专题02 乘法公式重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学讲义围绕乘法公式构建知识体系，系统梳理平方差公式、完全平方公式两大知识点，通过公式结构解析、几何意义阐释及记忆方法总结呈现知识脉络，结合7大基础题型与2类提高题型分层分布重难点，形成清晰的知识内在联系。 讲义亮点在于“数形结合”的练习设计，如用正方形面积推导平方差公式，培养几何直观与抽象能力，设置基础运算、几何应用、化简求值等题型，分层训练满足不同学生需求，自我检测助力自主复习，为教师精准教学提供系统资源支持。

专题02 乘法公式重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、运用平方差公式进行运算 1 题型二、平方差公式与几何图形 2 题型三、运用完全平方公式进行运算 3 题型四、通过对完全平方公式变形求值 4 题型五、完全平方公式在几何图形中的应用 5 题型六、求完全平方式中的字母系数 6 题型七、整式的混合运算 7 第二部分·练提高题型 题型一、利用乘法公式化简求值 1 题型二、乘法公式在实际中综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a² - b² 公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。 几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。 【即时训练】 1．（2026·贵州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：由完全平方公式得，故C错误； 对于选项D：由平方差公式得，故D正确． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，，则值为_______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 知识点02 两数和（差）的平方 (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b)² = a² + 2ab + b²，而 (a - b)² = a² - 2ab + b²。 记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，不等于； 选项B：，不等于； 选项C：； 选项D：，不等于． 2．（25-26八年级上·北京西城·期中）如果，那么的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是先化简代数式，再利用已知条件整体代入求值． 先将代数式化简，再把已知条件整体代入化简后的式子计算． 【详解】解：化简原式： ， 已知，代入得： ． 故答案为：6． 【基础题型一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘时，存在一项完全相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，式子中不存在完全相同的项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意． B选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． C选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． D选项，式子中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意． 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③/③② 【分析】先利用平方差公式化简代数式可得，再根据整数的性质逐个判断即可． 【详解】解： 当时， ，不是正整数，故①错误； 为任意整数， 是偶数，是奇数， 又是奇数，奇数乘奇数为奇数， 一定是奇数，故②正确； ，是整数， 是与整数的乘积，总能被整除，故③正确． 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据甲乙周长相等得到二者邻边长度之和相等，设参数表示出甲乙的两边长，再计算面积差，消去参数即可得到结果． 【详解】解：∵长方形周长相等，周长（邻边之和） ∴甲乙两长方形的邻边之和相等，设甲乙邻边之和为 对于甲长方形，相邻两边长相差， 设长为，宽为， ∴ 解得 ∴长为，宽为 ∴ 对于乙长方形，相邻两边长相差，同理可得长为，宽为 ∴ ∴． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”则10个“智慧数”是_______，2021是第_________个“智慧数”． 【答案】 16 1514 【分析】根据定义推导智慧数的性质，可得大于1的奇数和大于等于8的4的倍数均为智慧数，将智慧数按每3个数分为一组，第组的三个数依次为（为大于的正整数），分别根据位置求第10个智慧数，再根据2021的形式判断它是第几个智慧数即可． 【详解】解：设正整数，其中为正整数，， 可得与同奇偶，因此为奇数或4的倍数，排除无法表示的， 可得智慧数从小到大排列后，每3个分为一组， 第组的三个数依次为，（为大于的正整数，不是智慧数） ①第10个智慧数， ， 第10个智慧数是第组的第个数，即为， ②2021是第几个智慧数， 把正整数个分成组，第一组有个智慧数，从第二组开始每组有个智慧数， ， 是第组的第个数， 位置为 . 3．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）计算并观察下列各式： (1)___________； ___________； ___________； (2)根据上面的规律可得：___________； (3)利用该规律求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式、多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）通过（1）中计算的式子得出规律即可； （3）将所求式子转化为上述规律的形式，利用公式直接计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：根据上面的规律可得：； （3）解： ． 【基础题型二 平方差公式与几何图形】 【例1】（25-26八年级上·重庆开州·期末）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：∵从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板， ∴图甲中阴影部分的面积为， 图乙中阴影部分的面积为， ∴可以验证成立的式子为． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查几何图形的面积计算，用代数式表示所拼成的长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：拼成的长方形的长为，宽为a,所以面积为， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，．下列说法正确的有（   ）个． 正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形， ， ， ， 则， 图中阴影部分的面积为， ， 正方形和的面积和是，故不正确； 图中新的正方形的面积是，故不正确； 由知，，则正方形和的面积差是，故正确； 联立，解得，则正方形的边长是，故正确； 综上所述，正确的有，共个． 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．根据图1、图2的面积相等可得答案． 【详解】解：图1的面积为：， 拼成的图2的面积为：， ∴， 故答案为：． 3．（25-26六年级下·山东东营·期末）学习平方差和完全平方公式时，你用拼图法验证过这两个公式吗?下面我们就这个话题展开探索：取一张正方形纸片，沿着虚线所示将正方形纸片剪开，分成四部分，观察图形可知，这四部分的面积之和，而原正方形的面积就是，由于原正方形的面积等于这四部分的面积之和，这样我们就验证了． 请依据上面验证的思想方法，解决下面的问题： (1)将图1中阴影部分的小长方形变换到图2的位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_____． (2)观察图3和图4，请根据两个图形的面积关系写出一个等式： （_____）_______． (3)图5是一个长为，宽为的长方形，用剪刀分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图6那样拼成一个正方形，则图6中间空余的部分的面积是____． (4)观察图6，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是_____． (5)根据上面的关系式计算：若，，则_____． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5)1 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，数形结合、表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）分别表示出两个图形的面积即可得出结果； （2）分别表示出图3，图4的面积即可； （3）中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得； （4）根据阴影部分面积可得关于，，的等式； （5）利用（4）中结论代入求解即可． 【详解】（1）解：图1大矩形的面积可表示为：； 图2大正方形的边长为，图形的面积可表示为：， 所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是； （2）解：图3面积可表示为：， 图4面积可表示为：， 所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是； （3）解：图6空白部分的四边形是正方形，边长是，则面积是； （4）解：根据图形得出； （5）解：根据阴影部分面积可得：， ∵，， ∴． 【基础题型三 运用完全平方公式进行运算】 【例1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，展开后代入已知的值，即可计算出的值． 【详解】， ， ， ， ， ． 【例2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，边长为x 的正方形的边长增加4，用含x 的式子表示增加后的正方形的面积为_______． 【答案】 【分析】根据题意确定新正方形的边长，利用完全平方公式或图形面积和计算总面积，对比系数得出结果． 【详解】解：由题意可知，增加后的正方形边长为 ，则正方形的面积为 ， 根据完全平方公式可得： ， 对比可知，的系数为． 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过移项配方将已知等式转化为两个平方和的形式，利用平方的非负性求出和的值，再计算即可． 【详解】解： 移项，得 对等式左侧配方，得 ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为，则每个非负数均为， ∴，， 解得，， ∴． 2．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）计算： _________． 【答案】 【分析】观察式子结构，可先对前三项利用完全平方公式化简，再进行计算． 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·湖南郴州·期末）下面是小红化简的过程： 解 =……第一步 =……第二步 =……第三步 小明认为小红的化简过程出现了错误． (1)小红在第________步出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并计算当时原式的值． 【答案】(1)一 (2) 解： ， 当时，原式的值． 【分析】（1）检查展开过程可发现第一步展开完全平方公式出错， （2）先根据运算法则正确展开合并同类项，再代入的值计算结果即可． 【详解】（1）解：根据完全平方公式，，小红展开结果错误，因此小红在第一步出现错误； （2）解：将代入化简后的式子：原式 ． 【基础题型四 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将通过完全平方公式恒等变形为含与的形式，代入已知数值计算． 【详解】解：． 【例2】（2026·江苏扬州·二模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为____． 【答案】8 【分析】设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，由题意可得，再由图1得，进而得出，接下来解一元二次方程求出b，然后讨论可得答案． 【详解】解：设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，且，则， 由图1，得， ∴， ∴（不符合题意舍去）， 即， ∴， 解得， 当时，； 当时，，不合题意舍去． 综上所述，阴影部分面积是8． 1．（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）如图，矩形的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形．若四个正方形的面积和是，则矩形的面积是（    ） A．13 B．15 C．26 D．30 【答案】B 【分析】设，，根据周长和面积知，，利用求出的值即可得出答案． 【详解】解：设，， 由题意得，，， ，， ， ， 则长方形的面积是15平方米． 2．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到，利用图2所表示的数学等式解决问题：已知，，则______． 【答案】45 【分析】由，得，代入数字计算即可． 【详解】解：因为， 因为， 所以 故答案为： 3．（25-26七年级下·辽宁·期中）综合应用： 在学习“完全平方公式”时，某兴趣小组发现：已知，可以在不求，的值的情况下，求出的值．具体做法如下： ． (1)若，，则___________； (2)若满足，求的值．同样可以应用上述方法解决问题． 具体操作如下： 解：设， 则， 所以． 请参照上述方法解决下列问题： ①若，求的值； ②若，求的值； (3)如图，某校园艺社团在一面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙）围成一个长方形花圃，面积为15平方米，其中墙足够长．随着社团成员的增加，学校在花圃旁分别以为边向外各扩建两个正方形花圃，以为边向外扩建一个正方形花圃（图中虚线区域部分为扩建部分），求花圃扩建后增加的面积． 【答案】(1)37 (2)①14；②42 (3) 【分析】（1）仿照例题的方法结合完全平方公式的变形解答即可； （2）①设，仿照例题的方法结合完全平方公式的变形解答即可； ②设，仿照例题的方法结合完全平方公式的变形解答即可； （3）设，则，根据题意可得，设，，则，，再利用完全平方公式的变形解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①设， 则， ∴ ； ②设， 则，， ∴ ； （3）解：设，则， 根据题意可得， 设，， 则，， ∴花圃扩建后增加的面积 ． 【基础题型五 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】 （25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 代入，，得：． 【例2】（25-26七年级下·陕西·期中）如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的变形，先由已知的和求出，再将阴影部分拆分为两个三角形，用、表示出面积并整体代入求值． 【详解】解：，， 可得， 根据题图可知，阴影部分的大三角形面积为，小三角形面积为，则阴影部分的面积为． 1．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 即正方形和正方形的面积之和为． 2．（2026·吉林·一模）在学习完全平方公式之后，老师布置了这样一道数学作业：计算．小星利用多项式的乘法法则进行计算：小帆利用完全平方公式进行计算：小淳画出如图所示的正方形，利用数形结合的方法进行计算：…请问这道数学作业的计算结果是_____________． 【答案】 【详解】解：根据图形可得：大正方形的面积为，也可以表示为， ∴． 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________________； (2)若，求的值； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以为边在异侧作正方形和正方形，连接AF．若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，求的长度． 【答案】(1) (2)4 (3)6 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）设，，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可； （3）设，由题意得，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ; （2）解：设，， ， 由条件可得， ， ， ． （3）解：设，由题意得： 两个正方形面积和； ， 得, ， ∵边长和为正数， ∴， 即． 【基础题型六 求完全平方式中的字母系数】 【例1】（25-26六年级下·山东济南·阶段检测）若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构得到中间项系数的关系，列方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵完全平方公式为，多项式是完全平方的展开式， ∴，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值是或． 【例2】（25-26七年级上·四川成都·期末）若 能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是__________． 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的结构特征确定一次项系数满足的关系，列方程求解即可得到的值． 【详解】解： 能用完全平方公式进行因式分解，且， ， 对比等式两边一次项系数可得： ， 当 时， 解得， 当 时， 解得 ， 故常数的值是或． 1．（25-26八年级上·湖南·期末）若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式，对比原式确定的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴根据完全平方公式，可得， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知多项式（为常数）是关于的多项式的完全平方式，则的值为__________． 【答案】9 【详解】解：∵（为常数）是关于的多项式的完全平方式， ∴原式， ∴ ． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）对于任意有理数，，，，定义一种新运算：． (1)_______； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则_______； (3)对于有理数，，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点，，在同一条直线上，点在边上，连接，．若，，，，图中阴影部分的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，然后根据完全平方公式变形计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． （3）解：①原式 ， ，， ； ②由题意得：， ， 四边形的面积为， ， 解得：． 【点睛】本题考查了有理数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 【基础题型七 整式的混合运算】 【例1】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）若，则下列各式不能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的乘法，掌握乘法公式进行整式的混合运算是解题的关键． 根据整式的混合运算法则计算判定即可． 【详解】解：、，， ，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，， ， ，故此选项符合题意； 故选：． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的应用，解题关键是能根据图形得到正确的数量关系并列式计算．设正方形的边长，进而表示出，再根据长方形面积为可得到，根据劳动实践基地的面积列式，利用完全平方公式、提公因式等将式子进行变形，最后将整体代入计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长，则， 长方形面积为． ， 劳动实践基地的面积为： ． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·北京·期中）已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查整式混合运算，已知式子的值求代数式的值．由已知得到，运用整式的混合运算法则对代数式化简变形，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）观察下列算式：①；②；③；………，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为______． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方差公式：，他发现，运用立方差公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方差公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简：= ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值． 【答案】(1)①；②98； (2) 【分析】（1）①用多项式乘多项式法则计算即可； ②把变形成， 再计算即可； （2）由，求出， 再将变形成， 代入计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， ． 【提高题型一 利用乘法公式化简求值】 【例1】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论一道张老师出的代数式求值问题．结合他们的对话，通过计算求得的值是（    ）    A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式计算即可得． 【详解】解：， ， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求值、平方差公式，熟记平方差公式是解题关键． 【例2】（25-26七年级下·湖南株洲·期末）有一道数学题，部分内容被墨水污染了：先化简，再求值，其中“ ”，小明翻开答案看到这题的结果是7．那么的值是多少？ 【答案】 【分析】先进行化简，令化简的代数式结果等于7，即可求出的值． 【详解】解： ． ，解得． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，整式的加减．熟练运用乘法公式化简构造一元一次方程是解题的关键． 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）化简代数式等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的混合运算和平方差公式，运算法则和公式的运用是解题的关键． 根据单项式乘多项式的法则和平方差公式计算，再合并同类项即可求解． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在学习《整式乘法》一章时，我们从计算图形面积入手，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积，这样就可以得到一个等式，从而进一步得到一些整式乘法法则、乘法公式，解决一些问题．这种解决问题的方法称之为面积法． 请你解决问题：将边长分别为a、b、c的两个直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成上图，试用不同的方法计算这个图形的面积，并对所得到的等式进行化简请你写出化简后的等式__________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解题意是解题的关键． 用三个直角三角形可得面积，直接利用梯形可得面积，由此可得等式，化简即可 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期末）先化简，再求值：，其中．小明在解题过程中不小心将抄错成了，请问对结果有影响吗？请通过化简说明理由并求值． 【答案】对结果没有影响， 理由： ， ， 对结果没有影响，原式． 【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式去括号，再合并化简，再根据平方的性质分析即可． 【详解】略 【提高题型二 乘法公式在实际中综合应用】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于21，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．18 【答案】D 【分析】根据题意可得三个正方形上的数字之和为63，而1到9这个数字之和为45，据此可得，由，，可得，即可解决问题． 【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于21， ∴三个正方形顶点上的数字之和为， 1到9这个数字之和为， ∵、、都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴． 【例2】（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 【答案】9.5 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，，，，再根据图中阴影部分的总面积为，计算即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，， ∵四边形是面积为24的正方形，正方形的面积为5， ∴，， ∴图中阴影部分的总面积为 ． 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：设正方形、的边长分别为、， 由图甲得：， ， 即：． 由图乙得：， ， ， ． ，， 故选：． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为_________． 【答案】10 【分析】设正方形的边长为正方形①的边长为则长方形②的长为宽为，根据各图形的放置方式，可用含的代数式表示出，结合，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设正方形的边长为正方形①的边长为则长方形②的长为宽为， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 3．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， ∴可以得到公式或； （2）解：①， ， ， ， ； ② ． 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的结构为，判断两个相乘的二项式是否满足“一项完全相同，另一项互为相反数”，符合条件即可用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：原式整理为，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算； B选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求； C选项：原式中既无完全相同的项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 3．（2026七年级下·浙江衢州·模拟预测）已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简求值．本题可先根据已知条件求出的值，再将代数式进行变形，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴原式； 故选：A． 4．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图为整式间运算的流程图，约定运算规则：上方相邻两个整式之积等于这两个整式下方箭头共同指向的整式，且．下列两个结论：①整式的值为定值；②若，则整式的值为定值．其中判断正确的是（     ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】D 【分析】根据流程图运算规则，先列出整式A的运算式，即上方相邻两个整式的乘积，化简后判断其是否为定值，验证结论①；再根据下方运算关系，，结合可变形得到B的表达式，结合的条件，判断化简后的B是否为定值，验证结论②． 【详解】解：根据题意得：、， ， ， 整理得：， ， ， ， 结论①：，则的值恒为2，是定值， 故①正确； 结论②：若、， 由完全平方公式得：， ， ， 即，是定值， 故②正确； 因此，①②都对． 5．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，在大长方形中放入张相同的小长方形，其中小长形的长为，宽为，且，，三点在同一条直线上．若大长方形的周长为，阴影部分的面积为，则一张小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的变形求值，先求出大长方形的长，大长方形的宽，由大长方形的周长等于，得，再根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积得，最后通过变形得出小长方形的面积，即的值，从而求出结果，解题的关键是通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解． 【详解】解：由题意知，大长方形的长，大长方形的宽， ∴大长方形的周长， 化简得， ∵阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ∴，化简得，， ∵， ∴，即， 把代入得，， 解得， ∴一张小长方形的面积， 故选：． 6．（25-26七年级下·山东聊城·期末）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 7．（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）数字“”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“”进行转换然后计算：______. 【答案】 【分析】本题考查了数字“”转换，将数字“”化成添加到原式中，然后利用平方差公式依次计算化简即可得解，采用平方差的公式计算化简是解题关键． 【详解】解：原式 故答案为：． 8．（25-26七年级上·福建漳州·期末）若，则下列说法： （1）；（2）； （3）；（4）． 其中正确结论的序号为________． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘法的系数问题，熟练掌握利用特殊值法求系数和是解题的关键．本题可通过代入特殊值、、来分别求出、各项系数和、奇数项与偶数项系数和，再通过联立方程求出，从而逐一判断各结论的正确性． 【详解】解：（1）令，， ， ，故（1）正确． （2）令，， ， ，故（2）正确． （3）令，得， 即， 两边同乘得，即， 故（3）正确． （4）由（2）得， 由可得， 得，即， 又，代入得， 所以，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）． 9．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，就是完全平方式．多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是______． 【答案】，，，或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的定义，多项式添加一个单项式后需满足的形式．通过比较系数和项数，得出可能添加的单项式． 【详解】解：∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； 综上，多项式添加，，，或可构成完全平方式， 故答案为：，，，或． 10．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设，根据“，”，可列出关于x，y的方程组，再利用，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设， 根据题意得：， 得： 即， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知：整式，，t为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被12整除． 【答案】(1)不可能为负数 (2)见解析 【分析】（1）计算出的值，结合平方的非负性进行判断即可； （2）计算得，结合题干可知，能被12整除，因此结论成立． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的值不可能为负数； （2）解： ， ∵是整数， ∴能被12整除， ∴的值一定能被12整除． 13．（25-26七年级下·北京通州·期末）配方是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合平方的非负性来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若多项式，，试比较A，B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可； （2）先计算多项式，，再利用完全平方公式进行配方求出与0的大小关系，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴在横线上添加的常数项是9． （2）解：∵ ， ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26六年级下·山东淄博·期末）【知识生成】 (1)利用图①，图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式： ， ； 【直接应用】 (2)已知：，，求和的值； 【问题解决】 (3)如图②所示，四边形是长方形，分别以，为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为，求长方形的面积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用图形的面积得到完全平方公式； （2）利用完全平方公式变形求代数式的值； （3）设，，则有，利用完全平方公式可得：，由两正方形的面积和为可得：，求出的值即为长方形的面积． 【详解】（1）解：图中大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 又大正方形的面积大阴影正方形的面积两个长方形的面积小阴影正方形的面积， 大正方形的面积为， 可得乘法公式：； 图中大阴影正方形的边长为， 大阴影正方形的面积为， 又大阴影正方形的面积大正方形的面积两个长方形的面积小阴影正方形的面积， 大阴影正方形的面积， 可得乘法公式：； （2）解：， ， ，， ； ； （3）解：设，，则有， 两正方形的面积和为， ， ， ， ， ， 长方形的面积是． 15．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据公式直接转化即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为或，因此可得； 图2阴影部分的面积为或，因此可得； （2）解：图3阴影部分的面积为或， 因此可得； （3）解：由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 乘法公式重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、运用平方差公式进行运算 1 题型二、平方差公式与几何图形 2 题型三、运用完全平方公式进行运算 3 题型四、通过对完全平方公式变形求值 4 题型五、完全平方公式在几何图形中的应用 5 题型六、求完全平方式中的字母系数 6 题型七、整式的混合运算 7 第二部分·练提高题型 题型一、利用乘法公式化简求值 1 题型二、乘法公式在实际中综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a² - b² 公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。 几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。 【即时训练】 1．（2026·贵州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，，则值为_______． 知识点02 两数和（差）的平方 (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b)² = a² + 2ab + b²，而 (a - b)² = a² - 2ab + b²。 记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京西城·期中）如果，那么的值为______． 【基础题型一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”则10个“智慧数”是_______，2021是第_________个“智慧数”． 3．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）计算并观察下列各式： (1)___________； ___________； ___________； (2)根据上面的规律可得：___________； (3)利用该规律求的值． 【基础题型二 平方差公式与几何图形】 【例1】（25-26八年级上·重庆开州·期末）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是________． 1．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，．下列说法正确的有（   ）个． 正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是．    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是________． 3．（25-26六年级下·山东东营·期末）学习平方差和完全平方公式时，你用拼图法验证过这两个公式吗?下面我们就这个话题展开探索：取一张正方形纸片，沿着虚线所示将正方形纸片剪开，分成四部分，观察图形可知，这四部分的面积之和，而原正方形的面积就是，由于原正方形的面积等于这四部分的面积之和，这样我们就验证了． 请依据上面验证的思想方法，解决下面的问题： (1)将图1中阴影部分的小长方形变换到图2的位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_____． (2)观察图3和图4，请根据两个图形的面积关系写出一个等式： （_____）_______． (3)图5是一个长为，宽为的长方形，用剪刀分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图6那样拼成一个正方形，则图6中间空余的部分的面积是____． (4)观察图6，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是_____． (5)根据上面的关系式计算：若，，则_____． 【基础题型三 运用完全平方公式进行运算】 【例1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，边长为x 的正方形的边长增加4，用含x 的式子表示增加后的正方形的面积为_______． 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）计算： _________． 3．（25-26七年级下·湖南郴州·期末）下面是小红化简的过程： 解 =……第一步 =……第二步 =……第三步 小明认为小红的化简过程出现了错误． (1)小红在第________步出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并计算当时原式的值． 【基础题型四 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·江苏扬州·二模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为____． 1．（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）如图，矩形的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形．若四个正方形的面积和是，则矩形的面积是（    ） A．13 B．15 C．26 D．30 2．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到，利用图2所表示的数学等式解决问题：已知，，则______． 3．（25-26七年级下·辽宁·期中）综合应用： 在学习“完全平方公式”时，某兴趣小组发现：已知，可以在不求，的值的情况下，求出的值．具体做法如下： ． (1)若，，则___________； (2)若满足，求的值．同样可以应用上述方法解决问题． 具体操作如下： 解：设， 则， 所以． 请参照上述方法解决下列问题： ①若，求的值； ②若，求的值； (3)如图，某校园艺社团在一面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙）围成一个长方形花圃，面积为15平方米，其中墙足够长．随着社团成员的增加，学校在花圃旁分别以为边向外各扩建两个正方形花圃，以为边向外扩建一个正方形花圃（图中虚线区域部分为扩建部分），求花圃扩建后增加的面积． 【基础题型五 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】 （25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【例2】（25-26七年级下·陕西·期中）如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是______． 1．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林·一模）在学习完全平方公式之后，老师布置了这样一道数学作业：计算．小星利用多项式的乘法法则进行计算：小帆利用完全平方公式进行计算：小淳画出如图所示的正方形，利用数形结合的方法进行计算：…请问这道数学作业的计算结果是_____________． 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________________； (2)若，求的值； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以为边在异侧作正方形和正方形，连接AF．若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，求的长度． 【基础题型六 求完全平方式中的字母系数】 【例1】（25-26六年级下·山东济南·阶段检测）若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 【例2】（25-26七年级上·四川成都·期末）若 能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是__________． 1．（25-26八年级上·湖南·期末）若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．8 D．4 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知多项式（为常数）是关于的多项式的完全平方式，则的值为__________． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）对于任意有理数，，，，定义一种新运算：． (1)_______； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则_______； (3)对于有理数，，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点，，在同一条直线上，点在边上，连接，．若，，，，图中阴影部分的面积为，求的值． 【基础题型七 整式的混合运算】 【例1】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）若，则下列各式不能成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为______． 1．（24-25八年级上·北京·期中）已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）观察下列算式：①；②；③；………，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为______． 3．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方差公式：，他发现，运用立方差公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方差公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简：= ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值． 【提高题型一 利用乘法公式化简求值】 【例1】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论一道张老师出的代数式求值问题．结合他们的对话，通过计算求得的值是（    ）    A． B． C．3 D．4 【例2】（25-26七年级下·湖南株洲·期末）有一道数学题，部分内容被墨水污染了：先化简，再求值，其中“ ”，小明翻开答案看到这题的结果是7．那么的值是多少？ 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）化简代数式等于（    ） A．4 B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在学习《整式乘法》一章时，我们从计算图形面积入手，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积，这样就可以得到一个等式，从而进一步得到一些整式乘法法则、乘法公式，解决一些问题．这种解决问题的方法称之为面积法． 请你解决问题：将边长分别为a、b、c的两个直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成上图，试用不同的方法计算这个图形的面积，并对所得到的等式进行化简请你写出化简后的等式__________． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期末）先化简，再求值：，其中．小明在解题过程中不小心将抄错成了，请问对结果有影响吗？请通过化简说明理由并求值． 【提高题型二 乘法公式在实际中综合应用】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于21，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．18 【例2】（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为_________． 3．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026七年级下·浙江衢州·模拟预测）已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图为整式间运算的流程图，约定运算规则：上方相邻两个整式之积等于这两个整式下方箭头共同指向的整式，且．下列两个结论：①整式的值为定值；②若，则整式的值为定值．其中判断正确的是（     ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 5．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，在大长方形中放入张相同的小长方形，其中小长形的长为，宽为，且，，三点在同一条直线上．若大长方形的周长为，阴影部分的面积为，则一张小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东聊城·期末）计算：________． 7．（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）数字“”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“”进行转换然后计算：______. 8．（25-26七年级上·福建漳州·期末）若，则下列说法： （1）；（2）； （3）；（4）． 其中正确结论的序号为________． 9．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，就是完全平方式．多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是______． 10．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是_______． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知：整式，，t为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被12整除． 13．（25-26七年级下·北京通州·期末）配方是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合平方的非负性来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若多项式，，试比较A，B的大小． 14．（25-26六年级下·山东淄博·期末）【知识生成】 (1)利用图①，图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式： ， ； 【直接应用】 (2)已知：，，求和的值； 【问题解决】 (3)如图②所示，四边形是长方形，分别以，为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为，求长方形的面积． 15．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $