第1、2、3、4章阶段性测试2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦浙教版九年级数学1-4章核心内容，以亚运会吉祥物销售、网球击球等现实情境为载体，通过几何折叠、动态函数问题设计，考查抽象能力、空间观念与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|概率、二次函数、圆性质|第7题结合频率估计概率，体现数据意识| |填空题|6/18|统计、相似、动点相似|第15题双动点相似问题，考查推理能力| |解答题|8/72|概率计算、二次函数应用、圆综合|21题以亚运会吉祥物销售为背景构建利润模型，24题圆的证明与计算融合几何直观与逻辑推理|

第1、2、3、4章阶段性测试2026-2027学年浙教版九年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．篮球运动员投篮一定命中 B．买了彩票一定中奖 C．任意投掷一枚图钉，钉尖朝下 D．任选三角形的两边，其和大于第三边 2. 若，则（   ） A． B． C． D． 3. 如图，是的直径，是上的一点．若，则（   ） A． B． C． D． 4． 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．当时y随x增大而减小 D．图象经过点 5. 如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上， 若，则旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 6 . 如图1是一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数， 正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽（   ） A．米 B．米 C．米 D．8米 7. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率， 绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 8. 某研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏想到了如下方法： 如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点， 然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，． 则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 9. 如图，在中，，．以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D， 连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P， 作射线交于点E，连结，则下列结论中错误的是（   ） A. B． C． D． 10. 如图1，正方形中，点从点出发沿向终点运动，连接， 过作的垂线交于点，连接交的延长线于点．设，． 如图2是关于的函数图象，最高点为．下列选项正确的是（   ） A． B．点在该函数图象上 C． D．点的运动路径长为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的乒乓球共10个，这些球除颜色外都相同． 小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在， 则布袋中白色球的个数可能是 个． 12. 竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系 可用公式来表示，由公式可知，该物体经过 s离地面的高度为30m. 13. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上， 则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m． 14. 如图，正六边形的边长为6，点B，F在上， 若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径为________． 15 .如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止， 动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s， 如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 16．如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接． 若，则的长度是________． 3、 解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中， 共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容， 推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个， 每个主题被选择的可能性相同． (1) 甲选择“校园安全”主题的概率为______； (2) 请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 18．已知二次函数的图象经过点． (1) 求该二次函数的表达式； (2) 求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 19．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 20．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1) 求证：为的中点． (2) 若＝，＝，求的长． 21．日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓， 其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元． 若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．      (1) 设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与x之间的函数关系式； (2) 如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元? (3) 每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元? 22.[问题背景] （1）如图①，已知，求证：． [尝试应用] （2） 如图②，在和中，，， 与相交于点，点在边上，． ① 填空：______； ② 求的值． 23．已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． (1) 求二次函数的表达式． (2) 判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． (3) 若，请直接写出的取值范围． 24．如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1、2、3、4章阶段性测试2026-2027学年浙教版九年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．篮球运动员投篮一定命中 B．买了彩票一定中奖 C．任意投掷一枚图钉，钉尖朝下 D．任选三角形的两边，其和大于第三边 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，明确各类事件的定义是解题关键． 结合各类事件特征及三角形三边关系定理对选项进行判断． 【详解】解：必然事件是在一定条件下必定发生的事件， 根据三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，可知选项中的事件是必然事件， 选项、、中的事件均为可能发生也可能不发生的随机事件． 故选：． 2. 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，由已知条件可得，然后求得的值后即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3.如图，是的直径，是上的一点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 4．关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．当时y随x增大而减小 D．图象经过点 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A． ∵，∴图象开口向上，故错误； B、图象的对称轴为直线，故错误； C、∵对称轴为直线，图象开口向上，∴时y随x增大而增大，故错误； D、当时，，∴图象经过点，故正确， 故选：D． 5. 如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上， 若，则旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 先求出的度数，根据旋转的性质，得到，进而得到，利用三角形内角和定理，求出，即可得解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕C点按顺时针方向旋转到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转的角度为． 故选B． 6 .如图1是一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数， 正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽（   ） A．米 B．米 C．米 D．8米 【答案】A 【分析】根据正常水位时水面宽米，求出当时， 再根据水位上升5米时，代入解析式求出x即可； 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米， 故选：A； 7. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率， 绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】B 【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：；故此选项符合题意． C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 某研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏想到了如下方法： 如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点， 然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，． 则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 9. 如图，在中，，．以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D， 连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P， 作射线交于点E，连结，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，为的垂直平分线，得易证A、B成立；在证易得得C不成立；证可证得D成立． 【详解】解：由题意得，，，，为的垂直平分线， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； ∴， ∴， 故B正确，不符合题意； 由为的垂直平分线， 可知， ∴， ，， 易证， ， ， 故C错误，符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 10. 如图1，正方形中，点从点出发沿向终点运动，连接， 过作的垂线交于点，连接交的延长线于点．设，． 如图2是关于的函数图象，最高点为．下列选项正确的是（   ） A． B．点在该函数图象上 C． D．点的运动路径长为 【答案】D 【分析】首先得到的最大值为n，表示出，，证明出，得到，然后代入表示出，然后根据二次函数的性质求出，，即可判断A，B选项；然后将代入即可判断C选项；设，证明出，得到，然后表示出，得到t随y的增大而增大，然后结合当点E运动时，y从0增大到1，然后再减小到0，进而判断D选项． 【详解】解：∵设，， ∴的最大值为n， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∵如图2是关于的函数图象，最高点为， ∴， ∴，故C错误； ∴，故A错误； ∴， 将代入得，， ∴点不在该函数图象上，故B错误； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴t随y的增大而增大， 由图象得，，且当点E运动时，y从0增大到1，然后再减小到0， ∴当y取得最大值1时，t取得最大值为， ∴点的运动路径长为，故D正确． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的乒乓球共10个，这些球除颜色外都相同． 小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在， 则布袋中白色球的个数可能是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，设布袋中白色球的个数为x个，则黄球的个数为：个，根据黄球的频率求出白球的个数即可解答． 【详解】解：设布袋中白色球的个数为x个，则黄球的个数为：个 根据题意可得出， 解得：， ∴白色球的个数为4个． 故答案为：4． 12.竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系 可用公式来表示，由公式可知，该物体经过 s离地面的高度为30m. 【答案】2或3 【分析】利用二次函数的性质把h=30代入，求出即可． 【详解】解：设该物体经过ts离地面的高度为30m 则整理得： 解得：t=2或3 13.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上， 则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m． 【答案】 【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，根据其相似比即可求解． 【详解】解：， ， ， ， （米， 故答案为：1.6． 14. 如图，正六边形的边长为6，点B，F在上， 若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径为________． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥底面半径，正多边形和圆的综合，求弧长等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点． 根据正六边形的外角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于圆的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长求得底面圆的半径． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴，， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， 故答案为：2． 15 .如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止， 动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s， 如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 【答案】3或4.8 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是应用分类讨论的思想方法．本题先设运动t秒，再分两种情况，与，利用其性质列出方程即可求解． 【详解】解：设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当点D与点B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当点D与点C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒． 故答案为：3或． 16．如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接． 若，则的长度是________． 【答案】2 【分析】过点D作于点E，延长交于点F，则点F是点D的对称点，根据直角三角形的性质，解直角三角形，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，直角三角形的性质，解直角三角形，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，灵活运用含有角的直角三角形性质及是解决问题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，延长交于点F， 点F是点D的对称点， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 3、 解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中， 共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容， 推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个， 每个主题被选择的可能性相同． (1) 甲选择“校园安全”主题的概率为______； (2) 请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种， 所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． （2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 18．已知二次函数的图象经过点． (1) 求该二次函数的表达式； (2) 求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征． （1）把两已知点的坐标代入得b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到二次函数解析式； （2）通过解方程得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】（1）解：把分别代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为． 19．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）根据已知条件证得，即可得出结论； （2）首先，根据，得到，接着，由（1）得，，，得到，进而得，再由及已知数据即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为9． 20．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1) 求证：为的中点． (2) 若＝，＝，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； （2）解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 21．日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓， 其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元． 若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．      (1) 设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与x之间的函数关系式； (2) 如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元? (3) 每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元? 【答案】(1) (2)每个毛绒玩具售价应定为45元 (3)每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元 【分析】本题考查二次函数的销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的关系． （1）根据“每天可售出80个，每个售价提高1元，则每天少卖2个”列式整理即可求解； （2）根据利润等于售价销量，列一元二次方程方程，解方程即可求解； （3）根据利润等于单价乘以数量列出二次函数的解析式，结合二次函数的性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴与之间的函数关系式：； （2）解：根据题意，得：， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个毛绒玩具售价应定为45元； （3）解：根据题意，得：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，元． 答：每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元． 22.[问题背景] （1）如图①，已知，求证：． [尝试应用] （2） 如图②，在和中，，， 与相交于点，点在边上，． ① 填空：______； ② 求的值． 解：（1）证明：∵， ∴，， ∴， 即， ∴； （2）①∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ②连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． (1) 求二次函数的表达式． (2) 判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． (3) 若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)在，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出二次函数的图象与直线交于点，再代入，进行计算，即可作答． （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把代入，得，即可作答． （3）结合二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． ∴令，则， 解得， 即把代入， 得， 解得； ∴； （2）解：在，理由如下： ∵二次函数， ∴令，则， ∴ ∴对称轴是直线， 把代入， 顶点坐标为， 把代入， 得， ∴二次函数图象的顶点在直线上， （3）解：由（2）得二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上， ∴当时，则． 24．如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 【答案】(1) 证明：是直径，， ， ． (2)①；② 【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案； （2）①证明，得出，代入数据求出结果即可； ②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可． 【详解】（1）略 （2）解：①，， ∴， ， ， ． ②连接， 是直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，平分， ，， ， 四边形是圆的内接四边形， ，， 由（1）可知， ， ∴， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $