3.2 函数的基本性质（第四课时　奇偶性与单调性的综合应用）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性与单调性的综合应用，通过回顾前三个课时的单调性、最值、奇偶性作为“三件工具”导入，搭建学习支架，帮助学生衔接旧知，明确综合应用方向。 其亮点在于以“奇同偶反”为核心，结合定义推导与图像直观培养数学思维，通过“两步口令”“四步解法”结构化解决比较大小和抽象不等式问题，强化数学语言表达。例如奇函数不等式的移项脱f步骤，帮助学生形成逻辑推理能力，教师可借助清晰流程提升教学效率。

3.2　函数的基本性质 第四课时　奇偶性与单调性的综合应用 人教A版必修第一册　·　第三章　函数的概念与性质 1 本节导览 第一课时 函数的单调性 第二课时 函数的最大（小）值 第三课时 函数的奇偶性 第四课时 奇偶性与单调性的综合应用 2 先把三件工具摆出来 问 前三个课时学了函数的哪三个性质？每个性质的核心结论是什么？ 答　单调性：x1＜x2 时 f(x1)＜f(x2)（增）——增函数保序，减函数反序； 最值：两个条件（到顶、够得着）；单调时最值在端点； 奇偶性：偶 f(－x)＝f(x)，奇 f(－x)＝－f(x)。 今天不学新概念，把这三件工具接起来用。 3 学习目标 1．会用“奇同偶反”判断对称区间上的单调性。 2．会用 f(x)＝f(｜x｜) 比较偶函数的函数值大小、解 f(m－1)＜f(2) 型不等式。 3．会按“判断单调性 → 移项 → 脱 f → 补定义域”四步解奇函数型抽象不等式。 4．会用奇偶性求另一半解析式、求分段函数的复合函数值。 4 想一想 问 若 f(x) 是奇函数且在 [2，5] 上单调递增，它在 [－5，－2] 上是增还是减？如果换成偶函数呢？ 提示　在草稿上画一条位于 x 轴右侧、从左到右上升的线段。 把它绕原点转 180°，新的一段还是上升的吗？ 把它沿 y 轴翻折，新的一段呢？ 5 奇同偶反 奇同 偶反 　　奇函数：在关于原点对称的两个区间上　　　　偶函数：在关于原点对称的两个区间上 　　　　　　单调性相同　　　　　　　　　　　　　　　　　单调性相反 图象上看：奇函数绕原点转 180° 与自身重合，上升的转过去还是上升；偶函数沿 y 轴翻折与自身重合，上升的翻过去变成下降。 6 ★用定义推一遍（优生班） 问 设 f(x) 为偶函数，在 [a，b] 上递增。证明 f(x) 在 [－b，－a] 上递减。 证明　任取 x1，x2∈[－b，－a]，且 x1＜x2，则 －x1，－x2∈[a，b]，且 －x2＜－x1。 由 f(x) 在 [a，b] 上递增，得 f(－x2)＜f(－x1)。 又 f(x) 为偶函数，f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)， 所以 f(x2)＜f(x1)，即 f(x) 在 [－b，－a] 上单调递减。 7 比较函数值大小：两步口令 第一步 搬自变量——偶函数取绝对值 f(x)＝f(｜x｜)，奇函数用 f(－x)＝－f(x) 变号，把所有自变量搬到同一个单调区间上。 第二步 按单调性排序——递增时自变量大的函数值大，递减时反过来。 8 例1　比较大小 问 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0，＋∞) 上单调递减，比较 f(－3)、f(1)、f(2) 的大小。 解　第一步：f(x) 是偶函数，所以 f(－3)＝f(3)。 第二步：三个自变量 3、1、2 都在 [0，＋∞) 上，函数在此递减，自变量越大函数值越小。 所以 f(3)＜f(2)＜f(1)，即 f(－3)＜f(2)＜f(1)。 9 练一练 问 已知 f(x) 是偶函数且在 [0，＋∞) 上单调递增，比较 f(－2) 与 f(1)。 答　f(－2)＝f(2)，且 2＞1；函数在 [0，＋∞) 上递增， 所以 f(－2)＞f(1)。 10 反过来问：已知函数值的大小，求自变量的范围 这就是抽象不等式。关键动作只有一个——把 f 脱掉 11 奇函数：看到两个函数值相加，就移项 f(a)＋f(b)＞0　⇔　f(a)＞－f(b)　⇔　f(a)＞f(－b) 再配上单调性（设 f 在定义域上递增），就得到 a＞－b。 整条链子三步：用奇性移项 → 用单调性脱 f → 解关于参数的不等式。 移项一定要变号。写成 f(a)＞f(b) 是最常见的错。 12 例2　奇函数型抽象不等式 问 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x≥0 时 f(x)＝x2＋2x。若 f(3－a2)＋f(－2a)＞0，求实数 a 的取值范围。 第一步：判断单调性　当 x≥0 时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，对称轴 x＝－1 在区间左侧， 所以 f(x) 在 [0，＋∞) 上单调递增； 又 f(x) 是奇函数，对称区间上单调性相同，所以 f(x) 在 R 上单调递增。 13 例2（续）　移项、脱 f、解不等式 解　第二步（移项）：由 f(3－a2)＋f(－2a)＞0 得 f(3－a2)＞－f(－2a)＝f(2a)。 第三步（脱 f）：由 f(x) 在 R 上单调递增，得 3－a2＞2a。 第四步（解）：a2＋2a－3＜0，即 (a＋3)(a－1)＜0，解得 －3＜a＜1。 所以 a 的取值范围是 (－3，1)。 追问：如果 f 只定义在 [－5，5] 上呢？——脱 f 之后还要补 －5≤3－a2≤5 与 －5≤2a≤5，再取交集。 14 偶函数：两边套绝对值 偶函数满足 f(x)＝f(－x)＝f(｜x｜)，函数值只跟 ｜x｜ 有关。所以： 在 [0，＋∞) 上递减时：f(x1)＜f(x2) ⇔ ｜x1｜＞｜x2｜； 在 [0，＋∞) 上递增时：f(x1)＜f(x2) ⇔ ｜x1｜＜｜x2｜。 比分类讨论正负快得多。递减时不等号要反向——这一步最容易漏。 15 例3（1）　偶函数型不等式 问 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，在 [0，＋∞) 上单调递减，f(1)＝0。解不等式 f(m－1)＜f(2)。 解　由 f(x)＝f(｜x｜) 及 f(x) 在 [0，＋∞) 上递减， f(m－1)＜f(2) ⇔ ｜m－1｜＞2 ⇔ m－1＞2 或 m－1＜－2， 所以 m＞3 或 m＜－1。 16 例3（2）　xf(x)＞0 的解集 问 条件同上（偶函数，[0，＋∞) 上递减，f(1)＝0）。求 xf(x)＞0 的解集。 －1 0 1 解　由 f(1)＝0 与递减：0≤x＜1 时 f(x)＞0，x＞1 时 f(x)＜0；由偶性，－1＜x≤0 时 f(x)＞0，x＜－1 时 f(x)＜0。 xf(x)＞0 要求同号：x＞0 时得 0＜x＜1；x＜0 时得 x＜－1。 所以解集为 (－∞，－1)∪(0，1)。 17 用奇偶性求另一半的解析式 第一步 设 x 落在待求的那一半（已知 x≥0 的表达式，就设 x＜0）。 第二步 这时 －x 落在已知的那一半，把 －x 代入已知解析式，算出 f(－x)。 第三步 换回来：偶函数 f(x)＝f(－x)，奇函数 f(x)＝－f(－x)。最后写成分段形式。 若 f(x) 在 R 上是奇函数，别忘了 f(0)＝0。 18 例4　复合求值 问 已知定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足：x≥2 时 f(x)＝2－x，0≤x＜2 时 f(x)＝x2＋1。求 f(f(－2))。 解　先算内层：f(x) 是偶函数，f(－2)＝f(2)；因为 2≥2，用 f(x)＝2－x，得 f(2)＝0。 再算外层：0∈[0，2)，用 f(x)＝x2＋1，得 f(0)＝1。 所以 f(f(－2))＝1。 从里往外算，每一步先用奇偶性把自变量搬到已知的那一半，再看落在哪一段。 19 ★对称轴不是 y 轴（拔高） 若 f(x＋a) 是偶函数，则 f(x) 的图象关于直线 x＝a 对称； 若 f(x＋a) 是奇函数，则 f(x) 的图象关于点 (a，0) 对称。 验证：取 f(x)＝(x－1)2，则 f(x＋1)＝x2 是偶函数，而 f 的对称轴正是 x＝1。 比较大小时不必去想平移，直接算“到对称轴的距离”，再由单调性决定远近对应的大小。 20 ★例5 问 已知 f(x＋1) 是定义在 R 上的偶函数，f(x) 在 [1，＋∞) 上单调递增。比较 f(－1)、f(1)、f(2) 的大小。 解　f(x＋1) 是偶函数，所以 f(x) 的图象关于直线 x＝1 对称。 三个自变量到对称轴的距离：｜－1－1｜＝2，｜1－1｜＝0，｜2－1｜＝1。 f(x) 在 [1，＋∞) 上递增，即离对称轴越远函数值越大， 所以 f(1)＜f(2)＜f(－1)。 21 当堂检测（一） 1．已知 f(x) 是定义域为 R 的奇函数，当 x＞0 时 f(x)＝x2－3x＋1，则 f(－3)＝（　　） 　A．19　　B．－19　　C．1　　D．－1 2．若 f(x) 为奇函数且在 [2，5] 上单调递增，则 f(x) 在 [－5，－2] 上单调＿＿＿＿。 答案　D。f(－3)＝－f(3)＝－(9－9＋1)＝－1。选 C 是漏了负号。 答案　递增。奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同。 22 当堂检测（二） 3．已知 f(x) 是 R 上的奇函数且单调递增。若 f(2a－1)＋f(a－2)＜0，则 a 的取值范围是＿＿＿。 4．已知 f(x) 是 R 上的偶函数，当 x≥0 时 f(x)＝x－1，求 f(x)＜0 的解集。 答案　a＜1。由奇函数得 f(2a－1)＜－f(a－2)＝f(2－a)；由递增得 2a－1＜2－a，3a＜3，a＜1。 答案　(－1，1)。x≥0 时 x－1＜0 得 0≤x＜1；由偶性，x＜0 时对应 －1＜x＜0，合起来为 (－1，1)。 23 本课小结 1．奇同偶反——对称区间上的单调性。 2．比较大小两步：搬自变量 → 按单调性排序。 3．奇函数：f(a)＋f(b)＞0 ⇔ f(a)＞f(－b)，移项必须变号。 4．偶函数：f(x)＝f(｜x｜)，解不等式两边套绝对值，递减时反向。 5．脱 f 三件事：写依据、看方向、补定义域。 24 易错提醒 1．奇函数求值漏负号。 　f(－3)＝－f(3)，不是 f(3)。 2．移项忘变号。 　f(a)＋f(b)＞0 化成 f(a)＞f(－b)。 3．脱 f 后忘补定义域。 　定义域不是 R 时，两个自变量的范围都要列出来联立。 4．f(x＋a) 的对称轴答成 x＝－a。 　用 f(x)＝(x－1)2 验证一次就清楚了。 25 课时作业 A 组（全体必做）：8 题——奇函数求值 2 道、对称轴型比较大小 1 道、分段函数复合求值 1 道、多选 2 道、对称区间单调性填空 1 道、构造函数的奇偶性填空 1 道。 B 组★（优生班必做、普通班选做）：3 题——奇函数型抽象不等式、偶函数四选项综合多选、对称轴型比较大小。 书写要求：解不等式要写出“由 f(x) 在……上单调递增（递减）”这句依据，并检查是否需要补定义域。 3.2 节到此结束。预习教材第 89—91 页 3.3 幂函数，看看它是怎么按“图象—单调性—奇偶性”这条线研究五个具体函数的。 26 3.2 函数的基本性质　到此结束 单调性　·　最值　·　奇偶性——三件工具，往后每研究一个新函数都要用一遍 下一节　3.3　幂函数 27 $