第12章函数与一次函数单元测试卷2026-2027学年沪科版八年级数学上册

**基本信息** 沪科版八年级数学上册第12章函数与一次函数单元卷，融合多地区中考真题，以真实情境与梯度问题落实数学眼光、思维、语言核心素养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|自变量判断、函数图象识别、一次函数性质|结合新能源汽车（题1）、救灾运输（题6）等真实情境，落实数学眼光| |填空题|4题20分|正比例函数表达式、分段函数（题12超市糖果）、面积分割（题13）|设置开放题与综合题，体现数学思维的严谨性| |解答题|7题100分|函数表达式求解、实际应用（题19公园游览、题20登山模型）、方案优化（题22机械手购买）|融合中考真题（如北京、成都中考题），通过分层设问（基础计算到综合建模）培养数学语言表达与应用意识|

第12章函数与一次函数单元测试卷 (2026-2027学年度新教材沪科八年级数学上册)（试卷版） 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．(2026.贵州中考)小红爸爸驾驶一辆新能源汽车，以每小时千米的速度在花江峡谷大桥上匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（     ） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 2．下列图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（     ） A．B． C．D． 3．（2026年广东省中考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 4.将直线向上平移1个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6.为保障“西藏吉隆”救灾物资的运输，甲、乙两辆物资运输车从A地出发前往B地．在整个行程中，运输车离开A地的路程与时刻之间的对应关系如图所示．下列结论错误的是（     ） A．乙车比甲车早1小时到达B地 B．A，B两地相距 C．在时，两车行驶的路程不同 D．甲车的平均速度为 7．如图是关于的函数图象，根据图象，下列说法中错误的是（     ） A．该函数的最大值为6 B．当时，随的增大而减小 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 8.已知一次函数，当时，，则的值为（     ） A．4 B． C．或 D．或 9.如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，正比例函数与交于点．若一次函数的图象与，可以围成三角形，那么的取值可能是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 11.（2026.河南中考）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________． 12.超市某种散装糖果的价格为30元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为（），付款金额为元，则关于的函数解析式是________． 13.在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为，，，若一次函数的图象将分成面积为的两个部分，则k的值为____________________． 14．（2026四川省成都中考）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15.如图，当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，看图象回答问题： (1)图中的自变量是什么？ (2)当温度为时，水的密度为多少？ (3)图中点表示的意义是什么？ 16．已知函数，为常数．若该函数是正比例函数， (1)求的值； (2)指出这个正比例函数的比例系数． 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17.一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 18.（2026.北京市中考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19．（2026成都中考）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． (1)直接写出的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 20．（2026年河北省）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时（分钟）的模型：．其中，（为常数），（千米）表示登山路线的长度；，（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间） (1)①求，的值； ②计算路线3的长度． (2)已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从出发到山顶的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶的预估用时． 六、(本大题共2小题,每小题12分,满分24分) 21.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点．    (1)求与的值； (2)如果点在直线上，且，求点的坐标； (3)如果点在直线上，且点的横坐标为，点在直线上，且轴，，直接写出的值． 22．（2026.黑龙江省绥化市中考）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等． (1)求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元？ (2)快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？ (3)该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量（件）与甲机械手工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． ①乙机械手的工作速度为_________件/分钟，_________． ②直接写出所在直线的函数表达式：_________． ③当乙机械手工作_________分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同． 七、 (本题满分14分) 23.某品牌手机专卖店销售3台A型号手机和1台B型号手机可获得利润1700元，销售2台A型号手机和3台B型号手机可获得利润2300元．该专卖店计划购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不低于B型号手机的3倍，设购进A型号手机x台，这100台手机售完后获得的利润为w元． (1)求w关于x的函数解析式； (2)购进A，B两种型号的手机各多少台时，售完获得的利润最大？ (3)实际进货时，代理商对A型号手机的出厂价下调了m（）元，且限定该专卖店最多购进A型号手机90台，若专卖店对A，B两种型号手机的售价保持不变，请你设计出销售完这100台手机后总利润最大的进货方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章函数与一次函数单元测试卷 (2026-2027学年度新教材沪科八年级数学上册)（解析版） 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D B C C D C B 1．(2026.贵州中考)小红爸爸驾驶一辆新能源汽车，以每小时千米的速度在花江峡谷大桥上匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（     ） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 【分析】根据函数的基本定义：在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量，据此即可判断． 【详解】解：∵在这个变化过程中，速度保持不变，是常量，路程随着时间的变化而变化，时间主动发生变化， ∴自变量是时间．答案:D 2．下列图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（     ） A．B． C．D． 【分析】根据函数的定义：一个变化过程中，两个变量，其中随着的变化而变化，对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，我们把叫做的函数，进行判断即可． 【详解】解：A．当时，每一个确定的值，都有2个值与之对应，不符合题意； B．当时，每一个确定的值，都有2个值与之对应，不符合题意； C． 每一个确定的值，都有1个值与之对应，符合题意； D．在函数图象上，每一个确定的值，都有2个值与之对应，不符合题意．答案:C 3．（2026年广东省中考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【分析】根据一次函数 中和的符号即可确定图象经过的象限． 【详解】解：一次函数中，， 该函数图象经过第一、二、三象限， 观察选项可知，只有A选项符合题意．答案A 4.将直线向上平移1个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先根据一次函数图象平移规则求出平移后的解析式，再利用一次函数和的符号判断直线经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：直线向上平移个单位，根据平移“上加下减”的规则，可得平移后的解析式为， ∵， ∴直线经过第一，三象限， ∵ ， ∴ 直线与轴交于正半轴，经过第二象限， 因此平移后的直线经过第一，第二，第三象限，一定不经过第四象限．答案D 5.如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵直线和交于点， ∴当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合， ∴不等式的解集为．答案B 6.为保障“西藏吉隆”救灾物资的运输，甲、乙两辆物资运输车从A地出发前往B地．在整个行程中，运输车离开A地的路程与时刻之间的对应关系如图所示．下列结论错误的是（     ） A．乙车比甲车早1小时到达B地 B．A，B两地相距 C．在时，两车行驶的路程不同 D．甲车的平均速度为 【分析】根据函数图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：由图象可知， 乙车比甲车早1小时到达B地，故选项A说法正确，不符合题意； A、B两地相距，故选项B说法正确，不符合题意； 在8：30时，乙车追上甲车，所以两车行驶的路程相同，故选项C说法错误，符合题意； 甲车的速度为：，故选项D说法正确，不符合题意．答案C 7．如图是关于的函数图象，根据图象，下列说法中错误的是（     ） A．该函数的最大值为6 B．当时，随的增大而减小 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 【分析】求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式. 【详解】解：由函数图象可知，该函数的最大值为6， 原说法正确，A选项错误； 由函数图象可知，当时，随的增大而减小， 原说法正确，B选项错误； 设下降段函数解析式为， 点和在函数图象上， ，解得：， 下降段函数解析式为， 当时，对应的函数值， 原说法错误，C选项正确； D、设上升段函数解析式为， 点在函数图象上， ，解得：， 上升段函数解析式为， 当时， 当时，， 当和时，对应的函数值相等， 原说法正确，D选项错误．答案C 8.已知一次函数，当时，，则的值为（     ） A．4 B． C．或 D．或 【分析】本题考查一次函数的性质与待定系数法求解析式，一次函数的增减性由的符号决定，需分和两种情况讨论，分别求出后计算即可． 【详解】∵一次函数的增减性与的符号有关，因此分两种情况讨论： ①当时，随的增大而增大， ∴当时，；当时，， 可得， 解得， ∴. ②当时，随的增大而减小， ∴当时，；当时，， 可得， 解得， ∴. 综上，的值为或．答案D 9.如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，正比例函数与交于点．若一次函数的图象与，可以围成三角形，那么的取值可能是（     ） A． B． C． D． 【分析】先求得C的坐标，然后讨论，与直线不能围成三角形时分三种情况：①直线过点时；②直线与平行时；③直线与平行时；进而得出，，直线可以围成三角形时k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， 设正比例函数的解析式为，把代入得：，解得：， ∴正比例函数的解析式为， 一次函数的图象为，如果，，不能围成三角形，那么可分三种情况： ①经过点时，，解得， ②，平行时，， ③，平行时，， 又是一次函数，所以． 故，，可以围成三角形时，k的取值范围是且且且． ∴k的值可以为．答案C 10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【分析】利用直线与轴成角的性质，结合等腰直角三角形的两直角边相等，推出，，再求解即可． 【详解】解：令， 解得， 设直线与轴交点为， 由题意，点坐标为即，则点横坐标为1，纵坐标为，则坐标为，即 由过点作直线 交轴于点，直线与轴正方向成角， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为3，纵坐标为，则坐标为，即， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为7，纵坐标为，则坐标为即 以此类推， 规律：，． 当时，．答案B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 11.（2026.河南中考）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________． 【分析】正比例函数的一般形式为，由图象经过第一、三象限可得，写出一个满足条件的表达式即可． 【详解】解：取，满足， 因此图象经过第一、三象限的正比例函数表达式为（答案不唯一）． 12.超市某种散装糖果的价格为30元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为（），付款金额为元，则关于的函数解析式是________． 【分析】根据单价乘以重量等于价格，将不超过的价格加上超过的价格即可得到函数解析式． 【详解】解：当时，． 答案 13.在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为，，，若一次函数的图象将分成面积为的两个部分，则k的值为____________________． 【分析】先找出一次函数经过点，再根据题意将分成面积为的两个部分，求出E、F两点的坐标，用待定系数法代入一次函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数，当时，， ∴一次函数过定点，即过点A． 如图，直线或将分成面积为的两个部分， ∵B、C两点的坐标分别为，， ∴， ∴此时两三角形的高相等，面积之比等于底之比， 即或， ∴或， ∴，， 将代入得，，解得； 将代入得，，解得； 综上所述，或． 14．（2026四川省成都中考）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 【分析】根据定义得出所有N点组成的图形为对角线在坐标轴上且对角线的长为2的正方形，进而求得其面积；进而根据，得出Q点运动所覆盖的区域面积，设，分情况讨论，分别画出图形，求得点的坐标，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：①∵ 设 ∴ 当在第一象限时， 即 ∴点在直线上， 同理当在第二象限时， ∴，即点在上， 当在第三象限时，，即点在上， 当在第四象限时，，即点在上， ∴所有N点与坐标轴的交点，，， ∴所有N点组成的图形为正方形，其面积为； ②∵已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上， ∴点在为半径的弧上运动， ∵点Q满足，同①可得点组成的图形是对角线为，且平行于坐标轴的正方形， ∴当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为 设，A是直线（）上一点且位于第一象限， ∴， ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15.如图，当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，看图象回答问题： (1)图中的自变量是什么？ (2)当温度为时，水的密度为多少？ (3)图中点表示的意义是什么？ 【分析】（1）横坐标为自变量，纵坐标为因变量，作答即可； （2）根据图象进行作答即可； （3）根据点的含义作答即可. 【详解】（1）解：由图可知，自变量是温度（2分）． （2）解：由图可知，当温度为时，水的密度为（3分，计5分）. （3）解：由图可知，点表示当温度时，水的密度（3分，计8分）. 16．已知函数，为常数．若该函数是正比例函数， (1)求的值； (2)指出这个正比例函数的比例系数． 【分析】（1）根据正比例函数的定义可得，且，即可求解； （2）求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：函数，为常数，是正比例函数， ，且， 解得（4分）； （2）由（1）知，， ， 即正比例函数的比例系数为（4分，计8分）． 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17.一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式求，看是否等于纵坐标即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将，代入表达式， 可得：， 解得，即（4分）； （2）解：在函数的图象上， 理由如下：当时，， 即点在函数图象上（4分，计8分）． 18.（2026.北京市中考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【分析】（1）将两点坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，解方程组求出，； （2）先写出一次函数解析式，整理不等式，分、、三类讨论，结合的取值范围列不等式求解，合并得到的范围． 【详解】（1）解：函数的图象经过点和， ， 解得， 的值为2，的值为3（4分）； （2）由（1）可得，函数的解析式为：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当时，，即， ∵当时，， ∴， 解得， ∵当时，， ∴， 解得， ∵当时，恒成立， ∴符合题意， 综上所述：（4分，计8分）． 五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19．（2026成都中考）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． (1)直接写出的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求得的函数表达式即可； （2）分别求出甲，乙两人到达景点4所用的时间，比较大小即可． 【详解】（1）解：设的函数表达式分别为，， 将点，代入可得，， 解得， 即的函数表达式为：， 将代入可得，，解得， 即的函数表达式为：（5分）； （2）解：由题意可得，甲走远路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，甲到达景点4， 乙走近路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，乙到达景点4， ∵， ∴乙能比甲先到达景点4（5分，计10分）． 20．（2026年河北省）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时（分钟）的模型：．其中，（为常数），（千米）表示登山路线的长度；，（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间） (1)①求，的值； ②计算路线3的长度． (2)已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从出发到山顶的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶的预估用时． 【分析】（1）①由题意得，，再用待定系数法求解即可；②先得到，然后将代入，解方程即可； （2）求出海拔差为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， 代入两组数据得， 解得； ②由①得， 路线3同样从A到M，海拔差仍为， 将代入，得 解得 即路线3的长度为5千米（6分）； （2）解：由等高线图可知，B点位于400米等高线上，海拔为； 山顶M海拔为，因此海拔差： 将代入得， 即预估用时为135分钟（4分，计10分）. 六、(本大题共2小题,每小题12分,满分24分) 21.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点．    (1)求与的值； (2)如果点在直线上，且，求点的坐标； (3)如果点在直线上，且点的横坐标为，点在直线上，且轴，，直接写出的值． 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求解析； （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）首先推出点P的纵坐标为3，再根据待定系数法即可解决问题； （3）由题意，，由题意可得，解方程即可； 【详解】（1）解：把代入中， 得到， ， 把，代入直线中， 得到，， 直线的解析式为（4分）； （2）与轴交于点， 与轴交于点， ， ， 点的纵坐标为， ， 则， （4分，计8分）． （3）设，而轴， 则， ， ， 解得或（4分，计12分）． 22．（2026.黑龙江省绥化市中考）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等． (1)求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元？ (2)快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？ (3)该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量（件）与甲机械手工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． ①乙机械手的工作速度为_________件/分钟，_________． ②直接写出所在直线的函数表达式：_________． ③当乙机械手工作_________分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同． 【分析】（1）设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为万元，根据题意列出分式方程，据此求解即可； （2）设购买A型机械手m台，则购买B型机械手台，所需费用为w万元，根据题意列出不等式组，求得，再列出w关于m的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可； （3）①根据函数图象求解即可；②利用待定系数法求解即可；③相同数量是件，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为万元， 由题意得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， B型机械手的单价：（万元）， 答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元（4分）； （2）解：设购买A型机械手m台，则购买B型机械手台，所需费用为w万元， 由题意得， 解得：， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大，且m取正整数， ∴当时，w的最小值为（万元）， 此时B型机械手：（台）， 答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元（4分，计8分）； （3）解：①乙机械手的工作速度为件/分钟， 甲机械手的工作速度为件/分钟， ∴； ②设所在直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； ③∵乙机械手的工作速度为件/分钟， 由图象知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同的数据是件， ∴， ∴当乙机械手工作分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同（4分，计12分）． 七、 (本题满分14分) 23.某品牌手机专卖店销售3台A型号手机和1台B型号手机可获得利润1700元，销售2台A型号手机和3台B型号手机可获得利润2300元．该专卖店计划购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不低于B型号手机的3倍，设购进A型号手机x台，这100台手机售完后获得的利润为w元． (1)求w关于x的函数解析式； (2)购进A，B两种型号的手机各多少台时，售完获得的利润最大？ (3)实际进货时，代理商对A型号手机的出厂价下调了m（）元，且限定该专卖店最多购进A型号手机90台，若专卖店对A，B两种型号手机的售价保持不变，请你设计出销售完这100台手机后总利润最大的进货方案． 【分析】本题考查了一次函数与不等式组的综合应用，掌握列方程组求参数，根据函数单调性求最值，对参数分类讨论是解题的关键． （1）设型号手机单台利润，列方程组求解，再根据总利润公式推导函数解析式； （2）根据进货量限制确定取值范围，结合一次函数增减性求最值； （3）型号出厂价下调元，重新构建利润函数，分情况讨论一次项系数符号． 【详解】（1）解：设销售1台A型号手机的利润为a元，销售1台B型号手机的利润为b元， 根据题意，可得 解得 则（4分）． （2）解：根据题意，可得， 解得． ，， 随x的增大而减小， 当时，w取最大值，最大值为． 此时 答：购进型号手机台，型号手机台，取最大值，最大值为（5分，计9分）． （3）解：设出厂价调整后，销售完这100台手机获得的利润为元， 则（）． 当，即时，随x的增大而增大， 故当时，售完这100台手机获得的利润最大； 当，即时，随x的增大而减小， 故当时，售完这100台手机获得的利润最大． 当时，． 综上所述，当时，购进A型号手机75台，B型号手机25台，可获得最大总利润； 当时，购进A型号手机90台，B型号手机10台，可获得最大总利润； 当时，获得的总利润不变（5分，计14分）． 学科网（北京）股份有限公司 $