专题03 整式的除法重难点题型专训（2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 整式的除法重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示数的除法 题型二 同底数幂的除法运算 题型三 同底数幂除法的逆用 题型四 零指数幂 题型五 幂的混合运算 题型六 计算单项式除以单项式 题型七 多项式除以单项式 题型八 整式四则混合运算 拓展训练一 整式除法与单项式求值计算 拓展训练二 由商和余数求被除式 拓展训练三 整式的除法综合应用 知识点一： 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算的结果是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的除法运算，掌握约分是解题的关键．通过约分简化表达式即可解答． 【详解】解：． 故选D． 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的除法运算，正确掌握单项式与单项式的除法运算法则是解题关键．直接利用单项式与单项式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点二： 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【即时训练】 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则． 根据多项式除以单项式运算法则即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【经典例题一 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 【答案】B 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米， ∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷1.4×1018≈7.1×10﹣7． 故选：B 【点睛】本题考查整式的除法． 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用各选项的数分别除以，根据商结合数轴上AO、OB间的距离进行判断即可. 【详解】A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意； B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意； C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意； D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴，用科学记数法表示的数的除法，正确进行运算，结合数轴恰当地进行估算是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习） ． 【答案】 【分析】根据单项式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 3．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）人们以分贝为单位来表示声音的强弱，通常说话的声音是50分贝，它表示声音的强度是 ；摩托车发出的声音是110分贝，它表示声音的强度是 ，那么摩托车的声音强度是说话声音强度的 倍． 【答案】 【分析】用摩托车的声音强度除以说话声音强度，再利用同底数幂相除，底数不变指数相减计算． 【详解】解：1011÷105=1011-5=106． 答：摩托车的声音强度是说话声音强度的106倍． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法的运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海普陀·课后作业）某城市有100万个家庭，平均每个家庭每天丢弃1个塑料袋． （1）这100万个家庭一年（365天）将丢弃_______个塑料袋；（用科学记数法表示） （2）若每1000个塑料袋污染1平方米土地，那么该城市一年（365天）被塑料袋污染的土地有多少平方米？（结果精确到万位） 【答案】（1）3.65×108；（2）被塑料袋污染的土地约有3.7×105平方米． 【分析】（1）用100万乘以365即可得到结果； （2）用（1）的结果除以1000，得到结果后按要求精确即可； 【详解】解：（1）这100万个家庭一年（365天）将丢弃塑料袋：1000000×365＝3.65×108． 故答案为：3.65×108； （2）3.65×108÷1000＝3.65×105≈3.7×105（平方米）． 答：若每1000个塑料袋污染1平方米土地，那么该城市一年（365天）被塑料袋污染的土地约有3.7×105平方米． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的应用，准确计算是解题的关键． 【经典例题二 同底数幂的除法运算】 【例2】（2025·上海金山·模拟预测）下列各式运算结果为的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，进行计算即可求解． 【详解】解：A. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；      C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）已知，则的值等于（　　） A．8 B．4 C．16 D．32 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．由题意可得，再利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法的运算法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末） ． 【答案】a 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，掌握同底数幂的乘除法的运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的除法运算法则计算后列方程求解即可得到答案． 【详解】解：， ，即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的除法运算及解一元一次方程，根据同底数幂的除法运算得到关于的方程是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）请运用幂的运算性质解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式和实数的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． （1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有的形式，再代入进行计算即可； （2）先把写成，然后利用乘法的运算律和积的乘方法则进行简便计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 【经典例题三 同底数幂除法的逆用】 【例3】（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，则的值为（  ） A． B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的运算法则，先变形得，再根据同底数幂除法的运算法则即可解答．掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知，，则的值是（　　） A．10 B．36 C．96 D．100 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方计算，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，则等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂除法和幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是关键．利用法则把原式变形为，再代入已知条件即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，则 ．若，，则 ． 【答案】 3 /1.5 【分析】先把底数化为3的幂的形式得到，再利用同底数幂的乘法可得，于是解方程得到m的值；利用幂的除法法则得到，然后把，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， 故答案为：3，． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握各运算法则时解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_______；若，则_______； (2)已知，若，则_______； (3)若，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2)15 (3)①；② 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及新定义的实数运算，掌握同底数幂的乘法以及幂的乘方是解题的关键． （1）根据新定义即可得到； （2）根据新定义得到 ，，，根据即可得解； （3）根据新定义得到，，即可判断． 【详解】（1）解：， ∴； ∵， ， 故答案为：4，64； （2）解：∵， ，，， ， ∵， ， 故答案为：15； （3）解：∵ ，， ①； ② ，，， ， ， ∴ 【经典例题四 零指数幂】 【例4】（24-25七年级上·上海静安·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用零指数幂，积的乘方法则，单项式除以单项式法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B符合题意， ，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海静安·期中）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，要使表达式有意义，需保证底数不为0，因为任何非零实数的0次方均等于1，而0的0次方无意义，熟练掌握零指数幂的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海普陀·开学考试） ． 【答案】3 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂公式解答即可． 本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】解： ． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂、积的乘方、同分母分式的减法．根据零次幂、负整数指数幂、积的乘方、同分母分式的减法法则计算即可求解． 【详解】解： （1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：1；；；1． 4．（2025·上海青浦·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据二次根式的除法运算法则、零指数幂和负整数指数幂的运算进行计算，再由有理数加减运算求解即可得到答案； （2）先通分去掉小括号，再按分式除法运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和分式的混合运算，涉及二次根式除法运算、零指数幂、负整数指数幂、有理数加减运算、通分、因式分解、约分等知识，解题的关键是根据运算法则熟练计算． 【经典例题五 幂的混合运算】 【例5】（2025·上海奉贤·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝2a6 B．（﹣a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．a5•a3＝a8 【答案】D 【分析】根据合并同类项的法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则分别进行计算即可． 【详解】A．a3+a3=2a3，故原题计算错误； B．（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误； C．a6÷a2=a4，故原题计算错误； D．a5•a3=a8，故原题计算正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知,  , 则 =（    ） A．10 B．15 C．17 D．72 【答案】D 【详解】分析：根据同底数幂的乘法法则求解． 详解：a2m+3n=（a2m）•（a3n）     =（am）2•（an）3     =9×8     =72．     故选D． 点睛：本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）已知,则用底数是10的幂的形式表示75= . 【答案】 【详解】解：75=3×25=3×52==．故答案为． 3．（2025七年级上·上海闵行·模拟预测）已知，则 = .（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：∵2x=a，3x=t， ∴24x=（23×3）x=23x×3x=（2x）3×3x=a3t． 故答案为a3t． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算、幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再根据同底数幂相乘计算即可得解； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【经典例题六 计算单项式除以单项式】 【例6】（24-25七年级上·上海松江·开学考试）下列等式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，根据合并同类项法则、单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算方法，逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算正确，不符合题意； 、，原选项计算错误，符合题意； 、，原选项计算正确，不符合题意； 、，原选项计算正确，不符合题意； 故选：． 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）下列计算中，正确的个数有（    ） （1）    （2） （3）     （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式除以单项式，积的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握运算法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：（1），正确，符合题意； （2），错误，不符合题意； （3），错误，不符合题意；     （4），错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）直接写出答案： ① ② ③ ④ 【答案】 -2； ； ； 4. 【分析】①去括号后运算即可； ②运用平方差公式作答即可； ③运用同底数幂除法法则运算即可； ④构造积的乘方的公式逆用即可； 【详解】解：① ② ③ ④ =4×1 =4 【点睛】本题考查了同底数幂的运算、平方差公式，同底数幂的灵活运算是解答本题的关键. 3．（24-25七年级上·上海长宁·期末）图中的四边形为矩形，根据图中提供的信息填空： （1）① ,② ； （2） ． 【答案】 q px q (p+q)x+pq 【分析】（1）观察图形可得结论； （2）根据图形面积相等可求解. 【详解】（1）由图形知，①所在的矩形的面积为qx，一条边长为x，则另一条边①的长度=qx÷x=q; ②所在的矩形的两边长分别为p，x，则其面积②等于px. （2）由面积相等可得：q(p+q)x+pq． 故答案为（1）①q；②px；（2）q； (p+q)x+pq. 【点睛】此题考查了矩形的性质，熟练掌握等积变换是解决此题的关键. 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算的运算顺序和计算法则，灵活应用平方差公式是解题的关键． （1）先利用幂的乘方运算法则计算乘方，然后利用单项式的乘除法运算法则计算即可得出结果； （2）先利用乘法公式计算，然后再合并同类项即可求解； （3）利用乘法公式计算即可求解； （4）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题七 多项式除以单项式】 【例7】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）一个长方形的面积为，若它的一条边长为．则它的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法运算和加减运算，利用长方形的面积，结合多项式除以单项式，先求出另一边的长，再根据周长公式求解即可得到答案． 【详解】解：另一条边长为， 周长为， 故选：A． 1．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）有下列四个算式：①③．其中不正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据整式的除法法则分别计算各个式子，再判断即可． 【详解】解：①，正确，故不符合题意； ②，错误，故符合题意； ③，错误，故符合题意； ④，错误，故符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的除法运算，比较简单．用到的知识点：单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）如果一个多项式与的积为，则这个多项式为 ． 【答案】3a2﹣2a+1． 【分析】用除以5a可得． 【详解】()÷5a=3a2﹣2a+1 故答案为：3a2﹣2a+1． 【点睛】本题考查多项式除单项式，用多项式中的每一项都除单项式可得． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：   ，所捂多项式是 ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】由题意可得，所捂多项式是： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （）根据多项式除以单项式运算法则即可求解； （）根据积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项运算法则即可求解； （）根据零指数幂运算，负整数指数幂，有理数的乘方进行运算，然后合并即可； （）根据平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题八 整式四则混合运算】 【例8】（2025·上海金山·模拟预测）在化简题中，◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．当，时，的值为22，则◆所表示的符号为（    ） A． B． C．＋ D．－ 【答案】B 【分析】根据四个选项，依次代入原式，进行化简求值，即可得到答案． 【详解】解：A．若◆所表示的符号为，则原式==，当，时，原式=，不符合题意； B．若◆所表示的符号为，则原式==，当，时，原式=，符合题意； C．若◆所表示的符号为＋，则原式==，当，时，原式=，不符合题意； D．若◆所表示的符号为－，则原式==，当，时，原式=，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，理清运算顺序，正确进行相关计算是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）已知长方形ABCD，，，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，AB的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再由S2-S1=3b，AD=10，列出方程求得AB便可． 【详解】解：S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a）， S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）， ∴S2-S1=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）•a-（AB-b）（AD-a） =（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a） =b•AD-ab-b•AB+ab =b（AD-AB）， ∵S2-S1=3b，AD=10， ∴b（10-AB）=3b， ∴AB=7． 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可． 【详解】解：原式= =4m2•2m3 =8m5， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的法则，掌握运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式，请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先去括号，再合并同类项：． 解： ＝ ，多项式A为 ． 【答案】 / / 【分析】利用除以可得，再根据合并同类项法则补充解答过程即可． 【详解】解：观察第一步可知，， 解得， 将该例题的解答过程补充完整如下： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 【答案】，，， 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，解题的关键是求出多项式，准确熟练的进行计算． 根据整数的混合运算法则计算，再将代入计算，再求出多项式即可． 【详解】解：， 把代入上式，得：， 其中． 故答案为：，，， 【拓展训练一 整式除法与单项式求值计算】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知一个多项式除以单项式所得商式为，余式为，求这个多项式． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及整式加减乘除运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据整式混合运算法则，先由多项式除以单项式及平方差公式化简，再由整式加减运算法则求解，最后代入运算即可得到答案； （2）根据题意，得到这个多项式为，利用整式乘法及加减运算化简即可得到答案． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）一个多项式除以单项式所得商式为，余式为， 这个多项式为 ． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是和中间的“”号，污染后习题形式如下：〓〓〓〓，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗？请你试一试． 【答案】 【分析】先根据单项式除以单项式得到商，再用此商去乘以多项式除以单项式的答案即可还原． 【详解】解：． ． 故原式为： 【点睛】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是_______． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． (3)在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，熟知多项式与多项式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）根据题中竖式求解； （2）根据长方形周长计算公式结合已知条件列出关于a、x的等式即可得到答案； （3）先求出长方形B的面积，进而求出长方形C的面积，再利用短除法求出长方形C的另一边长即可． 【详解】（1）解：， ∴的商是， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：长方形B的面积为， ∴长方形C的面积为 ， ， ∴长方形C的另一边长为． 【拓展训练二 由商和余数求被除式】 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）解决问题 (1)已知A、均为单项式，多项式与单项式的商为，请分别求出单项式； (2)某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，长为，求这块长方形空地的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得，则由，求解即可． （2）根据块长方形空地的宽为，然后根据长方形周长公式，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴ ∵， ∴，； （2）解：长方形空地的宽为 ， ∴这块长方形空地的周长 ． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 【答案】(1)， (2)②④ (3)证明见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法； （1）根据“的圈次方”的定义计算即可； （2）根据“的圈次方”的定义判断即可； （1）根据“的圈次方”的定义证明即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：， ①令，，，此时，故①说法错误； ②根据可得负数的圈奇数次方即是奇数，此时结果是负数，负数的圈偶数次方即是偶数，此时结果是正数，说法正确； ③，当为偶数时，，则互为相反数的两个数的圈次方互为相反数说法错误； ④，则互为倒数的两个数的圈次方互为倒数说法正确； ⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，说法错误． 所有正确结论的序号是②④， 故答案为：②④． （3）解：． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读与理解 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． (1)任务一：材料中，由整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，主要运用的数学思想是______．（单选） A．数形结合思想        B．类比思想        C．分类讨论思想        D．公理化思想 (2)任务二：仿照例子的做法用竖式除法计算______． (3)任务三：若的商为整式，则______． 【答案】(1)B (2) (3)2 【分析】本题考查了多项式的除法，解题的关键是掌握多项式除多项式的运算规则． （1）找到两种除法之间的共同点，是类比思想， （2）根据多项式除以多项式的竖式除法，即可求解， （3）多项式除以多项式的竖式除法，根据余数为0，即可求解， 【详解】（1）解：根据整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想， 故选：B， （2）解： 故答案为：； （3）解： ∵商为整式，余数为0， ∴， ， 故答案为：2． 【拓展训练三 整式的除法综合应用】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）（1）已知，． ①求的值． ②计算的结果． （2）若，求的值． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）①根据同底数幂的除法法则解答即可；②根据同底数幂的乘法可得，由①可得，最后根据积的乘方的逆用，即可求解； （2）逆用积的乘方法则、同底数幂的乘除法法则解答即可． 【详解】解：（1）①， ， ， 即； ②， ， ，即， ； （2）， ． 2．（2025·上海松江·模拟预测）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式混合运算的实际应用，由已知可设，，，进而根据得，即得，即可得，，，再根据图形列式计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， 可设，，， 由图可得，， ∴， 解得， ∴，，， ∴这个面的面积． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中是两个关于的二项式． 【例题】化简：． 解：原式 ______． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为_____，多项式为_____，例题的计算结果为_____； (2)计算：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了整式的乘除，熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键 （1）根据题意得到：，，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答； （2）根据平方差公式、完全平方公式计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 两边同除以y得：， 同理，得：y，两边同除以得：， 例题的化简结果为：； （2）解： ． 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则，掌握法则是关键．根据同底数幂的除法法则进行计算即可．底数不变，指数相减． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若，则等于（         ） A．5 B．3 C．15 D．1 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂除法的逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂除法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制计数法的人．计算机和依赖计算机设备里都使用二进制，二进制数只使用数字0，1，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数转换为十进制数是（    ） A．48 B．24 C．64 D．66 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题干给出的二进制与十进制的转化方法，列出算式进行计算即可． 【详解】解：二进制数转换为十进制数是： 故选：B． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 5．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算． 设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故选：A． 6．（24-25七年级上·上海宝山·开学考试）若，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了零指数幂．分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 综上所述，的值为． 故答案为：或2 7．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）已知，，则：（1）的值为 ，（2）的值为 ． 【答案】 /0.75 36 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法与除法的逆用，关键熟练掌握这些法则并能正确逆用． （1）逆用同底数幂的除法性质即可完成； （2）逆用同底数幂的乘法与幂的乘方即可完成． 【详解】（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴． 故答案为：36． 9．（24-25七年级上·上海金山·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： 所捂多项式是 ． 【答案】 【分析】根据被除数等于除数乘以商，列式计算即可．本题考查了单项式除以单项式，单项式乘以单项式，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：， 所捂多项式是， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海长宁·期末）边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据图列出代数式并掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 由图可知，阴影部分的面积=两个正方形的面积之和-两个三角形的面积，据此列式计算即可． 【详解】解：由图可得阴影部分的面积= =． 故答案为：． 11．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）（1）计算： （2）计算：． （3）计算：． （4）计算：． 【答案】（1）（2）（3）（4）a6 【分析】本题考查幂的运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式和单项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）先进行积的乘方，再进行单项式除以单项式的法则进行计算即可； （3）根据单项式乘以单项式和单项式除以单项式的法则进行计算即可； （4）根据幂的运算法则，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 12．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）利用幂的运算法则解答下列问题： (1)已知，求和的值； (2)已知，求和的值； (3)已知的值为729，求的值． 【答案】(1)，． (2)，． (3)2 【分析】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）利用幂的乘方和同底数幂的除法解答即可； （2）根据同底数幂的除法逆运算解答即可； （3）根据同底数幂的乘除法混和运算解答即可． 【详解】（1）解：， ， ． ， ， ． （2）解：， ， ． （3）解：， 即， 所以， 所以，解得． 13．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 14．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 第三步 当，时，原式第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：______； (2)以上步骤从第_______步开始出现了错误，错误的原因是_______； (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)一；去小括号时b的前面没有变号； (3)见解析 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得第一步运用了完全平方公式； （2）第一步去小括号时b的前面没有变号； （3）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式去小括号，然后合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第一步运用了完全平方公式； （2）解：观察解题过程可知，第一步开始出现错误，错误原式是去小括号时b的前面没有变号； （3）解； ， 当，时，原式． 15．（2025·上海青浦·模拟预测）问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①； ②； ③； ④． (1)请用上面的拆分方法拆分； (2)用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据） 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式与几何图形结合，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据规律写出式子，再计算等式左右两边，比较即可； （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：依据题中等式的规律可得：①；②；③； ④．则； （2）解：依据题中等式的规律可得：①；②；③； ④． 则第个式子为， 理由：∵右边，左边， ∴左边右边， ∴成立； （3）解：如图，满足要求. ， 大正方形面积为等于小正方形的面积加两个矩形面积， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的除法重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示数的除法 题型二 同底数幂的除法运算 题型三 同底数幂除法的逆用 题型四 零指数幂 题型五 幂的混合运算 题型六 计算单项式除以单项式 题型七 多项式除以单项式 题型八 整式四则混合运算 拓展训练一 整式除法与单项式求值计算 拓展训练二 由商和余数求被除式 拓展训练三 整式的除法综合应用 知识点一： 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算的结果是（   ） A．4 B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）计算： ． 知识点二： 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【即时训练】 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【经典例题一 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习） ． 3．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）人们以分贝为单位来表示声音的强弱，通常说话的声音是50分贝，它表示声音的强度是 ；摩托车发出的声音是110分贝，它表示声音的强度是 ，那么摩托车的声音强度是说话声音强度的 倍． 4．（24-25七年级上·上海普陀·课后作业）某城市有100万个家庭，平均每个家庭每天丢弃1个塑料袋． （1）这100万个家庭一年（365天）将丢弃_______个塑料袋；（用科学记数法表示） （2）若每1000个塑料袋污染1平方米土地，那么该城市一年（365天）被塑料袋污染的土地有多少平方米？（结果精确到万位） 【经典例题二 同底数幂的除法运算】 【例2】（2025·上海金山·模拟预测）下列各式运算结果为的是(   ) A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）已知，则的值等于（　　） A．8 B．4 C．16 D．32 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末） ． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）若，则 ． 4．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）请运用幂的运算性质解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【经典例题三 同底数幂除法的逆用】 【例3】（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，则的值为（  ） A． B．4 C．8 D．16 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知，，则的值是（　　） A．10 B．36 C．96 D．100 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，则等于 ． 3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，则 ．若，，则 ． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_______；若，则_______； (2)已知，若，则_______； (3)若，令． ①求的值； ②求的值． 【经典例题四 零指数幂】 【例4】（24-25七年级上·上海静安·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海静安·期中）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·开学考试） ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．（2025·上海青浦·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【经典例题五 幂的混合运算】 【例5】（2025·上海奉贤·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝2a6 B．（﹣a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．a5•a3＝a8 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知,  , 则 =（    ） A．10 B．15 C．17 D．72     2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）已知,则用底数是10的幂的形式表示75= . 3．（2025七年级上·上海闵行·模拟预测）已知，则 = .（用含的代数式表示） 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： (1) (2) 【经典例题六 计算单项式除以单项式】 【例6】（24-25七年级上·上海松江·开学考试）下列等式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）下列计算中，正确的个数有（    ） （1）    （2） （3）     （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）直接写出答案： ① ② ③ ④ 3．（24-25七年级上·上海长宁·期末）图中的四边形为矩形，根据图中提供的信息填空： （1）① ,② ； （2） ． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【经典例题七 多项式除以单项式】 【例7】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）一个长方形的面积为，若它的一条边长为．则它的周长为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）有下列四个算式：①③．其中不正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）如果一个多项式与的积为，则这个多项式为 ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：   ，所捂多项式是 ． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题八 整式四则混合运算】 【例8】（2025·上海金山·模拟预测）在化简题中，◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．当，时，的值为22，则◆所表示的符号为（    ） A． B． C．＋ D．－ 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）已知长方形ABCD，，，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，AB的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末）计算的结果是 ． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式，请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先去括号，再合并同类项：． 解： ＝ ，多项式A为 ． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 【拓展训练一 整式除法与单项式求值计算】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知一个多项式除以单项式所得商式为，余式为，求这个多项式． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是和中间的“”号，污染后习题形式如下：〓〓〓〓，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗？请你试一试． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是_______． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． (3)在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 【拓展训练二 由商和余数求被除式】 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）解决问题 (1)已知A、均为单项式，多项式与单项式的商为，请分别求出单项式； (2)某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，长为，求这块长方形空地的周长． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读与理解 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． (1)任务一：材料中，由整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，主要运用的数学思想是______．（单选） A．数形结合思想        B．类比思想        C．分类讨论思想        D．公理化思想 (2)任务二：仿照例子的做法用竖式除法计算______． (3)任务三：若的商为整式，则______． 【拓展训练三 整式的除法综合应用】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）（1）已知，． ①求的值． ②计算的结果． （2）若，求的值． 2．（2025·上海松江·模拟预测）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中是两个关于的二项式． 【例题】化简：． 解：原式 ______． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为_____，多项式为_____，例题的计算结果为_____； (2)计算：． 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若，则等于（         ） A．5 B．3 C．15 D．1 3．（2025·上海宝山·模拟预测）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制计数法的人．计算机和依赖计算机设备里都使用二进制，二进制数只使用数字0，1，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数转换为十进制数是（    ） A．48 B．24 C．64 D．66 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海宝山·开学考试）若，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 8．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）已知，，则：（1）的值为 ，（2）的值为 ． 9．（24-25七年级上·上海金山·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： 所捂多项式是 ． 10．（24-25七年级上·上海长宁·期末）边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ． 11．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）（1）计算： （2）计算：． （3）计算：． （4）计算：． 12．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）利用幂的运算法则解答下列问题： (1)已知，求和的值； (2)已知，求和的值； (3)已知的值为729，求的值． 13．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 14．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 第三步 当，时，原式第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：______； (2)以上步骤从第_______步开始出现了错误，错误的原因是_______； (3)请你写出正确的解答过程． 15．（2025·上海青浦·模拟预测）问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①； ②； ③； ④． (1)请用上面的拆分方法拆分； (2)用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据） 学科网（北京）股份有限公司 $