专题02 乘法公式重难点题型专训（3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义围绕乘法公式单元构建了清晰的知识体系，通过“知识点+题型+拓展训练”的三维框架，系统梳理平方差公式与完全平方公式的结构特征、几何意义及变形应用。讲义以思维导图呈现核心概念间的逻辑关联，用表格对比不同题型的解题策略，并结合典型例题展示公式在整式运算、代数求值、几何图形中的综合运用，突出重难点分布与内在联系。 讲义的亮点在于“问题导向+方法提炼”的练习设计，如通过“求完全平方式中字母系数”题型培养学生的抽象能力和推理意识，借助“平方差公式与几何图形”题型强化几何直观和模型观念。每类题型均配有规范解题步骤和易错点提示，基础薄弱学生可掌握基本模型，优秀学生能拓展探究规律，教师据此实施分层教学，提升课堂效率。同时提供自我检测与错题归因建议，助力学生自主复习，实现精准诊断与靶向提升。

专题02 乘法公式重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 整式的混合运算 题型二 运用平方差公式进行运算 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过对完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方式中的字母系数 题型六 平方差公式与几何图形 题型七 完全平方公式在几何图形中的应用 拓展训练一利用乘法公式化简求值 拓展训练二 复杂代数式的公式综合应用 拓展训练三 乘法公式在实际中综合应用 知识点一：平方差公式 公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 文字描述:两数之和与这两数之差的积，等于它们的平方差。 结构特征： 左边:两个二项式相乘，其中一项完全相同(a)，另一项互为相反数(+b和-b）； 右边:相同项的平方减去相反项的平方（a²-b²） 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的形式． 平方差公式为，其结构特征为两个括号中一项相同，另一项互为相反数，需逐一分析各选项是否满足此条件． 【详解】解：选项A：，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项B：，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，符合平方差公式形式，可用平方差公式计算； 选项D：，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算． 故选：C． 2．（2025·上海金山·模拟预测）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，直接利用平方差公式进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 知识点二：完全平方公式 公式1:(a+b)² = a²+2ab+b² 公式2:(a-b)²=a²- 2ab+b² 文字描述:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的 2倍。 结构特征： 左边:一个二项式的完全平方((a±b)² 右边:首平方(a²)、尾平方(b²)、首0 尾乘积的 2倍(±2ab) 【即时训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键。根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 知识点三：公式的几何意义 平方差公式：可通过边长分别为a和b的大正方形与小正方形拼接后剪拼成长方形，直 观验证a²-b=(a +b)(a -b). 完全平方公式： 用面积法解释，例如(a+b)²表示边长为a+b的正方形面积，可 拆分为 a²(左上角)、b²(右下角)、2ab(两个长方形)。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）能用图来解释其几何意义的等式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用代数式表达各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系得出答案即可． 【详解】解：图中阴影部分可以看作长为，宽为，因此面积为， 阴影部分的面积也可以看作两个正方形的面积差，即， 所以，即：， 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表达各个部分的面积是正确解答的关键． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中介绍了已知长方形的长与宽之差为，面积为，求宽的方法：①设长方形的宽为，则长为，可得；②用四个宽为，长为的长方形拼成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形；③用两种方式表示大正方形的面积，开平方求出宽．根据以上方法，表示的几何意义是 ，的值用含，的式子表示为 ． 【答案】 大正方形的面积 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义，解题的关键是掌握完全平方公式．根据题意用两种方式表示大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形的面积为：或， ， ， 表示的几何意义是大正方形的面积， ， ， ， 故答案为：大正方形的面积，． 【经典例题一 整式的混合运算】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用单项式乘以多项式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：D 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，一个长方形被分成4部分，其中②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，若①号与③号图形的周长已知，则下列条件中不能求出大长方形面积的是（    ） A．①与②的周长之和 B．②与③的面积之和 C．④与②的周长之差 D．④与③的面积之差 【答案】D 【分析】本题考查了整式运算的应用，设①的长为，宽为，周长和为；③的长为，宽为，周长和为；其中、为已知的常数，由已知条件可求，，各选项进行逐一判断，即可求解；能用整式表示出面积及周长是解题的关键． 【详解】解：设①的长为，宽为，周长和为；③的宽为，长为，周长和为；其中、为已知的常数， ， ， ②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形， ， ， A.设①与②的周长之和为（为已知的常数），则有， 整理得：，， 解得，， 大长方形面积为是常数， 大长方形面积能求出，故不符合题意； B.设②与③的面积之和为（为已知的常数）， 则有， ， 大长方形面积为是常数， 大长方形面积能求出，故不符合题意； C.设④与②的周长之差为（为已知的常数）， ， ， 解得：， 大长方形面积为是常数， 大长方形面积能求出，故不符合题意； D.设④与③的面积之差为（为已知的常数）， ， ， 无法求出， 大长方形面积为无法求出，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，明确题意、运用新运算法则得到代数式是解题的关键． 先根据新运算法则得到代数式，然后再运用整式的混合运算计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某几何体是由棱长为1厘米的正方体放置在桌面上搭建而成，每一层从上到下按如图所示的规律排列，一共n层．若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），则涂油漆面的面积为 平方厘米（用n的代数式表示）． 【答案】（8n2−4n＋1） 【分析】依次算出只有一层、两层、三层的涂漆面积，总结规律，用含n的代数式表示． 【详解】解：只有一层时，面积为：1＋4＝5， 只有两层时，面积为：32＋（1＋3）×4＝25， 三层时，面积为：52＋（1＋3＋5）×4＝61， ∴有n层时，面积为：（2n−1）2＋4×（1＋3＋5＋•••＋2n−1）＝8n2−4n＋1． 故答案为：（8n2−4n＋1）． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，也考查了学生的归纳能力，要求学生能够由特殊到一般探究规律． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算；掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先利用平方差公式运算，再用完全平方公式进行运算，即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题二 运用平方差公式进行运算】 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）下列式子可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，属于基本题型，熟知平方差公式的结构特点是解题的关键． 根据平方差公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称16为“完美数”．下面4个数中，是“完美数”的是（   ）． A．2040 B．2020 C．2100 D．2300 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，设这两个连续奇数为，应用平方差公式进行计算可得，“完美数”是8的倍数，逐项比较即可得出答案． 【详解】解：设这两个连续奇数为设这两个连续奇数为， 则， 2040是8的倍数，A正确；2020、2100、2300不是8的倍数，不符合题意，BCD错误． 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 把变成利用平方差公式运算求解即可． 【详解】解： 原式 ； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）数学课上在学习乘法公式应用时，王老师和同学们一起应用乘法公式计算： 请借鉴以上方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键． 先乘以，再除以，依次按照平方差公式计算即可． 【详解】解：原式= = 故答案为：. 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空：____________；____________；____________；…由此猜想：____________ (2)利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ ①求的值； ②若，则等于多少？ 【答案】(1)；；；． (2)①；② 【分析】本题主要考查了整式的乘法规律探究以及代数式求值，涉及到平方差公式、多项式乘法等知识点．熟练掌握通过计算简单式子结果，观察并归纳出一般规律的方法是解题的关键． （1）本小题可从简单情况入手，通过计算前面几个式子的结果，观察规律，从而得出的结果． （2）①可根据（1）中得出的结论，令，（式子中最高次幂加）来计算的值． ②由，结合（1）中结论可得出满足的等式，再对进行变形求解． 【详解】（1）解：； ； ； … 由此猜想：． 故答案为：；；；． （2）解：① ，且 ． ② ， ，即， ， ∴， ∴（若，） ∴ 当时，． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算(a－1)2正确的是（    ） A．a2－1 B．a2－2a＋1 C．a2－2a－1 D．a2－a＋1 【答案】B 【详解】分析：根据完全平方公式求出(a-1)²=a²-2a+1，即可选出答案． 详解：∵(a−1)²=a²−2a+1， ∴与(a−1)²相等的是B， 故选B. 点睛：本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键. 1．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，根据完全平方公式、平方差公式，逐项判断即可求解． 【详解】A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是5．依此方法，代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式对代数式进行变形是解题的关键． 先用完全平方公式对代数式进行变形，然后确定其最小值即可． 【详解】解：， 则的最小值为． 故答案为． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若，，则在中，取值为2的个数为 ． 【答案】506 【分析】此题考查完全平方公式的应用．通过，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，，可得1的个数，再由得到2的个数． 【详解】解：∵是从0，1，2这三个数中取值的一列数，且， ∴中为1的个数是， ∵， ∴2的个数为个． 故答案为：506． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知a，b满足，求a、b的值． 【答案】(1)4 (2)， 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用； （1）将原式利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性求出x，y的值，进而求解； （2）将原式整理后利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性求出a，b的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，则的值是（ ） A． B． C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，令，则，根据可推出，结合即可求解； 【详解】解：令，则； ∵， ∵， ∴； ∵， ∴， 故选：B 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（　　） A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了整式乘法的应用，解题关键在于掌握运算法则，根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项． 【详解】解：由拼图可知，，， 因此①正确； 由于， 因此③正确； 由于表示一个小长方形的面积，由拼图可知，， 因此②不正确； 由于 ， 因此④不正确； 综上所述，正确的有①③， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若， ，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了因式分解的运用，先关根据， 求出，然后利用完全平方公式把分解成，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值．设，，则，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：设，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）若x满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求的值． 【答案】(1)5 (2)11 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）设，，则，再求出，然后根据代入计算即可得； （2）设，，则，得到，然后求得的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：设，，则， ∵， ∴， ∴ ． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若是一个完全平方式，则m的值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键；先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴． 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）规定三角“  ”表示，方框“  ”表示．例如：  ÷  ．若代数式  为完全平方式，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先依据题目的给出的运算规律将其简化为，再根据是完全平方式，将其配方为，展开后通过比较同类项系数即可求出k值． 【详解】解：依据题意，有： 原式=； ∵代数式为完全平方式， ∴原式=， ∴将展开，比较等号两边同类项系数可得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方式的知识，依据题目给出的运算法则将所求代数式准确转化为常见的代数式形式是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）如果多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】4或 【分析】根据是完全平方式比较系数计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或4， 故答案为：4或． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）小明做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了：，看不清x前面的数字是什么，只知道这是一个完全平方式，请你判断这个被墨水遮住的数字可能是 【答案】8或-8 【分析】根据完全平方公式可得，x前面的数字有2种可能，化成完全平方公式的形式即可得出答案． 【详解】根据完全平方公式可得， 题目中的多项式可以化成：，两种完全平方公式， 故答案为：8或-8． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，能熟练完全平方公式，注意有2种情况是解决本题的关键． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ； (2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若(n为常数) 是完全平方式，则n的值为 ； (3)已知 ，请求出b的值． 【答案】(1)左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同（答案不唯一，能描述清楚即可） (2)10或；16 (3) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式： 的结构特征是解题关键； （1）根据完全平方公式结构特征用语言表述即可； （2）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可； （3）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可． 【详解】（1）解：完全平方公式：， 完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同， 故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即可） （2）解： 是完全平方式， ， ， 解得：或； 是完全平方式， ， ， 故答案为：10或；16； （3）解：， ， ， ， ． 【经典例题六 平方差公式与几何图形】 【例6】（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）如图，正方形，的边长分别为，，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查正方形的性质，解题的关键是利用面积之差为51，且，得出方程解答．设为x，为y，利用面积之差为51，且，得出方程解答即可． 【详解】解：∵四边形，都是正方形， 设为x，为y， 可得：， 解得：， ∴． 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据题意准确列式，并能利用关系式推导出乘法公式． 根据阴影部分面积的不同方式可求得此题结果． 【详解】解：解：∵图形①中阴影部分的面积可表示为：， 图形②中阴影部分的面积可表示为， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，另一边长为8，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，熟记图形的面积公式是解决此题的关键．根据大正方形的面积减小正方形的面积矩形的面积，即可解答． 【详解】解：根据题意，得： 解得． 故答案为：2 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为 ．    【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 设正方形②的边长为，正方形①的边长为，由图可得，，即可得，得到，再由图可得，即可求解． 【详解】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为， 由图可得，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）探索规律． 乐乐在计算：、、⋯⋯这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的涂色部分表示，这个涂色部分可以转化成长是________，宽是________的长方形． (2)根据以上规律计算：________=________ (3)根据以上规律计算并写出过程： 【答案】(1)9，1 (2)，199 (3)9996 【分析】本题考查数字类规律探索，平方差与几何图形，应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）根据（1）中所得规律可解； （3）根据（1）中所得规律将原式变形为即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形， 故答案为：9，1； （2）解：， 故答案为：，199； （3）解： ． 【经典例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例7】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（    ）    A． B．8 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则：，， 由得：， 解得：， 图中阴影部分面积为：， 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）如图，将两个边长为的小正方形分别放在两个边长为的大正方形中，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A．49 B．44 C．39 D．34 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和，列出代数式，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：，， ， ， 阴影部分面积为， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． 【详解】如图，根据题意得：，， ∴ 则， ， ∵，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得，由 求出，即可求解；掌握、、之间的关系，能表示出面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ，， ， ， ， ； 故答案：． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：______；图2表示：______； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案：若，，则______； (3)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)， (2)①12；② (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，（1）利用两种方法分别用代数式表示图1、图2的面积即可； （2）①根据代入计算即可； ②根据代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，，根据，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图可得，图1的边长为， ∴， ∵拼成图1的四个部分的面积为， ∴， ∵图2的边长为， ∴， ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为， ∵四个空白长方形的面积为， ∴， 故答案为：， （2）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 则，， ∵，即， ∴． 【拓展训练一 利用乘法公式化简求值 】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则，熟练的运用整式的相关法则是解决本题的关键．利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则，先化简整式，再代入求值． 【详解】解： ， 当时， 原式 2．（24-25七年级上·上海金山·期末）计算与化简． (1)计算：． (2)计算：． (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，0 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值， 对于（1），先提出，再根据完全平方公式计算，并整理； 对于（2），根据多项式除以单项式法则计算即可； 对于（3），先根据单项式乘以多项式和完全平方公式整理，再代入计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， ∵， ∴原式． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）数学课上，王老师请了小深和小圳上讲台做题，以下是他们的解答过程： （小深）计算： 解：原式①② ③ （小圳）先化简，再求值：， 其中，． 解：原式① ② (1)解答过程里，小深第②步的解法依据是_________（填选项）． A．等式的基本性质    B．乘法交换律    C．去括号法则    D．合并同类项 (2)小圳从第_________步开始出现错误；请你写出这道题正确且完整的解答过程． 【答案】(1)C (2)； 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真分析题干的过程得小深第②步的解法依据是去括号法则，即可作答． （2）认真分析题干的过程得小圳从第①步开始出现错误，再写出正确的过程，得，把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小深第②步的解法依据是去括号法则； 故答案为：C， （2）解：依题意，小圳从第①步开始出现错误， 原式 ， 当，时，原式． 【拓展训练二 复杂代数式的公式综合应用】 1．（24-25七年级上·上海闵行·随堂练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据，解答即可． （2）根据，解答即可． 本题考查了配方法，实数的非负性，熟练掌握配方和非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故的最小值是． （2）解： ． 故的最大值是9． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即． 例如：．请根据阅读材料解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答； （2）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式进行配方，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题． 本题主要考查的是完全平方公式、非负数的性质、代数式求值等知识，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，， 解得，， ∴； （2）解： ， ∵， ∴代数式取得最小值时， 有，解得， ∴当，时，代数式取得最小值，最小值为． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式  ……………………第一步；   ……………………第二步；   ……………………第三步． (1)小刚的解答过程是从第______步开始出错的； (2)请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值． 【答案】(1)二 (2)见解析， 【分析】本题考查了整式的化简求值，乘法公式，单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，即可作答； （2）先根据完全平方公式，单项式乘多项式，平方差公式展开，再去括号、合并同类项，最后代入计算求值即可． 【详解】（1）解：由解题过程可知，小刚的解答过程是从第二步开始出错的， 故答案为：二 （2）解： ， 当时，原式 【拓展训练三 乘法公式在实际中综合应用】 1．（2025七年级上·上海虹口·模拟预测）整数满足条件：，． (1)若，则___________ (2)求的最小值． 【答案】(1)1011 (2)1 【分析】（1）根据题意可得到，，，，……，，从而得到，即可求解； （2）根据题意可得到或或2，或，或2，……，或，从而得到的最小值为，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ， ， ， ……， ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即 故答案为：1011 （2）解：∵， ∴或或2，或，或2，……，或， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式将，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式． (1)如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出，，之间的一个等量关系：_________． (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)如图2，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)的值为； (3)阴影部分的面积为． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先利用完全平方公式进行计算可得，然后根据阴影部分的面积的面积梯形的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，边长为的正方形的面积个长为，宽为的长方形的面积边长为的正方形面积， ∴，即， 故答案为：； （2）解：∵， ， 的值为：； （3）解：∵， ， ∴阴影部分的面积的面积梯形的面积的面积 ， ∴阴影部分的面积为． 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，去括号法则，平方差公式，完全平方公式．利用同底数幂的乘法，去括号法则，平方差公式，完全平方公式对各选项依次判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意． B、，故本选项错误，不符合题意． C、，故本选项正确，符合题意． D、，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海静安·期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴或， 故答案为：A． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，设，则，代入原式整理可得答案． 【详解】解：设，则 代入原等式得： 展开并合并同类项： 移项化简得：， ∴ ∴， 故选B． 4．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分按照图中的虚线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形，边上的高为（    ）．    A．a B．b C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘法与面积，掌握数形结合思想成为解题的关键． 设边上的高为h，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：设边上的高为h， 由题意可得：，即，解得：， 所以边上的高为． 故选C． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键； 由已知条件可得，再根据完全平方公式即得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：9． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式得到得到，然后求解即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ∴， 或． 故答案为3或． 8．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）有三个连续的正整数，n，，以n为边长作正方形，记其面积为；以，为长和宽作长方形，记其面积为，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意表示正方形和长方形的面积，然后根据整式的混合运算求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是掌握整式的混合运算法则． 9．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据阴影部分的面积和图形特征，可得，，即可得解． 【详解】解：由题意知， ， ，， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海松江·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，设甲、乙两个正方形纸片边长分别为，由题意可得：，根据图1中的阴影部分的面积为，进行求解即可． 【详解】解：设甲、乙两个正方形纸片边长分别为， 由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图1中的阴影部分的面积为； 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海长宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，整式的加法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． (1)分别进行同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行合并同类项即可； (2)分别由完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·上海松江·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)若，，则______（直接填出结果）； (2)若，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提． （1）根据完全平方公式的变式，进行运算，即可求解； （2）根据完全平方公式的变式，进行运算，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 解得：． （2）解： ∵，， ， ． 13．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）发现（1）先观察两边算式，探究规律，再用“<”“>”或“=”在“□”内填空； ， …… □， □ 归纳（2）用一个含字母的式子表示上述规律，试对该结论进行说理； 拓展（3）已知为任意有理数，直接比较代数式与的大小． 【答案】（1）（2），见详解（3） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，完全平方公式的应用，整式的加减等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）分别计算各式，然后比较大小即可； （2）观察几个式子的规律得到结论：两个数的平方和大于或等于这两个数积的2倍．运用完全平方公式和平方数非负性质可证明这个结论． （3）利用作差法得到，整理后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为： （2）用字母表示这个规律： 证明：∵ 则 ∴； （3） ∴． 14．（24-25七年级上·上海虹口·期中）重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表： 投入（元/平方米） 33 26 收益（元/平方米） 38 36 (1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简； (2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题主要考查了整式加减的意义，平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，熟知乘法公式是解题的关键． （1）根据长方形和正方形面积计算公式分别求出A、B的面积，二者求和即可得到答案； （2）根据长方形和正方形周长计算公式推出，进而可求出A、B面积，再根据净收入计算公式代值计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴、两园区的面积之和为平方米； （2）解：∵整改后两园区周长之和为1200米， ∴， ∴， ∴正方形面积为平方米， ∴长方形面积为平方米， 元． 15．（24-25七年级上·上海长宁·期末）观察图形，解决问题： (1)【观察分析】如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：___________，方法二：___________；结合以上两种方法可以得到数学公式___________； (2)【阅读理解】若，求的值． 解：令，则． 因为， 所以  ． 则  ， 所以． 当时，求的值； (3)【问题解决】如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n．若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)2 (3)10 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直接求和间接求阴影部分的面积进行计算； （2）令，结合阅读材料的方法进行解题即可； （3）先根据条件得出的值，然后根据进行计算． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：， ∴面积为：； 方法二：如图： 阴影部分的面积大正方形的面积； 故答案为：，，； （2）解：令， 则，， ∵， ， ， ； （3）解：∵， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 乘法公式重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 整式的混合运算 题型二 运用平方差公式进行运算 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过对完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方式中的字母系数 题型六 平方差公式与几何图形 题型七 完全平方公式在几何图形中的应用 拓展训练一利用乘法公式化简求值 拓展训练二 复杂代数式的公式综合应用 拓展训练三 乘法公式在实际中综合应用 知识点一：平方差公式 公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 文字描述:两数之和与这两数之差的积，等于它们的平方差。 结构特征： 左边:两个二项式相乘，其中一项完全相同(a)，另一项互为相反数(+b和-b）； 右边:相同项的平方减去相反项的平方（a²-b²） 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·模拟预测）计算： ． 知识点二：完全平方公式 公式1:(a+b)² = a²+2ab+b² 公式2:(a-b)²=a²- 2ab+b² 文字描述:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的 2倍。 结构特征： 左边:一个二项式的完全平方((a±b)² 右边:首平方(a²)、尾平方(b²)、首0 尾乘积的 2倍(±2ab) 【即时训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习） ． 知识点三：公式的几何意义 平方差公式：可通过边长分别为a和b的大正方形与小正方形拼接后剪拼成长方形，直 观验证a²-b=(a +b)(a -b). 完全平方公式： 用面积法解释，例如(a+b)²表示边长为a+b的正方形面积，可 拆分为 a²(左上角)、b²(右下角)、2ab(两个长方形)。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）能用图来解释其几何意义的等式是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中介绍了已知长方形的长与宽之差为，面积为，求宽的方法：①设长方形的宽为，则长为，可得；②用四个宽为，长为的长方形拼成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形；③用两种方式表示大正方形的面积，开平方求出宽．根据以上方法，表示的几何意义是 ，的值用含，的式子表示为 ． 【经典例题一 整式的混合运算】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，一个长方形被分成4部分，其中②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，若①号与③号图形的周长已知，则下列条件中不能求出大长方形面积的是（    ） A．①与②的周长之和 B．②与③的面积之和 C．④与②的周长之差 D．④与③的面积之差 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某几何体是由棱长为1厘米的正方体放置在桌面上搭建而成，每一层从上到下按如图所示的规律排列，一共n层．若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），则涂油漆面的面积为 平方厘米（用n的代数式表示）． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【经典例题二 运用平方差公式进行运算】 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）下列式子可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称16为“完美数”．下面4个数中，是“完美数”的是（   ）． A．2040 B．2020 C．2100 D．2300 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）数学课上在学习乘法公式应用时，王老师和同学们一起应用乘法公式计算： 请借鉴以上方法计算： ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空：____________；____________；____________；…由此猜想：____________ (2)利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ ①求的值； ②若，则等于多少？ 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算(a－1)2正确的是（    ） A．a2－1 B．a2－2a＋1 C．a2－2a－1 D．a2－a＋1 1．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是5．依此方法，代数式的最小值是 ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若，，则在中，取值为2的个数为 ． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知a，b满足，求a、b的值． 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，则的值是（ ） A． B． C．9 D．8 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（　　） A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若， ，则 ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知，则代数式的值为 ． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）若x满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求的值． 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若是一个完全平方式，则m的值为（   ） A．6 B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）规定三角“  ”表示，方框“  ”表示．例如：  ÷  ．若代数式  为完全平方式，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）如果多项式是完全平方式，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）小明做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了：，看不清x前面的数字是什么，只知道这是一个完全平方式，请你判断这个被墨水遮住的数字可能是 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ； (2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若(n为常数) 是完全平方式，则n的值为 ； (3)已知 ，请求出b的值． 【经典例题六 平方差公式与几何图形】 【例6】（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）如图，正方形，的边长分别为，，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，另一边长为8，则 ． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为 ．    4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）探索规律． 乐乐在计算：、、⋯⋯这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的涂色部分表示，这个涂色部分可以转化成长是________，宽是________的长方形． (2)根据以上规律计算：________=________ (3)根据以上规律计算并写出过程： 【经典例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例7】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（    ）    A． B．8 C．6 D．12 1．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）如图，将两个边长为的小正方形分别放在两个边长为的大正方形中，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A．49 B．44 C．39 D．34 2．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则 ． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：______；图2表示：______； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案：若，，则______； (3)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【拓展训练一 利用乘法公式化简求值 】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（24-25七年级上·上海金山·期末）计算与化简． (1)计算：． (2)计算：． (3)先化简，再求值：，其中． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）数学课上，王老师请了小深和小圳上讲台做题，以下是他们的解答过程： （小深）计算： 解：原式①② ③ （小圳）先化简，再求值：， 其中，． 解：原式① ② (1)解答过程里，小深第②步的解法依据是_________（填选项）． A．等式的基本性质    B．乘法交换律    C．去括号法则    D．合并同类项 (2)小圳从第_________步开始出现错误；请你写出这道题正确且完整的解答过程． 【拓展训练二 复杂代数式的公式综合应用】 1．（24-25七年级上·上海闵行·随堂练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即． 例如：．请根据阅读材料解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式  ……………………第一步；   ……………………第二步；   ……………………第三步． (1)小刚的解答过程是从第______步开始出错的； (2)请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值． 【拓展训练三 乘法公式在实际中综合应用】 1．（2025七年级上·上海虹口·模拟预测）整数满足条件：，． (1)若，则___________ (2)求的最小值． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式． (1)如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出，，之间的一个等量关系：_________． (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)如图2，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若，，求阴影部分的面积． 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海静安·期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分按照图中的虚线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形，边上的高为（    ）．    A．a B．b C． D． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若，则代数式的值为 ． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是 ． 8．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）有三个连续的正整数，n，，以n为边长作正方形，记其面积为；以，为长和宽作长方形，记其面积为，则 ． 9．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为 ． 10．（24-25七年级上·上海松江·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ．    11．（24-25七年级上·上海长宁·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·上海松江·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)若，，则______（直接填出结果）； (2)若，，求的值； 13．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）发现（1）先观察两边算式，探究规律，再用“<”“>”或“=”在“□”内填空； ， …… □， □ 归纳（2）用一个含字母的式子表示上述规律，试对该结论进行说理； 拓展（3）已知为任意有理数，直接比较代数式与的大小． 14．（24-25七年级上·上海虹口·期中）重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表： 投入（元/平方米） 33 26 收益（元/平方米） 38 36 (1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简； (2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 15．（24-25七年级上·上海长宁·期末）观察图形，解决问题： (1)【观察分析】如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：___________，方法二：___________；结合以上两种方法可以得到数学公式___________； (2)【阅读理解】若，求的值． 解：令，则． 因为， 所以  ． 则  ， 所以． 当时，求的值； (3)【问题解决】如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n．若，求图中阴影部分的面积． 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