圆与方程 专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以圆的方程为核心，整合直线与圆、圆与圆位置关系及轨迹方程，通过多题型覆盖高考高频考点，突出几何直观与代数运算的结合。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题|直线与圆位置关系（相切/相交）、圆与圆位置关系、弦长计算|从圆的方程（标准/一般）到位置关系判定（距离公式），再到弦长与轨迹推导| |解答题|5题|轨迹方程（椭圆定义）、公共弦长、存在性问题|结合垂直平分线性质、椭圆定义，体现几何性质到代数方程的转化|

专题：圆与方程-2027届高三数学复习系列 一．选择题（共8小题） 1．（2026•重庆开学）若直线l：x+y+1＝0将圆M：（x﹣1）2+y2＝4分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2026•青铜峡市校级一模）已知圆C与直线x+y＝1相切，且经过坐标原点和A（2，﹣1），则圆C的半径为（　　） A． B． C． D． 3．（2026秋•浙江月考）已知圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则r的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026•青秀区校级开学）已知直线kx﹣3y+8＝0与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4相切，则k＝（　　） A． B．4 C．﹣4或 D．4或 5．（2026•新华区校级开学）已知直线l：xcosθ+2ysinθ﹣1＝0被圆x2+y2＝1截得的弦长为，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•沧州开学）已知直线l与曲线y2＝4x与曲线2x2+2y2＝1分别切于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 7．（2026•石家庄校级模拟）已知直线y﹣4＝k（x+3）与圆x2+（y﹣2）2＝4相交，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．（2026•石家庄模拟）已知A（1，0），B（4，0），若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝8上总存在点P满足，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．[0，6] C．（0，6） D．（﹣∞，0]∪[6，+∞） 二．多选题（共3小题） 9．（2026•湛江开学）已知圆O：x2+y2＝2与圆C：（x﹣4）2+（y+3）2＝r2（r＞0）有公共点，则（　　） A．r的最小值为5 B．r的最大值为 C．r的最小值为 D．r的最大值为 10．（2026•滨州开学）已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，直线l：2x﹣y+1＝0，则（　　） A．直线l上存在点P，使得|PC|＝2 B．直线l被圆C截得的弦长为4 C．圆C上的点到直线l的最大距离为 D．过圆心作直线l的垂线，垂足坐标为（﹣1，﹣1） 11．（2026•建邺区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中有⊙O：x2+y2＝1与x轴分别交于A、B两点，P为⊙O上的动点，以AP为直径的⊙E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆时针转过一周时，⊙E扫过的区域记作M，则下列说法正确的是（　　） A．若，则⊙E与x轴公共点坐标为（﹣1，0）和 B．若以O为圆心的圆可以完全覆盖区域M，则该圆的面积的最小值为 C．M内的点到y轴距离的最大值为 D．M与y轴的公共部分上的点到x轴距离平方的最大值为 三．填空题（共3小题） 12．（2026•苏州模拟）经过A（0，2），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线x+2y﹣1＝0上的圆的标准方程为　 　 ． 13．（2026•湖北开学）已知圆O：x2+y2＝9，A（x1，y1）、B（x2，y2）为圆O上相异两点，且x1y2＝x2y1，则x1+3x2+y1+3y2的最大值为　 　 ． 14．（2026•天元区校级模拟）若圆与圆有且仅有3条公切线，则3a﹣4b+5的最大值为　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．（2026•安徽开学）已知点A（1，0）和B（3，2），圆C以AB为直径． （1）求圆C的方程； （2）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣5＝0，求圆C与圆M的公共弦长． 16．（2025秋•长沙期末）已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（3，0），B（1，2）两点， （1）求圆C的方程； （2）过点P（0，2）的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17．（2025秋•上海校级期中）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝5，直线l：mx﹣y+2﹣m＝0，设直线与圆相交于A，B两点． （1）若直线l恒过定点D，求出点D坐标； （2）求弦AB中点的轨迹方程； （3）相交弦AB长度的最小值及相应的m的值． 18．（2025秋•陕西期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①与直线4x﹣3y+5＝0垂直； ②直线的一个方向向量为（﹣4，3）； ③与直线3x+4y+2＝0平行． 已知直线l过点P（1，﹣2），_____． （1）求直线l的一般方程； （2）若直线l与圆x2+y2＝5相交于P，Q，求弦长|PQ|． 19．（2026春•佳县校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点P为圆C：（x+1）2+y2＝16上任意一点，线段PA的垂直平分线l交半径PC于点Q，当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为W． （1）求W的方程； （2）若点P（﹣1，4），试判断直线l与W的位置关系，并说明理由； （3）设点P为圆C上异于（3，0）和（﹣5，0）的任意一点，若直线l与直线x＝±2分别交于点M，N，求证：M，N两点的纵坐标之积为定值． 专题：圆与方程-2027届高三数学复习系列 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•重庆开学）若直线l：x+y+1＝0将圆M：（x﹣1）2+y2＝4分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 【解答】解：圆M：（x﹣1）2+y2＝4，可知圆的圆心M（1，0），圆的半径r＝2， 则圆心M（1，0）到直线l：x+y+1＝0的距离， 直线l：x+y+1＝0将圆M：（x﹣1）2+y2＝4分成两段弧， 记直线l与圆M相交两点为A，B，如图， 则弦长， ∵|MA|2+|MB|2＝4+4＝8＝|AB|2，∴∠AMB＝90°， ∴劣弧所对圆心角为90°，优弧所对圆心角为270°， 由于弧长与对应圆心角成正比， ∴优弧长度与劣弧长度的比值为． 故选：B． 2．（2026•青铜峡市校级一模）已知圆C与直线x+y＝1相切，且经过坐标原点和A（2，﹣1），则圆C的半径为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点A且与直线x+y＝1垂直的直线方程为x﹣y＝3， ∵点A（2，﹣1）在直线x+y＝1上， ∴圆心落在直线x﹣y＝3上，又圆C过O（0，0）和A（2，﹣1）， 则OA的中点为，其垂直平分线斜率为2， ∴OA的垂直平分线方程为，即4x﹣2y＝5， ∴圆心在直线4x﹣2y＝5上， 联立，得， ∴圆心为，|OC|， ∴半径r＝|OC|． 故选：C． 3．（2026秋•浙江月考）已知圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则r的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的圆心（﹣1，0），半径为r， 圆的圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得． 故选：C． 4．（2026•青秀区校级开学）已知直线kx﹣3y+8＝0与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4相切，则k＝（　　） A． B．4 C．﹣4或 D．4或 【解答】解：圆C的圆心为C（2，2），半径r＝2，所以，解得k＝4． 故选：B． 5．（2026•新华区校级开学）已知直线l：xcosθ+2ysinθ﹣1＝0被圆x2+y2＝1截得的弦长为，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得：圆心O（0，0）到直线l的距离为， 因此， 整理得2sin2θ＝cos2θ， 解得， 所以直线l的斜率． 故选：B． 6．（2026•沧州开学）已知直线l与曲线y2＝4x与曲线2x2+2y2＝1分别切于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l方程为x＝my+b， 联立方程，消去x可得y2﹣4my﹣4b＝0， 则，可得b＝﹣m2， 联立方程，消去x可得2（m2+1）y2+4mby+2b2﹣1＝0， 则，可得2b2＝m2+1， 联立方程，解得，所以直线l方程为x＝±y﹣1， 根据对称性不妨取直线l方程为x＝y﹣1， 由，解得，即A（1，2）， 由，解得，即， 所以． 故选：D． 7．（2026•石家庄校级模拟）已知直线y﹣4＝k（x+3）与圆x2+（y﹣2）2＝4相交，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知直线y﹣4＝k（x+3）与圆x2+（y﹣2）2＝4相交， 则， 即． 故选：A． 8．（2026•石家庄模拟）已知A（1，0），B（4，0），若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝8上总存在点P满足，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．[0，6] C．（0，6） D．（﹣∞，0]∪[6，+∞） 【解答】解：首先，设点P（x，y）满足，其中A（1，0），B（4，0）． 所以（x﹣1）2+y2＝2[（x﹣4）2+y2]，展开并整理得点P的轨迹方程：x2+y2﹣14x+31＝0， 即（x﹣7）2+y2＝18，此轨迹为圆心D（7，0）、半径的圆． 题目要求圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝8（圆心C（a，a+1）、半径上总存在点P， 所以两圆有公共点． 两圆有公共点的条件为：R﹣r|≤|CD|≤R+r． |CD|， 所以5，解不等式得0≤a≤6． 综上，实数a的取值范围是[0，6]． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2026•湛江开学）已知圆O：x2+y2＝2与圆C：（x﹣4）2+（y+3）2＝r2（r＞0）有公共点，则（　　） A．r的最小值为5 B．r的最大值为 C．r的最小值为 D．r的最大值为 【解答】解：由题意，圆O：x2+y2＝2的圆心为O（0，0），半径R， 圆C：（x﹣4）2+（y+3）2＝r2的圆心为C（4，﹣3），半径为r， 圆心距为|OC|5， 因为圆O与圆C有公共点， 所以两圆相切或相交，可得|R﹣r|≤|OC|≤R+r，即||≤5， 解得，故r的最小值为，最大值为，故BC两项正确． 故选：BC． （多选）10．（2026•滨州开学）已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，直线l：2x﹣y+1＝0，则（　　） A．直线l上存在点P，使得|PC|＝2 B．直线l被圆C截得的弦长为4 C．圆C上的点到直线l的最大距离为 D．过圆心作直线l的垂线，垂足坐标为（﹣1，﹣1） 【解答】解：已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9， 则圆C的圆心为（1，﹣2），半径为3， 则圆心C到直线l：2x﹣y+1＝0的距离为， 对于A，直线l上的点P到圆心C的距离的最小值为，即A错误； 对于B，直线l被圆C截得的弦长为4，即B正确； 对于C，圆C上的点到直线l的最大距离为，即C正确； 对于D，设垂足坐标为（m，2m+1）， 则， 即m＝﹣1， 即垂足坐标为（﹣1，﹣1），即D正确． 故选：BCD． （多选）11．（2026•建邺区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中有⊙O：x2+y2＝1与x轴分别交于A、B两点，P为⊙O上的动点，以AP为直径的⊙E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆时针转过一周时，⊙E扫过的区域记作M，则下列说法正确的是（　　） A．若，则⊙E与x轴公共点坐标为（﹣1，0）和 B．若以O为圆心的圆可以完全覆盖区域M，则该圆的面积的最小值为 C．M内的点到y轴距离的最大值为 D．M与y轴的公共部分上的点到x轴距离平方的最大值为 【解答】解：若，如图，设⊙E与x轴交于A、A′，连接PA′，PB， 因为AP为⊙E的直径，所以PA′⊥x轴， 由题意可知，则， 所以，则，可得A（﹣1，0）和，故A正确； 若以O为圆心的圆可以完全覆盖区域M，如图， 连接OE并延长交⊙E于G， 由垂径定理：OG⊥AP，G就是⊙E上到原点距离最远的点， 下面我们求OG的最大值： 设，则AP＝2cosθ， 因为，则， 当时，OG取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为2π，故B错误； 如图，过E作CD⊥y轴于D，另交⊙E于C，过E作EF⊥x轴于F， 因为AP＝2cosθ，所以，则AF＝cos2θ， 可得ED＝FO＝1﹣cos2θ，则CD＝1﹣cos2θ+cosθ，令t＝cosθ∈（0，1]， 则， 则当t时，，即M内的点到y轴距离的最大值为，故C正确； 设⊙E与y轴交于点Q（图中为上方的点），如图， 对于y轴正半轴上一点Q，作l⊥QA，若与⊙O有公共点，即为点P， 当Q离x轴最远时，l与⊙O有且仅有一个公共点P． 设Q（0，y0）（y0＞0），则lAQ：y＝y0x+y0，， 原点到l的距离：，解得， 即M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为，平方的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．（2026•苏州模拟）经过A（0，2），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线x+2y﹣1＝0上的圆的标准方程为　（x﹣1）2+y2＝5　 ． 【解答】解：由题意圆经过A（0，2），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线x+2y﹣1＝0上， 可设圆心为（a，b），因为圆心在直线x+2y﹣1＝0上，故a+2b﹣1＝0⇒a＝1﹣2b． 圆经过A（0，2）、B（﹣1，1）， 所以圆心到两点的距离相等，可得， 两边平方得a2+（b﹣2）2＝（a+1）2+（b﹣1）2， 展开得a2+b2﹣4b+4＝a2+2a+1+b2﹣2b+1， 化简﹣4b+4＝2a﹣2b+2⇒2a+2b＝2⇒a+b＝1， 代入a＝1﹣2b，得1﹣2b+b＝1⇒﹣b＝0⇒b＝0，a＝1． 所以圆心为（1，0），半径． 故圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝5． 故答案为：（x﹣1）2+y2＝5． 13．（2026•湖北开学）已知圆O：x2+y2＝9，A（x1，y1）、B（x2，y2）为圆O上相异两点，且x1y2＝x2y1，则x1+3x2+y1+3y2的最大值为　6　 ． 【解答】解：因为A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1y2＝x2y1，则， 又A，B为圆O上相异两点，则A，B关于原点O对称， 所以x2＝﹣x1，y2＝﹣y1，所以x1+3x2+y1+3y2＝﹣2（x1+y1）， 设， 所以， 当时，﹣2（x1+y1）取最大值，为， 即x1+3x2+y1+3y2的最大值为． 故答案为：6． 14．（2026•天元区校级模拟）若圆与圆有且仅有3条公切线，则3a﹣4b+5的最大值为　25　 ． 【解答】解：由题意，圆中，圆心为O1（0，0），半径r1＝1． 圆中，圆心为O2（a，b），半径r2＝3． 因为两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以|O1O2|＝r1+r2， 所以， 所以a2+b2＝16， 设a＝4sinθ，b＝4cosθ，θ∈[0，2π）， 所以3a﹣4b+5＝12sinθ﹣16cosθ+5 20sin（θ﹣φ）+5， 其中（φ为锐角）， 所以﹣φ≤θ﹣φ＜2π﹣φ， 所以当θ+φ时，3a﹣4b+5取得最大值为20+5＝25． 故答案为：25． 四．解答题（共5小题） 15．（2026•安徽开学）已知点A（1，0）和B（3，2），圆C以AB为直径． （1）求圆C的方程； （2）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣5＝0，求圆C与圆M的公共弦长． 【解答】解：（1）根据A（1，0）、B（3，2）， 可得线段AB的中点为C（2，1），即为所求圆的圆心， 由|AB|，可得圆的半径r， 所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2； （2）圆C化成标准方程，可得x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0， 与圆M：x2+y2﹣2x﹣5＝0相减，化简得x+y﹣4＝0， 即为两圆的公共弦所在直线的方程， 圆M化成标准方程得（x﹣1）2+y2＝6，圆心为M（1，0），半径R， 圆心M到直线x+y﹣4＝0的距离d， 所以两圆的公共弦长等于． 16．（2025秋•长沙期末）已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（3，0），B（1，2）两点， （1）求圆C的方程； （2）过点P（0，2）的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【解答】解：（1）因为圆C的圆心在x轴上， 所以设圆C的方程为（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0）， 又圆C经过A（3，0），B（1，2）两点， 所以，解得， 所以圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4； （2）由（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心C（1，0），半径为r＝2， 过点P（0，2）的直线l与圆C相交于M，N两点，且， 根据点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离为， 当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝0，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0， 根据点到直线的距离公式可得，解得， 所以直线l的方程为，即3x+4y﹣8＝0； 综上，直线l的方程为x＝0或3x+4y﹣8＝0． 17．（2025秋•上海校级期中）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝5，直线l：mx﹣y+2﹣m＝0，设直线与圆相交于A，B两点． （1）若直线l恒过定点D，求出点D坐标； （2）求弦AB中点的轨迹方程； （3）相交弦AB长度的最小值及相应的m的值． 【解答】（1）解：直线l：mx﹣y+2﹣m＝0，化为m（x﹣1）+（2﹣y）＝0， 该式对任意实数m恒成立，因此需满足，解得， 直线l恒过定点D，定点D的坐标为（1，2）． （2）解：设弦AB的中点为M（x，y），圆C的圆心为C（0，1），由垂径定理可得CM⊥AB． ∵M在直线l上，直线l恒过D（1，2），∴CM⊥MD，即， 代入，得：x（x﹣1）+（y﹣1）（y﹣2）＝0， 展开并配方得，该轨迹为圆C内部的圆弧． （3）解：直线与圆C：x2+（y﹣1）2＝5相交于A，B两点． 设圆心C到直线l的距离为d，圆C的半径， 由弦长公式得，因此d最大时|AB|最小， 由于直线l恒过定点D（1，2），故d≤|CD|，当且仅当CD⊥l时，d取最大值|CD|，此时AB取得最小值， 计算得，． 此时直线CD的斜率，由CD⊥l得kCD•m＝﹣1，解得m＝﹣1． 18．（2025秋•陕西期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①与直线4x﹣3y+5＝0垂直； ②直线的一个方向向量为（﹣4，3）； ③与直线3x+4y+2＝0平行． 已知直线l过点P（1，﹣2），_____． （1）求直线l的一般方程； （2）若直线l与圆x2+y2＝5相交于P，Q，求弦长|PQ|． 【解答】解：（1）选①： 因为直线4x﹣3y+5＝0的斜率为k1， 因为直线4x﹣3y+5＝0与直线l垂直，所以直线l的斜率为k， 依题意，直线l的方程为y+2（x﹣1）， 即3x+4y+5＝0； 选②： 因为直线的一个方向向量为（﹣4，3）， 所以直线l的向量为k， 依题意，直线l的方程为y+2（x﹣1）， 即3x+4y+5＝0； 选③：因为3x+4y+2＝0的斜率为k， 又因为直线l与3x+4y+2＝0平行，所以直线l的斜率为k， 依题意，直线l的方程为：y+2（x﹣1）， 即3x+4y+5＝0； （2）圆x2+y2＝5的圆心O（0，0）到直线3x+4y+5＝0的距离为d， 设P，Q的中点为M，由圆的半径为r可知：|PM|2， 因此|PQ|＝2|PM|＝4，即弦长|PQ|为4． 19．（2026春•佳县校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点P为圆C：（x+1）2+y2＝16上任意一点，线段PA的垂直平分线l交半径PC于点Q，当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为W． （1）求W的方程； （2）若点P（﹣1，4），试判断直线l与W的位置关系，并说明理由； （3）设点P为圆C上异于（3，0）和（﹣5，0）的任意一点，若直线l与直线x＝±2分别交于点M，N，求证：M，N两点的纵坐标之积为定值． 【解答】解：（1）半径r＝4，圆心C（﹣1，0）， 因为线段PA的垂直平分线l交半径PC于点Q，因此|QA|＝|QP|， 所以|QC|+|QA|＝|QC|+|QP|＝|PC|＝4＞|CA|＝2， 所以点Q的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，方程为． （2）直线l与椭圆W相切，理由如下， A（1，0），P（﹣1，4），所以kPA＝﹣2， 因此l过（0，2），斜率为，， 联立直线l和椭圆方程可得， 那么可得4x2+8x+4＝0，即x2+2x+1＝（x+1）2＝0，只有一个解， 因此l与椭圆W相切． （3）证明：设P（x0，y0），A（1，0），线段PA中点， 因此，即， 当x＝2时，， 当x＝﹣2时，， 所以 ， 因为， 所以． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $