精品解析：河南洛阳市宜阳县第一高级中学2026-2027学年上学期高三9月开学质量检测数学试卷

高三9月开学质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有（ ） A. 4种 B. 9种 C. 12种 D. 16种 【答案】C 【解析】 【详解】进小区有4种选择，因为出小区不能与进的门相同，所以出小区有3种选择， 所以进出小区的方式共有种. 2. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 3. 已知随机变量服从正态分布且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，进而根据条件概率公式求解即可. 【详解】由题知随机变量服从正态分布，则正态曲线关于直线对称. ， 根据正态分布的对称性可得， 因此. 4. 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数求导得，， 若函数在上是单调函数，则， 解得，故实数的取值范围是. 5. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 6. 已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直平分线性质和抛物线定义，从而求出交点坐标. 【详解】如图所示： 由题意可知，抛物线的准线为：，点在抛物线的准线上， 设线段的垂直平分线与抛物线的交点为，则有，由抛物线定义可知， ，则，可得，所以交点. 7. 已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】因为，即，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以，即. 8. 已知函数，若，使得函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合不等式恒成立问题，通过分类讨论即可求解. 【详解】函数， 若时恒成立，即恒成立. 令，.对于函数（），， 令，得，当时，； 当时，，所以函数在，上单调递减，在上单调递增； 当时，函数取最小值，且最小值为，且当时，； 当时，，所以函数的大致图象如图（1）所示； 对于函数（），则，令，得. ①当时，若，则；若，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，取最大值，且最大值为，且当时，； 当时，，所以函数的大致图象如图（1）所示. 由图可知，只有当函数和图象分别在直线两侧时， 即且时，恒成立，恒成立， 即恒成立，即在上恒成立，此时； 当，即时，一定存在（是指某个区间），函数与的图象在直线的同侧， 则有，即在上不恒成立，所以不符合题意； ②当时，，其图象是轴，存在直线在函数和图象之间，所以符合题意； ③当时，若，则；若，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，取最小值，且最小值为，且当时，； 当时，，大致图象如图（2）所示， 由图可知，不存在直线，使得函数和图象分别在直线两侧， 所以不符合题意.综上，实数的取值范围是：，故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组数据的线性回归方程为，若，则 B. 若随机变量满足，则 C. 若随机变量的方差，则 D. 若随机变量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线性回归方程、数学期望的性质、方差的性质、二项分布知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，线性回归直线一定过样本中心点，已知，所以，A正确； 对于B，已知，则，，B错误； 对于C，已知，则，C正确； 对于D，已知随机变量，则，D正确. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 令，为数列的前项和，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：因为，所以直接将代入的表达式计算即可. B：如果，那么利用推导，再验证时是否满足所得通项，确定最终的表达式. C：先根据写出的表达式，因为是等差乘等比型数列，所以用错位相减法计算前项和. D:先写出的表达式，利用放缩法将放缩为可裂项相消的形式，再通过裂项相消求和后与不等式右侧比较. 【详解】因为，所以当时，；当时，，对也成立，所以，所以选项A错误，选项B正确； 对C，，则① 则②， ①②得：，即，所以选项C正确； 对D，， 所以，所以选项D正确.综上. 11. 如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与直线夹角的余弦值为 C. 平面 D. 平面与平面的夹角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，列出各个向量的坐标，根据向量夹角公式、数量积公式逐项计算即可. 【详解】由题意可知平面为等腰梯形，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，有，， 所以，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，，设平面的一个法向量为， 则，则，显然与之不共线，故C错误； 设平面的一个法向量为，则， 令，则，令，，所以， 则平面与平面的夹角的正弦值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的系数为6，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由条件得到的关系，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为展开式的通项为， 令，解得，所以，所以，则， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为2. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由双曲线对称性确定轴，再由定义求出与的关系式，可求离心率. 【详解】如图所示： 若为正三角形，则有，根据双曲线的对称性，可知轴， 即，又因为，则. 又因为，所以，. 而，由，可得，即， 所以. 14. 已知数列共有6项，，，，，，，，数列的前项和为，若对恒成立，则这样的数列的个数为______. 【答案】36 【解析】 【分析】结合，对数列分三种情形讨论，利用组合数求出每一类的总数，再去掉的情况，即可求解. 【详解】因为，即，所以数列可能有以下三种情形： ①数列中有四项1，两项， 若两个出现在前4项，任意两个位置，符合题意，此时有, 若两个出现在第一项和第五项，即，符合题意， 若两个出现在第一项和第六项，即，此时，不符合题意； 若两个出现在第二项和第五项，即，符合题意； 若两个出现在第二项和第六项，即，，不符合题意； 若两个出现在第三项和第五项，即，符合题意； 若两个出现在第三项和第六项，即，，不符合题意； 若两个出现在第四项和第五项，即，此时，不符合题意； 若两个出现在第四项和第六，即，此时，不符合题意； 若两个出现在第五和第六，即，此时，不符合题意； 综上可知符合题意的有9种情况； ②数列中有三项1，三项，共有种情况， 去掉前3项为1，后三项为,和前3项为，后三项为两种不符合情况； 所以此时共有种情况； ③数列中有二项1，四项，同①讨论，共有种情况； 综上，数列的个数为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意列出方程组，进而求解即可； （2）先分组求和，再结合等差数列及等比数列前项和的公式求解即可． 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，（）， 因为，故， 又，则，解得或（舍去）， 则，所以． 【小问2详解】 结合（1）得， 所以的前项和为 ． 16. 某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题.题目：你对本店铺售后服务整体评价为：A.非常满意；B.比较满意；C.不太满意；D.很不满意，平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”.甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人.假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率. （1）从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率； （2）从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式进行求解； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 记事件“抽取1名顾客来自于甲店铺”，事件“抽取1名顾客来自于乙店铺”，事件“顾客选择满意”， 根据题意可知，， ，，， 则； 【小问2详解】 设事件“甲店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”， 事件“乙店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”， 由题意可知，，，则，. 的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 则. 17. 如图所示，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 【答案】（1）如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以， 又因为，所以，所以B，O，D三点共线， 即，所以； 又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）（ⅰ）（ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得到平面平面； （2）（ⅰ）建立空间坐标系，得到法向量,,根据二面角向量公式：,计算可得； （ii）根据确定球心位置为，点到平面距离的最大值转化为半径与点到平面距离的和，得到平面，根据点到平面的距离的向量公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，则即为二面角的平面角，即. 因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以. 因为，，，所以， 又因为，则. 又因为，，，所以，即. 记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内.再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示. 则，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，则； 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，，则. 设平面与平面的夹角为，则， 则，即平面与平面的夹角的正弦值为； （ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2. 因为，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面. 设，所以有，且，则有①，②， 令，即，，， 代入①得：，即，所以或. 所以或. 当时，， 此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍； 当，， 此时点到平面的距离为：，所以符合题意， 所以点的坐标为. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若，且，证明：. 【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；极小值为，无极大值； （2）证明：当时，；当时，； 当时，，再由其单调性和极值，作出函数的大致图象如图所示： 若，且， 则，，. 因为，则，又因为， 且函数在上单调递增，所以，则， 则， 又因为函数在上单调递减，所以，即； 要证：，又因为，即证. 由得：，两边同时取对数得：， 即， 即，即证，即证， 即证，令，因为，所以，即证. 令， 则，所以在上单调递增， 又因为，所以，所以成立； 因为且，所以. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，解不等式求出单调区间和极值情况； （2）作出的大致图象，数形结合，得到，，，要证，即证，换元后即证，构造函数，求导，得到在上单调递增，证明出结论. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 则， 令，得，当或时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为， 当时，函数取极小值，且极小值为，无极大值； 【小问2详解】 略 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 19. 已知是圆：上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设直线是过原点的一条动直线，直线与圆交于，两点，，直线，与曲线的交点分别为点，． （ⅰ）是否存在直线，使得四边形为平行四边形？使得四边形为梯形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）依题意可设直线的方程为，（）， 联立，整理得， 设，，则有，， 因为点在圆上，且是圆的直径，所以，即， 所以，即， 因为，， 所以， 即， 所以， 整理得，解得，或（舍）， 所以直线的方程为，即直线恒过定点，即直线与相交于点， 而不是线段的中点，即与不可能互相平分， 所以四边形不可能为平行四边形，即不存在直线使得四边形为平行四边形． 若四边形是梯形，则有或， 当时，因为，所以，即，， 又因为点为线段的中点，所以点为线段的中点， 设，因为，所以， 因为点在曲线上，点在圆上， 则有，解得（舍），或，即，或， 所以或，所以直线的方程为或； 同理，时，求得直线的方程也为或． 即直线的方程为或时，四边形为梯形． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先设，得到点的坐标，再将点的坐标代入圆的方程，整理即可得到曲线的方程； （2）（ⅰ）先根据题意设直线的方程为，（），再联立曲线的方程得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理，圆的性质，及平行四边形的判定即可判断四边形是否为平行四边形；再结合梯形的性质求出点的坐标，进而即可判断直线的方程是否存在； （ⅱ）结合（ⅰ）得，进而根据对勾函数的性质即可求出其最大值． 【小问1详解】 设，则， 因为点在圆上，所以， 所以曲线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）结合（ⅰ）得 ， 令，则，则， 令，根据对勾函数的性质得在上单调递增， 所以当时，即时，取最小值，此时取最大值，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三9月开学质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有（ ） A. 4种 B. 9种 C. 12种 D. 16种 2. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 4. 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（ ） A. 或 B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 8. 已知函数，若，使得函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组数据的线性回归方程为，若，则 B. 若随机变量满足，则 C. 若随机变量的方差，则 D. 若随机变量，则 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 令，为数列的前项和，则 D. 11. 如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与直线夹角的余弦值为 C. 平面 D. 平面与平面的夹角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的系数为6，则的最小值为__________. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率__________. 14. 已知数列共有6项，，，，，，，，数列的前项和为，若对恒成立，则这样的数列的个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题.题目：你对本店铺售后服务整体评价为：A.非常满意；B.比较满意；C.不太满意；D.很不满意，平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”.甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人.假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率. （1）从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率； （2）从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望. 17. 如图所示，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若，且，证明：. 19. 已知是圆：上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设直线是过原点的一条动直线，直线与圆交于，两点，，直线，与曲线的交点分别为点，． （ⅰ）是否存在直线，使得四边形为平行四边形？使得四边形为梯形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $