第1章一元二次方程检测卷-2026-2027学年苏科版 数学九年级上册

**基本信息** 同步练（单元复习），聚焦一元二次方程，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义、系数、根的概念、基本解法|选择1-3题考查概念辨析，解答16题训练因式分解法，夯实基础| |进阶层|根的应用、增长率问题、含参方程|填空13题结合消费补贴情境，解答17题论证方程根的性质，强化应用| |提高层|动态几何、数学文化、韦达定理综合|填空15题融入赵爽几何解法，解答20题探究根与系数关系，发展创新思维|

第1章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的一次项系数是（   ） A．2 B． C．5 D．6 3．如果是方程的一个根，那么常数的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 4．若a是方程的一个根，则的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 5．根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．随着生态环境变好，各湿地越冬水鸟种类逐年增多，如中华秋沙鸭、白鹤等珍稀物种，据统计，湖北荆州地区的湿地越冬水鸟种类从2023年75种增至2025年85种，设从2023年到2025年鸟的种类数量的年平均增长率为x，依据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 8．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 9．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，（）分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，则b，c的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题 11．若是方程的一个根，则的值为_____． 12．已知是方程的一个根，则______． 13．国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为__________． 14．如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 15．问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为_____． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 17．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 18．某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？ 19．小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． (1)如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 20．根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C D A D D C 1．D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，即“只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”由此判断选项即可． 【详解】解：A选项：方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义； B选项：方程，当时，方程变为，是一元一次方程，不一定是一元二次方程； C选项：方程含有两个未知数和，是二元方程，不符合一元二次方程定义； D选项：方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及各项系数的定义，解题的关键是准确识别一元二次方程（）中一次项bx的系数； 先确认方程为一般形式，再找出一次项，确定其系数． 【详解】解：在一元二次方程中，一次项为， 故一次项系数为． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，利用方程的根的定义求解，将方程的已知根代入方程，通过计算即可得到常数c的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， ∴． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把的值代入原方程，从中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 先把代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， 整理得：， ∴ ． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 6．D 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，根据增长率公式，即可列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了一元二次方程的衍生点定义、直线过定点问题及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，正确理解衍生点的定义是解题的关键． 将直线方程化为含参数的形式，求出定点坐标，衍生点即为该定点，从而得方程的两个根，再利用根与系数的关系求b和c． 【详解】解：直线可化为， 则， 解得， 即， 由于直线恒过定点， 则不论为何值，衍生点M始终在该直线上， 即衍生点M的坐标为， 则方程的两个根为、， 由根与系数的关系，得： ， 则， 即， 故选：D． 10．C 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的性质．①由可得是根，故判别式非负；②由有两不等实根得，从而的判别式恒大于0；③c是根时，只有当才有；④由根的定义直接推导等式成立． 【详解】解：①∵当时，， ∴是方程的根， 故判别式，①正确； ②∵方程有两不等实根， ∴判别式，即， 则方程的判别式， 故有两不等实根，②正确； ③∵c是方程的根， ∴，即， 若，则不一定为0，③错误； ④∵是根，∴， 则， 由，得， 即， ∴，④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 11．2 【分析】本题主要考查一元二方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将 代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：把 代入方程 得 ，即 ， 所以 ， 解得， 故答案为：2． 12．2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x，则八月份销售额为万元，九月份销售额为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 14．2或4或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解： 由题意知，，， 当时，，， 令， 解得或； 当时，，， 令， 解得或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 15．或 【分析】本题考查解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为： 或． 16．(1) (2) 【分析】（1）先移项，把右侧整体移到左边，提取公因式，利用因式分解法求解一元二次方程． （2）用因式分解法求解． 【详解】（1）解:， ， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得:,． （2）解：， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得：，． 17．(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 18．应多种20棵桃树 【分析】设应多种x棵桃树，根据要使总产量达到76000个，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设应多种x棵桃树，根据题意得： ， 解得：，， ∵多种的桃树不能超过60棵， ∴不符合题意舍去， ∴， 答：应多种20棵桃树． 19．(1)①② (2)解：当时，养蜂场的面积不能达到， 理由如下： 设时，养蜂场的面积达到， 则， 解得，， ∴，即， ， 方程无实数解， 当时，养蜂场的面积不能达到． 【分析】（1）①设的长度为，根据矩形的周长公式可得； ②如果围成的养蜂场面积为，可列方程，解方程即可求出的长度； （2）设时，，养蜂场的面积达到，可列方程，一元二次方程根的判别式，所以方程无实数解，即可得到答案． 【详解】（1）①解：设的长度为， 四边形是矩形， ， 根据题意得，； ②解：围成的养蜂场面积为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则的长为米． （2）略 20．(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，由方程的解的定义得到，，则可推出，，可推出，据此代入求值即可； （3）由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $