第1章 一元二次方程 单元练习 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上册一元二次方程单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合现实情境与核心素养，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|定义、解法、根的判别式等|基础概念辨析，如第1题考查系数识别| |填空题|6题|根的性质、新运算、根与系数关系|第14题结合新定义运算，培养抽象能力| |解答题|9题|实际应用（增长率、利润）、新定义（邻根方程）、综合应用（配方法求最值）|第22题新能源汽车出口增长问题，体现模型意识；第24题“邻根方程”新定义，发展推理能力|

第1章 一元二次方程 单元练习 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册 一、选择题 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. ，， C. 1，，1 D. 1，5，1 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 3. 如果是方程的一个根，则常数的值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 4. 用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（ ） A. B. C. D. 5. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 6. 嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况 8. 一元二次方程根是（ ） A. B. C. ， D. ， 9. 若，是一元二次方程两个根，则的值是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 10. 三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 不能确定 二．填空题 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是_________． 13. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________． 14. 在实数范围内定义一种运算“”，其规则为， 根据这个规则，方程的解为______． 15. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是__________ 16. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场， 设有x支球队参加比赛，根据题意可列方程，化为一般式为_______． 三．解答题 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 19. 已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0（a为常数） （1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根； （2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值． 20. 某品牌服装平均每天可以售出件，每件盈利元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出件，如果需要盈利元，那么每件降价多少元？ 21. 某校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为40米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）____________________米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽． 22. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2021年出口量为20万台，2023年出口量增加到45万台． （1）求2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？ （2）按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少？ 23. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 24. 如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两根是，，则称方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①； ②． （2）已知关于x的一元二次方程 (m是常数) 是“邻根方程”，求m的值． （3）关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”， 令，请化简． 25. 在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法； 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出最小值为_____． （2）求代数式的最小值． （3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． （4）若，求x＋y的最小值． 第1章 一元二次方程 单元练习 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册 一、选择题 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. ，， C. 1，，1 D. 1，5，1 【答案】A 解：由题意知，， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选：A． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】C 解：A、是二元一次方程，故此选项错误； B、是一元三次方程，故此选项错误： C、是一元二次方程，故此选项正确： D、是分式方程，故此选项错误； 故选：C． 3. 如果是方程的一个根，则常数的值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】D 解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：． 4. 用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 解：移项得， 配方得， ． 故选：A． 5. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C D. 【答案】A 解：解一元二次方程的公式为， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程为：， 故选：． 6. 嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 解：， 因式分解得， ∴ 或， ∴，， ∴ 他漏掉的解是． 故选：A． 7. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况 【答案】B 一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根． 8. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得，， 故选：C． 9. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：C． 10. 三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 不能确定 【答案】B 分解因式得：，可得或，解得：，， 当时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去； 当时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．故选B． 二．填空题 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是_________． 【答案】7 解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：7． 13. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 解：①当k＝0时，−3x+1＝0，解得x＝； ②当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴Δ＝（−3）2−4×k×1≥0，解得； 由①②得，k的取值范围是． 故答案为：． 14. 在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为______． 【答案】或 解：据题意得， ， ， 或． 故答案为：或． 15. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是__________ 【答案】7 解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴， ∴x12+x22=， 故答案为：7． 16. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，设有x支球队参加比赛，根据题意可列方程，化为一般式为_______． 【答案】 解：设参加比赛的球队有x支， 依题意得：， 化简得． 故答案：． 三．解答题 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3） （4）， 【1】 解：， ， 或， ，； 【2】 解：， ， ， 或， ，； 【小问3详解】 解：， ， ∵， ∴， 【4】 解：， ， ， ，， ，． 18. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【1】 解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； 【2】 ∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 19. 已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0（a为常数） （1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根； （2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值． 【答案】（1），；（2）． 解：（1）a＝2时关于x的一元二次方程2x2﹣3x＋1＝0， ＞0， ∴， ∴，； （2）2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0， 因式分解得， 化为， 解得， x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，∴a＞1 根据勾股定理，解得，∴（舍去）． 20. 某品牌服装平均每天可以售出件，每件盈利元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出件，如果需要盈利元，那么每件降价多少元？ 【答案】每件降价元或元 解：设每件降价元，则每件盈利元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每件降价元或元． 21. 某校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为40米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）_____米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽． 【答案】（1） （2）12米 【1】 解：若设菜地的宽为x米， 由题意可得：(米)． 故答案为：． 【2】 解：由（1）可知：，， 由题意可得：， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 所以，此时的宽为12米． 22. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加， 2021年出口量为20万台，2023年出口量增加到45万台． （1）求2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？ （2）按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少？ 【答案】（1）2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是； （2）预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆． 【1】 解：设年平均增长率为， 根据题意可列方程：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是； 【2】 解：由（1）得，（万， 答：预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆． 23. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】（1） （2） （3）每顶头盔应降价20元 【1】解：∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； 故答案为：； 【2】解：根据题意得：， 故答案为：； 【3】解：根据题意得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每顶头盔应降价20元． 24. 如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两根是，，则称方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①； ②． （2）已知关于x的一元二次方程 (m是常数) 是“邻根方程”，求m的值． （3）关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令， 请化简． 【答案】（1）①不“邻根方程”；②是“邻根方程” （2）或 （3） 【1】 解：①∵， ∴， ∴，， ∵， ∴不是“邻根方程”； ②， ， ∴，， ∵， ∴是“邻根方程”； 【2】 解：解方程得：， ，， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或； 【3】 解：解方程得：，， ∵关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， 等号两边平方得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 25. 在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法； 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出最小值为_____． （2）求代数式的最小值． （3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． （4）若，求x＋y的最小值． 【答案】（1）3 （2）的最小值是7； （3）有最大值，最大值是8； （4）x+y的最小值是2． 【1】 解：， 当x＝1时，有最小值，是3； 故答案为：3； 【2】 解：． ∵， ∴， 当时，的值最小，最小值是7． ∴最小值是7； 【小问3详解】 解：有最大值，理由如下： ∵ = ． 当时，有最大值，最大值是8， ∴有最大值，最大值是8； 【4】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，的值最小，最小值是2． ∴x+y的最小值是2． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $