精品解析：广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末考试 盐田高级中学高一数学试题卷 命题人：孙莉 审题人：陈东文 考试时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据、、、、、、、、的分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图中对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 轴 C. D. 4. 已知平面向量，，且与共线，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 5. 已知平面及空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线使得（ ） A. B. 与相交 C. 与是异面直线 D. 6. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 7. 已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（ ） A. 平均数不变 B. 方差不变 C. 极差变大 D. 中位数不变 8. 如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，过，，三点的平面交棱于点，设，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. A与B互斥 D. A与B相互独立 10. 设O为内一点，已知，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（ ） A. E，O，F三点共线 B. O为E，F的中点 C. D. 11. 一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 在扇形中， C. 该圆锥内半径最大的球的表面积为 D. 该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______． 13. 在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 14. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）求的值； （2）设向量与的夹角为，求的值． 16. 学校在组织选拔数学竞赛班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数（）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求m的值、并估计此次数学测试分数的平均数． （2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 17. 在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的平分线交于点，，的面积为，求的长度； （3）若，求周长的最大值. 18. 如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． （3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； （3）记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试 盐田高级中学高一数学试题卷 命题人：孙莉 审题人：陈东文 考试时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，因此复数的共轭复数是. 故选：A. 2. 样本数据、、、、、、、、的分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故样本数据、、、、、、、、的分位数为. 3. 如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图中对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 轴 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，结合选项逐一分析判断. 【详解】梯形ABCD的直观图如图： 对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确； 对于B、C，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，B、C正确； 对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方， 又，因此，D错误． 4. 已知平面向量，，且与共线，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由题意可得，， 由与共线可得， 解得， 故选：C 5. 已知平面及空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线使得（ ） A. B. 与相交 C. 与是异面直线 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【详解】对于A：当直线与平面相交时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、相交， 此时就不可能平行了，故A错； 对于B：当直线与平面平行时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、平行， 此时就不可能相交了，故B错； 对于C：当直线在平面内时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：平行、相交， 此时就不可能异面了，故C错； 对于D：不管直线与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面内找到一条直线与直线垂直， 因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确. 故选：D 6. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 7. 已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（ ） A. 平均数不变 B. 方差不变 C. 极差变大 D. 中位数不变 【答案】B 【解析】 【分析】求出新数据的平均数，即可判断A；求出新数据的方差即可判断B；求出两组数据的极差，即可判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，设新数据的平均数为， 则，故A错误； 对于B，设新数据的方差为，原数据的方差为， 则 ，故B正确； 对于C，假设原数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为； 则新数据中最大的数为，最小的数为， 则新数据的极差为，即极差不变，故C错误； 对于D，假设原数据为1，2，3，则平均数为2，中位数为2； 则新数据为3，4，5，中位数为4， 所以两组数据的中位数不等，故D错误. 8. 如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，过，，三点的平面交棱于点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，利用相似三角形的性质求解线段长度比. 【详解】 延长交的延长线于点，连接，如图所示. 因为为的中点，且在正方体中， 所以， 所以. 设正方体的棱长为1，则. 因为为平面与棱的交点，且均在平面与平面的交线上， 所以三点共线. 在平面中，过点作于点， 因为为的中点，所以为的中点， 且，. 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 又，所以. 因为，所以，解得. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. A与B互斥 D. A与B相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】由古典概型概率公式计算可判断A、B，C；根据独立事件的定义计算可判断D. 【详解】对于A、C选项，，故A正确，C错误； 对于B选项，因为，， 所以，故B错误； 对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确. 故选：AD. 10. 设O为内一点，已知，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（ ） A. E，O，F三点共线 B. O为E，F的中点 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，故可判断AB的正误，根据可得、，从而可得诸面积关系，故可判断CD的正误. 【详解】因为，并且E，F分别为AB，AC中点， 所以，， 则，所以， 所以，又O为公共点，所以E，O，F三点共线但O不是E、F的中点， 故A正确；B错误； 对于C，由，得，， 则，， 所以，故C错误； 对于D，由选项C得，故D正确． 11. 一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 在扇形中， C. 该圆锥内半径最大的球的表面积为 D. 该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件及弧长公式，利用圆锥的体积公式及向量的线性运算，再利用数量积的定义，等体积法锥体内切球半径表面积和球的表面积公式，结合正四棱柱的表面积公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】因为圆锥的侧面展开图中，，弧长为， 所以，解得， 设圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为，故A正确； 因为，为线段的中点，为弧中点， 所以 ，故B错误； 圆锥内半径最大的球就是圆锥的内切球，设内切球半径为， 由等体积可得，解得， 所以该圆锥内半径最大的球的表面积为，故C正确； 设圆锥内接正四棱柱的高为，底面正方形边长为，则 ， 所以正四棱柱的表面积为 ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事件有： 共6种抽法； 抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有共2种抽法， 所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为. 13. 在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将四面体放入长方体中，利用长方体的处接球即为四面体的外接球，求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的处接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 故答案为：. 14. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 【答案】 【解析】 【分析】在中，求得，在中，根据正弦定理求出，在中，由余弦定理得出答案. 【详解】在中，，，则， 其中 ， 由正弦定理，得， 在中，，，则， 又，则， 又， 在中，由余弦定理，得 ， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）求的值； （2）设向量与的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据向量的模长公式计算即可； 根据向量的数量积公式及向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 又因为， 所以. 16. 学校在组织选拔数学竞赛班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数（）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求m的值、并估计此次数学测试分数的平均数． （2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】（1），分 （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，所以． 该次测试分数的平均数的估计值为： 分； 【小问2详解】 记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法. 抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，. 分数在的有3人，编号为，，， 样本空间 ， 则，记事件“至少一人分数在内”. 则，则，所以这2人中至少有一人分数在内的概率为 17. 在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的平分线交于点，，的面积为，求的长度； （3）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边化角，再根据三角诱导公式以及两角和的正弦公式即可求解； （2）根据面积公式结合面积关系即可求解； （3）根据余弦定理和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 根据正弦定理，边化角得： ， 又，故， 代入上式整理得： ， 因为，，所以， 又，得. 【小问2详解】 由三角形面积公式： ，得，  是角平分线，故，由面积关系， 设， 则​ ， 代入得：​，解得. 【小问3详解】 由余弦定理：  ，  即，得，  由基本不等式，代入得：   当且仅当时等号成立， 所以的周长， 故的周长最大值为. 18. 如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． （3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 【答案】（1） 如图所示，设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． （2）1 （3）45° 【解析】 【分析】(1)先证明平面得到； (2)将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解； (3)设，，可证得为二面角的平面角，可得，为直线与平面所成的角，可求得知大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面， 所以． 【小问3详解】 设点是与的交点，由（1）可知平面， 又，均在平面内，从而有，， 故为二面角的平面角，所以， 所以， 因为，所以为等边三角形． 不妨设菱形的边长为，． 则在直角中，，， ，所以， 因为平面，所以为直线与平面所成的角． 则， 所以直线与平面所成的角为45° 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； （3）记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解. （2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解. （3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成 则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解. 【小问1详解】 因为，所以的互生向量. 【小问2详解】 由题意可得，所以， 令，解得， 因为，所以， 所以函数在上的严格增区间为. 【小问3详解】 由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为， 所以， 则由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为. 【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $