3.2.1.1单调性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，涵盖增（减）函数定义、单调区间及证明步骤。课堂从观察一次函数、二次函数图像入手，通过问题链引导学生从图像特征到数量关系，构建从具体到抽象的学习支架，衔接函数概念与性质的知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察图像规律，用数学思维推理符号语言定义，通过定义法证明一次函数单调性、图像法分析分段函数区间等实例，强化数学语言表达。融入数形结合、分类讨论思想，助力学生发展几何直观与推理能力，教师可高效实施概念教学与技能训练。

第三章 函数的概念与性质 3.2.1 课时1 单调性 32100 1. 理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义法证明函数单调性的步骤． 2. 会用图象求函数的单调区间，能利用函数单调性解决一些简单问题. 学习目标 32100 问题1 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？ o x y x x f = ) ( o x o x y y 新知讲解 32100 从左向右是上升的 o x y x x f = ) ( o x o x y y 在y轴左侧是下降的， 在y轴右侧是上升的 在y轴左侧是上升的， 在y轴右侧是下降的 利用函数图象可以研究函数值随自变量的增大而增大（或减小）的规律 函数的单调性 32100 x y O 1 1 2 -1 -2 2 3 4 当x1< x2时， f(x1)< f(x2) x1 f(x2) x2 f(x1) M N ... 1 2 3 4 5 6 ... ... 1 4 9 16 25 36 ... 问题2 结合 的函数图象及列表数据，说说如何理解“在区间(0,+∞)上，y随着x的增大而增大”？它的数量特征是什么？ 32100 x O y x O y 因此，满足在区间(0,+∞)上所有的x1， x2，当x1<x2时，f(x1) < f(x2). 思考：在区间(0,+∞)上的x1， x2，当x1< x2时，有f(x1)< f(x2)，一定能保证函数图象在区间(0,+∞)上y随x的增大而增大吗？ 32100 图象从左至右上升 当x1< x2时, f(x1)< f(x2) y随x的增大而增大 任意的 都有 x y O 1 1 2 -1 -2 2 3 4 x1 f(x2) x2 f(x1) M N 问题3 类比二次函数f(x)= x2在区间(0,+∞)上单调递增的刻画方法，你能给出一般函数y=f(x)在区间D上单调递增的符号语言吗？ 32100 1.函数的单调性 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 减 归纳 32100 如果函数y＝f(x)在区间I上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 注意：函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+∞)，也可以写成[0，+∞). 反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点. 2.函数的单调区间 32100 （3）反比例函数 在 上是减函数．( ) × x O y x1 x2 f(x1) f(x2) A B 例1 根据单调性的定义，判断正误. （1）若f (1)< f (2)，则 f (x)在[1,2]上单调递增.（ ） （2）f (x)在R上单调递增，则f (-3)<f (2).（ ） × √ y x O 1 2 f(1) f(2) ， 例题讲解 32100 对函数的单调性的理解: (1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集． (2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性． (3)一个函数出现两个或两个以上的单调递增(减)区间时，要用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． 例：的单调递减区间是：,或者 归纳 32100 则 ①当k>0时， 于是 ②当k<0时， 于是 例2 根据定义研究函数的单调性. 取值 作差变形 定号 定号 结论 结论 32100 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 归纳 32100 练习：证明函数上单调递增. 巩固练习 32100 例3 （1）如图是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一个单调区间上,是增函数还是减函数. 函数f(x)的单调区间有 [-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数. 例题讲解 32100 例题讲解 32100 ①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间. 函数单调区间的两种求法： 归纳 32100 1.增函数、减函数的定义； 2.证明函数单调性的步骤. （二）方法 证明函数的单调性有几种方法：图像法、定义法. 数学思想：数形结合，分类讨论. （一）知识 本节课你学到了哪些知识？ 课堂小结 32100 1. 若定义在区间[－2，2]上的函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　) A. [－2，－1]　 B. [－1，1] C. [－2，0]　 D. [－1，2] B 随堂小练 32100 D 随堂小练 32100 CD 随堂小练 32100 4. 根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增． 随堂小练 32100 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果 ∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有_______________ 都有_______________ 结论 那么就称函数f(x)在区间I上是增函数 那么就称函数f(x)在区间I上是 _____函数 图示 (2) 作出函数f(x)＝的图象，并求函数f(x)的单调区间． 【解答】作出f(x)＝的图象如图所示， 由图可知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2)， 单调递增区间为[2，＋∞). 2.函数f(x)＝－的单调递增区间为(　　) A. (－∞，0) B. (－∞，0)∪(0，＋∞) C. R D. (－∞，0)和(0，＋∞) 【解析】f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，由反比例函数的性质可知 f(x)＝－的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞). 3.（多选）下列说法正确的是(　　) A. 已知f(x)是定义在[－3，3]上的函数，且f(－3)>f(3)，所以f(x)在[－3，3] 上单调递减 B. 函数y＝的单调递减区间是∪ C. 函数y＝的单调递减区间是 D. 已知f(x)在R上是增函数，若a＋b>0，则有f(a)－f(－a)>f(－b)－f(b) 所以 在区间 上单调递增． 证明：设 ，且 ，则 所以 ，即 ． 因为 EMBED Equation.DSMT4 ．所以 $