专题12.1 因式分解的意义（3大题型+能力训练） 【精英班课程】2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题12.1 因式分解的意义 1、整式的乘法：将几个整式的乘积化为一个整式. 2、因式分解：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 要点： 注意： (1) 因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； (2) 因式分解是恒等变形，因式分解的对象是整式，单项式不需 要因式分解； (3) 因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有整式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来整式的次数； (4) 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 题型01：判断是否是因式分解 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义“将几个整式的和的性质变成几个因式积的形式”，由此即可求解． 【解析】解：、，是因式分解，符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查因式分解概念的理解，掌握其概念是解题的关键． 2．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．（1+a）（1﹣a）＝1﹣a2 B． C．a2+4a﹣20＝（a﹣3）（a+7）+1 D．﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故A不合题意； B、等号右侧不是整式，不是因式分解，故B不合题意； C、没有把式子化为整式的乘积，不是因式分解，故C不合题意； D、是因式分解，故D符合题意． 故本题选：D． 3．下列变形属于因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，逐一进行判断即可． 【解析】解：①等式左边不是整式，不是因式分解；②等式右边不是整式，不是因式分解；③是整式的乘法，不是因式分解；④等式右边不是整式的乘法的形式，不是因式分解；⑤是因式分解； 故选D． 【点睛】本题考查因式分解的定义：把一个整式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个整式进行因式分解． 4.下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对整式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个整式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对整式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 题型02：整式乘法与因式分解 5．在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 【答案】 整式乘法 因式分解 【解析】 【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解， 故答案为：整式乘法，因式分解． 6．对于下列两个自左向右的变形： 甲：6x2y＝2x•3xy； 乙：x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1； 其中说法正确的是（　　） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【详解】解：因式分解是指把一个整式化成几个整式的积的形式， 故甲和乙都是错误的． 故本题选：B． 7．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【详解】解：x﹣3xy＝x（1﹣3y）是因式分解， （x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3是整式乘法． 故本题选：C． 8．对于等式12xy2＝3xy•4y有下列两种说法：①从左向右是因式分解；②从右向左是整式乘法，关于这两种说法正确的是（　　） A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据因式分解的定义以及整式乘法的定义判断即可．把一个整式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．整式乘法与因式分解互为相反的过程． 【详解】解：12xy2＝3xy•4y，等式的左边不是整式，所以不是分解因式； 3xy•4y＝12xy2是整式乘法． 所以于这两种说法正确的是①错误，②正确． 故选：C． 题型03：利用因式分解与整式乘法关系求参数 9.若整式分解因式后的结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键． 10.已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】9 【分析】把展开，求出、的值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 11．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　　． 【详解】解：∵甲看错了b，但a是正确的，分解结果为（x+2）（x+4）＝x2+6x+8， ∴a＝6， ∵乙看错了a，但b是正确的，分解结果为（x+1）（x+9）＝x2+10x+9， ∴b＝9， ∴a+b＝15． 故本题答案为：15． 12．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（　　） A．﹣18 B．2 C．10 D．12 1．（2022·上海·上外附中校考模拟预测）已知是整式的因式，则 ． 【答案】/0.25 【分析】根据题意， ，根据整式的乘法求得，，进而得出的值，根据负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：∵是整式的因式， ∴设 ∵ ∴ ∴①，，②，③ 由①②得④， 由③④得， 代入解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式乘以整式，因式分解，负整数指数幂的运算，掌握整式乘以整式是解题的关键． 13．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n， 则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴，解得：n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n， 则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0， 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得：m＝﹣21， ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若整式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 【详解】解：（1）设另一个因式为x+a， 则x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a）， ∴x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a， ∴，解得：a＝2，p＝1， 故本题答案为：1； （2）设另一个因式为（x+n）， 则2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n）， ∴2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n， ∴，解得：n＝﹣1，k＝5， ∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5． 一、选择题 1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个整式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 【详解】A．把一个整式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； B．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 2．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） （1）    （2） （3）        （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：（1），属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； （2），等式右边不是整式的乘积形式，不属于因式分解，不符合题意； （3），等式左边不是整式，不属于因式分解，不符合题意； （4），属于因式分解，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查判断因式分解．掌握因式分解就是把一个整式化为几个整式的积的形式是解题关键． 3．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）下列各式从左到右的变形过程，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解就是把一个整式化为几个整式的积的形式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A.右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故A选项错误，不符合题意； B.，是因式分解，故B选项正确，符合题意； C.右边不是整式，不是因式分解，故C选项错误，不符合题意； D.右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解就是把一个整式化为几个整式的积的形式，是解题的关键． 4．如果整式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（　　） A．m B．﹣my C．﹣y D．my 【答案】B 【分析】直接去括号，进而得出A代表的式子即可． 【解析】解：整式mx+A可分解为m（x﹣y）， mx+A＝m（x﹣y）＝mx﹣my． A＝﹣my． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以整式，提公因式法因式分解．正确去括号是解题关键． 2、 填空题 5．观察下列从左到右的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； 其中是因式分解的有______（填序号）． 【答案】（3） 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：把一个整式化为几个整式的积的形式，叫做把一个整式分解因式（或因式分解） （1）不是因式分解，不符合题意； （2）不是因式分解，不符合题意； （3）是因式分解，符合题意； （4）是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：（3）. 6．（a+b）（a﹣b），这种从左到右的变形是　 　； （a+b）（2a﹣b）＝2ab，这种从左到右的变形是　 ． 【答案】分解因式；整式乘法 【解析】 【分析】（1）根据分解因式的意义：把一个整式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解，也叫做分解因式；进行作答即可； （2）因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 【详解】（1）（a+b）（a﹣b），这种从左到右的变形是分解因式； （2）（a+b）（2a﹣b）＝2ab，这种从左到右的变形是整式乘法． 故答案为：分解因式；整式乘法． 7．如果整式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2，则k＝　　． 【详解】解：∵整式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2， ∵，， ∴另一个因式是（2x+1），即6x2﹣kx﹣2＝（3x﹣2）（2x+1）＝6x2﹣x﹣2， ∴k的值为1． 故本题答案为：1． 8．若整式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是　　． 【详解】解：∵整式x3+x+m含有因式x2﹣x+2， ∴设另一个因式是x+a， 则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m， ∵（x2﹣x+2）（x+a） ＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a ＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a， ∴a﹣1＝0，2a＝m，解得：a＝1，m＝2． 故本题答案为：2． 9．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知整式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【答案】C 【分析】根据整式乘以整式运算法则将展开，分别对应即可得出答案． 【详解】解：， ∵整式分解因式得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式乘以整式，也可根据十字相乘法因式分解得进行求解． 10．（2022·上海静安·统考二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】将因式分解的结果用整式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故 故选B 【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘法运算，掌握整式乘法与因式分解的关系是解题的关键． 11．已知整式能分解为，则 ， ． 【答案】 ； ． 【解析】 【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∴展开式乘积中不含、项， ∴，解得：． 故答案为：，． 三、解答题 12．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解． 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答. 【解析】(1)(4)的变形是把整式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把整式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解． (2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解． 【点睛】本题主要考查因式分解，因式分解是把一个整式转化成几个整式积的形式． 13．若42x2﹣31x+2能分解成两个因式的乘积，且有一个因式为6x﹣4，设另一个因式为mx﹣n，其中m，n为常数，请你求m，n的值． 14．先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为9﹣x2＝（3+x）（3﹣x），所以3+x和3﹣x是9﹣x2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）． ∴当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0，此时x2+ax﹣2＝0． 将x＝﹣1代入x2+ax﹣2＝0得，1﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1． （1）x+3是x2﹣5x﹣6的因式吗？　 　 （填“是”或“不是”）； （2）若整式x﹣2是x2﹣13x+m的因式，求常数m的值． 15．问题：已知整式含有因式和，求、的值． 解答：设（其中为整式）， ∴取，得，① ∴取，得，② 由①、②解得，． 根据以上阅读材料解决下列问题： (1)若整式含有因式，求实数的值； (2)若整式含有因式，求实数、的值； (3)如果一个整式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个整式除以该一次因式的余数．请求出整式除以一次因式的余数． 【答案】(1) (2) (3)4 【解析】 【分析】（1）设，其中为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）设，其中为整式，分别取和可得一个关于的方程组，解方程组即可得； （3）设，其中是一个非负的常数，为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设，其中为整式， 取，得， 解得． （2）解：设，其中为整式， 取，得①， 取，得②， 由①、②解得． （3）解：由题意，设，其中是一个非负的常数，为整式， 取，得，即， 解得， 故整式除以一次因式的余数为4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题12.1 因式分解的意义 1、整式的乘法：将几个整式的乘积化为一个整式. 2、因式分解：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 要点： 注意： (1) 因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； (2) 因式分解是恒等变形，因式分解的对象是整式，单项式不需 要因式分解； (3) 因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有整式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来整式的次数； (4) 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 题型01：判断是否是因式分解 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．（1+a）（1﹣a）＝1﹣a2 B． C．a2+4a﹣20＝（a﹣3）（a+7）+1 D．﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2 3．下列变形属于因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型02：整式乘法与因式分解 5．在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 6．对于下列两个自左向右的变形： 甲：6x2y＝2x•3xy； 乙：x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1； 其中说法正确的是（　　） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 7．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 8．对于等式12xy2＝3xy•4y有下列两种说法：①从左向右是因式分解；②从右向左是整式乘法，关于这两种说法正确的是（　　） A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 题型03：利用因式分解与整式乘法关系求参数 9.若整式分解因式后的结果为，则的值为 ． 10.已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 11．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　　． 12．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（　　） A．﹣18 B．2 C．10 D．12 13．（2022·上海·上外附中校考模拟预测）已知是整式的因式，则 ． 13．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n， 则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴，解得：n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n， 则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0， 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得：m＝﹣21， ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若整式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 一、选择题 1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） （1）    （2） （3）        （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）下列各式从左到右的变形过程，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 4．如果整式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（　　） A．m B．﹣my C．﹣y D．my 2、 填空题 5．观察下列从左到右的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； 其中是因式分解的有______（填序号）． 6．（a+b）（a﹣b），这种从左到右的变形是　 　； （a+b）（2a﹣b）＝2ab，这种从左到右的变形是　 ． 7．如果整式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2，则k＝　　． 8．若整式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是　　． 9．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知整式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 10．（2022·上海静安·统考二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 11．已知整式能分解为，则 ， ． 三、解答题 12．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 13．若42x2﹣31x+2能分解成两个因式的乘积，且有一个因式为6x﹣4，设另一个因式为mx﹣n，其中m，n为常数，请你求m，n的值． 14．先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为9﹣x2＝（3+x）（3﹣x），所以3+x和3﹣x是9﹣x2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）． ∴当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0，此时x2+ax﹣2＝0． 将x＝﹣1代入x2+ax﹣2＝0得，1﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1． （1）x+3是x2﹣5x﹣6的因式吗？　 　 （填“是”或“不是”）； （2）若整式x﹣2是x2﹣13x+m的因式，求常数m的值． 15．问题：已知整式含有因式和，求、的值． 解答：设（其中为整式）， ∴取，得，① ∴取，得，② 由①、②解得，． 根据以上阅读材料解决下列问题： (1)若整式含有因式，求实数的值； (2)若整式含有因式，求实数、的值； (3)如果一个整式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个整式除以该一次因式的余数．请求出整式除以一次因式的余数． 1 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