精品解析：河南省禹州市2026-2027学年高三上学期开学联考数学试卷

高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据的极差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由极差的定义求解． 【详解】该组样本数据中最小数为：，最大数为：， 则该组数据的极差为：． 2. 在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中，由性质：，则，解得， 已知，则公差. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， ，所以， 已知，所以. 4. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合题意求出切点坐标，进而求解值. 【详解】对，求导得. 由题意知，解得，即切点的横坐标为，故切点坐标为. 代入曲线方程得，所以. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，，故是奇函数， 所以函数的图象关于原点中心对称，当时，，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减； A选项中图像关于原点中心对称且在先增后减，符合要求，A正确； B选项中图像关于原点中心对称，但是在先单调递减后单调递增，不符合要求，B错误； C选项中图像在先单调递增再单调递减，但是关于轴对称，不符合要求，C错误； D选项中图像关于原点中心对称，但是在单调递增，不符合要求，D错误； 6. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直条件列出内积方程，再由投影向量定义列出第二个内积方程，联立得到两向量模长的比例关系，最后代入夹角余弦公式直接求出 ，结合夹角范围 得到具体角度. 【详解】由，得， 所以，所以 在 上的投影向量为：，所以 由①②得，所以，即， 所以，因为，所以. 7. 在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到直线方程，从而得到点坐标，再结合求出，最后由抛物线准线方程的公式即可求解. 【详解】 如图所示，抛物线：（），焦点的坐标为，准线方程为， 过点且倾斜角为的直线，其斜率为，因此直线方程为， 由于直线与轴的交点为，令，得，所以点的坐标为， 将直线方程代入抛物线方程中，得，整理得， 解得或， 由于交点在第一象限，所以，代入直线方程，得， 所以点的坐标为， 又因为，所以，解得， 所以抛物线的准线方程为. 8. 在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由排列组合的知识求含项的系数为，再由裂项相消法求数列的前项和为，再由不等式恒成立求解. 【详解】先取一个，有种取法，再取一个，有种取法，再取，有种取法，剩下的全是1， 所以，前项和， 由裂项相消求和：， 随着的增加而增加，且当趋于正无穷时，趋于， 由不等式恒成立得： 的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 是纯虚数 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】，故，故A正确， 而的虚部为，故B错误， ，该复数不是纯虚数，故C错误； ，故D正确. 10. 已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（ ） A. 直线过定点 B. 存在实数，使直线与曲线无公共点 C. 直线被曲线截得的弦长的最小值为 D. 当时，直线被曲线截得的弦长最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，先求得曲线的轨迹方程，结合直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】设曲线上任意一点，则，， 因为，可得，整理得， 即曲线是以为圆心，半径为的圆， 对于A，将直线方程，变形为， 因为该式对任意恒成立，则满足，解得， 即直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由定点到圆心的距离为， 即点在圆的内部，所以不存在实数，使直线与曲线无公共点，所以B错误； 对于C，因为直线过定点，且，即圆心到直线的最大距离为， 结合圆的性质，可得弦长的最小值为，所以C正确； 对于D，当时，直线的方程为，即， 此时圆心在直线上，即直线过圆心， 此时直线被曲线截得的弦长为圆的直径，此时为最大弦长，所以D正确. 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：  ，化简得. 该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的一个焦点为，则C的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到的值，再根据求得的值，最后代入离心率公式计算出结果. 【详解】椭圆：的一个焦点为，可得，解得，所以椭圆的离心率为： 故答案为： 13. 已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由是奇函数求出，再根据对称轴的性质即可求解. 【详解】已知函数，其中，， 由于是奇函数，所以满足，即，得， 又因为，当时，，符合题意，所以，因此函数， 函数的对称轴满足，即， 由于函数的图象在区间上恰有条对称轴，所以不等式恰有两个解， 又因为，所以不等式等价于不等式，即， 在区间要恰有两个整数，这两个整数只能是和，所以，解得， 所以的取值范围为. 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布可求，再根据导数可求何时概率取最大值. 【详解】甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的情况有：甲胜局乙胜1局；甲胜局乙胜2局， 故， 故， 当时，；当时，， 故在上单调递增，在单调递减， 故时，取最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表： 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 100 非老年人 64 合计 60 180 （1）请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 56 100 非老年人 16 64 80 合计 60 120 180 老年人患白内障的概率为，非老年人患白内障的概率为. （2）认为患白内障与年龄有关. 【解析】 【分析】（1）根据题意补全列联表，进而求概率即可. （2）提出零假设，根据公式求出卡方，进一步比较判断即可. 【小问1详解】 列联表为 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 56 100 非老年人 16 64 80 合计 60 120 180 估计老年人患白内障的概率为， 非老年人患白内障的概率为. 【小问2详解】 零假设为：患白内障与年龄无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为患白内障与年龄有关. 16. 在中，，点在边上，的面积为，，． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）33 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理求解； （2）先由正弦定理求得，再由三角形面积公式求得，利用割补法求面积即可. 【小问1详解】 ∵， ∴. ∵，∴为锐角， ∴. ∴在中，由余弦定理得， ∴. 【小问2详解】 由题可得， ∴在中，由正弦定理得， ∴. ∴， ∴. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）如图，取的中点为，连接，. 因为为的中点，所以，. 又，所以. 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，故. 因为平面，平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接. 因为，，所以，均为等边三角形. 取线段的中点，连接，，则，，且. 因为平面平面，平面平面， 且平面，平面， 所以，，两两互相垂直. 以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 【答案】（1） （2）在上单调递减. （3）证明：由函数，可得， 则，其中， 当时，，，此时，单调递减， 所以函数在区间上无极值点； 设，可得， 所以在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的使得， 当时，；当时，， 综上可得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有且只有一个极小值点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，求得，进而得到不等式的解集； （2）求得，令，得到，求得的单调性与极值，得到，即，即可求解； （3）根据题意，得到，先求得在上无极值点，设，求得和在上单调递增，得到在上单调递增，得到存在唯一的使得，得出的单调性，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，又由不等式，可得， 整理得，即， 可得，所以， 因为，即，可得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 设，可得， 当时，；当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以当时，，即，所以在上单调递减. 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据右焦点坐标及渐近线方程，结合列方程组求解即可. （2）（ⅰ）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据题意及韦达定理求出的范围，结合求解即可. （ⅱ）由双曲线的对称性知，进而得到，设，得到；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为. 由题意得，，， 又，所以，， 所以的方程为. 【小问2详解】 易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，且， 联立，整理得， ， 所以，， 由直线与的右支交于两点，得. （ⅰ）因为，所以，即，所以. 将其代入，解得，，且， 所以，整理得，解得（负值舍去）， 所以直线的方程为. （ⅱ）由双曲线的对称性知，，所以， 所以 ， 设，则， 则， 设， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以， 故面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据的极差为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 是纯虚数 D. 10. 已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（ ） A. 直线过定点 B. 存在实数，使直线与曲线无公共点 C. 直线被曲线截得的弦长的最小值为 D. 当时，直线被曲线截得的弦长最大 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的一个焦点为，则C的离心率为___________. 13. 已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表： 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 100 非老年人 64 合计 60 180 （1）请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在中，，点在边上，的面积为，，． （1）求； （2）求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 19. 已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $