精品解析：天津经济技术开发区第一中学2027届高三上学期开学考试数学试卷

高三开学考数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义求出，再根据交集定义即可求出． 【详解】因为， 所以或， 所以， 故选：A． 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，求出的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】由， 则，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 函数，若对任意 都有 成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意判断函数在R上单调递减，根据分段函数在R上单调递减即要在每一段上都单调递减，即可求出a的取值范围，另外还要考虑分界点处的大小关系. 【详解】因为对任意 都有 成立， 所以函数在R上单调递减， 所以设在上单调递减， 即，即. 设在上单调递减， 为二次函数开口向上，对称轴为直线. 所以，即. ，， 因为在R上单调递减，所以， 即，解得. 综上所述，a的取值范围是. 5. ， 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质、对数函数性质判断A；利用作差判断BC；举例说明判断D. 【详解】由 ，得， 对于A，因为函数在定义域上单调递增，所以，A正确； 对于B，，即，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，取，得，D错误. 6. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再根据对数函数的单调性结合中间量分别比较和的大小即可. 【详解】由，得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 则， 所以，即， 所以. 故选：C. 8. 命题“”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题为假命题，等价转化为全称量词命题为真命题，即在上恒成立，求在上的最小值即得. 【详解】由题意，“”为真命题，即在上恒成立， 令，，则在上恒成立， 即在上恒为增函数，则，故. 故选：A. 9. 已知，，且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，将变形成，直接用基本不等式即可.对于B，将完全平方，再利用基本不等式即可.对于C，根据基本不等式可直接求解.对于D，常数代换法，根据选项中的分母，先将题干的式子凑成分母的形式，再将两个多项式相乘，利用基本不等式即可求范围. 【详解】对于A，根据基本不等式， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，A选项正确. 对于B，. 根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为，，所以，B选项正确. 对于C，根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立， 所以，C选项错误. 对于D，因为， 所以，即， . 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，D选项正确. 10. 已知函数 ， 若不等式 对任意恒成立，则实数a 的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，得到，推得为偶函数，得到的图象关于对称，再利用导数求得当时，单调递增；当时，单调递减，把原不等式转化为恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 令，则，可得， 因为，所以为偶函数； 即函数的图象关于对称； 由，则， 当时，，单调递增，即时，单调递增； 当时，，单调递减，即时，单调递减； 由不等式，可得，即， 所以不等式对任意恒成立，可以转化为： 不等式恒成立，即恒成立； 即的解集为，转化为，解得； 结合选项可得B合适. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 11. 函数，则定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式列出不等式组求解即可. 【详解】由可得， ，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： . 12. ___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则与性质求解. 【详解】 . 13. 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据定义域，可得x的范围，根据二次函数的性质，可得的单调区间，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，分析即可得答案. 【详解】令，由题意得，解得， 且为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为为单调递减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 14. 函数的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求含根式函数的定义域可得，由于当时，与都单调递增，所以可得为上的增函数，则最小值可求. 【详解】由，得，即的定义域， 当时，与都单调递增， 所以在上单调递增，当时，取得最小值1． 故答案为：1. 15. 已知集合A={x∈R||x+2|<3}，集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}，且A∩B=(-1，n)，则m+n=________. 【答案】0 【解析】 【分析】 解绝对值不等式求出集合A，由A∩B的结果得m的范围，解一元二次不等式求出集合B即可求得A∩B从而求得n. 【详解】A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|5<x<1}， 由A∩B=(1，n)得m<1， 则B={x|m<x<2}，画出数轴，可得m=1，n=1. 所以m+n=0. 故答案为：0 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及绝对值不等式、一元二次不等式，属于基础题. 16. 不等式在区间上有解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用参数分离将不等式转化为，求得最小值得到答案. 【详解】不等式在区间上有解 设，易知单调递减 故答案为 【点睛】本题考查了不等式的参数问题，利用参数分离可以简化运算，也可以利用讨论的方法得到答案. 17. 已知实数满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】法八：利用基本不等式，即可求解. 【详解】[方法一]：（代换，用判别式法） 设，则，代入， 得，由得，因此. [方法二]：（代换，构造一元二次方程用判别式法） 设，则，则2x、y可看作关于m的方程的两个实根，由得，因此. [方法三]：（构造向量法） 令，. 则，即的最大值为. [方法四]：（待定系数法） 令 则解得故，化简得. ［方法五］：（代换消项结合放缩法） 令，则，则原题等价于：已知，求2a的最大值. 由的几何意义得，即得.即. ［方法六］：（换元法，转化为三角函数求解） 令则. 即，即，则. . 故. ［方法七］：（三角换元结合均值不等式求解） 令代入条件方程得. 则. 故. 故答案为：． ［方法八］：【最优解】基本不等式 ， 即，(当且仅当，即时，取等号) 故答案为：． 【整体点评】法一：换元利用判别式法求出； 法二：代换构造一元二次方程根据判别式法求出； 法三：构造向量利用求出； 法四：构造平方和，利用平方数自身的范围求出； 法五：代换利用椭圆的几何性质求出； 法六：利用三角代换求出，是该类型题的常用方式； 法七：利用三角代换结合基本不等式求出； 法八：直接利用基本不等式，是该题的通性通法，也是最优解． 18. 已知函数，若函数存在个零点，则整数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将零点问题转化为与两条水平线的交点计数问题，结合分段函数的图像与取值特征列不等式即可求解. 【详解】已知函数，且函数存在个零点， 令，整理得或， 原问题等价于与水平线、的交点总个数为， 当时，，对任意，方程恒有个不等实根； 当时，： 当时，方程有个实根；当时，方程无实根； 要使总交点数为，需满足一条水平线对应个交点（当时，有个根、有个根）， 另一条水平线对应个交点（当时，有个根、有个根），如图所示， 所以且，即，解得，因此整数的值为. 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示， 故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 20. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为，得出1，2是方程的根且，代入求解即可； （2）分类讨论，当，，，，，结合一元一次不等式及一元二次不等式的解法求解即可． 【小问1详解】 ∵的解集为， ∴1，2是方程的根且， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 当时，，∵，∴，∴； 当时，，即，即， 当时，，∴或； 当时，， （ⅰ）当时，无解； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，； 综上所述：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 21. 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明不等式恒成立． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 证明：要证恒成立，即证恒成立， 令，，由（2）可知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以恒成立， 即有时恒成立，当且仅当时取“=”号， 亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号. 所以一方面，当且仅当，即时取“=”号， 另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号， 所以恒成立，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解； （2）求出导函数后对的值进行分情况讨论即可求； （3）用切线不等式可证得结果. 【小问1详解】 时，，依题意切点坐标为， ，所以函数在处的切线的斜率为， 故函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 时，，单调递增， 时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 22. 设函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求的单调区间； （3）若对任意及，恒有 成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值为 ，无极大值； （2）当时，的递减区间为；递增区间为； 当时，在单调递减； 当时，的递减区间为，递增区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）求的解，根据极值的定义判断在x两侧的符号，从而求出的极值. （2）对求导，利用二次函数求根的方法进行分类讨论，然后利用导数的正负求得单调区间； （3）由（2）的结论，求得的最大最小值，从而求出的最值，转化为求大于的最大值的问题，进而求得m的范围. 【小问1详解】 依题意，知的定义域为. 当时，，. 令，解得， 当时，；当时，， 又， 所以的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 ∵， 当时，， 令，得或，令，得； 当时，得，令，得或，令，得； 当时，； 综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为； 当时，在单调递减； 当时，的递减区间为，递增区间为. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在单调递减. 当时，取最大值；当时，取最小值. 所以 ， 因为恒成立， 所以，整理得. 又，所以， 又因为，得， 所以， 所以. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了学生的解题能力和转化能力，解题的关键是二次函数分类讨论求不等式以及恒成立问题的转化，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三开学考数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数，若对任意 都有 成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. ， 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 命题“”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数 ， 若不等式 对任意恒成立，则实数a 的取值可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 11. 函数，则定义域是________． 12. ___________. 13. 函数的单调递减区间为______． 14. 函数的最小值为______． 15. 已知集合A={x∈R||x+2|<3}，集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}，且A∩B=(-1，n)，则m+n=________. 16. 不等式在区间上有解，则a的取值范围是________． 17. 已知实数满足，则的最大值为___________． 18. 已知函数，若函数存在个零点，则整数的值为______. 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）解关于x的不等式． 21. 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明不等式恒成立． 22. 设函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求的单调区间； （3）若对任意及，恒有 成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $