第1章 特殊平行四边形 单元检测卷 2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第1章特殊平行四边形单元检测卷，覆盖菱形、矩形、正方形性质与判定，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，培养抽象能力、推理意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/40分|菱形性质（1题）、矩形判定（3题）、正方形中点问题（9题）|结合生活情境（3题书架检测），基础概念辨析（5题性质比较）| |填空题|4题/20分|菱形对角线计算（11题）、矩形坐标系应用（13题）|融合几何直观（14题正方形多结论判断）| |解答题|6题/60分|折叠证明（16题）、动点探究（20题）、创新应用（17题旧题反思）|分层设计，如17题从猜想至拓展，培养推理能力与创新意识|

第1章特殊平行四边形单元检测卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 4．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（     ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 6．如图，在矩形中，，，点 E 是的中点，连接，则的长度为(     ) A．5 B．4 C．3 D． 7．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，与交于点，分别在和上取点、，使得，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．如果点、、、分别是菱形四边、、、上的中点，那么四边形是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 10．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若与关于直线DE对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 12．如图，在矩形中，交于点，点在边上，连接交于点，且，若，则的长为___________． 13．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点．点的坐标是________． 14．如图，四边形为正方形，O为对角线的中点，过点O作射线分别交于点E，F，且，交于点P．则下列结论中：①图中全等的三角形只有2对；②正方形的面积等于四边形面积的4倍；③；④正确的说法有______．（只填序号） 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 16．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 17．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 18．如图，在四边形中，点M、N分别在边上．连接． (1)如图1，四边形为正方形时，连接，且． ①已知，求的长； ②已知，求的值； (2)如图2，四边形为矩形，，点N为的中点，，求的长． 19．如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 20．如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． (1)如图，点在线段上，若，则________． (2)如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． (3)当时，求与的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 2．A 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B 10．A 11．4 12． 13． 14．②④ 15．(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 16．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 17．【详解】（1）解：如图，在边上取一点F，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是正方形的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)解：， 理由：如图，作的中点P，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵P，M分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． (3)解： ， 理由：如图，延长使， ∵四边形是正方形 ∴，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 18．【详解】（1）解：①在正方形中，， 在中，， ∴； ②如图，延长至点E，使，连接， 在正方形中，， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， ，即， 在和中， ， ∴， ， ∵， 设，则． ∴， 在中，， ∴， ， ∵， ，即， ∴的值为4； （2）解：如图，延长交于点E． ∵， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ， 设，则， 即， 解得：， 即， ∴． 19．(1)证明：连接交于点O，如图 ∵点E、F、G分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：设，， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴． 20．【详解】（1）解：∵四边形是菱形，点是射线上的动点， ∴由菱形的对称性可得， 是等边三角形， ， ； (2)证明：如图所示： 在菱形中，，则由菱形的对称性可得， 四边形是菱形， ， ， 是的一个外角， ， 则由菱形的对称性可得， ， 是等边三角形， ， ， 即，，三点共线； （3）解：当时，，分两种情况： 当在线段上时，过作于，如图所示： 是等边三角形， ， ， 由菱形的对称性可知， 是的一个外角， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ∴； 当在线段延长线上时，连接交于，如图所示： ， 是等边三角形，即， 是等边三角形， ， ， 由对称性可知， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理可得， ∴， 综上所述，与的数量关系为或． $