导数（一）同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 本练习分层清晰，梯度合理，通过基础巩固、综合应用到拓展探究的三级设计，实现从概念理解到实际应用的知识深化，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念辨析（如平均变化率定义）、基本运算（如导数计算）|选择题、填空题为主，聚焦定义理解与公式应用，如判断平均变化率正负| |提升层|综合应用（如导数几何意义、运动问题）|解答题结合实际情境，如药物浓度变化、切线方程求解，发展数学思维| |拓展层|探究性问题（如曲线陡峭度量化）|选做题联系生活（登山路线），通过建模与推理，培养创新意识与应用能力|

高中数学精练导数（一） 1.1导数 1.1.1函数的平均变化率 1.在平均变化率义中，下列说法不正确的是() △x A.△x可为正数 B.△x可为负数 C.△x可为零 D.△y可为零 2.函数fx=5x-3在区间a,b)上的平均变化率为() A.3B.4 c.5 D.6 3.一物体的运动方程是st=3+2t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是( A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 4.已知函数fx=2x-1的图像上一点1,1，当自变量增加△x时，因变量增 加4y,则4y等于() △X A.4 B.4+2△x C.4+2(Ax D.4x 5.在点x=1附近，取△x=0.3,在下列四个函数中平均变化率最大的是()】 A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y=1 c/(mg/m) 05101520253035 /min 6.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换 气.空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示，则下列时间 段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是( A.5,10 B.5,15 c.15,20 D.15,35 7.过曲线y=x2+1上两点P1,2和Q1+△x,2+△y作曲线的割线，当 4x=0.1时，割线斜率k=一，当4x=0.001时，割线斜率k= 8.一质点运动的方程为st=lnt+1,则该质点在时间段e,e内的平均速度 为 9.若函数fx=x2-x在区间【-2，t上的平均变化率是2，则t= 10.服药后，人吸收药物情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表 示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c=ct,下表给出了ct的一些 函数值 t/min 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ct/mg/ml 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服药后3070min药物浓度的平均变化率为mg/mL·min. 11.分别求出函数 y=sinx 在区间0到 和区间 ππ 内的平均变化 32 率，并比较它们的大小. 12.若函数fx=-x2+x在区间2,2+△x4x>0)上的平均变化率不大于-1， 求△x的取值范围. (选做)13.泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”的美誉，在当地有俗语 “紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”用来形容爬泰山的感受，下面是一段登 山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C 处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭 程度吗？ y/ml 30 20 10 50 70 100xm 1.1.2瞬时变化率与导数 1.若fx=支，则f)等于 A.1 B.-1 c 2已知fx=一+10，厕fy在点×是处的瞬时安化率是( A.3 B.-3 C.2 D.-2 3.若函数y=x在点X=X处的瞬时变化率是了，则。的值是( A B月 C.1 D.3 4.一质点运动的方程为s=5-3t,若该质点在时间段1,1+△t)内的平均速度 为-3△t-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是() A.-3 B.3 C.6 D.-6 5.已知fx=x2-3x,则f0)等于() A.△X-3 B.△x2-3△x C.-3 D.0 6.已知函数fx=1,则4四。 limf1+△x-f1 等于() △x A.-1 B.1 C.-2 D.0 7.已知函数fx=x2,则f-3=一 6 8.一质点按规律s=2t3运动，则其在时间段1,2内的平均速度为 m/s ,在t=1时的瞬时速度为m/s. 9.已知函数fx=13-8x+2x，且fx=4,则x,的值为一 10.设函数fx在点x=x处可导，当h无限接近于0时，对于 fx。+h-fx的值，以下说法正确的是·填序号) ①与xo,h都有关，②仅与x有关而与h无关， ③仅与h有关而与，无关，④与x,h均无关. 11.若函数fx=ax+c,且f1=2,求a的值. 12.一物体做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)关系是 s=3t-t2· (1)求此物体的初速度： (2)求此物体在t=2时的瞬时速度； (3)求此物体在t=0到t=2时的平均速度， (选做)13.已知fX=x,gx=x,求满足fx,+2=gx,的x的值. 1.1.3导数及其几何意义 1.设fx=0则曲线y=fx在点x,fx)处的切线( A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 2.已知曲线fx=2x2上一点A2,8),则在点A处的切线斜率为() A.4B.16 C.8D.2 XB XA 3.已知函数y=fx的图像如图所示，则fx与fx的大小关系是() A.f(xa)-f(x B.flxal<f(xal C.f(xa)=f() D.不能确定 4.已知函数fx满足fx>0,fx,<0则在x和x附近符合条件的fx 的图像大致是() D 5.若曲线y=x2的一条切线的斜率为4，则切点的横坐标为) A.1 B.2C.3 D.4 6.已知函数y=fx的图像在点M1,f1训处的切线方程是y之x+2,则 f1+f1)的值等于( ） A.1 C.3 D.0 7.如图所示，直线1是曲线y=fx在点x=4处的切线，则f4= 、(4,5 =f(x) 8.已知函数y=fx在点2,1处的切线与直线3x-y-2=0平行，则f2= 9.已知fx=x+ax,f1=4,曲线f引x在点x=1处的切线在y轴上的截距 为1，则实数a的值为一 10.曲线fx=1-是在点1,0处的切线的倾斜角等于一 11.已知直线11为曲线fx=x2+x-2在点1,0处的切线，2为该曲线的 另一条切线，且11上2，求直线2的方程 12.已知曲线fx=x-x>0上一点Pxy处的切线分别与X轴，y轴 交于点A,B,0是坐标原点，若△OAB的面积为号，求实数X的值。 (选做)13.点P在曲线fx=x+1上，且曲线在点P处的切线与曲线 y=-2x2-1相切，求点p的坐标. 参考答案 1.1.1函数的平均变化率 1. 2.C. 3. B. 4. B. 5. c 6 C. 7.2.1;2.001. & 9.5. 10.-0.002. 11.提示：设 y=sinx 在区间 内的平均变化率为k,,则 sin k1= 6 3 -0 π 6 设 y=sinx 在区间 ππ 内的平均变化率为k,则 32 3 sin。 -sin 1- k2= 、2 3 2 32-3 π_π π π 23 6 因为太-为=三312-阳35-10，所以k>k.所以雨数y=nx在 π n 区间 0 内的平均变化率为3，在区间 ππ内的平均变化率为 6 3’2 32-3,且3、32-3 ππ 12.提示：因为函数fx在区间2,2+△x上的平均变化率为 △y=f2+△x-fI2 △X △x =-2+4x2+2+4x--4+2 △x =-4Ax-(AxP+Ax--3-Ax △x 所以由-3-△x≤-1，得△x≥-2. 又因为△x>0,所以△x的取值范围是0，+∞. 储衡)1B,提不从A处到日处高度的半均变化幸为h如识-8-号从日 处到C处高度的平均变化率为hec=00-所以hc之h8 所以山路从B到C比从A到B要陡峭的多 1.1.2瞬时变化率与导数 1. B. 2. B. 3. A. 4. D 5. C 6. A. 7.-1. 8.14;6. 9.32. 10.②. 11.提示： limf1+△x-f1lima1+△x2-alim2a△x+Ax2 f1=4x-0 4x-0 =4x-0 -=lim2a+△x=2a=2, △x △x △x 4x+0 所以a=1. 12.提示：(1)初速度 lims△t-so V。4s0 △t lim 3At-At2 4-0 -=lim3-△t=3m/s. △t △t-0 2) lims2+△t-s2 v=40 △t l1im32+△t-2+△t}2-3×2-4 34t0 △t lim-△t2-△t =4t-0 At =lim-△t-1=-1m/s,所以此物体在t=2时的瞬时速度为-1m/s,方向 △t-+0 与初速度方向相反. B)=s2-s10-6-4-0=1m1s,所以t=0到t=2时的平均速度为 2-0 2 1m/s· (选做)13.提示：fx=0 lim fx,+△x-fxo △x lim o+△x2-x话lim2xo△x+△x2 =4x-0 =4x-0 △X △X =lim2x+△x=2xo, x-0 lim gxo+△x-gxo gxo=4x-0 △x lim(xo+△x3-x =4x-0 △x lim3x△x+3x△x2+△x3 =4x-0 △x =1im3x+3x△x+4x）=3x6,所以2x。+2=3x, Ax-+0 解得。=1±7 3 1.1.3导数及其几何意义 1. B. 2. C. 3. B. 4. D. 5. B 6. C. 8.3. 9.2. 10.45°. 11.提示：)因为y=X+x-2所以y=2x+1所以y1=3,所以直线 l1:y=3x-3· 因为上山，所以k=吉令y-2x+1=-号解得X=号代入y=+x-2 得y9所以直线6y+9引x+引即y=吉x号 2,提示：由题意可得。0因为y=1+,所以切线的剑率 名1+元x名令x=0得y2: 1+,则切线的方程为y-x+1+ 令y=0得x=2 1+场 所以△OAB的面积S=号，2,2名=号，解得X=5(负的舍去， 2,1+x63 故答案为V5. (选做)13.提示：设Px,yo,则y=x+1,f(x=2x,所以曲线在点P处的切 线为y-yo=2xx-xo),即y=2xx+1-x行，而此直线与曲线y=-2x2-1相 切，所以切线与曲线y=-2x2-1只有一个公共点，由 y=2xx+1-x0得 y=-2x2-1 2202行-0则4=46-82-=0解得X=42则%-子所 以点p的坐标为23Z或-237 3’33’3