5.1 导数的概念及其意义 同步练习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义练习题 一、单选题 1．已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 3．如图，直线l是曲线在点处的切线，则（   ）    A．1 B．2 C． D． 4．设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 6．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 7．过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 三、填空题 12．是在处的切线方程，则 . 13．若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 . 14．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 四、解答题 15．已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 16．已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 17．已知函数，且． (1)求的值； (2)设，求过点的切线方程． 18．已知函数，． （1）若曲线与曲线在处的切线的斜率相同，求a的值； （2）若存在曲线与曲线在同一点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围． 19．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据导数与极限的定义求解． 【详解】， 所以， 故选：D 2．A 【分析】根据导数的几何意义即可得到，再相加即可. 【详解】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为1， 即，所以． 故选：A. 3．D 【分析】根据图可得直线l的斜率，结合导数的几何意义即可得结果. 【详解】由图可知：直线l过点和，则直线l的斜率， 由导数的几何意义可得. 故选：D. 4．D 【分析】设出切点，根据在切点处的导数即为切线的斜率以及切点既在切线上又在曲线上列等式，即可求的值. 【详解】设切点为，，直线的斜率. 则，得，. 故选：D. 5．A 【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 6．B 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 7．C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 8．D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 9．AD 【分析】设切点.利用导数表示切线的斜率，列方程即可求解. 【详解】设切点. 因为曲线在点P处的切线的斜率，所以，所以点P的坐标为或. 故选：AD. 10．BCD 【分析】利用导数的定义逐个求解. 【详解】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对； 故选：BCD 11．AB 【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值. 【详解】由题意可得，， 因为在直线l上，当为的切点时， 则，所以直线l的方程为， 又直线l与相切， 所以满足，得； 当不是的切点时， 设切点为， 则， 所以，得， 所以，所以直线的方程为. 由，得， 由题意得，所以. 综上得或. 故选:AB 12．2 【分析】首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，列式求解. 【详解】，，且， 所以，得，则. 故答案为：2 13． 【分析】根据导数的定义和几何意义即可求解. 【详解】根据导数的定义可知，所以， 根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为. 故答案为： 14． 【分析】由题意先求出切线方程，然后设曲线上的切点为，再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解. 【详解】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）（2）根据导数的定义即可求解. 【详解】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用商的导数来求正切函数的导数，即可求在某点处的切线方程； （2）利用导数公式来求经过某点的切线方程. 【详解】（1）由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 （2）由，设切点为， 则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 17．(1) (2) 【分析】（1）利用导数求解参数即可. （2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可. 【详解】（1）定义域为，， 而，而已知，可得， 解得，故的值为， （2），设切点为，设切线斜率为， 而，故切线方程为， 将代入方程中，可得，解得(负根舍去)， 故切线方程为， 18．（1）；（2） 【分析】（1）由导数的几何意义知，即可求解； （2）设切点为，，则，分离转化为有解问题即可求解. 【详解】（1）由可得， 所以曲线在处的切线的斜率为， 由可得， 所以曲线在处的切线的斜率为， 因为曲线与曲线在处的切线的斜率相同， 所以，即，得． （2）设切点为，， 由题意得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故实数的取值范围为. 19．(1)， (2)或 【分析】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【详解】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $