第六章 几何图形初步（七大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学第六章“几何图形初步”知识清单系统梳理了几何图形概念、点线面关系、直线射线线段、线段中点、角及角平分线、余角补角等核心内容，搭建了从基础概念到动态应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类+核心公式标注+动态问题解题步骤”构建知识体系，如正方体展开图“无田无凹”口诀培养空间观念，线段计算“先画图再分类”强化几何直观，动点问题“位置公式+分类讨论”提升推理意识。配套对点训练和综合练习，助力学生自主突破难点，教师可精准设计教学，提高复习效率。

第六章 几何图形初步 知识点一 几何图形相关概念 1. 几何图形分类 · 立体图形：各部分不都在同一平面内（正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥）。 · 平面图形：各部分都在同一平面内（线段、角、三角形、长方形、圆等）。 1. 展开图 立体图形可以展开成平面图形，常见正方体11种展开图，考试常考相对面、相邻面判断。 1. 截面 用平面截几何体，得到的平面图形叫做截面。 知识点二 点、线、面 1. 几何基本构成：图形由 点、线、面 构成。 1. 动态形成规律（必考口诀） · 点动成线、线动成面、面动成体。 · 例子：笔尖画线（点动成线）、雨刷扫窗（线动成面）、长方形旋转成圆柱（面动成体）。 1. 特征 · 点：无大小；线：无粗细；面：无厚薄。 1. 相交关系：面与面相交成线，线与线相交成点。 知识点三 直线、射线、线段 1. 定义与区别 · 直线：向两方无限延伸，无端点，不可度量长度。 · 射线：向一方无限延伸，1个端点，不可度量长度。 · 线段：两个端点，有固定长度，可以度量、可以比较大小。 1. 表示方法 · 直线：直线AB、直线； · 射线：射线OA（端点必须写前面）； · 线段：线段AB、线段。 1. 核心公理 · ① 两点确定一条直线（钉木条、站队原理）。 · ② 两点之间，线段最短（路程最短问题必考）。 1. 两点间距离：两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。 知识点四 线段的中点 1. 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 1. 几何核心公式（必考） 若是中点： 1. 延伸：三等分点、四等分点，可分段表示线段长度。 1. 题型特点：线段计算、线段推理、动点线段长度求解。 知识点五 角的有关概念以及表示方法 1. 角的定义 · 静态：有公共端点的两条射线组成的图形。 · 动态：一条射线绕端点旋转形成的图形。 1. 角的三要素：顶点、两条边（射线）。 1. 四种表示方法（规范考试写法） · ① 三个大写字母：（中间必须是顶点） · ② 一个大写字母：（顶点处只能有一个角才能用） · ③ 数字：、 · ④ 希腊字母：、 1. 角度单位换算 · 60进制，禁止100进制换算。 1. 角的分类 · 锐角（） · 直角（） · 钝角（） · 平角（） · 周角（） 知识点六 角平分线 1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 1. 核心几何关系式 若平分： 1. 延伸：角的三等分线、四等分线，对应角度倍数关系。 1. 考点：角度计算、折叠问题、几何推理证明。 知识点七 余角、补角 1. 余角定义 两个角的和等于 （直角），互为余角。 1. 补角定义 两个角的和等于 （平角），互为补角。 1. 重要性质（大题必考） · 同角（等角）的余角相等 · 同角（等角）的补角相等 1. 易错区分：互余、互补只看角度和，与位置无关。 1. 公式：若余角=，补角= 易错点1 正方形的展开图问题 易错提醒 易错点总结 1. 无法判断不能折叠成正方体的图形，经常选错“田字形、凹字形”展开图。 2. 找错相对面、相邻面，折叠后位置判断颠倒。 3. 混淆立体图形截面与展开图，概念混乱。 4. 不会快速排除错误展开图，做题慢、正确率低。 注意事项总结 1. 正方体展开图禁忌口诀：无田、无凹、无长一线四连两头。 2. 相对面判断：隔一个是对面、Z字两端是对面。 3. 相邻面折叠后永远相邻，不可能相对。 4. 牢记：正方体只有11种合法展开图，出现田字、凹字直接排除。 【对点训练】1．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点，即可求解． 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，所在的平面不可能是对面， A、折叠后，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，故选项符合题意； B、折叠后，含有4，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； C、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； D、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意． 易错点2 线段的和差倍分相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 没有画图，凭想象计算，点的位置判断错误导致全程错。 2. 中点公式乱用，分不清 和 。 3. 点在线段上、点在线段延长线上不会分类讨论，漏解严重。 4. 多线段叠加时，重复计算、漏算小段。 注意事项总结 1. 线段计算题必须先画图，不画图不做题。 2. 中点万能公式：小线段=大线段一半，大线段=小线段两倍。 3. 题干无图必分类：点在线段上 / 点在延长线上两种情况。 4. 计算顺序：先标已知长度，再推未知线段，步步推导。 【对点训练】2．如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B在线段上可知，由，可得，代入计算后即可得到答案； （2）根据O是线段的中点及的长可求出的长，由即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：，， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 易错点3 角度的和差倍分相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 度分秒60进制记错，当成100进制换算，计算全部出错。 2. 角度加减不借位、不进位，小数角度不会转化分秒。 3. 分不清角的和差关系，看错公共角、重叠角。 4. 余角补角公式混用，90°、180°搞反。 注意事项总结 1. 角度换算铁律：1°=60′，1′=60″，坚决不用十进制。 2. 大减小、缺则借位，满60进1。 3. 角度计算先找公共角、重叠角，找准和差关系。 4. 余角找90°关系，补角找180°关系，绝不混用。 【对点训练】3．如图，与的度数比为，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的度数比为，求出，再求出的度数，再结合角平分线的定义计算即可得出结果； （2）设，则，，由角平分线的定义可得；求出，可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵与的度数比为，， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵与的度数比为， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ． 易错点4 角平分线的相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 角平分线只会正向计算，不会反向推导。 2. 多个角平分线叠加，倍数关系混乱，分不清二倍、一半。 3. 折叠题型中，看不出折叠前后角度相等，丢条件。 4. 无图题不分类，射线在角内、角外漏解。 注意事项总结 1. 角平分线核心：平分=两个小角相等=大角一半。 2. 多层角平分线，从最小角向外逐层推导。 3. 图形折叠：折叠前后对应角相等，是隐藏等量条件。 4. 射线位置不确定，必须分：内部射线、外部射线两种讨论。 【对点训练】4．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 易错点5 动点问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会用“初始位置±速度×时间”表示动点位置。 2. 运动方向判断错误，左右移动符号写反。 3. 不会用绝对值表示线段距离，漏解、错解。 4. 不分类讨论动点在起点前、线段上、终点后，导致答案不全。 注意事项总结 1. 动点万能公式：位置=初始位置±速度×时间（右加左减）。 2. 两点距离必须加绝对值，避免位置判断错误。 3. 动点题三步走：表示位置→列距离方程→分类讨论阶段。 4. 一定要检验取值范围，舍去不合理解。 【对点训练】5．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 【答案】(1)24，12 (2)4或12 (3)①或；②或 【分析】（1）根据线段的和差关系以及数量关系，进行求解即可； （2）分两点重合，以及在点的两侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出点到达点时，所用时间，进而求出此时的长，再分两点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论对①②进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当两点重合时，则：，解得； 当在点的两侧时，则，解得； 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； （3）解：当点到达点时，所用时间为秒； 此时； 点停止运动时所用时间为秒； ①当相距5个单位长度时，则或 解得或； 故当或时，相距5个单位长度； ②当时，则或， 解得或； 故当或时，． 易错点6 角的动态旋转问题 易错提醒 易错点总结 1. 旋转角度计算错误，分不清顺时针、逆时针的增减关系。 2. 旋转过程不分段，直接列式，漏掉多种情况。 3. 重合、垂直、平分时刻判断不准。 4. 不会用“速度×时间=旋转角度”建立方程。 注意事项总结 1. 旋转角度公式：旋转角度=角速度×时间。 2. 顺时针角度减小、逆时针角度增大，方向绝不搞反。 3. 动态旋转必须分阶段讨论：未重合、刚重合、重合后、超180°。 4. 特殊位置（垂直90°、平角180°、角平分）单独列方程求解。 【对点训练】6．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；或 (3)或 理由如下：根据题意，得，， ， ， 解得； 根据题意，得，， ， 解得； (4)存在；或 【分析】（1）根据，解答即可． （2）分且在的上方， 且在的下方，两种情况求解． （3）根据题意，得，或，求解即可； （4）当在的左侧时，此时，根据题意，得，当在的右侧时，此时，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 故; （2）解：三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为秒， 故旋转角． 当且在的上方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； 当且在的下方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； （3）略 （4）解：根据题意，当在的左侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 当在的右侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 故当t为或时，; 一、单选题 1．若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 2．下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4个． 3．一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（    ） A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10 【答案】D 【分析】正方体原有8个顶点，根据切割面经过原正方体顶点的不同情况分类讨论，即可得到剩下几何体的顶点个数． 【详解】解：∵正方体原有8个顶点，切掉一个角可分4种情况讨论， ①当切割面经过原正方体的3个顶点时，切掉1个原顶点，无新增顶点， ∴顶点个数为 ； ②当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的两个顶点和第三条棱上的一个非顶点时，切掉1个原顶点，新增1个顶点， ∴顶点个数为 ； ③当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的一个顶点和另外两条棱上的两个非顶点时，切掉1个原顶点，新增2个顶点， ∴顶点个数为 ； ④当切割面与被切掉角所在的三条棱相交于三个非顶点时，切掉1个原顶点，新增3个顶点， ∴顶点个数为 ； ∴剩下几何体顶点的个数是7或8或9或10， 故选：D． 4．如图，点、、、在同一射线上，，线段(点在点的左边)长度为5，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（   ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，为定值 A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】对于①，需分点在线段上和延长线上两种情况，用线段和差表示并列方程，根据解的个数判断正误；对于②，先根据、均在线段上确定的取值范围，再用表示和的长度，结合比例关系列方程求解并验证解是否符合范围；对于③，利用线段中点的性质分别表示出和的长度，由得到绝对值方程，求解方程即可得到的值；对于④，先根据点在延长线上确定的取值范围，再依次利用中点性质表示出、、、的长度，最后通过线段和差计算的长度，判断其是否为定值． 【详解】解：对于①，分两种情况： 当点在线段上时，，解得； 当点在延长线上时，，解得； 故①中有两个解，①错误； 对于②，点、均在线段上， ，即，解得， 此时，， 由得， 解得，符合，故②正确； 对于③，，是中点， ， ，， ， 是中点， ∴， ， 由得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 故或，③正确； 对于④，点在延长线上， ，即， ∵是中点， ， ∵，， ∴． ∵是中点， ， ∴， ，是定值，故④正确； 综上，②③④正确，故选：D． 5．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是．若，则这条绳子的原长为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差，分当的倍最长时，即以对折点为，当的倍最长时，即以对折点为，两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当的倍最长时，即以对折点为，得， ∴， ∴， ∴， ∴这条绳子的原长为； 如图，当的倍最长时，即以对折点为，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这条绳子的原长为， 综上，这条绳子的原长为或， 故选：． 二、填空题 6．如图是一些由棱长为的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为，按照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积为______． 【答案】 【分析】观察图形得到几何体的表面积依次增加，得到第五个几何体的表面积，进行解答，即可． 【详解】解：第一个几何体的表面积为：； 第二个几何体的表面积为：； 第三个几何体的表面积为：； ∴几何体的表面积依次增加； ∴第五个几何体的表面积为：． 7．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 8．如图，已知，比的余角大，过点作射线，使，则的度数为________． 【答案】或 【分析】设，则，根据题意列方程求出，然后分两种情况：①当射线在内部；②当射线在外部，分别求出的度数即可． 【详解】解：设，则， 依题意得：， 解得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论： ①当射线在内部时， ； ②当射线在外部时， ； 综上所述，的度数为或． 9．如图1，C是线段上一点，，现以点C为对折点，将线段向右对折，得到图2，P是中点，沿点P将线段剪断，使得原线段被剪成三条，则这三条线段长度从小到大的比为______． 【答案】 【分析】设，折叠得到，中点得到，进而得到，，剪成3条，3条线段的长度分别为的长，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵对折， ∴， ∵P是中点， ∴， ∴， ∴， 由题意，3条线段从小到大的长度分别为的长， 故这三条线段长度从小到大的比为． 10．将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分． （1）如图，如果__________． （2）如果，将三角板绕点旋转一周（旋转过程中与度数都是大于且小于的角），的度数为__________．（用含的代数式表示）． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握角平分线定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可； （2）分在上方和下方两种情况，分别运用角平分线的定义以及角的和差即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知：， ∵， ∴， ∵射线平分． ∴， ∴． 故答案为：． （2）①如图：当在上方时，同（1）可得：； ②如图：当在下方时， ∵， ， ∵射线平分． ∴， ∴． 故答案为：或． 三、解答题 11．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． 12．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】(1) (2)如图， 【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数． （2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图． 【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个； 故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）； （2）略 13．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和； (2)设，试探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与互余求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，进而可得的度数； （2）根据互余的定义，用含α的式子表示出的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，进而找到α与β之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，且与互余， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∴α与β之间的数量关系是． 14．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （2）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． 又∵，，即， ∴． （2）解：如图， ∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． ∴． （3）解：如图，，， ∵，，，分别是，的角平分线， ∴易得； 同理，当是钝角且的两边都不在内部时， ； 故答案是：或． 15．已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)①或；②． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：∵将三角板绕着点A旋转得到， ，， ， ； （2）解：如图，把绕点A逆时针旋转，得到和， 连接，得到，即为所求作； （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ， 解得， 常数m的值为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 知识点一 几何图形相关概念 1. 几何图形分类 · 立体图形：各部分________同一平面内（正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥）。 · 平面图形：各部分______同一平面内（线段、角、三角形、长方形、圆等）。 1. 展开图 立体图形可以展开成平面图形，常见正方体11种展开图，考试常考相对面、相邻面判断。 1. 截面 用______截几何体，得到的平面图形叫做截面。 知识点二 点、线、面 1. 几何基本构成：图形由 ______、______、______ 构成。 1. 动态形成规律（必考口诀） · 点动成______、线动成______、面动成______。 · 例子：笔尖画线（点动成线）、雨刷扫窗（线动成面）、长方形旋转成圆柱（面动成体）。 1. 特征 · 点：无______；线：无______；面：无______。 1. 相交关系：面与面相交成线，线与线相交成点。 知识点三 直线、射线、线段 1. 定义与区别 · 直线：向两方______，____________端点，不可度量______。 · 射线：向一方无限延伸，______端点，不可度量______。 · 线段：______端点，有固定______，可以度量、可以比较大小。 1. 表示方法 · 直线：直线AB、直线； · 射线：射线OA（端点必须写前面）； · 线段：线段AB、线段。 1. 核心公理 · ① 两点确定一条______（钉木条、站队原理）。 · ② 两点之间，______最短（路程最短问题必考）。 1. 两点间距离：两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。 知识点四 线段的中点 1. 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 1. 几何核心公式（必考） 若是中点： 1. 延伸：三等分点、四等分点，可分段表示线段长度。 1. 题型特点：线段计算、线段推理、动点线段长度求解。 知识点五 角的有关概念以及表示方法 1. 角的定义 · 静态：有公共______的两条______组成的图形。 · 动态：一条______绕端点______形成的图形。 1. 角的三要素：顶点、两条边（射线）。 1. 四种表示方法（规范考试写法） · ① 三个大写字母：____________（中间必须是顶点） · ② 一个大写字母：____________（顶点处只能有一个角才能用） · ③ 数字：____________、____________ · ④ 希腊字母：____________、____________ 1. 角度单位换算 · 60进制，禁止100进制换算。 1. 角的分类 · ____________（） · ____________（） · ____________（） · ____________（） · ____________（） 知识点六 角平分线 1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 1. 核心几何关系式 若平分： 1. 延伸：角的三等分线、四等分线，对应角度倍数关系。 1. 考点：角度计算、折叠问题、几何推理证明。 知识点七 余角、补角 1. 余角定义 两个角的和等于 （直角），互为____________。 1. 补角定义 两个角的和等于 （平角），互为____________。 1. 重要性质（大题必考） · 同角（等角）的余角相等 · 同角（等角）的补角相等 1. 易错区分：互余、互补只看角度和，与位置无关。 1. 公式：若余角=，补角= 易错点1 正方形的展开图问题 易错提醒 易错点总结 1. 无法判断不能折叠成正方体的图形，经常选错“田字形、凹字形”展开图。 2. 找错相对面、相邻面，折叠后位置判断颠倒。 3. 混淆立体图形截面与展开图，概念混乱。 4. 不会快速排除错误展开图，做题慢、正确率低。 注意事项总结 1. 正方体展开图禁忌口诀：无田、无凹、无长一线四连两头。 2. 相对面判断：隔一个是对面、Z字两端是对面。 3. 相邻面折叠后永远相邻，不可能相对。 4. 牢记：正方体只有11种合法展开图，出现田字、凹字直接排除。 【对点训练】1．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A．B．C． D． 易错点2 线段的和差倍分相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 没有画图，凭想象计算，点的位置判断错误导致全程错。 2. 中点公式乱用，分不清 和 。 3. 点在线段上、点在线段延长线上不会分类讨论，漏解严重。 4. 多线段叠加时，重复计算、漏算小段。 注意事项总结 1. 线段计算题必须先画图，不画图不做题。 2. 中点万能公式：小线段=大线段一半，大线段=小线段两倍。 3. 题干无图必分类：点在线段上 / 点在延长线上两种情况。 4. 计算顺序：先标已知长度，再推未知线段，步步推导。 【对点训练】2．如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 易错点3 角度的和差倍分相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 度分秒60进制记错，当成100进制换算，计算全部出错。 2. 角度加减不借位、不进位，小数角度不会转化分秒。 3. 分不清角的和差关系，看错公共角、重叠角。 4. 余角补角公式混用，90°、180°搞反。 注意事项总结 1. 角度换算铁律：1°=60′，1′=60″，坚决不用十进制。 2. 大减小、缺则借位，满60进1。 3. 角度计算先找公共角、重叠角，找准和差关系。 4. 余角找90°关系，补角找180°关系，绝不混用。 【对点训练】3．如图，与的度数比为，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 易错点4 角平分线的相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 角平分线只会正向计算，不会反向推导。 2. 多个角平分线叠加，倍数关系混乱，分不清二倍、一半。 3. 折叠题型中，看不出折叠前后角度相等，丢条件。 4. 无图题不分类，射线在角内、角外漏解。 注意事项总结 1. 角平分线核心：平分=两个小角相等=大角一半。 2. 多层角平分线，从最小角向外逐层推导。 3. 图形折叠：折叠前后对应角相等，是隐藏等量条件。 4. 射线位置不确定，必须分：内部射线、外部射线两种讨论。 【对点训练】4．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 易错点5 动点问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会用“初始位置±速度×时间”表示动点位置。 2. 运动方向判断错误，左右移动符号写反。 3. 不会用绝对值表示线段距离，漏解、错解。 4. 不分类讨论动点在起点前、线段上、终点后，导致答案不全。 注意事项总结 1. 动点万能公式：位置=初始位置±速度×时间（右加左减）。 2. 两点距离必须加绝对值，避免位置判断错误。 3. 动点题三步走：表示位置→列距离方程→分类讨论阶段。 4. 一定要检验取值范围，舍去不合理解。 【对点训练】5．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 易错点6 角的动态旋转问题 易错提醒 易错点总结 1. 旋转角度计算错误，分不清顺时针、逆时针的增减关系。 2. 旋转过程不分段，直接列式，漏掉多种情况。 3. 重合、垂直、平分时刻判断不准。 4. 不会用“速度×时间=旋转角度”建立方程。 注意事项总结 1. 旋转角度公式：旋转角度=角速度×时间。 2. 顺时针角度减小、逆时针角度增大，方向绝不搞反。 3. 动态旋转必须分阶段讨论：未重合、刚重合、重合后、超180°。 4. 特殊位置（垂直90°、平角180°、角平分）单独列方程求解。 【对点训练】6．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（    ） A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10 4．如图，点、、、在同一射线上，，线段(点在点的左边)长度为5，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（   ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，为定值 A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 5．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是．若，则这条绳子的原长为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 6．如图是一些由棱长为的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为，按照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积为______． 7．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 8．如图，已知，比的余角大，过点作射线，使，则的度数为________． 9．如图1，C是线段上一点，，现以点C为对折点，将线段向右对折，得到图2，P是中点，沿点P将线段剪断，使得原线段被剪成三条，则这三条线段长度从小到大的比为______． 10．将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分． （1）如图，如果__________． （2）如果，将三角板绕点旋转一周（旋转过程中与度数都是大于且小于的角），的度数为__________．（用含的代数式表示）． 三、解答题 11．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 12．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 13．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和； (2)设，试探究α与β之间的数量关系． 14．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 15．已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $