表夹角不加绝对值、不取较小角：计算结果大于 180° 时必须用 360° 减去。 3. 度分秒借位错误：1° = 60′，不是 100′；减法借位时把 1° 拆成 60′。 4. 折叠题忘记"折痕即角平分线"：折叠前后对应角相等，是解折叠题的钥匙。 5. 动点题不分段：相遇前后 PQ 的表达式不同，统一写成"全长 − 路程和"会导致相遇后为负，必须分段列式。 6. 展开图判断凭感觉：仅凭"格子数够 6 个"就判断能折，忽略"田"字形共面重叠，要熟记四类标准型再比对。 【学习建议】 ① 动手折纸：用纸片实际折叠正方体展开图与长方形折叠题，空间感在"动手"中建立最快； ② 画图先行：几何题动笔前先画标准示意图，分类讨论的各类图形都要画； ③ 口算校验：钟表夹角、度分秒计算完成后，用"分针 6°/分、时针 0.5°/分"复查； ④ 错题归档：把易错辨析 10 条做成个人检查清单，做题时逐条对照； ⑤ 限时训练：C 组题每题限时 8 分钟，训练考场上的时间分配与心理节奏。 — 祝贺你完成了本讲的学习 · 加油！少年！ — 1 学科网（北京）股份有限公司 $