第二十五章 一元二次方程 单元复习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理一元二次方程的完整知识体系，将定义、解法、根的判别式、韦达定理及四大应用模型按逻辑递进关系组织，并用思维导图呈现四大解法优先级和应用题五步法流程，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于8个易错辨析精准突破认知误区，10大题型覆盖定义识别、根的判别式含参问题、销售利润压轴题等，通过具体实例培养运算能力和模型意识，如用方程解决增长率问题。解题步骤规范和技巧点拨助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准化分层教学，支持学生自主复习。

第二十五章 一元二次方程 单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+10典例精讲） 【知识点01】一元二次方程的定义 只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且为整式方程，叫做一元二次方程。 三个必备判定条件（缺一不可）： ① 必须是整式方程（分母、根号内不含未知数）； ② 只含有一个未知数； ③ 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 【知识点02】 一元二次方程的一般形式 ：二次项，为二次项系数； ：一次项，为一次项系数； ：常数项。 注意：判断各项系数前，必须先将方程化为标准一般形式。 【知识点03】一元二次方程的根（解） 能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。若是方程的根，则满足。 【知识点04】一元二次方程的四种解法（优先级：从快到慢） （1）直接开平方法 适用形式： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程无实数根。 （2）配方法 通用步骤：移项 → 二次项系数化为1 → 两边加「一次项系数一半的平方」配方 → 开平方求解。 核心作用：推导求根公式、求解代数式最值、证明代数式恒正/恒负。 （3）公式法（万能解法） 适用所有有实数根的一元二次方程，求根公式： （4）因式分解法（最快、首选） 核心原理：若，则或。 适用场景：方程左边可快速分解为两个一次因式的乘积，右边为0。 【知识点05】根的判别式 对于一元二次方程，判别式： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程无实数根。 【知识点06】根与系数的关系（韦达定理） 前提：方程有实数根（），设两根为，则： 简易方程推论：若方程为，则。 常用代数式变形（高频考点）： 【知识点07】列一元二次方程解应用题通用步骤（五步法） 这是所有题型通用解题规范，缺一不可，是考试得分核心： 审：审题，梳理题目已知量、未知量，找准题目隐藏的等量关系，几何题可画图辅助分析。 设：合理设未知数，优先设直接未知数，复杂题型可设间接未知数，统一题目所有单位。 列：根据等量关系，列出标准一元二次方程（一般形式：）。 解：选择合适方法解方程（优先因式分解法，其次公式法、配方法），求出方程两个根。 验、答：双重检验，先检验根是否为方程的解，再检验是否符合实际意义，舍去不合理解，最后规范作答。 【知识点08】一元二次方程实际应用四大模型 增长率/下降率问题：（初始量，变化率，最终量）； 面积问题：矩形、边框、道路平移拼接，利用面积公式列方程； 销售利润问题：总利润=单件利润×销售量； 传播/循环问题：根据传播规律、单双循环规则列方程。 核心要求：应用题解出根后，必须检验是否符合实际意义，舍去不合理的根。 易错点1：判定一元二次方程忽略「」 含参数方程，若为一元二次方程，必须满足；若题干仅说「方程」，需分类讨论：（一元一次方程）、（一元二次方程）。 易错点2：系数识别符号出错 未化为一般形式直接取值，如，整理为，一次项系数，易误判为5。 易错点3：配方法步骤不规范 二次项系数不为1时，未先化系数为1就配方；或配方时只给方程一边加常数，另一边忘记同步添加。 易错点4：判别式、韦达定理使用无前提 ① 用判别式求参数范围，未优先保证；② 直接套用韦达定理，未检验，出现无实数根却计算的错误。 易错点5：因式分解法随意除未知数 错误示例：，两边直接除以，丢失根；正确做法：移项、提取公因式求解。 易错点6：直接开平方法漏根 求解时，只算出正根，遗漏负根。 易错点7：题干关键词理解偏差 「有两个实数根」对应（包含相等实根）；「有两个不相等实数根」对应，极易混淆。 易错点8：应用题不检验根的合理性 长度、人数、价格、增长率不能为负，求出负数根或不符合实际的根，必须舍去。 【题型一】一元二次方程识别与参数求解 1．（23-24九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）请写出一个根为，另一个根为0的一元二次方程_______． 【答案】 （答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一个根为，另一个根为，则方程是的形式，即可得出答案． 【详解】解：根据一个根为，另一个根为， 得出的一元二次方程是， 展开得, 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，则二次项系数， 解得， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 6．已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是 【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）解：由是一元一次方程，得 根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 【题型二】四大方法解方程专项 7．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 8．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 9．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 10．（2026·湖北黄冈·一模）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，． 其中完全正确的是（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可． 【详解】解：依题意，甲同学的解法错误，方程两边不能同时除以x，这样会漏解； 乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确， 因此完全正确的是乙同学． 11．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）关于的一元二次方程的解是________． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握用直接开平方法解一元二次方程是关键．根据用直接开平方法解一元二次方程的方法，先移项再开平方即可． 【详解】解：， ， ， ． 12．（22-23九年级下·四川攀枝花·阶段检测）一元二次方程的根为______． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴，； 故答案为：，． 13．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）将移到方程右边，然后开方求解； （2）将移到方程右边，然后将方程左边配方成完全平方公式，然后开方求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 15．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （4）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得； （3）解： 解得； （4）解：在中，， ∴ ， ∴ ， 解得． 16．（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【题型三】根的判别式含参问题 17．（2024九年级上·重庆江津·竞赛）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得； 解分式方程， 方程两边同乘（，否则分式无意义）得：， 整理得， 解得， ∵分式方程的解为负整数， ∴，且为整数，且， 即，是的倍数，， 结合且为整数，可得符合条件的整数只有， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 18．（25-26九年级上·陕西安康·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是____________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的个数关系是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式需大于零，由此求出的取值范围，并选择一个符合的值． 【详解】解：在方程中，，，， 判别式， 由题意， 即，解得， 因此可取， 故答案为：（答案不唯一）． 19．关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数的最小值为__________． 【答案】 且 2 【知识点】有理数的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】方程有两个不相等实根，说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，且根的判别式大于0，据此求出的取值范围； 若两根为有理数，根据求根公式可知根的判别式需为完全平方数，结合的取值范围求出最小整数即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实根， ∴该方程为一元二次方程，可得， ∵方程有两个不相等的实根， ∴， 解得， ∴的取值范围是且； 若方程的两个实根均为有理数，由求根公式可知，判别式必须是完全平方数，即 为完全平方数 设（为正整数），则， 当时，，不符合，舍去， 当时，，符合条件， ∴整数的最小值为． 20．已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据根的判别式，列出关于k的不等式，然后解不等式即可．注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴． 21．已知关于x的方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 【答案】(1) (2)另一个实数根为， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据题意可得，，从而求出k的值； （2）将代入方程，求出k的值，再将k的值代入原方程，求解出另一实数根即可． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入，得， ， 解得， 当时，原方程为， 因式分解，得， 解得或， ∴方程的另一实数根为． 22．（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 【答案】(1)直角三角形 (2)6 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，运用根的判别式可得，由此可得，由勾股定理逆定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作延长线于点，根据角平分线的定义和性质可得，，，可证，可得，即一元二次方程两个根相等，再根据根的判别式进行计算，最后根据图形的性质检验根的情况，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程化为一般式为： ∴，整理得，， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，过点作于点，作延长线于点， ∵平分， ∴，且， 由（1）可得，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵、为方程的两根， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原方程为， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 解得，，即，符合题意； ∴的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程判别式，勾股定理逆定理判定直角三角形性质，角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用，理解并掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，合理作出辅助线是解题的关键． 【题型四】根与系数关系变形计算 23．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 24．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 25．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（24-25九年级上·河南开封·阶段检测）（1）对于一元二次方程，当时，它的求根公式为 ，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，则满足：① ；② ．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． 【答案】（1）：，，； 证明如下：一元二次方程（）， 当时，， ∴，， ∴， （2） 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，数量掌握求根公式是求解的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系求解； （2）先利用根与系数的关系得，，再把变形为后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为， 若方程的两个根为x1，x2，则满足①；②． 故答案为：，，； （2）根据根与系数的关系得，， ∴． 【题型五】构造一元二次方程 27．（25-26九年级上·福建泉州·期中）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．请你完成下面两个问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数a、b、c满足，且，求c的最大值． 【答案】(1)或2 (2)3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，不等式，根的判别式等知识，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 当m、n不相等时，由题意可知m，n是方程的两个实数根，再由根与系数的关系可得和的值，即可解答；当m、n相等时，直接将代入计算即可； 由题意可知a，b是方程的两个实数根，再由根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当m、n不相等时， 实数m、n满足、， ，n是方程的两个实数根， ，， ； 当m、n相等时， ； 综上所述，的值为或2； （2）解：，， ， ， ，b是关于x的方程的两个根，且，， ， ， ， ， ， ， 的最大值是 28．（24-25九年级·福建厦门·阶段检测）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： (1)已知实数、满足、，求的值． (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1)或 (2)的最大值为 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，若是一元二次方程的两根时，则． （1）当时， 、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，代入计算解题； （2）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，求出c的取值范围即可解题． 【详解】（1）解：当时， ∵实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴原式， 当， 则原式； 综上所述，原式的值为或； （2）解：， ∴将、看作是方程 的两实数根， ，而 ， ， ， 即， ∴的最大值为． 29．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程 的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：，实数m、n满足，， ∴、 可看作方程的两根， ， ； （2）解：∵、， ∴将，看作是方程得两实数根； ， 而， ，即 c的最大值为2． 30．（22-23九年级上·福建泉州·期中）阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数满足，，求的值． (3)已知实数满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到△，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根， △，，即， ， ，即， 的最大值为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了一元二次方程根的判别式，灵活应用根与系数的关系是解决关键． 31．（23-24九年级上·四川成都·阶段检测）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【答案】 ，：；，：；应用：；推广：最小值为． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（）【探究】根据一元二次方程的两个根构造方程； 根据一元二次方程的两个根构造方程； （）【应用】由方程的解代入方程，然后整体代入即可求解； （）【推广】由，，转化为，是关于方程的两根，，然后用根的判别式即可求解． 根据一元二次方程中根与系数之间关系即可求解； 【详解】（）【探究】∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， 故答案为：，； （）【应用】∵， ∴，为方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， （）【推广】：， ∴，为方程的两根， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：正数的最小值为． 【点睛】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． 【题型六】增长率问题 32．（22-23九年级上·吉林长春·期末）恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】先求出十月份的销售额，再根据连续两个月的平均增长率为x，结合十二月份的最终销售额列出方程即可． 【详解】解：∵九月份销售额为200万元，十月份销售额下降了， ∴十月份的销售额为万元， ∵十一、十二月份的平均增长率为，销售额从十月份开始连续增长两次，最终十二月份销售额为万元， ∴可得方程 ． 33．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）随着生态环境变好，各湿地越冬水鸟种类逐年增多，如中华秋沙鸭、白鹤等珍稀物种，据统计，湖北荆州地区的湿地越冬水鸟种类从2023年75种增至2025年85种，设从2023年到2025年鸟的种类数量的年平均增长率为x，依据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，根据增长率公式，即可列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ， 故选：D． 34．（2026·青海西宁·二模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的30万人增加到2026年的43.2万人，则该市参加健身运动人数的年均增长率是__________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设年均增长率为，根据从2024年的30万人增加到2026的万人列方程求解即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 35．（25-26九年级上·吉林延边·阶段检测）某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 【答案】该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x．两年后的产量达到，建立方程解答即可． 【详解】解：设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 36．（25-26九年级·山东淄博·期末）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 【答案】 这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为，根据该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，列出方程解答即可． 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为， 依题意得：， 解得，（舍去）． 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为． 【题型七】几何面积问题 37．（24-25九年级上·广西来宾·阶段检测）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 38．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 39．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 40．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【答案】（1）解：当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）；（3）或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解； （2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可； （3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 【题型八】销售利润压轴题 41．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，盈利由每件利润和销量决定，每件利润为售价减进价，销量随降价增加而线性增加． 【详解】解：进价40元/件，售价100元/件，降价x元后，售价为元， 每件利润为元， 原销量20件，每降价1元多卖6件，降价x元多卖件， 销量为件， 每天盈利1800元， 方程为， 故选：C． 42．（25-26九年级上·全国·期末）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元，商场日盈利可达到元，则可列方程为_____． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件商品降价元，则每件盈利为元，每天销售量为件，根据日盈利为元，列出方程即可． 【详解】解：依题意，日盈利为每件盈利与销售量的乘积，即， 故答案为：． 43．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利是多少元？ 【答案】(1)每件衬衫应降价20元 (2)每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大盈利是1250元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出一元二次方程和二次函数的解析式，是解题的关键： （1）设每件衬衫应降价元，根据利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （2）设每天的利润为元，根据利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元， 由题意，得：， 整理，得， 解得， ∵尽快减少库存， ∴； 答：每件衬衫应降价20元； （2）解：设每天的利润为元，则， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，的值最大为； 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大盈利是1250元． 44．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； (3)任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2)此时纸盒的高为 (3) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； （3）若设每斤草莓降价元，由题意得每斤草莓获利元，每天可售出斤，根据日利润为1450元列方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率，长方形的面积和营销问题，正确理解题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为，由题意得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）设此时纸盒的高为， ， 解得，（舍去）， 则此时纸盒的高为； （3）若设每斤草莓降价元，则每斤草莓获利元，每天可售出斤， 由日利润为1450元得． 故答案为：． 【题型九】传播、握手、循环问题 45．（25-26九年级上·河南周口·期末）冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：每轮传染中平均一人传染人， 第一轮后患病人数为人，故A正确，不符合题意； 第一轮后有人，每人传染人， 第二轮新增加人，故B正确，不符合题意； 两轮后总患病人数为，且给定为49， 列方程，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意； 故选：C． 46．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 47．（25-26九年级·江苏盐城·阶段检测）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 48．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，设有个足球队参赛，根据题意，请列出方程__________． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设有x个足球队参赛，每两个队之间进行一场比赛，则总比赛场数，根据计划安排15场比赛即可建立方程． 【详解】解：设有个足球队参赛，根据题意得，， 故答案为：． 49．（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，初始有5个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为，第二轮传染后，总患病人数为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染6人． 50．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 【题型十】判别式+韦达定理综合压轴 51．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 52．（24-25九年级上·广东清远·期中）【材料阅读】 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如（a，b，c是常数，且）的两根分别为，则有，． 【问题解决】 (1)若m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根；求的值． (2)若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，求k的值． (3)已知：，（）是一元二次方程的两个实数根，设，，求，的值． 【答案】(1) (2)1 (3)1；3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程的解等知识点， （1）根据根与系数的关系求解即可； （2）先由根的判别式求出k的范围，根与系数的关系求出k的值，然后取舍即可得解； （3）先将根代入原方程进行恒等变形再结合两根和代入计算即可得解； 熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决此题的关键． 【详解】（1），n是关于x的一元二次方程的两个实数根 ，， ； （2），是方程的两个实数根 ， 解得：， 由根与系数的关系可知：，， 又， ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴k的值为1． （3）、是方程的两个根， ，，， ． ． 53．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知关于 x 的一元二次方程． (1)求证：无论 a 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设是方程的两个根，当时，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 故方程有两个不相等的实数根； (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵是方程的两个根， ∴， ∴． 54．（22-23九年级上·重庆·期中）阅读下列材料： 韦达定理：若一元二次方程的两根分别为．则， ． 阅读下面应用韦达定理的过程： 若一元二次方程的两根分别为．求的值． 解：该一元二次方程的判别式， 由韦达定理可得： ，，解答下列问题： (1)设方程的两根分别为，不解方程，利用韦达定理求代数式的值； (2)若关于x的一元二次方程的两实数根分别为，且，利用韦达定理求k的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，可得，，从而得到，再由可得到关于k的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设方程的两根分别为， 由韦达定理得：， ∴ ； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两实数根分别为， ∴， ∴， 由韦达定理得：， ∵， ∴，即， ∴， 解得：（舍去）或1， 所以k的值为1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 55．（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）阅读材料：对于一个关于的一元二次方程（其中 ，a、b、c为常数） 的两根分别为α，β，我们有如下发现：①若α，β为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②α，β满足韦达定理：即，；③韦达定理也有逆定理，即如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的两个根．请应用上述材料解决以下问题： (1)若实数α，β是关于x的一元二次方程的两个根， ①当时，则 ， ； ②若均为整数且，求m的值； (2)已知实数满足求的值． 【答案】(1)①，；②无解 (2)39 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）①根据韦达定理即可得出结论； ②先表示出判别式，再判断出，即可得出结论； （2）根据韦达定理的逆定理写出方程，即可得出结论． 此题主要考查了材料的理解和应用，一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，判别式的应用，理解和灵活应用韦达定理是解本题的关键． 【详解】（1）解：①当时，关于的一元二次方程，即为， ，， 故答案为，； ②、为整数， ∴， 是整数，且， ∴， 即 此时无解； （2）解：∵， ， 又∵， 和可以看成是方程的两个根， 解方程得，或， ，或，， ①当，，和可以看作是方程的两根， 此时，符合题意， ； ②当，，和可以看作是方程的两根， 此时，方程无解，不符合题意； ． 56．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程（其中，a、b、c为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的两个根．例如：若实数a，b满足，那么a和b是方程的两个根，请应用上述材料解决以下问题： (1)若实数是关于x的一元二次方程的两个根． ①当时，则___________，___________； ②若均为整数且，求m的值； (2)已知实数p，q满足，求的值． 【答案】(1)①，；②13 (2)39 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题主要考查了材料的理解和应用，一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，判别式的应用，理解和灵活应用韦达定理是解本题的关键． （1）①利用根与系数的关系求解即可； ②根据所给材料可知为完全平方数，结合可求出； （2）根据韦达定理的逆定理写出方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，，， 故答案为：，； ②∵为整数 ∴上材料可知为完全平方数    即为完全平方数 ∵是整数，且 ∴只有当时满足条件． （2）解：∵， ， 又∵， 和可以看成是方程的两个根， 解方程得，或， ，或，， ①当，，和可以看作是方程的两根， 此时，符合题意， ； ②当，，和可以看作是方程的两根， 此时，方程无解，不符合题意； ． 1.定义核心：一元二次方程三要素（整式、一元、二次），是所有含参问题的隐藏前提，重中之重； 2.解方程优先级：因式分解法＞直接开平方法＞配方法＞公式法，根据方程形式灵活选择； 3.两大工具前提：判别式、韦达定理仅适用于一元二次方程有实数根的情况，不可直接套用； 4.应用题核心：严格遵循「审、设、列、解、验、答」步骤，双重检验（方程根+实际意义）； 5.核心数学思想：降次转化思想、整体代入思想、分类讨论思想、数学建模思想。 一、单选题 1．若是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． 故选C． 2．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 3．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 4．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先移项，再将二次项系数化为1，最后方程两边加上即可得出答案． 【详解】解：移项得：， 二次项系数化为1得：， 方程两边加上得：，即， 故选：B． 5．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 6．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 7．如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：D． 8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 【详解】解： ， ， 时, 解得 ； 时，解得 或 (舍)； 时， 解得 或(舍)； 时，方程无解； 综上所述：方程的解为：或 或 故选C． 9．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 10．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 二、填空题 11．关于的方程的一根为，则另一根为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴， ∴， 解得：，即另一根为， 故答案为：． 12．若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入原方程求解，再根据一元二次方程定义排除不符合条件的值即可得到结果． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得，解得． 又∵是关于的一元二次方程， ∴，即， ∴符合条件． 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 15．若一元二次方程没有实数根，则常数项c的最小整数值为_______． 【答案】3 【分析】由方程没有实数根可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围，取其内的最小整数即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根， ∴△=， 解得： ，c的最小整数值是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记当时，方程有实数根是解题的关键． 16．已知关于x的方程有实数根．且是方程的两个实数根，实数m使得成立，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，反过来也成立，也考查了根的判别式． 根据判别式的意义得到，然后解不等式；根据根与系数的关系得到，利用得到，则 ，然后解方程后利用的范围确定的值． 【详解】根据题意得 解得； 根据题意得， 即 整理得，解得， ∴的值为． 故答案为：． 17．已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为_____． 【答案】4或5 【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】解：， ∴= 即， ， 、中有一个数为．          当时， 解得：．          、、能构成等腰三角形， 符合题意；                                当时，、、能构成等腰三角形， 符合题意．               综上所述：的值为或． 18．如图，在等腰直角中，点为斜边的中点，平行于的直线从点出发，以每秒的速度沿向点滑动，与的交点分别记作点，若，则当的面积与的面积之比为时，直线滑动的时间______秒． 【答案】6 【分析】根据等腰直角三角形的性质，用含的代数式分别表示出、，进而表示出、，由面积之比为，列分式方程，即可求解，本题考查了等腰直角三角形的性质，解分式方程，解题的关键是：用含的代数式表示出面积之比． 【详解】解：根据题意得：，，， ，， ， ， 解得：（舍）或， 故答案为：6． 三、解答题 19．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为一般式，再利用配方法求解即可． 【详解】 ， ∴，． 20．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 21．小明、小华、小亮分别求出了方程的根． 小明：； 小华：； 小亮：． 谁的答案正确？说说你的判断方法． 【答案】小明、小华的答案错误，小亮的答案正确，判断方法见解析 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，求出和，之后与题中三人答案进行运算对比即可． 【详解】解：， 根据韦达定理：，， 小明：，不满足， ∴小明的答案错误； 小华：，，不满足， ∴小华的答案错误； 小亮：，，满足韦达定理， ∴小亮的答案正确； ∴小明、小华的答案错误，小亮的答案正确． 判断方法：先利用一元二次方程根与系数的关系，求出和，然后用三人答案进行运算对比即可得出三人答案的错误与正确． 【点睛】题目主要考查求解一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题关键． 22．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最小整数时，求方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用一元二次方程的根的判别式列不等式并求解即可获得答案； （2）首先根据题意确定的值，然后利用因式分解法解该方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴该方程的根的判别式， 解得， 即的取值范围为； （2）∵， ∴当取满足条件的最小整数时，， 此时该关于x的方程为， 即有， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式以及解一元二次方程的常用方法． 23．已知关于x的方程 (1)求证：无论m为何实数时，方程都有实数解； (2)若此方程有一个实数解是，求方程的另一个实数解． 【答案】(1)见解析 (2)或者 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式与根的关系进行证明即可． （2）应用一元二次方程根与系数关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：将原方程化成一般式可得： ， 则 ， ， ， ∴无论m为何实数时，方程都有实数解； （2）设另一个根为 ， 由根与系数关系得： ， ， 即可得： 代入 可得：， 解得： ， 当时， ， 当时， ， 综上所述：方程的另一个实数解为-11或者-4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系：若是一元二次方程 的两个根，则；一元二次方程根的判别式与根之间的关系： 方程有两个不相等的实数根 ， 方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握这些关系是解题的关键． 24．已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 25．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． （1）求平均每年投资增长的百分率； （2）已知河道治污每平方米需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？ 【答案】（1）平均每年投资增长的百分率为10％；（2）园林绿化的费用应在190万～242万的范围内． 【分析】（1）设平均每年投资增长的百分率是x．根据2013年投资1000万元，得出2014年投资1000（1+x）万元，2015年投资1000（1+x）2万元，而2015年投资1210万元．据此列方程求解； （2）设2015年河道治污面积为a平方米，园林绿化面积为平方米，根据2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米及河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：（1）设平均每年投资增长的百分率是x．由题意得l000（1＋x）2＝1210，解得xl＝0.1，x2＝－2.1（不合题意，舍去）．答：平均每年投资增长的百分率为10％． （2）设2015年河道治污面积为a平方米，园林绿化面积为平方米， 由题意得 ∴24200≤a≤25500， ∴968万≤400a≤1020万， ∴190万≤1210万－400a≤242万． 答：园林绿化的费用应在190万～242万的范围内． 【点睛】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式组. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+10典例精讲） 【知识点01】一元二次方程的定义 只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且为整式方程，叫做一元二次方程。 三个必备判定条件（缺一不可）： ① 必须是整式方程（分母、根号内不含未知数）； ② 只含有一个未知数； ③ 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 【知识点02】 一元二次方程的一般形式 ：二次项，为二次项系数； ：一次项，为一次项系数； ：常数项。 注意：判断各项系数前，必须先将方程化为标准一般形式。 【知识点03】一元二次方程的根（解） 能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。若是方程的根，则满足。 【知识点04】一元二次方程的四种解法（优先级：从快到慢） （1）直接开平方法 适用形式： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程无实数根。 （2）配方法 通用步骤：移项 → 二次项系数化为1 → 两边加「一次项系数一半的平方」配方 → 开平方求解。 核心作用：推导求根公式、求解代数式最值、证明代数式恒正/恒负。 （3）公式法（万能解法） 适用所有有实数根的一元二次方程，求根公式： （4）因式分解法（最快、首选） 核心原理：若，则或。 适用场景：方程左边可快速分解为两个一次因式的乘积，右边为0。 【知识点05】根的判别式 对于一元二次方程，判别式： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程无实数根。 【知识点06】根与系数的关系（韦达定理） 前提：方程有实数根（），设两根为，则： 简易方程推论：若方程为，则。 常用代数式变形（高频考点）： 【知识点07】列一元二次方程解应用题通用步骤（五步法） 这是所有题型通用解题规范，缺一不可，是考试得分核心： 审：审题，梳理题目已知量、未知量，找准题目隐藏的等量关系，几何题可画图辅助分析。 设：合理设未知数，优先设直接未知数，复杂题型可设间接未知数，统一题目所有单位。 列：根据等量关系，列出标准一元二次方程（一般形式：）。 解：选择合适方法解方程（优先因式分解法，其次公式法、配方法），求出方程两个根。 验、答：双重检验，先检验根是否为方程的解，再检验是否符合实际意义，舍去不合理解，最后规范作答。 【知识点08】一元二次方程实际应用四大模型 增长率/下降率问题：（初始量，变化率，最终量）； 面积问题：矩形、边框、道路平移拼接，利用面积公式列方程； 销售利润问题：总利润=单件利润×销售量； 传播/循环问题：根据传播规律、单双循环规则列方程。 核心要求：应用题解出根后，必须检验是否符合实际意义，舍去不合理的根。 易错点1：判定一元二次方程忽略「」 含参数方程，若为一元二次方程，必须满足；若题干仅说「方程」，需分类讨论：（一元一次方程）、（一元二次方程）。 易错点2：系数识别符号出错 未化为一般形式直接取值，如，整理为，一次项系数，易误判为5。 易错点3：配方法步骤不规范 二次项系数不为1时，未先化系数为1就配方；或配方时只给方程一边加常数，另一边忘记同步添加。 易错点4：判别式、韦达定理使用无前提 ① 用判别式求参数范围，未优先保证；② 直接套用韦达定理，未检验，出现无实数根却计算的错误。 易错点5：因式分解法随意除未知数 错误示例：，两边直接除以，丢失根；正确做法：移项、提取公因式求解。 易错点6：直接开平方法漏根 求解时，只算出正根，遗漏负根。 易错点7：题干关键词理解偏差 「有两个实数根」对应（包含相等实根）；「有两个不相等实数根」对应，极易混淆。 易错点8：应用题不检验根的合理性 长度、人数、价格、增长率不能为负，求出负数根或不符合实际的根，必须舍去。 【题型一】一元二次方程识别与参数求解 1．（23-24九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）请写出一个根为，另一个根为0的一元二次方程_______． 4．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 5．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 6．已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【题型二】四大方法解方程专项 7．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·湖北黄冈·一模）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，． 其中完全正确的是（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 11．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）关于的一元二次方程的解是________． 12．（22-23九年级下·四川攀枝花·阶段检测）一元二次方程的根为______． 13．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）将方程化成（为常数）的形式，则___________． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 15．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． (3) (4) 16．（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【题型三】根的判别式含参问题 17．（2024九年级上·重庆江津·竞赛）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·陕西安康·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是____________．（写出一个即可） 19．关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数的最小值为__________． 20．已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 21．已知关于x的方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 22．（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 【题型四】根与系数关系变形计算 23．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 24．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 25．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 26．（24-25九年级上·河南开封·阶段检测）（1）对于一元二次方程，当时，它的求根公式为 ，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，则满足：① ；② ．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． 【题型五】构造一元二次方程 27．（25-26九年级上·福建泉州·期中）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．请你完成下面两个问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数a、b、c满足，且，求c的最大值． 28．（24-25九年级·福建厦门·阶段检测）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： (1)已知实数、满足、，求的值． (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 29．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 30．（22-23九年级上·福建泉州·期中）阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数满足，，求的值． (3)已知实数满足、，且，求c的最大值． 31．（23-24九年级上·四川成都·阶段检测）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【题型六】增长率问题 32．（22-23九年级上·吉林长春·期末）恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）随着生态环境变好，各湿地越冬水鸟种类逐年增多，如中华秋沙鸭、白鹤等珍稀物种，据统计，湖北荆州地区的湿地越冬水鸟种类从2023年75种增至2025年85种，设从2023年到2025年鸟的种类数量的年平均增长率为x，依据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 34．（2026·青海西宁·二模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的30万人增加到2026年的43.2万人，则该市参加健身运动人数的年均增长率是__________． 35．（25-26九年级上·吉林延边·阶段检测）某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 36．（25-26九年级·山东淄博·期末）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 【题型七】几何面积问题 37．（24-25九年级上·广西来宾·阶段检测）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 38．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 39．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 40．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【题型八】销售利润压轴题 41．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·全国·期末）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元，商场日盈利可达到元，则可列方程为_____． 43．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利是多少元？ 44．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； (3)任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______． 【题型九】传播、握手、循环问题 45．（25-26九年级上·河南周口·期末）冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 46．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 47．（25-26九年级·江苏盐城·阶段检测）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 48．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，设有个足球队参赛，根据题意，请列出方程__________． 49．（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 50．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【题型十】判别式+韦达定理综合压轴 51．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 52．（24-25九年级上·广东清远·期中）【材料阅读】 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如（a，b，c是常数，且）的两根分别为，则有，． 【问题解决】 (1)若m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根；求的值． (2)若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，求k的值． (3)已知：，（）是一元二次方程的两个实数根，设，，求，的值． 53．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知关于 x 的一元二次方程． (1)求证：无论 a 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设是方程的两个根，当时，求的值． 54．（22-23九年级上·重庆·期中）阅读下列材料： 韦达定理：若一元二次方程的两根分别为．则， ． 阅读下面应用韦达定理的过程： 若一元二次方程的两根分别为．求的值． 解：该一元二次方程的判别式， 由韦达定理可得： ，，解答下列问题： (1)设方程的两根分别为，不解方程，利用韦达定理求代数式的值； (2)若关于x的一元二次方程的两实数根分别为，且，利用韦达定理求k的值． 55．（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）阅读材料：对于一个关于的一元二次方程（其中 ，a、b、c为常数） 的两根分别为α，β，我们有如下发现：①若α，β为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②α，β满足韦达定理：即，；③韦达定理也有逆定理，即如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的两个根．请应用上述材料解决以下问题： (1)若实数α，β是关于x的一元二次方程的两个根， ①当时，则 ， ； ②若均为整数且，求m的值； (2)已知实数满足求的值． 56．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程（其中，a、b、c为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的两个根．例如：若实数a，b满足，那么a和b是方程的两个根，请应用上述材料解决以下问题： (1)若实数是关于x的一元二次方程的两个根． ①当时，则___________，___________； ②若均为整数且，求m的值； (2)已知实数p，q满足，求的值． 1.定义核心：一元二次方程三要素（整式、一元、二次），是所有含参问题的隐藏前提，重中之重； 2.解方程优先级：因式分解法＞直接开平方法＞配方法＞公式法，根据方程形式灵活选择； 3.两大工具前提：判别式、韦达定理仅适用于一元二次方程有实数根的情况，不可直接套用； 4.应用题核心：严格遵循「审、设、列、解、验、答」步骤，双重检验（方程根+实际意义）； 5.核心数学思想：降次转化思想、整体代入思想、分类讨论思想、数学建模思想。 一、单选题 1．若是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 3．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 5．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 7．如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒 8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 二、填空题 11．关于的方程的一根为，则另一根为______． 12．若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 14．方程的正根介于正整数与之间，则________． 15．若一元二次方程没有实数根，则常数项c的最小整数值为_______． 16．已知关于x的方程有实数根．且是方程的两个实数根，实数m使得成立，则______________． 17．已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为_____． 18．如图，在等腰直角中，点为斜边的中点，平行于的直线从点出发，以每秒的速度沿向点滑动，与的交点分别记作点，若，则当的面积与的面积之比为时，直线滑动的时间______秒． 三、解答题 19．解方程：． 20．解方程： (1)． (2)． 21．小明、小华、小亮分别求出了方程的根． 小明：； 小华：； 小亮：． 谁的答案正确？说说你的判断方法． 22．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最小整数时，求方程的根． 23．已知关于x的方程 (1)求证：无论m为何实数时，方程都有实数解； (2)若此方程有一个实数解是，求方程的另一个实数解． 24．已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 25．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． （1）求平均每年投资增长的百分率； （2）已知河道治污每平方米需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $