专题01 整式重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） -2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦整式重难点，以单项式（含概念、系数、次数）和整式（单项式与多项式统称）为核心知识点，构建从基础概念到综合应用的学习支架，衔接紧密。 资料通过基础题型（如单项式判断、同类项识别）与提高题型（规律探究、新定义问题）分层训练，结合各地期中期末真题实例，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题01 整式重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、单项式的判断 1 题型二、单项式的系数、次数 2 题型三、写出满足某些特征的单项式 3 题型四、同类项的判断 4 题型五、多项式的判断 5 题型六、整式的判断 6 第二部分·练提高题型 题型一、单项式的规律问题 1 题型二、新定义问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列式子是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的定义，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据单项式的定义，单项式是只含数字与字母的乘积或单独数字或字母的代数式，不能有加减运算或分母中含字母. 【详解】解：∵ 单项式不能有加减运算或分母中含字母， ∴ A.有减号，是多项式，不是单项式； B.有加号，是多项式，不是单项式； C.分母含字母，是分式，不是单项式； D.是常数与字母的乘积，无加减运算，分母为数字，是单项式. 故选：D. 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）单项式的系数是_____，次数是_____． 【答案】 5 【分析】本题考查单项式的系数和次数．系数是数字因数，包括常数；次数是所有字母的指数和． 【详解】解：单项式中，数字因数包括和，因此系数是；字母的指数是3，的指数是2，次数是． 故答案为：，5． 知识点02 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 【答案】C 【分析】本题考查单项式，多项式和整式的判断，根据单项式，多项式和整式的定义，进行判断即可． 【详解】解：在中，单项式有，共4个，多项式有共2个，整式有共6个； 故选C． 2．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）下列式子： ，，，，，0，整式的个数是_______个． 【答案】4 【分析】根据单项式和多项式统称为整式，进行判断即可． 【详解】解：在 ，，，，，0中，属于整式的有，，，0，共4个； 故答案为：4． 【点睛】本题考查整式的识别，熟练掌握单项式和多项式统称为整式，是解题的关键． 【基础题型一 单项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 【例2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ 【分析】明确是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可. 【详解】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式. ①是数与字母的积，属于单项式； ②可化为，是多项式，不属于单项式； ③是与的积，属于单项式； ④0是单独的一个数，属于单项式； ⑤是常数，不是字母，因此是与的积，属于单项式. 1．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 2．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）在式子：，，，，，中，单项式有____个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握数字与字母的乘积组成的式子是单项式，单个的数字和字母也是单项式是解题的关键．根据单项式的定义，即可求解． 【详解】解：单项式有，，，，共4个． 故答案为：4． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)是单项式 (2)是单项式 (3)不是单项式 (4)是单项式 (5)是单项式 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 【基础题型二 单项式的系数、次数】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【答案】D 【详解】解：单项式的系数是，A错误； 单项式的次数是，B错误； 单项式的系数是，C错误； 单项式的次数是，D正确． 【例2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）单项式的次数是________． 【答案】 【详解】∵ 单项式中，的指数为，的指数为， ∴ 该单项式的次数为． 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 【答案】C 【分析】根据定义，单项式的系数是单项式中字母前的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数之和，据此求解即可. 【详解】解：∵ 单项式可以改写为， ∴ 该单项式的数字因数为，即系数为； 又∵ 的指数为，的指数为，所有字母的指数和为， ∴ 该单项式的次数为； 综上，该单项式的系数与次数分别为，. 2．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）单项式的系数是____________，次数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式系数与次数的定义，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，找出单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数即可． 【详解】解：的系数为， 所有字母的指数和为， 则该单项式的系数是，次数是． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）填表： 单项式 x 系数 次数 【答案】 单项式 系数 次数 【分析】单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和．据此逐个计算每个单项式的系数和次数即可完成填表． 【详解】解：对于，系数为，次数为； 对于，系数为，次数为； 对于，系数为，次数为； 对于，系数为，次数为． 【基础题型三 写出满足某些特征的单项式】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；进而问题可求解． 【详解】解：一个同时含有字母，，，且系数为的5次单项式有，，，，，，共有6个． 故选：A． 【例2】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 1．（25-26七年级上·广西来宾·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A．系数是2，次数是3，故本选项符合题意； B．系数是3，次数是2，故本选项不符合题意； C．系数是2，次数是4，故本选项不符合题意； D．系数是，次数是3，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查单项式问题，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 2．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）写出一个关于x的二次单项式：______（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是单项式的含义，单项式是数字与字母的积组成的代数式，单个的数或字母也是单项式．次数是所有字母的指数之和．二次单项式是指次数为2的单项式，即x的指数为2且系数不为零． 【详解】解： 关于x的二次单项式形式为， 例如，，等均符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 【基础题型四 同类项的判断】 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 【例2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知单项式3ab2，请写出一个它的同类项为________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查同类项的定义，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式．关键是抓住“所含字母相同、相同字母的指数相同”这两个核心条件，只要改变原单项式的非零系数，即可得到它的同类项． 【详解】解：根据同类项的定义，所含字母为、，且的次数为1，的次数为2的单项式都与是同类项，例如； 故答案为：(答案不唯一)． 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，掌握好相关知识是关键． 根据同类项“所含字母相同，且相同字母的指数也相同”的特征判断选项即可． 【详解】解：对于A选项：中的指数为2，的指数为1，与相同字母的指数不同，不是同类项，故A错误； 对于B选项：中的指数为1，的指数为2，与符合同类项定义，是同类项，故B正确； 对于C选项：中的指数为2，与中的指数不同，不是同类项，故C错误； 对于D选项：中的指数为1，与中的指数不同，不是同类项，故D错误． 故选：B． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）写出一个与单项式是同类项的代数式：________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，根据定义即可求解． 【详解】解：与是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各题中的两项是不是同类项？若不是，请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与． 【答案】(1)不是同类项，虽然所含字母相同，但相同的字母的指数不同 (2)不是同类项，因为所含字母不同 (3)是同类项 (4)是同类项 (5)是同类项 (6)是同类项 【分析】本题主要考查了同类项的概念如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． （1）根据同类项的定义判断即可得解； （2）根据同类项的定义判断即可得解； （3）根据同类项的定义判断即可得解； （4）根据同类项的定义判断即可得解； （5）根据同类项的定义判断即可得解； （6）根据同类项的定义判断即可得解． 【详解】（1）解：与不是同类项，虽然所含字母相同，但相同的字母的指数不同； （2）解：与不是同类项，因为所含字母不同； （3）解：与是同类项 （4）解：与是同类项 （5）解：与是同类项 （6）解：与是同类项． 【基础题型五 多项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·河北保定·期中）在代数式，，，，，中，多项式的个数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据多项式的定义，几个单项式的和称为多项式， 故多项式有，，， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·周测）有下列式子：．其中多项式共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式、分式的定义相混淆．数字与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或字母也叫单项式．单项式一定不含有加减运算，而多项式含有加减运算，多项式的分母中一定不含字母． 根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行作答． 【详解】解：多项式有：，共个． 故选：B. 2．（2026七年级上·湖南·专题练习）可以看作几个单项式的________的代数式叫作多项式． 【答案】和 【分析】本题考查多项式的概念，熟知多项式概念即可解题． 【详解】解：根据多项式的概念可知：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式． 故答案为：和． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列式子分别填入所属圈中． ，，，，，，，． 【答案】 单项式：，，，，， 多项式：， 整式：，，，，，，，． 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式，掌握这三个概念是解题的关键． 根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行判断；根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行判断；根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式进行判断． 【详解】略 【基础题型六 整式的判断】 【例1】（2026·山东威海·模拟预测）代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据整式的定义，判断各代数式分母是否含字母，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：的分母含字母，不是整式，，，，，是单项式，属于整式， 是多项式，属于整式， 综上所述，整式的个数共6个． 【例2】（25-26七年级上·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）在，，，，中，整式有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的定义，整式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式．掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，，，中，整式有，，，，共4个， 故答案为：4． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【答案】单项式：，，；多项式：，；非整式：， 【分析】本题考查了整式，需要根据整式、非整式、单项式和多项式的定义求解；单项式是指数字与字母或字母与字母相乘的代数式，多项式是几个单项式的和，从而找出其中的多项式和单项式；再根据整式包含单项式和多项式，代数式中除了整式就是非整式，即可确定其中的非整式． 【详解】解： 代数式 整式 单项式 ，， 多项式 ， 非整式 ， 故答案为：单项式：，，；多项式：，；非整式：，． 【提高题型一 单项式的规律问题】 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，…，按照上述规律，第个单项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查单项式规律探究，根据系数的规律：第n个对应的系数是，指数的规律：第n个对应的指数是n，即可求解． 【详解】解：，，，，，…， 第n个对应的单项式 则第个单项式为 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·全国·期末）按一定规律排列的一组数依次为：，，，，，按此规律排列下去，这组数中的第个数是________．（，为正整数） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，单项式规律题，解题关键是找到变化规律． 先确定分母与序号数的关系，然后确定a的指数与序号数的关系，再确定系数符号与序号数的关系，进而可解答． 【详解】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， … 以此类推，第个数是， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·云南·单元复习）观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 【答案】(1)奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同 (2)与自然数序号相同 (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式、数字规律等知识点，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的单项式找出其系数及其绝对值的规律即可； （2）根据题中给出的单项式找出其系数的次数的规律即可； （3）根据题中给出的单项式归纳规律即可； （4）根据（3）中的规律即可解答． 【详解】（1）解：∵第一个单项式是； 第二个单项式是； 第三个单项式是； …； ∴第n个单项式是． ∴系数的符号规律是奇数项为负，偶数项为正；系数的绝对值规律是与自然数序号相同． 故答案为：奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同． （2）解：根据（1）可知：单项式的次数的规律是与自然数序号相同． 故答案为：与自然数序号相同． （3）解：根据（1）可以猜想出第个单项式是． 故答案为：． （4）解：根据（3）中的规律可得：第2025个单项式是． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一组有规律的单项式：，，，，…．根据这组单项式，回答下列问题： (1)这组单项式的系数依次为多少？它们的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？ 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，，，⋯，系数为奇数且奇数项的系数为负数，故单项式的系数的符号是，其中第n个单项式的系数的绝对值是（为正整数）. (2)这组单项式的次数的规律是从开始的连续自然数． (3)第个单项式是． 【分析】本题考查的是数字的变化规律，绝对值，列代数式和单项式，掌握上述知识点并从题目中找出其中的规律是解题的关键． （1）这组单项式的系数依次为，，，⋯，系数为奇数且奇数项的系数为负数，故单项式的系数的符号是，其中第n个单项式的系数的绝对值是； （2）根据题目中的数据特点可知，这组单项式的次数的规律是从开始的连续自然数； （3）根据上面的归纳，可得：第个单项式是． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【提高题型二 新定义问题】 【例1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）对于有理数a和b，定义一种新运算：，例如，，则当m的值为的系数时，的结果为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据可得，确定m的值并代入m的值计算即可，本题考查了单项式和有理数的混合运算，是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 【详解】解：∵的系数为， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·山西太原·期中）新定义：如果两个单项式所含字母相同，系数也相同，那么这两个单项式叫做同系单项式.如和即为同系单项式.若关于的单项式和为同系单项式，则_____. 【答案】7 【分析】根据题意同系单项式的定义得a=7. 【详解】解：∵和为同系单项式， ∴a=7. 故答案为：7 【点睛】本题考查新定义，根据满足定义的条件列式计算是解答此题的关键. 1．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③ (2)①；②（答案不唯一） (3)，不是对称式 【分析】（1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及单项式的定义即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； 即其中是对称式的是①③； （2）解：①根据题意得：该单项式是； ②根据题意得：该多项式可以为； （3）解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴所得结果不是对称式． 3．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”． (1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________； (2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】本题为新定义问题，理解新定义是解题关键﹒ （1）根据“相伴方程”定义即可求出； （2）变形为，变形为，根据“相伴方程”定义得到，求出，代入即可求解﹒ 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴﹒ 故答案为：6； （2）解：变形为，变形为﹒ ∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26七年级上·山西运城·期末）下列各组单项式中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义．同类项需满足所含字母相同且相同字母的指数相同． 【详解】解：选项A中与均含字母且指数均为2，是同类项； 选项B指数不同，选项C字母不同，选项D字母不同，均不是同类项． 故选：A． 2．（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·河南许昌·期中）已知单项式是关于x、y的八次单项式，其系数与次数的和为，则的值为（   ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的系数与次数的定义，解题的关键是根据单项式次数的计算方法（所有字母指数的和）及系数的定义列出方程求解、的值． 由单项式的次数为得求；由系数与次数的和为得求；最后计算． 【详解】解：∵单项式是八次单项式， ∴，解得． ∵系数与次数的和为， ∴，解得． ∴． 故选：A． 4．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，共有6个． 故选：B． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式分类，利用分类讨论思想按的不同取值枚举所有情况，再分别验证三个说法即可． 【详解】解：∵ 为自然数， 为正整数，且 ， ∴， ∴ ， 按分类讨论： 当 时，，得整式，共1个，是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为 ，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为，，，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，得 ，其余系数为0，对应整式 ，共1个，是单项式； 验证说法：① 单项式共有 个，故①正确； ② 各对应整式个数为 ，不存在有且仅有2个的，故②错误； ③ 整式总个数为 个，不是10个，故③错误； 综上，正确的说法共1个，故选B． 6．（25-26七年级上·山东泰安·期末）单项式的系数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数，根据单项式的系数是指数字常数部分，包括符号和常数π，而不包括变量a和b． 【详解】解：单项式的系数为，即， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在式子中，多项式的个数是__________个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的定义：“几个单项式的和的形式”，进行判断即可． 【详解】解：在式子中，多项式有，共2个； 故答案为：2． 8．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）有三个条件：①只含有字时a，b，c，②系数为，③次数为4，能满足这三个条件的单项式为____________（写出一个即可）． 【答案】、、（任选一个即可） 【分析】本题考查了写单项式. 根据单项式的定义作答即可. 【详解】有三个条件：①只含有字时a，b，c，②系数为，③次数为4，能满足这三个条件的单项式为、、. 故答案为：、、（任选一个即可）. 9．（25-26七年级上·全国·课堂例题）（1）在中，单项式有__________________． （2）单项式中数字因数为__________________，故其系数为__________________；所有字母指数之和为__________________，故其次数为__________________． 【答案】 5 5 【分析】（1）根据单项式的定义进行分类即可求解； （2）根据单项式的系数、次数的概念进行求解即可． 【详解】解：（1），，，a是单项式， 故答案为：，，，a； （2）单项式中数字因数为，故其系数为；所有字母指数之和为，故其次数为5， 故答案为：，；5，5． 【点睛】本题考查单项式的定义及相关概念，理解并灵活运用相关概念是解题的关键． 10．（24-25七年级上·河北张家口·期末）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项称为“准同类项”． 例如：与是“准同类项”，则下列单项式 ①；②；③ 中， 与是“准同类项”的是_________． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，根据题意判断即可． 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项称为“准同类项”， 与是“准同类项”的要求是所含字母为且单项式中的指数与中的指数之差均小于或等于， 与是“准同类项”的是和； 故答案为：． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由． （1）与；（2）与0；（3）与；（4）与；（5）与． 【答案】 （1）符合同类项的定义，都是同类项； （2）符合同类项的定义，都是同类项； （3）与虽然所含的字母相同，但相同字母的指数都不相同，所以它们不是同类项； （4）与所含的字母不相同，故它们不是同类项； （5）符合同类项的定义，都是同类项． 【分析】根据同类项的定义含有相同的字母，并且相同字母的次数也相同的项是同类项，另单独的数字也是同类项，逐一判断即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 12．（25-26七年级上·安徽·期中），0，，m，，，． 上面式子中哪些是单项式，哪些是多项式？请填入相应的括号内． 单项式{                 }； 多项式{                 }． 【答案】 单项式{，0， ，} 多项式{，，} 【分析】本题主要考查了单项式和多项式，根据由数字或字母组成的式子叫做单项式，特别的，单独的一个数字或字母也是单项式，几个单项式的和叫做多项式，一一区分即可得出答案． 【详解】略 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【答案】，，， 【分析】根据单项式的次数为五，可得到，再分别写出符合要求的单项式即可． 【详解】是含有字母和的五次单项式， ，，， ，或，或，或，， 符合条件的单项式有：，，，． 【点睛】本题考查了单项式的次数概念，熟练掌握单项式的相关概念是解答本题的关键． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列式子按要求分类：，，，，，，5，，． 写出其中的单项式、多项式和整式． 【答案】 单项式有，，，5，； 多项式有，，； 整式有，，，，，，5，． 【分析】根据单项式，整式和多项式的定义求解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，如果不正确，请说明理由： (1)单项式m既没有系数，也没有次数； (2)单项式的系数是5． 【答案】(1)解：不正确． 理由：∵ 可表示为． ∴ 单项式的系数为，次数为． (2)解：不正确． 理由：∵ 单项式的数字因数为． ∴ 该单项式的系数为，不是． 【分析】根据单项式系数与次数的定义，逐一判断两个说法的正误． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、单项式的判断 1 题型二、单项式的系数、次数 2 题型三、写出满足某些特征的单项式 3 题型四、同类项的判断 4 题型五、多项式的判断 5 题型六、整式的判断 6 第二部分·练提高题型 题型一、单项式的规律问题 1 题型二、新定义问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列式子是单项式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）单项式的系数是_____，次数是_____． 知识点02 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 2．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）下列式子： ，，，，，0，整式的个数是_______个． 【基础题型一 单项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】 （25-26七年级上·吉林长春·期中）下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 1．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）在式子：，，，，，中，单项式有____个． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． 【基础题型二 单项式的系数、次数】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【例2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）单项式的次数是________． 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 2．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）单项式的系数是____________，次数是_____________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）填表： 单项式 x 系数 次数 【基础题型三 写出满足某些特征的单项式】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 【例2】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 1．（25-26七年级上·广西来宾·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）写出一个关于x的二次单项式：______（答案不唯一）． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【基础题型四 同类项的判断】 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知单项式3ab2，请写出一个它的同类项为________． 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）写出一个与单项式是同类项的代数式：________．（写出一个即可） 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各题中的两项是不是同类项？若不是，请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与． 【基础题型五 多项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河北保定·期中）在代数式，，，，，中，多项式的个数是________． 1．（25-26七年级上·全国·周测）有下列式子：．其中多项式共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026七年级上·湖南·专题练习）可以看作几个单项式的________的代数式叫作多项式． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列式子分别填入所属圈中． ，，，，，，，． 【基础题型六 整式的判断】 【例1】（25-26七年级上·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 【例2】（2026·山东威海·模拟预测）代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）在，，，，中，整式有______个． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【提高题型一 单项式的规律问题】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元复习）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，…，按照上述规律，第个单项式为（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·期末）按一定规律排列的一组数依次为：，，，，，按此规律排列下去，这组数中的第个数是________．（，为正整数） (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 1．（24-25七年级上·云南·单元复习）观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一组有规律的单项式：，，，，…．根据这组单项式，回答下列问题： (1)这组单项式的系数依次为多少？它们的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？ 【提高题型二 新定义问题】 【例1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）对于有理数a和b，定义一种新运算：，例如，，则当m的值为的系数时，的结果为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【例2】（25-26七年级上·山西太原·期中）新定义：如果两个单项式所含字母相同，系数也相同，那么这两个单项式叫做同系单项式.如和即为同系单项式.若关于的单项式和为同系单项式，则_____. 1．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 3．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”． (1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________； (2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值． 1．（25-26七年级上·山西运城·期末）下列各组单项式中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3．（25-26七年级上·河南许昌·期中）已知单项式是关于x、y的八次单项式，其系数与次数的和为，则的值为（   ） A． B． C． D．11 4．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 5．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26七年级上·山东泰安·期末）单项式的系数是______． 7．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在式子中，多项式的个数是__________个． 8．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）有三个条件：①只含有字时a，b，c，②系数为，③次数为4，能满足这三个条件的单项式为____________（写出一个即可）． 9．（25-26七年级上·全国·课堂例题）（1）在中，单项式有__________________． （2）单项式中数字因数为__________________，故其系数为__________________；所有字母指数之和为__________________，故其次数为__________________． 10．（24-25七年级上·河北张家口·期末）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项称为“准同类项”． 例如：与是“准同类项”，则下列单项式 ①；②；③ 中， 与是“准同类项”的是_________． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由． （1）与；（2）与0；（3）与；（4）与；（5）与． 12．（25-26七年级上·安徽·期中），0，，m，，，． 上面式子中哪些是单项式，哪些是多项式？请填入相应的括号内． 单项式{                 }； 多项式{                 }． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列式子按要求分类：，，，，，，5，，． 写出其中的单项式、多项式和整式． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，如果不正确，请说明理由： (1)单项式m既没有系数，也没有次数； (2)单项式的系数是5． 学科网（北京）股份有限公司 $