专题06 整式的乘除章末56道压轴题型专训（8大题型）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学讲义聚焦整式的乘除单元，通过8大题型系统构建知识体系，将幂的运算、乘法公式、多项式乘除等核心内容按“基础变形-综合应用-创新拓展”分层梳理，题型分类清晰呈现重难点内在联系。 亮点在于56道压轴题精准覆盖关键题型，如幂的运算逆向求值、乘法公式几何背景问题，培养学生抽象能力与推理意识。例题结合多地检测真题，解析注重整体代入等方法，基础学生可掌握技巧，优秀学生能突破难点，助力教师实施精准复习教学。

专题06 整式的乘除章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、幂的运算逆向求值 1 题型二、多项式乘积不含某项求参数 2 题型三、完全平方公式变形求代数式的值 3 题型四、乘法公式基础变形问题 4 题型五、多项式乘法中的规律性问题 5 题型六、乘法公式几何背景问题 6 题型七、整体代入综合问题 7 题型八、整式的乘除新定义问题 8 【经典例题一 幂的运算逆向求值】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）不使用计算器，如何快速求出下列各式的结果？ ． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值．（结果用含n的式子表示） 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在一次数学活动中，数学老师组织学习探究：设是方程的一个根，学习小组成员发现如下一系列等式： (1)根据以上规律，用数字填空：__________； (2)小王同学通过观察比较两个相邻等式，提出了一个猜想：设是正整数，若，则．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 5．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ （提示：， 为正整数，那么） 6．（25-26七年级下·江西抚州·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么． 例如：，．我们还可以利用此定义说明等式成立． 理由如下：设，，则，， ， ， 即． (1)根据上述规定，填空：________，________，________； (2)计算：的值； (3)记，，，请说明． 7．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么，例如，记作． (1)根据以上规定求出：_____________；_____________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ． 根据以上证明，请计算：_____________； (3)若，，，则，，之间的数量关系为_____________； (4)求的值． 【经典例题二 多项式乘积不含某项求参数】 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 9．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）解决下列问题： (1)已知，求的值： (2)已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 11．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 12．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)计算求所得多项式的一次项系数； (2)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 13．（25-26七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中x项的系数是 ． ②若，其中 ． (2)若的积中不含x项，求p的值． (3)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【经典例题三 完全平方公式变形求代数式的值】 15．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）①已知，则________． ②若关于的代数式是完全平方式，则常数_______． ③已知，那么代数式的值等于________． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 17．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．周老师布置了一道思维拓展题：代数式 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宸的解题步骤如下： ∴当时，数式的最小值是4，此时 小宸的解法及结果得到了周老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)若是一个完全平方式，则k的值等于 ； (2)求代数式的最小值，并求此时x的值； (3)对于任意实数x、y，若多项式的最小值为2，求m的值． 18．（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 19．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读：我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ①， 因为， 所以， 所以当时，原式有最小值是； ②， 因为， 所以 所以当时，原式有最大值是． (1)已知是一个完全平方式，则____________． (2)①代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； ②代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； (3)当，为何值时，有最值，最值是多少？ 20．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b． （1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：　 ；方法二：　 ； （2）观察图②，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系； （3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求的值； （4）求的值．                                    21．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【经典例题四 乘法公式基础变形问题】 22．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）按要求解题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求和的值． 23．（25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 阅读材料：完全平方公式的变形应用 我们熟知完全平方公式：， ， 由此可推导变形公式： ， ． 根据上面材料，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 24．（25-26七年级下·江西吉安·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出代数式，，之间的等量关系：______________________． (2)根据（1）中的等量关系，已知，，求的值． 25．（25-26七年级下·江苏南京·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法是将一个代数式的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，利用配方法可以解决许多数学问题． 如：利用配方法求的最小值． 解： ∵，∴当时，有最小值为． (1)填空：若，则______，______． (2)应用：若，，试说明无论x取何值，P始终大于Q． (3)当取最小值时，________． 26．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 27．（25-26七年级下·北京石景山·期末）如图1，现有一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线将长方形用剪刀平均分成四块大小、形状完全相同的小长方形，将这四块小长方形拼成一个正方形（如图2），四张小长方形卡片之间不重叠、无缝隙． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系是__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值． 28．（25-26七年级下·四川达州·期末）小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 ，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1：设 ， ，则 ，，所以 方法2：因为 ，所以 ，所以，， (1)若，求的值． (2)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和． 【经典例题五 多项式乘法中的规律性问题】 29．（25-26七年级下·广东茂名·期中）【观察思考】 ， ， ， … (1)【规律发现】根据规律可得______（其中n为正整数）； (2)【规律应用】计算：． 30．（2026·安徽六安·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 31．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数． (2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期______． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 33．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 34．（25-26七年级下·山西太原·期中）阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：________； (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________； (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________； (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________； (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________； (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 【经典例题六 乘法公式几何背景问题】 36．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加，东西向减少．改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积． 37．（2026七年级上·江西赣州·模拟预测）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 38．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 39．（25-26七年级下·四川成都·期末）有A，B两类正方形卡片，其边长分别为厘米、厘米，另有一类长方形卡片C，其长和宽分别为厘米和厘米．在同一平面内做如下操作：将卡片B放在卡片A的内部（剪掉卡片A中与卡片B重叠的部分），如图1所示；将卡片A，B并列放置后构造新的正方形，如图2所示．在图1、图2中，若阴影部分的面积分别为和，请完成下列问题： (1)_________； (2)聪聪同学想要拼一个长、宽分别为厘米和厘米的长方形（不重不漏），除用去6张卡片A，6张卡片B外，还需要卡片C_________张； (3)在同一平面内，用三张正方形卡片A和两张正方形卡片B摆放成如图3所示正方形，求图3中阴影部分的面积． 40．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形．由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：_____． (2)如图2，四个长为，宽为的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：_____． 【知识迁移】 (3)计算：； (4)若，，求． 【拓展探究】 (5)如图3．将边长分别为的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为6，长方形的面积为4，求两个正方形纸片的面积和． 41．（25-26七年级下·山东聊城·期末）阅读：我们学习了完全平方公式：和，可变形解决问题，如：若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上述例子解决下列问题： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是40，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）． 42．（25-26六年级下·山东威海·期末）数形结合是数学学习的一种重要思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)已知C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形． ①如图，正方形分别位于的两旁，若，两正方形的面积和为20，求阴影部分的面积； ②如图，正方形位于的同旁，若两正方形的面积差为40，求阴影部分的面积； (2)如图，以，为边作正方形和正方形，已知两正方形的边长和为10，边长积为22，求阴影部分面积． 【经典例题七 整体代入综合问题】 43．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）已知，求的值．（提示：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．） 44．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 45．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 46．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： (1)已知，则________； (2)若，求的值，写出过程． 47．（25-26七年级上·云南普洱·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，设，则，原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： 求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 48．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【学习理解】 在《整式的乘法》中，知道某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，直接运用公式写出结果，可以简化运算．在实际问题解决时，我们也可以将公式进行适当变形，然后借助整体思想再进行计算，同样也可以起到简化运算的目的． 例如：由整式乘法中“和”的完全平方公式 可以变形得到 我们将和 的值整体代入，即可得到 的值． 【问题解决】 利用以上信息，解答下列问题．已知实数a，b满足． (1)求的值； (2)求 的值． 49．（24-25七年级下·山西运城·期中） “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简求值中应用广泛，把一个比较复杂的代数式的一部分看作一个整体，用一个字母代替这个整体，使代数式得到简化，便于解决问题，例如：已知，求的值． 解：设，则___________ 所以_____________________ ___________； 即___________． (1)请将横线部分补充完整； (2)已知，请运用“整体思想”求的值； (3)如图，已知四边形，四边形，四边形和四边形都是正方形，，长方形的面积为40，则正方形的面积为___________． 【经典例题八 整式的乘除新定义问题】 50．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 51．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 52．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 53．（25-26七年级下·江西抚州·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，我们新定义这个正整数为“神秘数”.例如：，，，因此8，16，24这三个数都是“神秘数”. (1)48是“神秘数”吗？请说明理由，并猜想“神秘数”有何特征. (2)若长方形相邻两边长为两个连续奇数，试说明其周长一定为“神秘数”. 54．（25-26七年级上·福建泉州·期末）综合与实践 【问题提出】 对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）_______； 【深度探究】 （2）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算是否也满足交换律？请说明理由； 【拓展运用】 （3）若实数a，b满足，求的最小值． 55．（24-25七年级下·全国·期末）[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 56．（25-26七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式的乘除章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、幂的运算逆向求值 1 题型二、多项式乘积不含某项求参数 2 题型三、完全平方公式变形求代数式的值 3 题型四、乘法公式基础变形问题 4 题型五、多项式乘法中的规律性问题 5 题型六、乘法公式几何背景问题 6 题型七、整体代入综合问题 7 题型八、整式的乘除新定义问题 8 【经典例题一 幂的运算逆向求值】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）不使用计算器，如何快速求出下列各式的结果？ ． 【答案】； ； ． 【分析】利用积的乘方的逆运算，将同指数的幂结合凑出整数，简化计算即可． 【详解】略 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)24 (2)4 【分析】（1）根据幂的乘方计算法则得到，则，据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为，进而得到，据此根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值．（结果用含n的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照新运算的规则计算即可； （2）仿照新运算的规则计算，可得：原式，再逆用幂的乘方的法则和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，，时， ． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在一次数学活动中，数学老师组织学习探究：设是方程的一个根，学习小组成员发现如下一系列等式： (1)根据以上规律，用数字填空：__________； (2)小王同学通过观察比较两个相邻等式，提出了一个猜想：设是正整数，若，则．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)13；8 (2) 解：猜想正确；理由如下： ∵，， ∴ ， 即， ∴这个猜想正确． 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，规律探索，多项式乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干的信息，得出答案即可； （2）根据，，求出，即可证明结论正确． 【详解】（1）解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴； （2）略 5．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ （提示：， 为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可利用积的乘方的逆运算计算求解； （2）可利用幂的乘方逆运算及同底数幂的乘法的逆运算可求解值； （3）将，，，化为相同的指数，再比较大小即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，，，， 且， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·江西抚州·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么． 例如：，．我们还可以利用此定义说明等式成立． 理由如下：设，，则，， ， ， 即． (1)根据上述规定，填空：________，________，________； (2)计算：的值； (3)记，，，请说明． 【答案】(1)2，2，4 (2) (3)，，， ，，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据定义直接求指数． （2）利用运算性质，将两个同底数的运算相加转化为指数相加． （3）根据新定义，得出，，，进而得出，即可说明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）设，，则，， ， ，即； （3）略 7．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么，例如，记作． (1)根据以上规定求出：_____________；_____________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ． 根据以上证明，请计算：_____________； (3)若，，，则，，之间的数量关系为_____________； (4)求的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． (4)． 【分析】根据题中定义，类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴，； （2）解：根据题意设：，， 则，， ， 即， ∴ ∴； （3）解：∵，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即； （4）解∶，设，， 则， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ ． 【经典例题二 多项式乘积不含某项求参数】 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 9．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）解决下列问题： (1)已知，求的值： (2)已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，进而根据，即可求解． （2）先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ （2）解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出的值； （2）先将原式进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． 由题意可知，， ． （2）解： ． ， ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 11．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1) B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1） 略 （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 12．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)计算求所得多项式的一次项系数； (2)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； 【详解】（1）解：所得多项式的一次项系数为： ； （2）根据题意，一次项系数， 依据题意： 解得：． 13．（25-26七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 【答案】(1)是，理由如下： ，， ， 的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； (2)①（答案不唯一）；②乐乐同学的说法正确， 【分析】（1）首先计算、的乘积，再利用“友好多项式”的定义判断即可； （2）①根据“特别友好多项式”的定义，写出符合条件的二项式即可； ②利用多项式乘以多项式法则计算、的乘积，再利用“特别友好多项式”的定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， 若， ∴， 此时的项数与的项数相同，是的“特别友好多项式”， ∴写出一个符合条件的二项式，即（答案不唯一）； ②乐乐同学的说法正确，理由如下： 若，（，是常数，，）， ∴ ∵， ∴， 若是的“特别友好多项式”， ∴的项数与的项数相同，即C是二项式， ∴，， 解得，， ∴． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中x项的系数是 ． ②若，其中 ． (2)若的积中不含x项，求p的值． (3)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：由题中计算方法知：， 故答案为：19； ②∵是由2025个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2025个2的和， ∴； 故答案为：； （2）解：由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （3）解：设购进A型号矿泉水有a箱，则购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 【经典例题三 完全平方公式变形求代数式的值】 15．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）①已知，则________． ②若关于的代数式是完全平方式，则常数_______． ③已知，那么代数式的值等于________． 【答案】 ； ； ． 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，解题关键是原式完全平方后整体代入计算． ①把两边完全平方后，再把整体代入即可求解； ②根据完全平方式可确定常数； ③根据题意得到，再将变形即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②∵是完全平方式， ∴， ∴； ③∵， ∴， ∴ ． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，定义新运算， 对于（1），根据题中的新定义解答即可； 对于（2），根据新定义可得原式，再根据完全平方公式可得，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，原式； 故答案为：； （2）解：原式， ∵为完全平方公式，即 ∴， 解得. 17．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．周老师布置了一道思维拓展题：代数式 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宸的解题步骤如下： ∴当时，数式的最小值是4，此时 小宸的解法及结果得到了周老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)若是一个完全平方式，则k的值等于 ； (2)求代数式的最小值，并求此时x的值； (3)对于任意实数x、y，若多项式的最小值为2，求m的值． 【答案】(1)4 (2)最小值为2，此时 (3) 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特点解答即可； （2）根据题目提供的方法配方成完全平方公式，然后根据偶次方的非负性即可得答案． （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式，根据偶次方的非负性几何多项式的最小值为2，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：4； （2） 当时，代数式有最小值是2， 此时； （3） 依题意得， ． 18．（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键． （1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为的正方形； （2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即可； （3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式； （4）将的变形为：即可求解． 【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即； 故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）． ，， ． 19．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读：我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ①， 因为， 所以， 所以当时，原式有最小值是； ②， 因为， 所以 所以当时，原式有最大值是． (1)已知是一个完全平方式，则____________． (2)①代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； ②代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； (3)当，为何值时，有最值，最值是多少？ 【答案】(1)4 (2)①小，5②大， (3)当时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查完全平方式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）形如的式子是完全平方式，据此解答即可； （2）①代数式，根据平方的非负性可求得代数式的最小值；②代数式，根据平方的非负性可得代数式有最大值； （3），根据平方的非负性可得代数式有最小值，此时，据此求出的值． 【详解】（1）解：根据完全平方式的定义是完全平方式， ∴是一个完全平方式，则． 故答案为：4； （2）解：①， ∵， ∴， ∴当时，原式有最小值是5； 故答案为：小，5； ②， ∵， ∴， ∴当时，原式有最大值是． 故答案为：大，； （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时， 即当时， 有最小值，最小值为． 20．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b． （1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：　 ；方法二：　 ； （2）观察图②，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系； （3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求的值； （4）求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）25；（4）100 【分析】（1）利用两种方法表示出大正方形面积，第一种用组成正方形的两个小正方形+4个三角形面积，第二种用正方形面积公式边长的平方即可； （2）根据各自表示的面积写出四个代数式之间的等量关系即可； （3）利用面积求出，（a+b）2=49，把原式变形a2+b2=（a+b）2-2ab，整体代入计算即可得到结果． （4）将算式适当变形，利用完全平方公式进行解答即可． 【详解】解：（1）方法一：；     方法二：（a+b）2；         故答案为：；（a+b）2； （2）a2+2ab+b2=（a+b）2； （3），（a+b）2=49， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab ， =（a+b）2-4×， =49-4×6， =25；                                                （4）， =， ， ， =100． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【答案】(1) (2) (3)时，大正方形面积最小，此时边长为 【分析】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键． （1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系； （3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：记长方形的面积为，六边形的面积为， 则，，，， ，， ∴， ， ∴ ， 即：； （2）由（1）可知，， 当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关， ∴，即、满足的关系是：． （3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积， ∴拼成的大正方形的面积为：， ∵， ∴， ∵是边长的平方， ∴是完全平方数，而为正整数， 当时，， 当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为． 【经典例题四 乘法公式基础变形问题】 22．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）按要求解题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）通过对完全平方公式进行变形求解即可； （2）使用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 阅读材料：完全平方公式的变形应用 我们熟知完全平方公式：， ， 由此可推导变形公式： ， ． 根据上面材料，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用计算； （2）利用计算. 【详解】（1）解：∵，， ∴. （2）解：，，， . 24．（25-26七年级下·江西吉安·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出代数式，，之间的等量关系：______________________． (2)根据（1）中的等量关系，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察图1和图2之间的关系可得； （2）把已知条件代入小问1的结论，计算可得． 【详解】（1）略 （2），，， ， ， ． 25．（25-26七年级下·江苏南京·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法是将一个代数式的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，利用配方法可以解决许多数学问题． 如：利用配方法求的最小值． 解： ∵，∴当时，有最小值为． (1)填空：若，则______，______． (2)应用：若，，试说明无论x取何值，P始终大于Q． (3)当取最小值时，________． 【答案】(1)， (2)证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x取何值，P始终大于Q； (3) 【分析】（1）根据配方法将转化为的形式即可； （2）计算的值，仿照题干作答即可； （3）利用配方法求取最小值时a、b的值，进而相加即可． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴，； （2）略； （3）解： ， ∵，， ∴当，时，取最小值， 此时， ∴． 26．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式把两边同时平方，可得：，把代入即可求出的值； （2）由完全平方公式可得：，把整体代入计算即可； （3）设，，可得，根据完全平方公式可得：，根据，可知，代入可得，根据三角形的面积公式即可求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 解得：； （2）解：， ； （3）解：如下图所示，设， ， ， ， 整理得：， ，， ， ， 解得：， 四边形和四边形是正方形， ，， ． 27．（25-26七年级下·北京石景山·期末）如图1，现有一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线将长方形用剪刀平均分成四块大小、形状完全相同的小长方形，将这四块小长方形拼成一个正方形（如图2），四张小长方形卡片之间不重叠、无缝隙． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系是__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积， ∴． （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴． 28．（25-26七年级下·四川达州·期末）小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 ，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1：设 ， ，则 ，，所以 方法2：因为 ，所以 ，所以，， (1)若，求的值． (2)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)144 【分析】（1）设两个平方项为和，利用和的关系式求出乘积或展开原式整理成二次方程，再代入待求乘积的展开式中整体求值； （2）由长方形边长关系和已知，用表示出和 根据阴影面积是两个正方形的面积和，即，设，，由长方形面积条件得乘积，再根据用平方关系求出平方和． 【详解】（1）解：设，，则， ∵， 所以， ∴． （2）解：，，， ，． ∵长方形的面积为40， ∴，即， 设，，则， ∴ ． 所以图中阴影部分的面积和为144． 【经典例题五 多项式乘法中的规律性问题】 29．（25-26七年级下·广东茂名·期中）【观察思考】 ， ， ， … (1)【规律发现】根据规律可得______（其中n为正整数）； (2)【规律应用】计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给规律进行求解即可； （2）根据（1）中规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为， ， ， …， 所以（其中n为正整数）． （2）解：原式 ． 30．（2026·安徽六安·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 【答案】(1) (2)； 证明：左边，右边， 左边右边，等式成立． 【详解】解：（1）． （2）第个等式：． 31．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数． (2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期______． 【答案】(1)6；4 (2)四 【分析】（1）由图可知，每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，依次类推，以此规律进行求解即可； （2）根据题意可得，则可得到，进而得到，则可证明一定是7的倍数，即再过天还是星期三，故再过天是星期四． 【详解】（1）解：由图可知，从左边起，每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，依次类推……， ∴， （2）∵， ， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵一定是7的倍数， ∴一定是7的倍数， ∴再过天还是星期三， ∴再过天是星期四． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据图②，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）由（1）中结论可得，将所给式子的值整体代入即可； （3）由，共有项，， 共有项，进而找出规律，即可做答； （4）根据（3）中规律作答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴ ； （3）解：，共有项， 共有项， 可知展开后合并同类项共项， ∴展开后合并同类项共项； （4）解：由（3）知，展开后合并同类项共项． 33．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）18或12 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2）略 （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 34．（25-26七年级下·山西太原·期中）阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：________； (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）按照题干的规律进行计算即可； （2）按照题干的规律进行探究并计算即可； （3）先表示出两个两位数，和，相乘后利用多项式的乘法法则进行展开，再合并同类项，结合进行化简，最后变形成题干的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：根据题意，探究： ， 用“”替代“”，得， ， ∴； 探究： ， 用“”替代“”，得， ， ； （3）解：根据题意，两个两位数为和， ， ∵， ∴． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________； (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________； (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________； (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________； (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5 (5)10； 【详解】（1）解：， ∴所得多项式的一次项系数为7； （2）解：， ∴所得多项式的一次项系数为； （3）解：由题意得，， ∴， 所以； （4）解：∵ ， ∴一次项系数为：； （5）解：∵ ， ∴一次项系数为：， 二次项系数为：． 【经典例题六 乘法公式几何背景问题】 36．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加，东西向减少．改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积． 【答案】 【分析】根据题意可得这块长方形草坪的长为，宽为，再根据长方形的面积公式解答即可． 【详解】解：， 即这块长方形草坪的面积为． 37．（2026七年级上·江西赣州·模拟预测）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由图2、图1中的阴影部分面积相等，即可得出结果； （2）将转化为，再利用平方差计算即可． 【详解】（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 38．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】(1) (2)①90000    ② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； (2)①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：， 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）①解： ； ②解：原式 ． 39．（25-26七年级下·四川成都·期末）有A，B两类正方形卡片，其边长分别为厘米、厘米，另有一类长方形卡片C，其长和宽分别为厘米和厘米．在同一平面内做如下操作：将卡片B放在卡片A的内部（剪掉卡片A中与卡片B重叠的部分），如图1所示；将卡片A，B并列放置后构造新的正方形，如图2所示．在图1、图2中，若阴影部分的面积分别为和，请完成下列问题： (1)_________； (2)聪聪同学想要拼一个长、宽分别为厘米和厘米的长方形（不重不漏），除用去6张卡片A，6张卡片B外，还需要卡片C_________张； (3)在同一平面内，用三张正方形卡片A和两张正方形卡片B摆放成如图3所示正方形，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图1和图2得到两个关于的代数式，通过化简计算可得结果； （2）利用长方形的面积公式得长方形的面积为：，计算得到二次三项式，根据得到的结果观察可得结论； （3）由图3可得：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去三个正方形卡片A和两个正方形卡片B的面积，得到关于的代数式，再根据小问1的结果，即可求出图3中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图1得：， ， 由图2得：， ， ， 得：． （2）解：， 一个A类卡片面积为；一个B类卡片面积为；一个C类卡片面积为， 所以需要C类卡片张． （3）解：由小问1可得：；；， ， ， 由题意得：都是正数，， ， ，， ， 得：， ， ． 由图3可得： ． 40．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形．由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：_____． (2)如图2，四个长为，宽为的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：_____． 【知识迁移】 (3)计算：； (4)若，，求． 【拓展探究】 (5)如图3．将边长分别为的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为6，长方形的面积为4，求两个正方形纸片的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)10 【分析】（1）利用面积得出等式； （2）利用面积得出等式； （3）利用平方差公式求解； （4）根据（2）的结论求解； （5）根据面积表示出相关等式，然后利用完全平方公式求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ； （4）解：由（2）的结论可得， ， ∵， ∴或； （5）解：根据题意得，，则， ∴， ∴， 令， 则， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴， 即， ∴， ∴． 41．（25-26七年级下·山东聊城·期末）阅读：我们学习了完全平方公式：和，可变形解决问题，如：若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上述例子解决下列问题： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是40，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，根据解答即可； （2）设，，则，，可得，代入可求得，即可求得结果； （3）根据已知可得，，可表示出构成阴影部分的四个图形的边长，进而表示出这四个图形的面积，由长方形的面积是40，，设，，从而得到，，利用，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， ∴，， ∴ ； （2）解：设，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，即； （3）解：正方形的边长为x，，， ∴，， ∵和都是正方形，是长方形，长方形的面积是40 ∴，， ∴， 设，，则，， ∴阴影部分的面积 即阴影部分的面积为169． 42．（25-26六年级下·山东威海·期末）数形结合是数学学习的一种重要思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)已知C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形． ①如图，正方形分别位于的两旁，若，两正方形的面积和为20，求阴影部分的面积； ②如图，正方形位于的同旁，若两正方形的面积差为40，求阴影部分的面积； (2)如图，以，为边作正方形和正方形，已知两正方形的边长和为10，边长积为22，求阴影部分面积． 【答案】(1)①11；②20 (2)17 【分析】（1）①设，，结合题意得，，再进一步求解即可． ②设，，结合题意得，再结合面积公式求解即可； （2）设，，结合题意得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①设，,由题意，得，． ∴． ∴． ∴， ∴阴影部分面积为． ②设，， 由题意，得． ∵ ∴阴影部分面积为． （2）解：设，， 由题意，得，， ∴． ∴． ∴． ∴阴影部分面积为． 【经典例题七 整体代入综合问题】 43．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）已知，求的值．（提示：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．） 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算单项式乘以多项式可得原式等于，再根据积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用可得，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 44．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）把已知变形可得，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 变形整理可得：， ∴． 【点睛】本题考查了整体代入计算整式的加减，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 45．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可； 本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ， ， ． 46．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： (1)已知，则________； (2)若，求的值，写出过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）把原式变形后把已知条件整体代入计算即可； （2）利用多项式乘以多项式法则分组计算后，把已知条件变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ； 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 47．（25-26七年级上·云南普洱·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，设，则，原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： 求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】 证明： ， 设， 原式． ∵为正整数， ∴也为正整数， ∴式子的值一定是某一个整数的平方． 【分析】 将原式转化为，进一步整理为，根据n为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】（1）解：设， 则原式， 所以； （2）略 【点睛】本题解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 48．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【学习理解】 在《整式的乘法》中，知道某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，直接运用公式写出结果，可以简化运算．在实际问题解决时，我们也可以将公式进行适当变形，然后借助整体思想再进行计算，同样也可以起到简化运算的目的． 例如：由整式乘法中“和”的完全平方公式 可以变形得到 我们将和 的值整体代入，即可得到 的值． 【问题解决】 利用以上信息，解答下列问题．已知实数a，b满足． (1)求的值； (2)求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整体代入求值，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，将已知代入求值即可； （2）因为，而，将已知代入求值即可． 【详解】（1）解： =．             ∵，， ∴； （2）解： ；                                    ∵，， ∴ ；                   ∴． 49．（24-25七年级下·山西运城·期中） “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简求值中应用广泛，把一个比较复杂的代数式的一部分看作一个整体，用一个字母代替这个整体，使代数式得到简化，便于解决问题，例如：已知，求的值． 解：设，则___________ 所以_____________________ ___________； 即___________． (1)请将横线部分补充完整； (2)已知，请运用“整体思想”求的值； (3)如图，已知四边形，四边形，四边形和四边形都是正方形，，长方形的面积为40，则正方形的面积为___________． 【答案】(1) (2) (3)196 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形形式即可求解； （2）根据完全平方公式变形形式即可求解； （3）设，则正方形的边长为，由题意得：，，那么，根据即可求解． 【详解】（1）解：设， 则， 所以， 即； 故答案为：； （2）解：设，则， ；. 所以； 所以； 即；. （3）解：设，则正方形的边长为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 【经典例题八 整式的乘除新定义问题】 50．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的运算，掌握是解题的关键． （1）把，代入中求值即可； （2）利用完全平方公式求出（，得到，进而得到c的值； 【详解】（1）当，，时， ； （2）当，时， ∵ ， ∴， ∴， ∴或． 51．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 【答案】(1)9； (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方的逆运算．根据题意得，，是解题的关键． （1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案． （2）由题意得，，，从而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：9； ②∵，即， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，，， 则． 52．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）根据定义求出的结果，再根据得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ； ∵， ∴ ∴， ∴． 53．（25-26七年级下·江西抚州·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，我们新定义这个正整数为“神秘数”.例如：，，，因此8，16，24这三个数都是“神秘数”. (1)48是“神秘数”吗？请说明理由，并猜想“神秘数”有何特征. (2)若长方形相邻两边长为两个连续奇数，试说明其周长一定为“神秘数”. 【答案】(1) ∵48=169-121=132-112， ∴48是“神秘数”； ∵8=8×1，16=8×2，24=8×3，48=8×6， ∴“神秘数”是8的整数倍； (2) 设长方形的两边长分别为（2x+1）和（2x-1）， 则周长为2（2x+1）+2（2x-1）=8x， ∵x为正整数， ∴8x是8的倍数， ∴其周长一定为“神秘数”． 【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把48写成两个连续奇数的平方差即可判断，再根据8、16、24的特征可得答案； （2）设长方形的两边长分别为（2x+1）和（2x-1），求出其周长可得结论． 【详解】（1）略． （2）略． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键． 54．（25-26七年级上·福建泉州·期末）综合与实践 【问题提出】 对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）_______； 【深度探究】 （2）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算是否也满足交换律？请说明理由； 【拓展运用】 （3）若实数a，b满足，求的最小值． 【答案】（1）17；（2）实数a，b的这种新运算满足交换律；（3）的最小值为9． 【分析】此题主要考查了利用代入法求代数式的值，配方法的应用．还用到了乘法交换律和加法结合律证明公式的性质． （1）运用运算公式，计算即可； （2）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等； （3）由，得到，对进行运算得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：17； （2）∵， ， ∴， ∴实数a，b的这种新运算满足交换律； （3）∵， ∴， ∵ ， ∵， ∴有最小值，最小值为9． 55．（24-25七年级下·全国·期末）[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 【答案】(1) (2)①130；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． （1）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可； （2）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据，得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①． 因为， 所以， 即， 所以， 所以． ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以，解得． 56．（25-26七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1) 证明：∵，m、n是正整数， ∴ ； (2) (3) 证明：∵m、n是正整数时， ． 【分析】本题考查的是幂的含义，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义； （1）直接利用幂的含义证明即可； （2）根据负整数指数幂的含义可得结论； （3）根据负整数指数幂把化为，再结合同底数幂的除法运算可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：当，时，根据负整数指数幂的定义， 得， ∵， ∴． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $