第1章一元二次方程巩固训练2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册一元二次方程单元复习同步练，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，通过"概念辨析-运算巩固-实际建模"路径强化知识内化，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一元二次方程定义、解法（配方、求根）|第1题概念辨析，第4题配方训练，夯实抽象能力| |中档应用|根与系数关系、判别式、简单几何应用|第8题矩形面积方程建模，第14题根的代数式求值，提升运算能力| |综合提升|动态几何、经济问题、新定义运算|第21题利润最大化建模，第15题新定义方程求解，发展模型意识与创新思维|

第1章一元二次方程巩固训练2026-2027学年 苏科版九年级上册 一、选择题 1．下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 2.已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1 【答案】D 3.方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4.将一元二次方程x2+4x+3=0配方后可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 【答案】C． 6．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 7.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【答案】B 8．矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（    ） A． B．12 C． D．或 【答案】D 9.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为(   ) A．6 B．9 C．7 D．8 【答案】B 10．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540 【答案】D 二、填空题 11.关于x的一元二次方程x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　 　 ． 【答案】±2． 12．若a为方程x2+2x﹣3＝0的解，则3a2+6a﹣8的值为 　 　 ． 【答案】1． 13.若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是______ 【答案】 14.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】3 15.对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中的较小值，如：min{2，5}＝2按照这个规定，方程min{x，1}＝x2﹣2的解为　　 ． 【答案】或x＝﹣1． 16．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是． 【答案】2或3##3或2 三、解答题 17.解方程： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ， 配方得，， 解得，， 解得：， 所以，原方程的解为； （2）解： 因式分解得，， 解得，或， 所以，原方程的解为． 18．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值． 【答案】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0， 解得：k＞﹣， 即k的取值范围是k＞﹣； （2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2， ∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11， [﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11， 解得：k＝﹣3或1， ∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根， 必须k＞﹣， ∴k＝﹣3舍去， 所以k＝1． 19.某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元． （1）求二月份的销售额； （2）求三、四月份销售额的平均增长率． 【答案】解：（1）125×（1﹣20%）＝125×80%＝100（万元）． 答：二月份的销售额为100万元． （2）设三、四月份销售额的平均增长率为x， 依题意得：100（1+x）2＝144， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：三、四月份销售额的平均增长率为20%． 20.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 【答案】（1）AB=-2x+44（2）AD长为6米，AB长为32米． 【解答】（1）解：∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x， ∴AB=-2x+44 （2）解：由题意得，（-2x+44）•x=192， 即2x2-44x+192=0， 解得x1=6，x2=16， ∵x2=16＞ （舍去）， ∴AD=6， ∴AB=-2×6+44=32． 答：AD长为6米，AB长为32米． 21.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？ （2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）65或85 （2）售价未75元时，最大值为2450元 【解答】（1）解：[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250， 解得：x1=65，x2=85． （2）解：由题意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800； y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有最大值为2450元 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章一元二次方程巩固训练2026-2027学年 苏科版九年级上册 一、选择题 1．下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1 3.方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 4.将一元二次方程x2+4x+3=0配方后可得到方程（    ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 6．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 8．矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（    ） A． B．12 C． D．或 9.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为(   ) A．6 B．9 C．7 D．8 10．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540 二、填空题 11.关于x的一元二次方程x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　 　 ． 12．若a为方程x2+2x﹣3＝0的解，则3a2+6a﹣8的值为 　 　 ． 13.若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是______ 14.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 15.对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中的较小值，如：min{2，5}＝2按照这个规定，方程min{x，1}＝x2﹣2的解为　　 ． 16．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是． 三、解答题 17.解方程： (1)；(2)． 18．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值． 19.某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元． （1）求二月份的销售额； （2）求三、四月份销售额的平均增长率． 20.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 21.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？ （2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $