专题01 整式的乘法重难点题型专训（4个知识点+19大题型+自我检测）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了整式乘法的4个核心知识点，涵盖幂的运算法则、单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式，清晰呈现各知识点的内在逻辑与重难点分布，帮助学生构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层递进的19类基础题型与2类提高题型设计，如“同底数幂乘法的逆用”“多项式乘多项式与图形面积”等，结合例题与即时训练培养运算能力和几何直观。自我检测模块助力学生自主评估，教师可据此实施精准分层教学，提升不同层次学生的数学思维与应用能力。

专题01 整式的乘法重难点题型专训（4个知识点+19大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、同底数幂相乘 1 题型二、同底数幂乘法的逆用 2 题型三、用科学记数法表示数的乘法 3 题型四、幂的乘方运算 4 题型五、幂的乘方的逆用 5 题型六、积的乘方运算 6 题型七、积的乘方的逆用 7 题型八、计算单项式乘单项式 8 题型九、利用单项式乘法求字母或代数式的值 9 题型十、计算单项式乘多项式及求值 10 题型十一、单项式乘多项式的应用 11 题型十二、利用单项式乘多项式求字母的值 12 题型十三、计算多项式乘多项式 13 题型十四、（x+p）（x+q）型多项式乘法 14 题型十五、已知多项式乘积不含某项求字母的值 15 题型十六、多项式乘多项式——化简求值 16 题型十七、多项式乘多项式与图形面积 17 题型十八、多项式乘法中的规律性问题 18 题型十九、整式乘法混合运算 19 第二部分·练提高题型 题型一、单项式乘法与多项式乘法的混合计算 1 题型二、用多项式乘法解决图形问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 【即时训练】 1．（2026·河南新乡·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算括号内个相加的和，再根据幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：． 2．（2026·天津河西·一模）计算的结果为________． 【答案】 【详解】解：． 知识点02 单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 【即时训练】 1．（2026·浙江·模拟预测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·天津和平·阶段检测）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，原式根据单项式乘以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 知识点03 单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原式错误，符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）_____； （2）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式的法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）同样依据单项式乘多项式的法则进行计算． 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2）． 故答案为：． 知识点04 多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若规定，并且数i满足交换律、结合律和分配律，则的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及实数的运算，解决此题的关键是能根据多项式乘多项式的法则将原式化简，再根据新定义代入即可． 根据多项式乘多项式，用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将代入即可得解． 【详解】解：原式=， ∵， ∴原式=， 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式； 根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【基础题型一 同底数幂相乘】 【例1】（2026·广西·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 1．（2026·河南商丘·模拟预测）若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据乘法的定义和同底数幂的乘法计算得出，得出即可求解． 【详解】解：，， 故， ∴， ∴． 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）______． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】各小题根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【基础题型二 同底数幂乘法的逆用】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 【答案】B 【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形后，再将已知条件代入计算即可． 【详解】解：逆用同底数幂乘法法则可得：， ∵ ，， ∴ ，即选项B符合题意． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）若，，则_________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）若，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法逆用，利用指数运算法则，将 分解为 ，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题利用同底数幂的乘法逆运算法则，对进行变形，再整体代入已知条件计算，根据指数相等即可得到的值． 【详解】解：，， ∴ 又， ． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·阶段检测）在幂的运算中规定：若（且是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方变形得，再根据已知规定即可求解； （2）根据乘方的定义将左边式子变形得到，则，再根据已知规定即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【基础题型三 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）某卫星的速度约为 ，它飞行的路程约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同底数幂的乘法法则和科学记数法的规范化简计算即可得到结果． 【详解】解：某卫星的速度约为 ，它飞行 的路程约为： ． 【例2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）______．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【详解】解： ． 1．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 2．（25-26六年级下·山东青岛·期中）光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 ____________km． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法．掌握相关表示规则即可． 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了科学记数法的运算，解题的关键是掌握科学记数法的乘法法则和幂的运算性质； （1）先将系数相乘，再将同底数幂相乘即可； （2）先将系数相乘，再将同底数幂相乘，再将其化为科学记数法形式； （3）先计算积的乘方，再利用同底数幂的乘法运算，系数相乘，再将其化为科学记数法形式． 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解：． 【基础题型四 幂的乘方运算】 【例1】（25-26七年级下·湖南永州·期中）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用幂的乘方法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级下·安徽宿州·阶段检测）计算________． 【答案】 【详解】解：． 1．（2026·河北邢台·模拟预测）已知，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得 ． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则将用和表示，根据底数相同的幂值相等时指数相等，即可得到a，b，c的数量关系． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 可得． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ，即． (1)根据上述规定，填空：① ，② ； (2)记，，．求证：． 【答案】(1)①；②； (2) 证明：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据“雅对”的定义，直接找到满足的指数； ②仿照题干，设两个“雅对”为未知数，利用同底数幂乘法法则，将和转化为新的“雅对”； （2）将“雅对”转化为幂的形式，通过幂的运算建立等式，由同底数幂相等推出指数相等，完成证明． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②设，， 则，， 可得， 故， 即； （2）略． 【基础题型五 幂的乘方的逆用】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，，则的值为（   ） A．18 B．30 C．54 D．50 【答案】C 【分析】利用幂的乘方，和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，则的值为______． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）已知 ，那么之间满足的等量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 2．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）若，则____． 【答案】3 【分析】先将等式两边化为同底数幂，根据同底数幂相等则指数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：将原方程左边变形，可得， 根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得， 因此原方程可化为， 因此得， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由得到，然后将利用幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算转化为，然后代入求解； （2）利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法法则得到，然后比较指数求出，然后利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则将化简为，然后代入求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ ． 【基础题型六 积的乘方运算】 【例1】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）若，则M表示的单项式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方的逆运算，将等式右侧整理为单项式的三次方形式，即可得到的结果． 【详解】， 对等式右侧变形得：， ， ． 【例2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：_____________． 【答案】 【详解】解：． 1．（2026·河南商丘·模拟预测）下列各式中，计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A不符合要求； 对于选项B：，故B不符合要求； 对于选项C：，故C符合要求； 对于选项D：，故D不符合要求． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是______． 【答案】 【分析】先运算括号内，再运用积的乘方，即可作答． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【基础题型七 积的乘方的逆用】 【例1】（2026·内蒙古兴安·模拟预测）的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方法则计算． 【详解】解：原式 ． 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算：________． 【答案】/ 【分析】将原式拆分为，逆用积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解： ． 1．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）计算的值等于（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方法则的逆用，同底数幂乘法法则的逆用，将化为分数，利用同底数幂相乘的逆运算以及积的乘方的逆运算进行化简，计算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：B 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，，则____． 【答案】/ 【分析】根据新定义得到 ， ，利用幂的运算法则推出，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100000 (2)1 (3)1 (4)4 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，“积的乘方等于积中各个因式分别乘方”．逆用积的乘方运算法则，逐项进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【基础题型八 计算单项式乘单项式】 【例1】（2026·浙江·模拟预测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级上·上海长宁·期中）计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式运算法则即可得到结果． 【详解】解：． 1．（26-27八年级上·浙江金华·期中）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【分析】设图1正方形纸片边长为，部分的宽为，长为，根据图2得出和，再利用得到，再表示出代入计算即可． 【详解】解：设图1正方形纸片边长为，部分的宽为，长为， 根据图2是正方形，得， 即， 由图2两个的位置，可得，即， 图2正方形边长为， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是___________． 【答案】 【分析】先分别表示三角形和长方形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，把三角形内的字母、代入，得：， 长方形表示多项式， 因此对长方形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查单项式乘单项式运算法则，以及积的乘方运算．解题思路是先计算乘方，再按照单项式乘单项式法则计算，同底数幂相乘时底数不变，指数相加，系数相乘作为结果的系数，掌握运算法则即可正确求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【基础题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 【例2】（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则________，________． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 1．（25-26八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 【答案】18 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【基础题型十 计算单项式乘多项式及求值】 【例1】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，运用单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项，再计算结果即可，注意符号运算． 【详解】解： 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】将所给的等式变形成，再代入所求代数式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段检测）一个三角形的底边和这边上的高线分别是、，它的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：三角形的面积是． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果，那么代数式的值是________． 【答案】6 【分析】先将所求代数式通过整式乘法和合并同类项化简，再将已知整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴ ． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【基础题型十一 单项式乘多项式的应用】 【例1】（25-26七年级下·广西贵港·期中）一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 【答案】 【分析】阴影部分可以分割成三个长方形，其中两个长方形相同，长为，宽为a，另外那个长方形的长为，宽为b，据此结合长方形的面积公式求解即可． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为． 1．（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，有长方形空地，其中米，米，为了改善环境，准备修建一横一纵宽度均为1米的两条小路，其余部分为花圃．用含，的代数式表示花圃的面积为（   ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式与几何图形的面积，利用平移思想，得到花圃的面积为长为，宽为的长方形的面积，进行求解即可． 【详解】解：平方米； 故选C． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要________的软垫（用含有、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先表示出滑梯区和休闲区的面积，再求出它们的和，即可作答． 【详解】解：依题意，休闲区的面积：， 滑梯区的面积：， ∴， 故答案为：那么至少需要的软垫， 故答案为： 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)48平方米 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确表示出这两条小路的总面积是解题的关键． （1）这两条小路的总面积等于长为米，宽为b米的长方形面积加上长为米，宽为b米的长方形面积再减去边长为b米的正方形面积，据此求解即可； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【详解】（1）解：两条小路的总面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米，即此时这两条小路的总面积为48平方米． 【基础题型十二 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x的一次项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有x的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有x的一次项， ∴． 【例2】（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 1．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， 原多项式中不含有x的四次项， ， ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）要使的展开式中不含项，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 3．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 【基础题型十三 计算多项式乘多项式】 【例1】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用因式值为零的性质，若是多项式的因式，则时多项式的值为，代入整理即可得到的值。 【详解】∵ ∴ 当时，，因此 将代入多项式得： ， 整理得： 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则这个算式结果为______． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，根据结果中的一次项系数为求出的值，然后代入即可得到答案． 【详解】解： ， ∵一次项系数为， ∴，解得：， ∴这个算式结果为． 1．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（     ） A． B． C．40 D．44 【答案】B 【分析】先展开第k批次成本的多项式，再根据累计成本的系数特征确定批次个数，求出p和m的值，最终计算． 【详解】解：， ∵展开后每个批次成本的一次项系数均为，题目给出累计成本的一次项系数为， ∴从第2批次开始共有个批次相加． ∵展开后每个批次的二次项系数都是， ∴累计二次项系数， ， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）若关于的二次三项式，则的值是_____． 【答案】21 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：21． 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”，例如，所以和与和都是“友好数对”． (1)概念判断： 和 “友好数对”（填“是”或“不是”） (2)性质探究：为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的个位数字为，十位数字为，且；另一个数的个位数字为，十位数字为，且，请探究，，，之间的等量关系． (3)性质应用：若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 【答案】(1)是 (2) (3)和 【分析】（1）根据“友好数对”的定义，计算原数乘积与交换后新数的乘积，比较后得到判断． （2）用代数式表示出原数和交换后的新数，根据定义列等式，化简整理得到，，，的等量关系． （3）利用（2）得到的等量关系列方程，结合数位数字为正整数的限制求解，得到两个两位数． 【详解】（1）解：是，理由如下： 计算原两个数的乘积：． 交换位置后得到新数和，乘积为． 因为，符合“友好数对”的定义． （2）解：根据题意，两个原两位数分别为和，交换位置后得到的两个新数分别为和． 因为两个数是“友好数对”，所以， 展开等式左右两边得：， 消去两边相同项和， 整理得：， 因此等量关系为． （3）解：根据题意，第一个两位数的个位数字，十位数字，第二个两位数的个位数字，十位数字． 由（2）的结论，代入得：， 因为是十位数字， 因此， 等式两边同时除以得： ， 解得． 所以第一个两位数为，第二个两位数为． 答：这两个两位数是和． 【基础题型十四 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例1】（25-26八年级上·广东珠海·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及多项式恒等式．通过展开左边多项式并与右边比较系数，可求出的值． 【详解】解：，， ， 比较系数得， 故选：． 【例2】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）已知，那么的值___________． 【答案】1 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出 与 的值，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， 可得， 则． 1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴原点为，数轴上点，，表示的数分别为，，（其中都不是整数）．若，且，则下列判断正确的是（   ） A．当时，点分别在点的左侧，右侧 B．当时，点分别在点的右侧，左侧 C．当时，点分别在点的左侧，右侧 D．当时，点分别在点的右侧，左侧 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的乘法，等式的性质．根据已知条件判断即p和q一个大于1，一个小于1，结合，可知大于1的那个数离1更远，然后分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即p和q一个大于1，一个小于1， ∵，可知大于1的那个数离1更远， 若，则即点分别在点的右侧，左侧，且，，此时； 若，则即点分别在点的左侧，右侧，此时； 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 2．（25-26七年级下·广西桂林·阶段检测）若展开后的结果为，则常数_______． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握；利用多项式乘多项式的法则进行运算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】（1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子； （2）根据定义先计算多项式的乘法运算，再分类讨论的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）解：∵①，， ②，， ③，， ∵多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式， 当是一组平衡多项式时， ∴，解得：， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得：， 综上：或或． 【基础题型十五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含的一次项，可得一次项系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： 展开式中不含的一次项， 一次项系数， 解得． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式得到两个多项式的乘积，展开合并同类项后，利用不含一次项即一次项系数为，列方程求解． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形面积为， ∵面积中不含x的一次项， ∴x的一次项的系数为0，即，解得：． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·阶段检测）定义：是多项式化简后的项数．例如多项式，则，一个多项式乘多项式B，化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”；例如多项式，则，则，所以是的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”．若均是关于的多项式，且B是A的“极好多项式”，则的值为（   ） A．-2 B．2 C．4 D．-4 【答案】C 【分析】先求出，，再根据“极好多项式”的定义得到多项式是二项式，则，，解得，，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴，即多项式是二项式， ∴，， 解得，， ∴． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，代数求值，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 先展开两个多项式的乘积，根据不含二次项和常数项的条件列出方程，求解和的值，再计算． 【详解】解：， ∵乘积中不含的二次项，且常数项为， ∴且， 解得, ， ∴． 故答案为： 3．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据题干提示列式计算即可； （3）根据给定的方法可得出一次项系数为，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 的一次项系数计算如下： ， 即的一次项系数为3． （2）的二次项系数计算如下： ， 即的二次项系数是5． （3）的一次项系数计算如下： ， 因为所得多项式中不含一次项，所以，解得． 【基础题型十六 多项式乘多项式——化简求值】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开所求代数式，整理后整体代入已知的和的值计算即可，运用整体思想简化计算，不需要单独求解和； 【详解】解： ， ， ， 代入得原式． 【例2】（25-26七年级下·湖南永州·期末）若实数， 满足，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入得， ． 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了整式运算的应用，通过展开 M 和 N 的表达式，并计算 M 与 N 的差，从而比较大小关系． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即： ∴ ， 故选择： A． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的整体代入求值，先把要求的式子变成已知式子的形式，再整体代入求出答案即可； 【详解】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为： 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 【基础题型十七 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（25-26七年级下·浙江金华·期末）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（     ）块． A．9 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式求出长方形墙壁的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为， ∵， ∴需要块A板材，4块B板材， 9块C板材． 【例2】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___________块． 【答案】 【分析】分别计算出A、B、C板材的面积，再计算出长方形墙壁的面积，根据多项式的乘积判断需要的板材数量，求和即可． 【详解】解：由图可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为， ∵， ∴需要块A板材，块B板材， 块C板材，一共块． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：∵图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图2中，阴影部分的面积为大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的 面积， ∴图2中阴影部分的面积为， ∴ ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 【答案】10 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据三张卡片的面积分别是，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）用长方形活动场地的面积减去长方形舞台的面积即可得答案； （2）把，代入（1）中所求代数式，得出塑胶跑道的面积，再乘以单价即可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为， ∴长方形活动场地的面积为， ∵长方形舞台的长为，宽为， ∴长方形舞台的面积为， ∴塑胶跑道的面积为． （2）解：∵，， ∴塑胶跑道的面积， ∵铺设塑胶跑道的价格为元， ∴铺设塑胶跑道共需（元）． 【基础题型十八 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出展开式中各项系数之和为是解题的关键． 根据题意，依次求出展开式中各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 展开式中各项系数之和为2； 展开式中各项系数之和为4； 展开式中各项系数之和为8； …， 所以展开式中各项系数之和为 当时， 展开式中各项系数之和是 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）观察下列多项式与多项式相乘的规律：①；②；③；④，．则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的混合运算等知识点，找出计算规律是解题的关键． 根据已知的几个算式发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④，， 由规律可知，对于正整数 ，有 ， ∴ ∴． 故答案为：． 1．（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（     ） A．2017 B．2016 C．191 D．190 【答案】D 【分析】根据题意，得到当指数是n时，展开式的第三项系数为，代入求解即可； 【详解】解：当指数是2时，展开式的第三项系数为1；当指数是3时，展开式的第三项系数为；当指数是4时，展开式的第三项系数为；由此得到如下规律，当指数是n时，展开式的第三项系数为； 当时，展开式的第三项系数为：； 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）观察下列各式及其展开式： ； ； 请你猜想的展开式中含项的系数是_______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，根据给出的等式，得到的展开式的第2项为，进而得到展开式的第二项为，进行求解即可． 【详解】解：观察可知：的展开式的第2项为， ∴展开式的第二项为，即； 故答案为：． 3．（25-26七年级下·安徽池州·期末）阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； (1)【归纳】由此可得________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察给出的特殊情形等式，对比等式左边第二个多项式的最高次数与右边结果的次数，归纳一般规律； （2）①将所求式子与归纳得到的公式对比，对应公式中、的情况，构造乘以该式后套用（1）中规律计算即可； ②同①构造（1）中规律公式，据此解答即可． 【详解】（1）解：观察给出的特殊式子： ①， ②， ③， 以此类推，； （2）解：①由（1）知， ， ， ②， 即， ， ． 【基础题型十九 整式乘法混合运算】 【例1】（25-26六年级下·全国·单元测试）等式 中的括号内应填入（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用整式的乘法运算法则、乘除法互为逆运算及幂的运算法则求解． 【详解】由原式，得 ∴括号中式子应为． 故选C． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算、乘除法互为逆运算、幂的运算法则等知识；能够运算乘、除法互为逆运算的性质，对原等式进行变形是解题关键． 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】由，，可得，即：，进而可得，化简后再代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即：， ∴， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式化简及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 1．（24-25七年级上·河北唐山·阶段检测）有一块长为a宽为b的矩形绿地上修两条小路以方便行人，小路的宽（小路与边界交点形成的线段）为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不同？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查整式的计算，根据每个图形的面积分别计算小路面积即可判断 【详解】解：A.小路面积为， B.小路面积为，, C.小路面积为， D.如图： 过点A作于点A，则，但， ∴小路面积 故选D 2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）装裱在我国具有悠久的历史和鲜明的民族特色，是我国特有的一种保护和美化书画以及碑帖的技术．如图，整个画框的长分米，宽为分米，中间部分是长方形的画心，长和宽均是分米，则画心外阴影部分面积是__________平方米． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法在几何图形中的面积问题，灵活根据整式乘法运算表示出各部分面积是解题关键．阴影部分的面积等于大长方形的面积减去正方形的面积，列出代数式，化简求值即可． 【详解】解：由题可知整个长方形的面积为∶ 平方分米， 中间正方形的面积为： 平方分米， 阴影部分面积为： 平方分米 平方米； 故答案为∶． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 【提高题型一 单项式乘法与多项式乘法的混合计算】 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义的运算得到整式的混合运算，根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；然后合并同类项，求解即可． 【详解】解：根据新定义运算可得 ， A选项符合题意． 【例2】（25-26七年级上·安徽宣城·自主招生）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，整式的加减，掌握这些知识及运算法则是解题的关键． 由，则，即，然后两式相减得出，最后讨论即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴当时，， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）【定义新运算】把任意数对放入魔盒后，会得到新的运算：． 【解决新问题】把数对放入该魔盒，得到结果；把数对再次放入该魔盒，得到的结果为___________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则先计算再计算，即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 把数对再次放入该魔盒，得到的结果为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查了单项式乘以多项式，理解新定义运算法则的含义是解本题的关键． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算． （1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值； （2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴，， ∴ 【提高题型二 用多项式乘法解决图形问题】 【例1】（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于、的恒等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式与图形面积，先分别求出图甲、乙中图形的面积，即可得到关系式，正确计算图形的面积是解题的关键． 【详解】解：图甲的面积可以表示为：，图乙的面积可以表示为：， ， ∵图甲的面积图乙的面积， ∴， 故选：． 【例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为______．    【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是数形结合，并正确表示出阴影部分的面积．根据图形分别表示出，，，再根据当时，；当，时，，列出等式并化简即可求解． 【详解】解：由图可得： ，，， 当时，， ， ， ， ， 当，时，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键． 利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量． 【详解】由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）将两张大小完全一样的长方形纸片和另两张大小完全一样的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．设大正方形边长，小正方形边长，则图中阴影部分的面积________．      【答案】 【分析】根据题意表示出、、、的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形和四边形是大小完全一样的正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴ ∵，， ∴， ∵四边形和四边形是两张大小完全一样的长方形纸片， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，三角形的面积计算公式，解题的关键是根据字母表示各图形的线段长． 3．（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 【答案】(1)如图所示： (2)12 (3)８ 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形，根据图形面积相等建立等量关系是解题关键． （1）画出长方形可知长方形的长为，宽为，根据拼成的大长方形面积为即可求解； （2）根据1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为即可求解； （3）根据可求解． 【详解】（1）解：由图可知拼成的长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积， ∵拼成的大长方形面积为， ∴大长方形的代数意义为， （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为， 故根据的结论可知，，，， 所以，， 故答案为：12； （3）解：∵， ∴需要3号卡片8张． 故答案为：8． 1．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 2．（2026·吉林四平·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用单项式乘法法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积即可得到结果. 【详解】解：． 3．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）已知，，m，n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法的逆运算，先将32转化为2的5次方，再利用幂的运算法则把所求式子变形为含已知式的形式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， 故选：A． 4．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如果m增加它的得到n（，），而n减少它的得到m，那么p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，百分比的计算．根据百分比变化的定义，列出方程并求解p与q的关系即可求解． 【详解】解：由题意得，且， ∴， ∵， ∴，即， 则， ∴ ， ∴， 故选：C． 5．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于的多项式（中项的系数为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【分析】此题主要多项式乘以多项式，理解题目中给出的“杨辉三角”的规律，由已知规律得，再利用多项式乘多项式法则求出项的系数即可． 【详解】根据“杨辉三角”的规律得： ， ， ，， 项的系数为：． 故答案为：C． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方，根据积的乘方，幂的乘方进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山西·阶段检测）计算：的结果是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据整式乘法的运算法则即可得，将代入，根据整式乘法的运算法则即可得． 【详解】解：由题意，， ∴， 解得：； ∴正确的结果是： ， 故答案为：． 9．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则______； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是_____． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 10．（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化面积是______平方米． 【答案】 【分析】从图上可知绿化面积为长方形面积减去正方形面积，运用整式乘法与整式加减法进行整理，可得出答案． 【详解】解：由图可知，绿化面积为， 则 = 故绿化面积为平方米． 【点睛】本题考查了整式乘法运算，准确表达绿化面积，正确进行计算是解题关键．另外，需要注意，对于带有单位的多项式的表达，需要把多项式写在括号内． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列计算是否正确，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 解：不正确，理由如下：原式，所以不正确； (2) 解：不正确，因为不是同类项，不能合并，所以不正确； (3) 解：不正确，理由如下：原式，所以不正确； (4) 解：不正确，理由如下：原式，所以不正确． 【分析】（1）根据同底数幂相乘底数不变，指数相加计算并判断即可； （2）先根据同类项定义判断，并解答即可； （3）根据同底数幂相乘底数不变，指数相加计算并判断即可； （4）合并同类项即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略； （4）略． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法运算，难度不大，关键是在熟悉运算法则的基础上仔细运算． （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算，即单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）先根据单项式乘多项式的运算法则分别展开两个单项式与多项式相乘的部分，再去括号、合并同类项； 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． (1)求休息区的面积； (2)休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算的应用等知识． （1）用长方形空地面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解； （2）用休息区面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 答：休息区的面积为平方米； （2）解： ． 答：休息区比游泳池的面积大平方米． 14．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据题干提示列式计算即可； （3）根据给定的方法可得出一次项系数为，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 的一次项系数计算如下： ， 即的一次项系数为3． （2）的二次项系数计算如下： ， 即的二次项系数是5． （3）的一次项系数计算如下： ， 因为所得多项式中不含一次项，所以，解得． 15．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知，______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据以上规律解决： ①计算：______； ②； ③，则______． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③2或0 【分析】本题考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题． （1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案； （2）根据式子总结归纳出式子规律即可； （3）①把，代入所得的规律中即可得到答案； ②把，代入所得的规律中即可得到答案； ③根据规律可求得，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得， 故答案为：； （2）解：观察归纳规律可得， 故答案为：； （3）解：①由（2）可知，， 当，时， ， 即， 故答案为：； ②同①，当，时， ， 即； ③∵， ∴，即， ∴当时，， 当时，， 故答案为：2或0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法重难点题型专训（4个知识点+19大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、同底数幂相乘 1 题型二、同底数幂乘法的逆用 2 题型三、用科学记数法表示数的乘法 3 题型四、幂的乘方运算 4 题型五、幂的乘方的逆用 5 题型六、积的乘方运算 6 题型七、积的乘方的逆用 7 题型八、计算单项式乘单项式 8 题型九、利用单项式乘法求字母或代数式的值 9 题型十、计算单项式乘多项式及求值 10 题型十一、单项式乘多项式的应用 11 题型十二、利用单项式乘多项式求字母的值 12 题型十三、计算多项式乘多项式 13 题型十四、（x+p）（x+q）型多项式乘法 14 题型十五、已知多项式乘积不含某项求字母的值 15 题型十六、多项式乘多项式——化简求值 16 题型十七、多项式乘多项式与图形面积 17 题型十八、多项式乘法中的规律性问题 18 题型十九、整式乘法混合运算 19 第二部分·练提高题型 题型一、单项式乘法与多项式乘法的混合计算 1 题型二、用多项式乘法解决图形问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 【即时训练】 1．（2026·河南新乡·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河西·一模）计算的结果为________． 知识点02 单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 【即时训练】 1．（2026·浙江·模拟预测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津和平·阶段检测）计算：________． 知识点03 单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）_____； （2）________． 知识点04 多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若规定，并且数i满足交换律、结合律和分配律，则的运算结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）________． 【基础题型一 同底数幂相乘】 【例1】（2026·广西·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）计算：________． 1．（2026·河南商丘·模拟预测）若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）______． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【基础题型二 同底数幂乘法的逆用】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）若，，则_________． 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）若，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则的值为________． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·阶段检测）在幂的运算中规定：若（且是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【基础题型三 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）某卫星的速度约为 ，它飞行的路程约为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）______．（结果用科学记数法表示） 1．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26六年级下·山东青岛·期中）光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 ____________km． 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)； (3)． 【基础题型四 幂的乘方运算】 【例1】（25-26七年级下·湖南永州·期中）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·安徽宿州·阶段检测）计算________． 1．（2026·河北邢台·模拟预测）已知，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ，即． (1)根据上述规定，填空：① ，② ； (2)记，，．求证：． 【基础题型五 幂的乘方的逆用】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，，则的值为（   ） A．18 B．30 C．54 D．50 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，则的值为______． 1．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）已知 ，那么之间满足的等量关系是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）若，则____． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 【基础题型六 积的乘方运算】 【例1】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）若，则M表示的单项式是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：_____________． 1．（2026·河南商丘·模拟预测）下列各式中，计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是______． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【基础题型七 积的乘方的逆用】 【例1】（2026·内蒙古兴安·模拟预测）的结果是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算：________． 1．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）计算的值等于（   ） A． B．4 C．5 D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，，则____． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型八 计算单项式乘单项式】 【例1】（2026·浙江·模拟预测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海长宁·期中）计算：______． 1．（26-27八年级上·浙江金华·期中）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是___________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【基础题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【例2】（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则________，________． 1．（25-26八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【基础题型十 计算单项式乘多项式及求值】 【例1】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）已知，则代数式的值为___________． 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段检测）一个三角形的底边和这边上的高线分别是、，它的面积等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果，那么代数式的值是________． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【基础题型十一 单项式乘多项式的应用】 【例1】（25-26七年级下·广西贵港·期中）一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 1．（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，有长方形空地，其中米，米，为了改善环境，准备修建一横一纵宽度均为1米的两条小路，其余部分为花圃．用含，的代数式表示花圃的面积为（   ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要________的软垫（用含有、的式子表示）． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【基础题型十二 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x的一次项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 1．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）要使的展开式中不含项，则的值为______． 3．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【基础题型十三 计算多项式乘多项式】 【例1】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则这个算式结果为______． 1．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（     ） A． B． C．40 D．44 2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）若关于的二次三项式，则的值是_____． 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”，例如，所以和与和都是“友好数对”． (1)概念判断： 和 “友好数对”（填“是”或“不是”） (2)性质探究：为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的个位数字为，十位数字为，且；另一个数的个位数字为，十位数字为，且，请探究，，，之间的等量关系． (3)性质应用：若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 【基础题型十四 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例1】（25-26八年级上·广东珠海·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）已知，那么的值___________． 1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴原点为，数轴上点，，表示的数分别为，，（其中都不是整数）．若，且，则下列判断正确的是（   ） A．当时，点分别在点的左侧，右侧 B．当时，点分别在点的右侧，左侧 C．当时，点分别在点的左侧，右侧 D．当时，点分别在点的右侧，左侧 2．（25-26七年级下·广西桂林·阶段检测）若展开后的结果为，则常数_______． 3．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【基础题型十五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·阶段检测）定义：是多项式化简后的项数．例如多项式，则，一个多项式乘多项式B，化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”；例如多项式，则，则，所以是的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”．若均是关于的多项式，且B是A的“极好多项式”，则的值为（   ） A．-2 B．2 C．4 D．-4 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为________． 3．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【基础题型十六 多项式乘多项式——化简求值】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·湖南永州·期末）若实数， 满足，则代数式的值为________． 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）当时，代数式的值为________． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【基础题型十七 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（25-26七年级下·浙江金华·期末）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（     ）块． A．9 B．6 C．4 D．2 【例2】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___________块． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【基础题型十八 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）观察下列多项式与多项式相乘的规律：①；②；③；④，．则______． 1．（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（     ） A．2017 B．2016 C．191 D．190 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）观察下列各式及其展开式： ； ； 请你猜想的展开式中含项的系数是_______． 3．（25-26七年级下·安徽池州·期末）阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； (1)【归纳】由此可得________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 【基础题型十九 整式乘法混合运算】 【例1】（25-26六年级下·全国·单元测试）等式 中的括号内应填入（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若，，则的值为_____． 1．（24-25七年级上·河北唐山·阶段检测）有一块长为a宽为b的矩形绿地上修两条小路以方便行人，小路的宽（小路与边界交点形成的线段）为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不同？（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）装裱在我国具有悠久的历史和鲜明的民族特色，是我国特有的一种保护和美化书画以及碑帖的技术．如图，整个画框的长分米，宽为分米，中间部分是长方形的画心，长和宽均是分米，则画心外阴影部分面积是__________平方米． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【提高题型一 单项式乘法与多项式乘法的混合计算】 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·安徽宣城·自主招生）若，则的值为______． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）【定义新运算】把任意数对放入魔盒后，会得到新的运算：． 【解决新问题】把数对放入该魔盒，得到结果；把数对再次放入该魔盒，得到的结果为___________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【提高题型二 用多项式乘法解决图形问题】 【例1】（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于、的恒等式为（   ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为______．    1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）将两张大小完全一样的长方形纸片和另两张大小完全一样的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．设大正方形边长，小正方形边长，则图中阴影部分的面积________．      3．（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 1．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2026·吉林四平·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）已知，，m，n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如果m增加它的得到n（，），而n减少它的得到m，那么p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于的多项式（中项的系数为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 7．（24-25八年级上·山西·阶段检测）计算：的结果是_______． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是___________． 9．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则______； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是_____． 10．（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化面积是______平方米． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列计算是否正确，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． (1)求休息区的面积； (2)休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 14．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 15．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知，______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据以上规律解决： ①计算：______； ②； ③，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $