第1章特殊平行四边形单元检测卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦《特殊平行四边形》单元核心，通过选择、填空、解答题（10/8/6题，30/32/58分）系统考查矩形、菱形、正方形的性质与判定，融合动态几何、坐标系应用，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形对角线性质（题2）、菱形与矩形性质比较（题3）、正方形判定（题4）|基础概念辨析，注重性质差异对比| |填空题|8/32|菱形面积计算（题11）、正方形与坐标系（题14）、动点问题（题17）|结合计算与空间观念，渗透动态思维| |解答题|6/58|矩形与菱形证明（题19）、正方形动态探究（题24）|综合运用全等、性质判定，体现推理能力与创新意识|

第1章《特殊平行四边形》单元检测卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=8,则CD的长为() D A.7 B.6 C.5 D.4 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°，AB=2,则AC的长是 0 A.2 B.4 C.6 D.8 3.矩形具有而菱形不一定具有的性质是() A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 4.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD 是正方形的是( B A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC 5.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,已知AB=10,OE⊥BD,aDOE的面积 为15，则DE的长为() B A.4 B.5 C.6 D.7 6.如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAW;②以点A为圆心，1个单位长 为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D:③分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画弧， 两弧交于点C;④连接BC,CD,BD.若∠MAN=44°，则∠CDB的度数是() M B DI N A.70° B.68° C.66 D.64° 7.如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC,设MN交 ∠ZACB 平分技于反公夹的外身年分及于支天考北伊5，到C长方 -N A.5 B.6 C.6.5 D.7 8.如图，点A,C,E在同一直线上，且CE=2AC,点B,D分别是AC,CE的中点，分别以 4C,BD,CE为边，在ME同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分），三个平行 四边形面积从左到右依次分别记为S,S,S,若S+S,=5,则S的值为() S3 B E A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 9.如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD,BG=BE,点A,B,E在同 PG 一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC,若∠ABC=∠BEF=60°，则PC() 2 5 A.V2 B.5 C.2 D.3 10.如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB的方向匀速 运动，运动到点B停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图像如图② 所示，则AB的长为() A D 65 ① ② A.5 B.2V6 C.35 D.46 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11,如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD 的面积为」 cm2. 12.如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直 角三角形ABC中，AC=13,BC=12,则阴影部分的面积是 13.如图，在菱形ABCD中，AC,BD为对角线，AE平分∠CAB,若∠CAE=32°，则∠ABC的 度数为」 A D 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,D在x轴上，顶点B,C分别在直线 y=2x .y= 和直线上，则k的值为 y=2r y=kx B 0 15.如图，在正方形ABCD中，∠DAF=35°，AF交BD于点E,则∠BEC的度数为一 E 16.如图，△ABC中，∠ACB=90°.按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于 )AB的长为半径画孤，丙孤交于点队5②作直线M交AB于底仍®连接cD:设 BC=a,AC=b 若a+h=6b=4,则C0的长为一 M 17.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋 转60°得到线段BP,连接PP,CP'.当点P落在边BC上时，BP:CP'的值为 ；当线 段CP的长度最小时，∠PPC的度数为 D 18.正方形4BC0,4B,CC,4B,CG,,按如图方式放置，点44,4，…和点G.CC ,分别在直线'=c+k>0和x轴上.已知后8,8,62)，请写出点8的坐标是 A B3 A2 a. B 70 C C2 C花 三、解答题（本大题共6个小题，共58分） 19.(8分)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF. (1)求证：△ABE≌△DCF；(2)连结DE,若DE平分∠AEC,求证四边形AEFD的为菱形， D EC 20.(8分)如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，将纸片沿过点D的直线折叠， 使点C与点A重合，折痕与BC交于点E. (1)试判断四边形AECD的形状，并证明； (2)若AB=4,BE=3,求梯形ABCD的面积. D 21.(10分)如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE,垂足为点O,交AC于 点F,交AD于点G. (1)证明：BE=AG; (2)当点E是AB边中点时，试比较∠AEF和∠CEB的大小，并说明理由. 22.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,点E在AB上，以点A为圆心，AE长为半径画弧， 交AC于点R,再分别以点E,F为圆心，大于2EF长为半径画弧，两弧相交于点P连结加 并延长，交BC于点D. (1)求证：DE=DF. (2)当EB=ED时，判断四边形AEDF的形状，并说明理由. A D 23.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为5的正方形OABC在第一、四象限，边 B与直线”交于点M,边8C与轴交于点W,边0与'轴夹角为°，且<0<5” y=x (1)若0=30°，求点C的坐标； (2)若OM=ON,求8的度数； (3)连接MN,指出△BMN的周长随8大小的变化而变化的情况，并说明理由. A M y=x B 2A.(12分)在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F. (1)连接CF,如图1，求证：AF=FC; (2)如图2，过点F作FGL AE交BC于点G,连接AG,求证：∠EAG=45°； (3)在(2)的条件下，如图3，连接BG,当BG=4,DE=3时，请直接写出VCG+CE的 长 B G 图1 图2 图3 参考答案 一、选择题 1.D 解：在Rt△ABC中，∠ACB=9O,D是AB的中点， ∴.CD=-AB=4 2 故选：D. 2.B 解：：矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, ∴.OA=OB=OC=OD ∠AOB=60°，AB=2 ∴△AOB 是等边三角形， ..OA=AB=2 ∴.AC=2OA=4 故选：B. 3.D 解：A中，对角线互相平分，矩形和菱形都具有，故不符合题意； B中，对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，故不符合题意； C中，对角线平分一组对角，菱形具有而矩形不一定具有，故不符合题意； D中，对角线相等，菱形不一定具有而矩形具有，故符合题意； 故选：D. 4.A 解：A、AB=AD,不能判定是正方形，故本选项符合题意； B、OA=OB,根据菱形的对角线互相平分，AC=BD，对角线相等的菱形是正方形可得菱形 ABCD 是正方形，故本选项不符合题意； C、AC=BD,根据对角线相等的菱形是正方形，故本选项不符合题意； D、DC⊥BC,则∠BCD=9O°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意， 故选：A. 5.C 解：连接BE,如图， ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90°，OB=OD, .OE⊥BD, ∴.OE垂直平分BD, 即SBOE=S.DoE=15」 S.BDE=S.B0E+S.DOE =30 :81D5,lB=10,又m=x4BxDE-=0, 1 ×10×DE=30 2 .DE=6, 故选：C. 6.B 解：由作图可知，AB=AD=BC=CD, 小四边形 ABCD 是菱形， ∠1DC=180°-∠MAN=180°-4-=136，∠CD8=7∠hDC=68 2 故选：B 7.C 解：，CE平分∠ACB, ∴.∠ACE=∠ECB, MN∥BC, ∴.∠ECB=∠OEC, ∴.∠ACE=∠OEC, ∴.0E=0C, 同理可得OC=OF, ∴.OE=OF; 点O是EF的中点， ,CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD, :∠4CE+∠4CF-BcD=90、 EF-CE+CF-2=13 :0c=)EF=65 2 故选：C. 8.B 解：设BC=x,则S=x2,S,=x×2x=2x2,S=2x×2x=4x2. 由题意得，S1+S3=5,即x2+4x2=5,解得x2=1, 所以S=2x=2, 故选：B. 9.B 解：延长GP交DC于点H, B AB=AD BG=BE 小平行四边形1BCD BEFG 平行四边形 都是菱形， P DE 是线段的中点， ..FP=DP 由题意可知DC∥GF, ∴.∠GFP=∠HDP 3 .∠GPF=∠HPD .△GFP≌△HIDP ∴.GP-HPGF=HD 四边形1BCD 菱形， ∴，CD=CB ∴CG=CH ∴.△CHG 是等腰三角形， ∴.PG⊥PC (三线合一) 又：∠ABC=∠BEF=60°， ∴.∠GCP=60° 故答案为：B 10.B 解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E,设菱形的边长为x, D(P) B 在菱形ABCD中，AD=AB=x,∠A=60°， 在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠A=30°， 1 由图2得3m=S.w-DE=5=65 1 2 4 解得x=26,(负值已舍去)， 所以，AB的长度为2N6, 故选：B. 二、填空题 11.24 解：AC=6cm,BD=8cm, 菱形BcD的百积=号4C-BD-68-24em） 故答案为：24. 12.25 解：由勾股定理得，AB2=AC2-BC2=132-122=25, 四边形BFD 为正方形， :DF=AB ·阴影部分的面积 DE2+EF2=DF2=AB=25 故答案为：25. D E B 13.52 解：'AE平分∠CAB, ∴.∠CAB=2∠CAE=2×32°=64°， ,四边形ABCD是菱形， .AB=BC, .∠ACB=∠CAB=64°， ∴.∠ABC=180°-2∠ACB=180°-64°×2=52°， 故答案为：52 2 14. 解：：正方形ABCD的顶点A,D在X轴上，顶点B,C分别在直线y=2x和直线y=上， ∴.yg=yc B(m,2m) .设 C(3m,2m) 则 .k=2m2 -3m3 2 故答案为：3· 15.80° 解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°， 又DE=DE, .△ADE兰△CDE(SAS) ∴.∠DCE=∠DAE=35°」 ∴.∠BEC=∠CDE+∠DCE=80°， 故答案为：80°. 16.V万 解：根据作图过程可知点D是AB的中点， 在Rt△ABC中，CD是中线， :0-名4 根据勾股定理得a2+b2=AB2,且a+b=6,ab=4, .AB2=(a+b)2-2ab=62-2×4=28, 解得AB=2V7 :0=x27=万 故答案为：V万」 V3+1 17. 2 75° 解：过点P作PE⊥BC交于E点， A D D E P 设BE=x, .线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP, .BP=BP,∠PBC=60°， ∴.△BPP'为等边三角形， .'.BP=2x,BP=2x, ,ABCD是矩形， ∴.∠A=∠ABC=90°， ∴.∠ABP=30°， ..AB=3x, ..BC=2AB, ..BC=23x, .'CP'BC -EP'=23x-2x, BP:CP=2x:23x-2x=1:5-1=3+1 2 V3+1 故答案为：2； 如下图，设EP交BC于点O D 当点P'落在BC上时，点P'与点O重合， 此时∠PP'C=180°-60°=120°， 当CP⊥EP时，CP'的长度最小. .∠EPC=∠BEP'=90°， .BE‖PC, ∴.∠EB0=∠OCP'=30°， 60-2aow=2c, EP-E0+OP-108+10C-1BC 2 2 2 BC=2AB, ∴.EP=AB=EB, ∴.∠EBP=∠EPB=45°， ∴.∠BPC=∠BPE+∠EP℃=45°+90°=135°， .∠PPC=∠BPC-∠BPP=135°-60°=75°， 故答案为：75°. 18.(2-12) 解：：点818(3,2) 正方形4BC0边长为1，正方形4，B,CC边长为2， :400,42列，代入y=c+b得 「b=1 k+b=2, [b=1 解得：k=1, 直线的解析式是：y=x+1. 4B=1B(3,2) A的纵坐标是：1=2°，A的横坐标是：0=2°-1， 4的纵坐标是：1+1=2,4的横坐标是：1=2-1， 4的纵坐标是：2+2=4=22，A的横坐标是：1+2=3=22-1， ∴A的纵坐标是：4+4=8=2,4的横坐标是：1+2+4=7=2-1， 的纵坐标是：2，横坐标是：21-1. .B0,1B3,2) 、点品的坐标为 ,4) :8的模坐标是：2-，数坐标是：2，即8的坐标是2-12） 故答案是：(2-2) 三、解答题 19. 解：(1)证明：：四边形ABCD为矩形， .AB=DC∠B=∠DCF .BE=CF .△ABE≌△DCF(SAS) (2)证明：如图，连接DE. D B EC ,△ABE≌△DCF 3 ∴∠AEB=∠FAE=DF AE∥DF, 六四边形AEFD 平行四边形. .DE ∠AEC 平分 .∠AED=∠DEF AD∥EF, ∴.∠ADE=∠DEF ∴.∠ADE=∠AED .AD=AE 六四边形1EFD 是菱形 20.解：(1)证明：四边形AECD是菱形 由折叠可知，AE=CE,AD=CD,∠ADE=∠CDE, AD∥BC, ∴.∠ADE=∠DEC, ∴.∠CDE=∠DEC, ∴CE=CD, ∴.AD=CD=CE=AE, ∴.四边形AECD是菱形； (2).∠B=90°，AB=4,BE=3, .由四边形AECD是菱形，根据勾股定理可得：AE=AD=EC=V32+4=5, :梯形4BCD的面积为号AD+BC×AB=×5+3+5×4=26 21.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠BAD=90°， ∴.∠1+∠3=90°， .BG⊥CE, ∴.∠B0C=90°， .∠2+∠3=90°， .∠1=∠2， 在△GAB和△EBC中， ∠GAB=∠EBC=90° AB=BC ∠1=∠2 ∴.△GAB≌△EBC ASA ∴.AG=BE; 0 3 B (2)解：点E位于线段AB中点， .AE=BE, 由(1)可知，AG=BE, ∴.AG=AE, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠GAF=∠EAF=45°， 又：AF=AF, ,△GAF≌△EAF(SAS) .∠AGF=∠AEF, 由(1)知，△GAB≌aEBC, ∴.∠AGF=∠CEB, ∴.∠AEF=∠CEB. 22. 解：(1)证明：由题意得AE=AF,AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD 在△AED和△AFD中， AE=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD .△AED≌△AFD(SAS) :DE=DF (2)解：四边形AEDF是菱形， 理由：AB=AC, ,∠B=∠C ·.EB=ED ∴.∠B=∠EDB ∴.∠C=∠EDB ∴.DE∥AC .∠CAD=∠ADE :∠BAD=∠CAD ∴.∠BAD=∠ADE ∴.AE=DE AE=AF DE=DF .AE=AF DE=DF 六四边形1BDF 是菱形 23. (1)解：过C作CD1x轴于D,如图， A My=x B 当8=30°时，∠A0N=90°-0=60°， ,四边形OABC是正方形， .∠A0C=90°， ∴.∠C0D=∠A0C-∠AON=90°-60°=30°， :∠CD0=90°，0C=5, .co-joc- 5 wop-Yoc-c 2 5 /5V3 “点的坐标为2,25 (2)解：过M作MH⊥x轴于H,如图，则∠OM=∠CDO=90°， B D/N :0+∠AON=90°，∠CON+∠AON=90°， ∴.∠CON=0, ,四边形OABC是正方形， ∴.∠A=∠OCN=90°，OA=OC, 在Rt△AOM和Rt△CON中， OA=OC OM=ON ,Rt△AOM≌RtACON(HL) ∴.∠CON=∠AOM, ∴.∠AOM=0, M(m,m) 由直线y=x可知，设 ∴.OH=MH, .∠M0H=45°， ∴.∠A0M=45°， ∴.0+∠A0M=45°， .0+0=45°， .0=22.5°； (3)解：△BMN的周长不改变，理由如下： 延长BC到F,使CF=AM,连接OF,如图， A My=x B ,四边形OABC是正方形， ∴.∠A=∠BC0=90°=∠OCF,OA=OC, .AM=CF, ∴.△OAM≌△OCFSAS, ∴.∠AOM=∠COF,OM=OF, .∠AOC=90°，∠MON=45°， ∴.∠AOM+∠CON=45°， ∴.∠C0F+∠CON=45°，即∠FON=45°， .∠MON=∠FON, ..ON =ON ∴.△MON≌△FON SAS, ∴.MN=FN, .BM+MN+BN=BM+FN+BN=BM+CF+CN+BN =BM+AM+BC =AB+BC =10 .△BMN的周长为10，不会变化. 24.(1)证明：四边形ABCD是正方形，BD是对角线， .DA=DC,∠ADF=∠CDF=45°， 在△ADF和△CDF中， DA=DC ∠ADF=∠CDF DF=DF ∴.△ADF≌aCDF, ∴.AF=CF. (2)证明：作FH⊥AB于点H,FT⊥BC于点T,则∠AHF=∠GTF=90°， D H B G T ,四边形ABCD是正方形，BD是对角线， .BD平分∠ABC,∠ABC=90° ∴.FH=FT, :FG⊥AE, .∠AFG=90°， .'∠BAF+∠ABG+∠BGF+∠AFG=360°， ∴.∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°， .∠BAF=180°-∠BGF=∠FGT, 在△AHF和△GTF中， ∠FAH=∠FGT ∠AHF=∠GTF FH=FT ∴.△AHF≌aGTF, ∴.FA=FG, ∴.∠FAG=∠FGA, .∠AFG=90°， .2E1G=90P×245°。 (3)解：在CB延长线上截取BK=DE,连接AK, 刀 B G 四边形ABCD是正方形， .∠C=∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD, ∴.∠ABK=180°-90°=90°， 在△ABK和△ADE中， AB=AD ∠ABK=∠ADE BK=DE ∴.△ABK≌△ADE, ∴.AK=AE,∠BAK=∠DAE, ∴.∠KAE=∠KAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=90°， .∠EAG=45°， ∴.∠K4G=90°-45°=45°， 在△KAG和△EAG中， 「AK=AE ∠KAG=∠EAG AG=AG ∴.△KAG≌△EAG, ∴GK=GE, BG=4,DE=3, .GE=GK=BK+BG=DE+BG=4+3=7, .∠C=90°， CG+CE-GE-7