第1章一元二次方程易错精练卷-2026-2027学年科版 数学九年级上册苏

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心易错点，以“概念辨析-解法迁移-模型应用”为主线，系统整合定义、解法、根的性质及跨场景应用，强化数学思维与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1-2题|定义要素判断、素数与根的性质推理|从一元二次方程定义出发，关联素数性质深化概念理解| |解法应用|3-4、17-19题|配方法步骤、十字相乘法技巧|按“直接开平方法-配方法-因式分解法”梯度推进，强调解法选择逻辑| |根的性质|6、8、10-12、15-16题|根与系数关系转化、判别式应用|以韦达定理为核心，构建“根的特征-代数式求值-新定义问题”推理链| |实际应用|7、20、22题|比赛场次、利润问题建模|从实际情境抽象等量关系，培养数学语言表达与应用意识| |拓展创新|21题|“关联方程”定义迁移|通过新定义问题提升知识迁移能力，发展创新意识|

第1章一元二次方程易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 3．用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 4．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 5．已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 6．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 7．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，于点E，若，，则的长为（     ） A．4 B． C． D．6 10．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 12．已知，是方程的两个根，则_______． 13．若为方程的解，则的值为__________． 14．如图，在平行四边形中，为上一点，于点，连接，将沿折叠得到，交于点，连接，若，，，，则点到直线的距离为_________． 15．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 16．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 18．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 19．用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） (1)用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； (2)若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 21．定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 22．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章一元二次方程易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D A B D C C D 1．B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．D 【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p和q的关系，结合p、q均为素数的性质，推导得到根的属性． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． 3．B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 4．D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 5．A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 6．B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 7．D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 8．C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 9．C 【分析】根据矩形的性质得出，，，，设，则，根据勾股定理得出，解方程得出，（舍去），根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， 根据勾股定理得：，， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴． 10．D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 11． 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 12． 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． 13． 【分析】根据方程的解满足方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：为方程的解 整理得 ． 14． 【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长；利用折叠的性质可知，；过点作于点，交于点，设，，在和中利用勾股定理建立方程组求出的值；最后利用等面积法求出点到直线的距离 ． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， 在中，， 由折叠的性质可知：，， 如图，过点作于点，交于点， 设，， ∵ ，， ∴， ， 四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ①， 在上，，在上，在上，， 点到直线的距离为， ， 在中，， ， 整理得：， 将①代入得：， ， 即， 代入①得：， ∴ ∴ ∴ 解得：或（舍去）， 点到的距离为， 设点到直线的距离为， ， ， ． 15．2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 16．或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 18．(1) 证明：在方程中， ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵原方程有一个根大于2， ∴， ∴． 19．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 20．(1)， (2)元 (3)，， 【分析】（1）设每千克售价降低元，根据题意列出关于的表达式． （2）设水果每千克售价降低元，则售价为元，根据题意列出方程计算即可． （3）依题意得不等式组，求出的取值范围，根据只能取整数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，现在每千克售价元，每日销量千克． （2）解：设水果每千克售价降低元，则售价为元，列方程得： 整理得：，即 解得，， ∵尽快减少这种水果的库存，每日销售量为千克必须是最大的， ∴（舍去）， ∴水果的售价为：（元） 答：此时水果的售价为元． （3）解：依题意得不等式组： 解得，即， ∵是整数， ∴取，，， 答：符合条件的所有整数有，，． 21．(1)证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ， ∴，即， 把代入方程左边，得左边， ∴ 左边右边， ∴为“关联方程”的根； (2)或 【分析】由定义得，再把代入方程左边可得左边右边，即可求证； 由定义得，由是该“关联方程”的一个根得，进而得到，再解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于的“关联方程”， ∴， ∴， ∵是该方程的一个根， ∴， 整理得， 把代入，得， 因式分解，得， 解得或． 22．(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $