第二十七章 反比例函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦反比例函数，整合多地区期末真题，覆盖基础概念到综合应用，适配九年级上册单元复习，助力能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、图象性质、跨函数综合|结合台灯电流电阻情境（第8题），体现应用意识| |填空题|6/18|交点坐标、取值范围、几何综合|矩形动点问题（第15题），培养几何直观| |解答题|9/72|解析式、面积计算、实际应用、综合探究|杠杆平衡实验（第20题）、正方形动点探究（第25题），突出模型意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 2．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】当反比例函数图象分布在第二、第四象限时，其比例系数小于0，据此列出不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限内， ∴，解得． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于轴对称 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∵，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，仅在每个象限内随的增大而增大，图象关于原点中心对称，不关于轴对称；故A，C，D错误； ∵， ∴图象经过点，故B正确． 4．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定x，y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而减小． 时，， ， 解得． 5．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 6．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，关键是通过设的纵坐标为，求出、两点的横坐标，从而得到的长度，再结合三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∴； ∵点在轴上， ∴中边上的高为； ∴的面积为； 故选：B． 7．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【答案】C 【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由题意可把代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在一次函数上， ∴， ∴点的坐标为，故A正确； 由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确； ∵， ∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误； 由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为， ∴，故D正确． 8．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将点代入解答①；将代入关系式判断②； 再观察图像可知在第一象限内函数的增减性解答③；然后将，代入关系式解答④ 即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴函数关系式为，则①正确； 当时，，则②不正确； 观察图像可知在第一象限，I随着R的增大而减小，则③正确； 当时，； 当时，， ∴，则④正确． 所以正确的有①③④，一共3个． 9．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的性质得到，，，由此得到一次函数、反比例函数图象经过的象限，把代入得到，联立方程组得到一次函数与反比例函数的交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象得到，开口向下，对称轴直线为，二次函数图象与x轴交于点，二次函数与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 当时，， ∴， ∴， 解得，或， ∴一次函数与反比例函数的交点坐标为，， ∴符合题意的函数图象是A选项 ． 10．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．当点P在的图象上运动时，以下结论： ① ②的值不会发生变化 ③与始终相等 ④当点A是的中点时，点B一定是的中点． 其中一定不正确的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形的面积为，即可判断②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求出的长度，可得出与的关系无法确定，即可判断③错误；连接，由点是的中点可得，结合，可得，从而可得，即可判断④正确． 【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，结论①正确； ∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴， 即四边形的面积不会发生变化，结论②正确； 设点的坐标为， 将和分别代入，得点的坐标为，点的坐标为， ，， 与的关系无法确定，结论③错误； 如图，连接， 点是的中点， ， ，， ，即， ， ∴点一定是的中点，结论④正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知直线与双曲线的一个交点为，则另一个交点坐标为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质得到它们的交点关于原点中心对称，据此求解即可． 【详解】解：直线是过原点的正比例函数，双曲线是反比例函数，两个函数的图象都关于原点中心对称， 它们的交点也关于原点中心对称， 已知一个交点为，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数， 另一个交点为． 12．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 13．已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 14．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】可证明，则反比例函数的图象位于第二、四象限，根据点A和点B的横坐标可确定点A和点B所在的象限，进而得到的符号，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限； 点的横坐标为， 点在第四象限，可得， 点的横坐标为， 点在第二象限，可得， ，即． 15．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，先求出，，继而可得，则，设，表示出，，再将点代入反比例函数表达式解方程即可． 【详解】解：设直线与轴交于点 对于一次函数，当时，； 当时，，解得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵与轴垂直， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴ 整理得， 解得或（舍） ∴． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 【答案】(1) (2)点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）将点的横坐标代入求函数值即可判断． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个函数的表达式为． （2）∵当时，， ∴点在这个函数的图象上； ∵当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 18．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)动点P在x轴上，当的面积等于9时，请求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据点坐标求出，得到反比例函数解析式，据此求出点坐标，再将，代入求出一次函数解析式； （2）设点的坐标为，求出直线与轴交点，再结合的面积为9得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ，则， 反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图， ∵点P在x轴上， ∴设点的坐标为， 对于直线，令，则，解得， 直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴ 解得：或， 或． 19．如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． (1)点A的坐标为_____，k的值为___； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点A作轴于点E，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上，求出k的值即可； （2）过点A作轴，连接，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：如图，过点A作轴，连接， ， ， ． 20．【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出解析式并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案； （3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表格中的数据可知，当时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴在第一象限内，y随x增大而减小， ∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为． 21．如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线解析式，代入得点坐标，再代入反比例函数即可求解析式； （2）由垂线段最短可知时最小，此时为斜边上的高，用等积法即可求此时长． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴把代入，得： ， ∴点坐标为， 把代入，得： ， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由“垂线段最短”可知：当时，最小，如图， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， 解得， 即线段的最小值为． 22．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）先求解，再进一步求解即可； （2）作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点，再进一步求解即可． （3）利用，进一步计算即可． 【详解】（1）解：依题意，在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点． ∴， 把代入， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解这个方程组，得， 当时，，， ． （3）解：如图，∵，，， ． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不存在，理由如下： 设，即， ∵点E是线段上一动点，点F是线段上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，此时，不符合题意， ∴不存在这样的直线． 【分析】（1）过点D作轴于点G，则，证明，可得，即可得到点D的坐标，即可求解； （2）过点C作轴于点F，交双曲线于点P，则，证明，可得，从而得到点C、P的坐标，即可求解； （3）设，即，其中， 根据直线将的周长和面积同时平分，可得，，从而得到，可求出m，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； （3）略 24．在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)32 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）由点的坐标为得到，由菱形的面积求出菱形的高，运用勾股定理可求出点横坐标，可得点、的坐标，从而可求出的最大值； （2）①根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； ②根据两点间距离公式求出的长即可得出． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵菱形的面积为20， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （2）解：①∵是菱形对角线的交点， ∴是的中点， ∴点的坐标为，即， 把代入得， ∴反比例函数解析式为； ②；理由： ∵ ∴， 又， ∴， ∴． 25．如图，已知点，，且、满足．平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于轴对称 D．随的增大而增大 4．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 6．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 8．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 10．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．当点P在的图象上运动时，以下结论： ① ②的值不会发生变化 ③与始终相等 ④当点A是的中点时，点B一定是的中点． 其中一定不正确的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知直线与双曲线的一个交点为，则另一个交点坐标为______． 12．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 13．已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 14．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 15．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 16．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 18．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)动点P在x轴上，当的面积等于9时，请求点P的坐标． 19．如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． (1)点A的坐标为_____，k的值为___； (2)求四边形的面积． 20．【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 21．如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 22．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 24．在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 25．如图，已知点，，且、满足．平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于轴对称 D．随的增大而增大 4．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 6．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 8．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 10．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．当点P在的图象上运动时，以下结论： ① ②的值不会发生变化 ③与始终相等 ④当点A是的中点时，点B一定是的中点． 其中一定不正确的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知直线与双曲线的一个交点为，则另一个交点坐标为______． 12．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 13．已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 14．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 15．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 16．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 18．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)动点P在x轴上，当的面积等于9时，请求点P的坐标． 19．如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． (1)点A的坐标为_____，k的值为___； (2)求四边形的面积． 20．【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 21．如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 22．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 24．在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，点的坐标为，对角线相交于点，且菱形的面积为20． (1)如图1，当反比例函数的图象与菱形有交点时，的最大值为___________．（请直接写出结果） (2)如图2，反比例函数的图象经过点． ①求反比例函数的关系式； ②判断对角线与的数量关系，并说明理由． 25．如图，已知点，，且、满足．平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章反比例函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案■ B 0 A ⊙ A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.（2,-2) 业子s 1 13.-4-0.25 14.< 15.y=48 6≤x≤10) 16.-4 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 〔详解】(1)：反比例函数少=的图象经过点A(-3,4 ,k=-3×(-4)=12 二这个函数的表达式为少=2 .3分 (2):当=4时，y=2-=3 4 B(4,3) 点 在这个函数的图象上： 当x=-5时，y=1212 -55 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六点C(-5,3)不在这个函数的图象上.6分 18. 【详解】(1)解：反比例画数为受的图象过点B2-3), 3= =2,则m=-6: 反比例函数的解析式为片=-6」 m :反比例函数业=x的图象过点A(-山，”)小， 6 4(,6) :一次函数乃=：+b 的图象过点 A(-1,6)B(2,-3) [-k+b=6 k=-3 .2k+b=-3,解得：b=3, =-3x+3 .一次函数解析式为 ;y3分 (2)解：如图， 点P在x轴上， ·设点P的坐标为(a,0), 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于直线=-3x+3,令)=0，则3x+3=0,解得*=， “直线=-3x+3与轴交于点 C(1,0) .PC=1-al S.w-5.xcr+5.wcr=PCy+PC-yl …2-k6+-d小k3=9 解得：a=-l或a=3, P-1,0或PB,0). 6分 19 【详解】(I)解：过点A作AE⊥x轴于点E,如图所示： ,△AOB为等边三角形， .AO=AB=OB=2,∠AOB=∠ABO=60°， .∠A0E=90°-60°=30°， .∠AE0=90°， :B-40=1,Oe=0f-AB-5 ∴点4的坐标为(6，】 :点4小、5，)在反比例函数=(x>0)的图象上. 3分 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，过点A作AF1y轴，连接OC, ⅓ B Fh---- .BC∥OA .S.ouc=S.oum=2S.ouF=k k ∴S四边形0OAcD=S△ocD+S△OAc= 20. 【详解】(1)解：设y与x之间的函数关系式为y= k≠0)， 由表格中的数据可知，当x=10时，y=60, :60s← 10, .k=600, 600 少与x之间的函数关系式为少=E；…2分 (2)解：在y=600 中，当y=600 10时，x=60' .当砝码的总质量为10g时，托盘B与点0O之间的距离为60cm;4分 (3)解：在y=600 4,气120时，0=5， .600>0,x>0. 在第一象限内，y随x增大而减小， “当0<xs120时，5 ∴装置在水平位置平衡时托盘B中砝码的最小总质量为5g.6分 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21. 【详解】(1)解：设直线AB的解析式为 =c+b(k≠0) 把42.0).B(Q,4代入，得： [2k+b=0 b=4 [k=-2 解得：b=4, y=-2x+4, ,OD=1, 把x=-1代入y=+b,得： y=-2×(-1)+4=6 “点C坐标为 -1,6) 把C(10)代入y”,得： m二6 -1 解得m=6, ·反比例函数解析式为少=-6。 ;4分 (2)解：由“垂线段最短”可知：当OP⊥AB时，OP最小，如图， 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·1(2,0).B(0,4) ..OA=2,0B=4 在Rt△OAB中，由勾股定理得， AB=V0A+0B2=V22+42=2√5 04-OB-AB-OP 2 x2x4x25.0p. 1 2 _45 OP=. 解得 5, 4v5 即线段OP的最小值为5.8分 22. 【详解】(1)解：依题意，在矩形AOBC中，OA=2,OB=3, C3,2) D为BC的中点， .D(3,1) 反比例函数的图象经过点D, .k=y=3×1=3 反比例函数的表达式为y=.2分 (2)解：连接DE,作点D关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点P,则点P就是所求点. :F3-1) 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA E P、B F 把=2代入= X> 3 ∴x= 2’ 设直线EF的表达式为y=a+b, F(3,-I)代入y=c+b,得： 3 k+b=2 3k+b=-1: k=-2 解这个方程组，得b=5, y=-2x+5 当y=0时，-2x+5=0,x=2.5, .P(2.5,0) 5分 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、B S△PDE=SE形-S梯形AOPE-S△PBD-S△ECD =2x3-05+25)x2-26-25)x1-2x15x1 =6-4-13 44 =1.8分 23. 【详解】(1)解：如图，过点D作DG⊥x轴于点G,则∠AGD=90°， B D A G ∴.∠ADG+∠DAG=90° :四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠BAO+∠DAG=90°， .∠BAO=∠ADG 又：∠AOB=∠AGD=90° ,△ABO≌△DAG(AAS) DG=0A=3,AG=OB=4 ∴.OG=OA+AG=7, 7,3) 点D的坐标为 把点(2,3)代入y=中得：3 7 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即k=21, 六反比例函数的关系式为-斗 ：2分 (2)解：如图，过点C作CH1y轴于点H,交双曲线于点P,则∠BHC=90°， H-- B .∠BCH+∠CBH=90° :四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABC=90°， .∠ABO+∠CBH=90°， .∠ABO=∠BCH 又：∠AOB=∠CHB=90°， :△1BO≌ABCH(AAS) ..BH =OA=3,CH=OB=4. ..OH=OB+BH=7, 4,7) ∴点C的坐标为 ,点P的纵坐标为7， 21 当y=7时，7= x .x=3, 点P的坐标为包) .CP=4-3=1, 即将正方形ABCD沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上；5分 (3)不存在，理由如下： 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设E(m,0),F(0,m）,即0E=mOF=n :点E是线段OA上一动点，点F是线段OB上一动点， .0≤m≤3,0≤n≤4， 在Rt△ABO中，OA=3,OB=4. 4B-V04+08-5 的周长=3+4+5=12，A4B0的面积) ,直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分， 1 11 m+m=2×12=6,2m=2×6, 2 2 ∴.n=6-m,mn=6, :m(6-m）=6,即m2-6m+6=0, 解得：%=3+5，m,=3-V5 .0≤m≤3， :m=3-V ,此时1=3+5>4不符合腰态， .不存在这样的直线EF..8分 24. 【详解】(1解：：四边形01BC为菱形，点A的坐标为5,0)， 0A=5, ..OC=OA=AB=CB=5, 设OA边上的高为h, 菱形的面积为20， .5×h=20,即h=4, 设Cx),则+军= 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=3, .C(3,4) B(8,4) .k的最大值为8×4=32；4分 (2)解：①，D是菱形对角线的交点， .D是OB的中点， 84 ∴点D的坐标为22，即(4,2)， 把(4,2)代入y=x得k=8, 8 反比例函数解析式为y=二（x>0):8分 ②OB=2AC;理由： (5,0),C(3,4), :4C=V5-3}+(0-4=25 B(84) 又 :0B=8+4=4W5 .OB=2AC.12分 25. 【详解】解：V20+2+(a+b+3y=0.V2a+2≥0.(a+h+3)≥0 ∴.2a+2=0,a+b+3=0. 解得a=-1,b=-2, :(-10).B0-2) .E为AD中点，且点E在y轴上， 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .点D的横坐标为1， 设D0) ,四边形ABCD为平行四边形， xa+xc=x8+XD ya+yc=y8+yD :1+=0+1,0+%=-2+1 Xc=2 yc=-2+t :c2-2+) ·反比例函数y =,经过C、D两点， ,1×t=2×(-2+t) 解得t=4, D04) ;.4分 (2)解：：点DL,4)在反比例函数y=上， 4 .k=4, 一反比例函数的解析式为少=4 x, ·点p在反比例函数y=x上，点Q在y轴上， .4 设(0,),P 当AB为边时，如图，此时四边形ABPQ为平行四边形， 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则1+x=0, 2+y044 2 22 .x=1,y=6 此时点P的坐标为 0,6) 当AB为边时，如图，此时四边形ABQP为平行四边形， B 则0+x=1+0,0+y- 24 22 22 ∴x=-1,y=-6, 此时点的坐标为 (0,-6) 当AB为对角线时，如图，此时四边形APBQ为平行四边形， 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 则0牛-1+0,2+0y+4 2=2’2=2 解得x=-1,y=2, 0,2) 此时点之的坐标为 综上所述，点9的坐标为0,60）或0.6)或0.2列，…8分 MN (3)不变，HT的定值为 2如图，连接WH、NT、WF, :MN是线段HT的垂直平分线， ∴NT=WH, 四边形AFBH是正方形， ∠ABF=∠ABH,∠AFB=∠AHB=90°， 在△BFN与△BHN中， 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF=BH ∠ABF=∠ABH BN=BN ∴.△BFN≌△BHN(SAS) ∴NF=NH=NT,∠BFN=∠BHN ∠NTF=∠NFT,∠AFB-LBFN=∠AHB-∠BHN, ∴.∠AFN=∠AHN, .∴∠NTF=∠NFT=∠AHN 在四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN, .∠ATN+∠AHN-180°， .四边形ATNH内角和为360° ∴.∠TNH=360°-180°-90°=90°， .M是HT的中点， .MN =-HT 21 :1 H72即的定值为).12分 MN 15/15