第二十七章 反比例函数 单元卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦反比例函数，覆盖概念、图像性质及实际应用，通过茶吧机水温控制、教室消毒等生活情境设计，适配初中数学单元复习，强化数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义、图像分布、与一次函数交点|基础巩固，如第1题辨析反比例关系| |填空题|6/18|k值确定、图像对称性、面积问题|能力提升，如第13题结合面积求k值| |解答题|8/72|实际应用（锻造/消毒）、函数综合|创新应用，如22题用反比例函数解决消毒时长问题，体现模型观念|

第二十七章 反比例函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下面每组中的两种量成反比例的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．利率一定，存款的本金和利息 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．折扣一定，商品的原价和折后价 2、下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3、在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 4、已知反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．其图像分别位于第二、四象限 B．其图像关于原点对称 C．其图像经过点 D．若点都在图像上，且，则 5、若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6、如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7、如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是△的中位线，△的面积为12，则的值是　　 A． B． C．6 D．12 8、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，它的图象如图．下列说法正确的是（   ） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V C．当时， D．当时， 9、某二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10、如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要4min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 （填一个即可）． 12、如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ． 13、如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 14、在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 15、如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 16、为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分）成正比例；燃烧后，与成反比例．若，则的取值范围是_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题6分，18-20，每题8分, 21-22，每题10分， 23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 18、反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 19、 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集． 20、如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，经过点A作轴于点B，，点C在线段AB上，． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P在y轴上，当与的面积相等时，求点P的坐标． 20、 制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 22、为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 23、如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： (1)图象的另一支位于____象限，写出k的取值范围________．在每个象限内y随x的增大而_____． (2)若点，，均在该反比例函数图象上，若，比较，，的大小关系（用“﹤”号连接）__________． (3)若点，在这个函数的图象上，则____，直线解析式为______________． 面积为__________．写出时，x的取值范围__________． 24、换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是 　 　． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”， 是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形” ．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形” 的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为 　　，周长为 　　． ②是否存在矩形的“双半矩形” ？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下面每组中的两种量成反比例的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．利率一定，存款的本金和利息 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．折扣一定，商品的原价和折后价 【答案】C 【详解】解：A、长方形的周长一定，它的长和宽的和是定值，故不符合题意； B、利率一定，存款的本金和利息成正比例，故不符合题意； C、因为圆柱的体积底面积高，所以圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，故符合题意； D、折扣一定，商品的原价和折后价不成反比例，故不符合题意； 2、下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、y是x的正比例函数，不符合题意； B、y是x的反比例函数，符合题意； C、y是的反比例函数，不符合题意； D、y是x的二次函数，不符合题意； 3、在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； A.，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意； B. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； C. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； D. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； 4、已知反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．其图像分别位于第二、四象限 B．其图像关于原点对称 C．其图像经过点 D．若点都在图像上，且，则 【答案】D 【详解】解：A、反比例函数中，， 此函数的图象在二、 四象限， 故本选项说法正确，不合题意； B、反比例函数的图像是关于原点的中心对称，故本选项说法正确，不合题意； C、∵， 图象必经过点，故本选项说法正确，不合题意；   D、反比例函数中，， 此函数的图象在每一象限内随的增大而增大， ∴当，在同一象限时则，在不同象限时则， 故本选项错误，符合题意； 5、若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小， 根据A，B，C点横坐标，可知点B，C在第一象限，A在第三象限， ∴， ∴． 6、如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为-2， 由图象可知，当或时，正比例函数图象在反比例函数的图象的上方， ∴当或时，， 7、如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是△的中位线，△的面积为12，则的值是　　 A． B． C．6 D．12 【详解】解：如图，连接， 是△的中位线， 点是线段的中点， ． ． 反比例函数在二、四象限， ． 8、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，它的图象如图．下列说法正确的是（   ） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V C．当时， D．当时， 【答案】D 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是，故B错误； 当时，，故C错误， 当时，，该D项正确． 9、某二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：由抛物线的图像可知：横坐标为1的点，即在第四象限，因此； ∴双曲线的图像分布在二、四象限； 由于抛物线开口向上，∴， ∵对称轴为直线，∴； ∵抛物线与轴有两个交点，∴； ∴直线经过一、二、四象限； 10、如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要4min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 （填一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即． 故答案为：1（答案不唯一）． 12、如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为． 故答案是：． 13、如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 14、在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小 ， ，， ， 故答案为：． 15、如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 16、为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分）成正比例；燃烧后，与成反比例．若，则的取值范围是_______． 【答案】 详解】解：函数图象可知， 燃烧时，与成正比例函数： ， 将代入得，即， ∴y=x(0≤x<10)， 燃烧后，与成反比例函数：， 将代入得，即， ∴， ∵， ∴即；即， ∴的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题6分，18-20，每题8分, 21-22，每题10分， 23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：， 函数图象位于第二、四象限， 点，，都在反比例函数的图象上，， ， ． 18、反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 【答案】 【详解】解：根据题意得：轴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵反比例函数在第一象限的图象， ∴， ∴． 19、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【小问1详解】 解：∵，且点的横坐标为1， ∴，且， ， 在中， ， ， 点A的坐标为，且点A在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为：， 当时，，解得， ∴点B的坐标为， 将和代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 由题意得， ，即，即， 只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可， 由图可得当或时，， ∴不等式的解集为：或． 20、如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，经过点A作轴于点B，，点C在线段AB上，． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P在y轴上，当与的面积相等时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 【小问1详解】 解：由，得， ∴ ∴点A的坐标为 ∴ ∴反比例函数的表达式为 【小问2详解】 设，则 ∴ ∴ ∴， 设点P的坐标为，则 或 ∴或 ∴点P的坐标为或 21、制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 22、为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见详解 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 23、如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： (1)图象的另一支位于____象限，写出k的取值范围________．在每个象限内y随x的增大而_____． (2)若点，，均在该反比例函数图象上，若，比较，，的大小关系（用“﹤”号连接）__________． (3)若点，在这个函数的图象上，则__________，直线解析式为__________．面积为__________．写出时，x的取值范围__________． 【答案】(1)四，，增大 (2) (3)，，，或 【详解】（1）解：由反比例函数的图象的一支在第二象限， ∴，解得：， 由反比例函数的图象和性质可知，图象的另一支在第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大． 故答案为：四，，增大． （2）解：由（1）知反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， 如果，则． 故答案为：． （3）解：将代入，得：，解得：， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴， 设直线解析式为， 则有，解得：， ∴直线解析式为， 如图：设直线与x轴的交点为E，则，即， ∴面积为； 由函数图象可得：当时，或． 综上可知，，，，或． 24、换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是 　 　． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”， 是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形” ．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形” 的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为 　　，周长为 　　． ②是否存在矩形的“双半矩形” ？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①故答案为：20，28；②故不存在矩形； （3）存在，或或． 【详解】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28； ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，， 则存在方程：， △， 方程无解， 故不存在矩形； （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ，解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $