专题09勾股定理的应用精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦勾股定理的应用，涵盖公式变形、实际问题建模及立体表面最短路径转化等核心内容。通过生活情境抽象几何图形，连接勾股定理基础，以标准化解题步骤（审题、建模等）搭建学习支架，帮助学生从理论过渡到实际应用。 资料特色在于12类典型题型分类，每类明确核心等量关系与解题思路，结合重点辨析及常见错误提示。通过实际情境抽象几何模型培养数学眼光，规范解题流程发展推理能力，多样化题型提升模型意识与应用能力，助力学生掌握勾股定理应用，提升解决实际问题的素养。

专题09勾股定理的应用精讲学案 核心立意 能够识别各类实际背景，提取直角三角形几何条件；掌握实际应用题标准化解题流程，找准模型对应的等量关系；会运用勾股定理求线段长度，运用逆定理判定直角；掌握立体表面最短路径的平面转化，正确取舍方程解，规范实际问题答题步骤。 勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 实际应用题通用解题步骤 1.审题：剥离生活情境，抽象出几何图形； 2.建模：无现成直角三角形，作垂线构造直角三角形； 3.设元：已知两边直接计算，未知边长设未知数； 4.列式：根据勾股定理a2+b2=c2建立等式； 5.求解：解方程，舍去负根； 6.作答：结合实际意义给出结果。 应用场景:核心公式+等量关系 一、长度距离类 梯子滑落高度 核心等量关系：梯子长（c）² = 墙高 (a)² + 梯底距墙距离 (b)²，梯子作为斜边 小鸟飞行距离 核心等量关系：飞行距离（c）² = 水平距离（a）² + 垂直距离（b）² 求河宽 核心等量关系：河宽（a）² = 对岸连线长（c）² − 河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 核心等量关系：地毯斜边长度（c）² = 台阶水平总长（a）² + 台阶垂直总高（b）² 立体图形最短路径（侧面展开） 核心等量关系：最短路径（c）² = 展开后水平边长（a）² + 展开后竖直边长（b）² 二、高度类 旗杆高度 核心等量关系：旗杆高（a）² = 绳子长（c）² − 绳端距旗杆底部距离（b）² 大树折断求原高 核心等量关系： ① 折断部分长（c）² = 树桩高（a）² + 折端到树根距离（b）² ② 大树总高 = 树桩高 + 折断部分长 三、实际生活类 水杯中筷子长度 核心等量关系：杯内筷子最长长度（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向互相垂直） 核心等量关系：两船距离 (c)² = 船 1 航行路程（a）² + 船 2 航行路程（b）² 汽车超速判断 核心等量关系： ① 车辆行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² ② 速度 = 路程 ÷ 时间，计算后和限速对比判断是否超速 台风影响判断 核心等量关系：观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c），则会受台风影响；反之不受影响 立体图形表面的最短路径 ① 原理：两点之间，线段最短。立体曲面上的路径不能直接计算，必须把侧面展开成平面。 ② 圆柱：侧面展开是矩形；矩形一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长。 ③ 长方体：存在多种展开方案；每种方案对应一组直角边；必须分别算出路径长度，取最小值。 ④ 展开后连接起点、终点，这条线段作为斜边，构造直角三角形求解。 重点辨析 1.模型辨析：梯子、折断类问题中，斜边为固定不变的线段，直角边会发生变化； 2.定理辨析：求解线段长度使用勾股定理；判定夹角是否为直角使用逆定理； 3.路径辨析：立体表面最短路径指几何体外部表面路径，不等于几何体内部空间对角线； 4.解的辨析：线段长度为正实数，方程负根必须舍弃。 1.混淆直角边与斜边，把变化线段当作斜边； 2.不构造直角三角形，直接套用勾股定理； 3.圆柱展开错用底面完整周长代替半圆弧长； 4.长方体最短路径只计算一种展开情况，漏掉最小值； 5.逆定理使用未优先确定最长边，判定错误； 6.解方程保留负根，违背几何实际意义。 题型 考察方向 难度 题型一 求梯子滑落高度 ★★ 题型二 求旗杆高度 ★★ 题型三 求小鸟飞行距离 ★★ 题型四 求大树折断前的高度 ★★ 题型五 解决水杯中筷子问题 ★★ 题型六 解决航海问题 ★★ 题型七 求河宽 ★★ 题型八 求台阶上地毯长度 ★ 题型九 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十 判断是否受台风影响 ★★★ 题型十一 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十二 求最短路径 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★重难点； 题型一：求梯子滑落高度 解题思路：①梯子总长固定，作为直角三角形斜边；墙高、地面水平距离为两条直角边。②滑动前后梯子长度不变，利用勾股定理求出滑动之后的墙高。③用原来墙高减去滑动后墙高，得到梯子滑落高度。 1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设米，得到米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，米，，， 设米，则：米， 在和中，由勾股定理，得：， ∴，即：， 解得， ∴米， ∴米； 故选：A． 2．如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键． 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M是的中点， ∵， M是的中点， ∴中，． 故选：C． 3．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为． (1)求的长度； (2)如果将梯子底端沿向外移动，梯子底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，求梯子顶端沿墙下滑的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理，可得； （2）根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴梯子顶端沿墙下滑． 4．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 【答案】(1)；0.8；（舍去）；0.8 (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得． （2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可； ②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． （2）略 题型二：求旗杆高度 解题思路：①旗杆垂直地面，构造直角三角形；绳长为斜边，旗杆高度、地面水平距离为直角边。②设旗杆高度为未知数，代入勾股定理列出方程。③解方程，舍去负根，得到旗杆高度。 5．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 6．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 【答案】 【分析】设旗杆的高为，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即旗杆的高为． 7．数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【答案】风筝离地面的垂直高度为米 【分析】在中，由勾股定理求得的长，再利用求解即可． 【详解】解：依题意得，，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 答：风筝离地面的垂直高度为米． 8．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：由题意知，（米）， ∵开始时的长度是的倍， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴处的游船到岸边的距离为米． （2）解：由题意知，（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴游船向岸边移动的距离为米． 题型三：求小鸟飞行距离 解题思路：①找出两点的水平距离、竖直高度差，作为直角三角形两条直角边。②小鸟飞行的直线距离为斜边。③直接代入勾股定理计算直线飞行距离。 9．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 10．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 11．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【答案】大约34分钟后，欢欢才能到达山顶 【分析】根据勾股定理求出，再根据缆车的速度即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， ∵缆车每分钟走50米， ∴（分钟）， 答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶． 12．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 题型四：求大树折断前的高度 解题思路：①折断的斜树干为斜边，剩余竖直树干、地面水平距离为直角边。②用勾股定理计算出折断斜段的长度。③大树原来总高度 = 剩余竖直树干长度 + 折断斜段长度，不要漏加。 13．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面4米，树的顶端离树根3米，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】C 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴由勾股定理得：米， ∴这棵树在折断之前的高度是米． 14．如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 【答案】15 【分析】设这棵树高米，即米，根据题意可得，米，米，从而可得米，再求出米，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设这棵树高米，即米， 由题意得：，米，米， ∴米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴（米）， 在中，，即， 解得， 即米， 答：这棵树高米． 15．折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【答案】4.55尺 【分析】设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：1丈=10尺 设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴． 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺． 16．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型五：解决水杯中筷子问题 解题思路：①水杯高度、杯底直径作为直角边，杯子内部筷子部分为斜边。②利用勾股定理求出杯内筷子的长度。③加上筷子露出杯口的长度，得到筷子总长度。 17．如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 18．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为； 当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线的长，高为， 由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度， 的最小值为． 19．《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 【答案】（1）5，1；（2）芦苇长13尺． 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，F为AB中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知AB的长为10尺，则AF=5尺，设芦苇长EG=AG=x尺，表示出水深FG，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF==5尺； 故答案为：5，1； （2）设芦苇长EG=AG=x尺， 则水深FG=（x-1）尺， 在Rt△AGF中， 52+（x-1）2=x2， 解得：x=13， ∴芦苇长13尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长． 20．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型六：解决航海问题 解题思路：①南北、东西方向位移互相垂直，作为两条直角边。②两船之间的直线距离为斜边。③代入勾股定理，计算两船相距距离。 21．2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【答案】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里和海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，， ∴． 22．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 23．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 24．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 题型七：求河宽 解题思路：①河宽为一条直角边，岸边水平距离为另一条直角边，斜向距离为斜边。②设河宽为未知数，构建勾股方程。③解方程得到河宽。 25．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 26．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 27．如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【答案】从点穿过湖到点有米 【分析】已知是直角三角形，，根据勾股定理可得，将，代入上式中即可求得的长度． 【详解】解：为直角三角形，且如图所示，， （）． 答：从点穿过湖到点有米． 28．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）构造直角三角形即可； （2）根据构造的图形结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，在b岸选择一点，使，测出的长为； （2）解：，， ， ， ， 即：河的宽度为． 题型八：求台阶上地毯长度 解题思路：①本题不用勾股定理。②将台阶所有竖直线段、水平线段分别平移。③地毯总长度 = 全部台阶竖直高度之和 + 全部台阶水平宽度之和。 29．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 30．为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】C 【分析】如图（见解析），利用勾股定理求出的长，再根据铺设地毯的长度等于的长解答即可． 【详解】解：如图，由题意得：米，米，， ∴在中，米， ∴铺设地毯的长度为（米）． 31．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 32．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 【答案】(1)①17，②16，③ (2)， (3)81 【分析】（1）观察表格可得三边满足，，，代入相应，即可求出空格． （2）用勾股定理和完全平方公式验证． （3）“最短边可种株花”说明最短边长为米；由于必为偶数，最短边只能是，从而列方程求出，，再按“封闭图形种花”模型求总株数． 【详解】（1）解：，，， 当，时，， ①； 当，时，， ②； 当，时，， ③． （2）解：，且， ， ， ， ， ，． （3）解：最短边可种株花，且两端都种， 最短边长为（米）， 为偶数，而为奇数， 最短边为，即， ， ， ，为正整数且， ，， 解得：，， ，， 三边长分别为米、24米、25米， 每边种花数为边长加， 三边合计（株）， 三个顶点各被重复计算一次， 总花数（株）． 题型九：判断汽车是否超速 解题思路：①观测点、汽车前后两个位置构成直角三角形。②利用勾股定理求出汽车行驶的路程。③结合行驶时间算出实际车速，和道路限速对比，判断是否超速。 33．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 34．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 35．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． (1)求小汽车6秒走的路程； (2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 【答案】(1)120米 (2)72千米小时，小汽车超速了 【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程； （2）利用速度路程时间，即可判断． 【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示： 由题意可得：米，米， 在中， （米， 答：小汽车6秒走的路程为120米； （2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时）， ， 小汽车超速了． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形． 36．校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使与l垂直，测得长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使，． (1)求的长（精确到0.1米，参考数据：，）； (2)已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由． 【答案】(1)的长为17.3米 (2)超速了， 理由如下： ∵汽车从A到B用时2秒， ∴速度为（米/秒）， ∵30千米/小时米/秒（米/秒）， ∴这辆校车在本路段超速了． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）分别在与中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求得与的长，从而求得的长； （2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与30千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，， ∴（米）， 即的长为17.3米； （2）略 题型十：判断是否受台风影响 解题思路：①过该地向台风移动路线作垂线，利用勾股定理求出垂线段（最短距离）。②把最短距离和台风影响半径进行比较。③若最短距离≤影响半径，则受台风影响；反之不受影响。 37．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 38．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    39．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港会受台风影响． 理由：如图，过点作于点． ∵， ∴是直角三角形，， ∴，即， ∴． ∴海港会受台风影响． (2)台风影响海港持续时间为0.5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出的长，即可得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在线段上取点，，使， 在中，， ∵，， ∴． （小时）． ∴台风影响海港持续时间为0.5小时． 40．如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) (2)会造成噪声污染，污染的时间为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）在上取不同的两点E、F，连接，使得，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于D，如图所示， 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图所示，在上取不同的两点E、F，连接，使得． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 题型十一：选址使到两地距离相等 解题思路：①设选址点位置为未知数。②分别用勾股定理表示选址点到两个地点的距离。③根据两段距离相等建立方程，求解得到选址位置。 41．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴， ∴ ， ∴， 解得：x＝16， 则煤栈E应距A点16km． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 42．如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 【答案】 6.875 【分析】（1）设，则，在和中，利用勾股定理分别表示出和，根据建立方程求解即可； （2）利用割补法，用梯形的面积减去和的面积表示出的面积，根据面积范围列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）设，则 ， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ，两村到加油站的距离相等 解得 ； （2）由题意得， ， 的面积不小于也不超过 解得 的取值范围是． 43．如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 【答案】 该医院离A地的距离 【分析】作的垂直平分线与交于点，交于点，则点即为所作；连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，交于点，则点E就是医院的建造位置，图略，连接，设，则． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离． 44．如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． (1)站应建在站多少处？ (2)求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)平方千米 【分析】（1）由题意可知，根据勾股定理得到，设，求出x的值即可； （2）证明，得到，，可知即，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； （2）解：，，， ∴， ，， ∵， ， ， ， 两村与土特产品收购站围成的三角形的面积为：平方千米． 题型十二：求最短路径 解题思路：①平面场景：利用两点之间线段最短，构造直角三角形，用勾股定理求线段长。②立体图形（圆柱、长方体）：将立体展开成平面图形，再用勾股定理计算斜边。③圆柱：展开后直角边为圆柱高、底面半圆弧长；长方体：算出3种展开路径，取最小值。 45．如图所示，圆柱的底面圆的半径是，高为2，若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短路程是（结果保留根号）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将侧面展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开， 根据题意得，，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 46．勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【答案】100 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的距离，注意分类讨论不同展开方式下的直角边长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，线段即为最短路线． 分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为40+20=60厘米，80厘米， 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况二：将长方体的前面和上面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况三：将长方体的左面和上面展开在同一平面内. 此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 综上所述，最短路线的长是100厘米． 47．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池的示意图，该U形池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一名滑板爱好者从A点滑到E点，求他滑行的最短距离．（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，掌握将运动轨迹转化到一个平面上是解题的关键． 需将该U形池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 则，， 在中，由勾股定理，可得， 故他滑行的最短距离为． 48．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 【答案】10厘米；厘米；厘米；厘米 【分析】将长方体展开，利用两点间距离最短，以及勾股定理进行求解即可. 【详解】解：如图，是长方体的侧面展开图， 根据题意可得，从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为， （厘米）； 缠绕2圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕3圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕圈，则长方形的长变为， （厘米）. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09勾股定理的应用精讲学案 核心立意 能够识别各类实际背景，提取直角三角形几何条件；掌握实际应用题标准化解题流程，找准模型对应的等量关系；会运用勾股定理求线段长度，运用逆定理判定直角；掌握立体表面最短路径的平面转化，正确取舍方程解，规范实际问题答题步骤。 勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 实际应用题通用解题步骤 1.审题：剥离生活情境，抽象出几何图形； 2.建模：无现成直角三角形，作垂线构造直角三角形； 3.设元：已知两边直接计算，未知边长设未知数； 4.列式：根据勾股定理a2+b2=c2建立等式； 5.求解：解方程，舍去负根； 6.作答：结合实际意义给出结果。 应用场景:核心公式+等量关系 梯子滑落高度 核心等量关系：梯子长（c）² = 墙高 (a)² + 梯底距墙距离 (b)²，梯子作为斜边 小鸟飞行距离 核心等量关系：飞行距离（c）² = 水平距离（a）² + 垂直距离（b）² 求河宽 核心等量关系：河宽（a）² = 对岸连线长（c）² − 河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 核心等量关系：地毯斜边长度（c）² = 台阶水平总长（a）² + 台阶垂直总高（b）² 立体图形最短路径（侧面展开） 核心等量关系：最短路径（c）² = 展开后水平边长（a）² + 展开后竖直边长（b）² 旗杆高度 核心等量关系：旗杆高（a）² = 绳子长（c）² − 绳端距旗杆底部距离（b）² 大树折断求原高 核心等量关系： ① 折断部分长（c）² = 树桩高（a）² + 折端到树根距离（b）² ② 大树总高 = 树桩高 + 折断部分长 水杯中筷子长度 核心等量关系：杯内筷子最长长度（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向互相垂直） 核心等量关系：两船距离 (c)² = 船 1 航行路程（a）² + 船 2 航行路程（b）² 汽车超速判断 核心等量关系： ① 车辆行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² ② 速度 = 路程 ÷ 时间，计算后和限速对比判断是否超速 台风影响判断 核心等量关系：观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c），则会受台风影响；反之不受影响 立体图形表面的最短路径 ① 原理：两点之间，线段最短。立体曲面上的路径不能直接计算，必须把侧面展开成平面。 ② 圆柱：侧面展开是矩形；矩形一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长。 ③ 长方体：存在多种展开方案；每种方案对应一组直角边；必须分别算出路径长度，取最小值。 ④ 展开后连接起点、终点，这条线段作为斜边，构造直角三角形求解。 重点辨析 1.模型辨析：梯子、折断类问题中，斜边为固定不变的线段，直角边会发生变化； 2.定理辨析：求解线段长度使用勾股定理；判定夹角是否为直角使用逆定理； 3.路径辨析：立体表面最短路径指几何体外部表面路径，不等于几何体内部空间对角线； 4.解的辨析：线段长度为正实数，方程负根必须舍弃。 1.混淆直角边与斜边，把变化线段当作斜边； 2.不构造直角三角形，直接套用勾股定理； 3.圆柱展开错用底面完整周长代替半圆弧长； 4.长方体最短路径只计算一种展开情况，漏掉最小值； 5.逆定理使用未优先确定最长边，判定错误； 6.解方程保留负根，违背几何实际意义。 题型 考察方向 难度 题型一 求梯子滑落高度 ★★ 题型二 求旗杆高度 ★★ 题型三 求小鸟飞行距离 ★★ 题型四 求大树折断前的高度 ★★ 题型五 解决水杯中筷子问题 ★★ 题型六 解决航海问题 ★★ 题型七 求河宽 ★★ 题型八 求台阶上地毯长度 ★ 题型九 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十 判断是否受台风影响 ★★★ 题型十一 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十二 求最短路径 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★重难点； 题型一：求梯子滑落高度 解题思路：①梯子总长固定，作为直角三角形斜边；墙高、地面水平距离为两条直角边。②滑动前后梯子长度不变，利用勾股定理求出滑动之后的墙高。③用原来墙高减去滑动后墙高，得到梯子滑落高度。 1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 2．如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 3．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为． (1)求的长度； (2)如果将梯子底端沿向外移动，梯子底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，求梯子顶端沿墙下滑的距离． 4．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 题型二：求旗杆高度 解题思路：①旗杆垂直地面，构造直角三角形；绳长为斜边，旗杆高度、地面水平距离为直角边。②设旗杆高度为未知数，代入勾股定理列出方程。③解方程，舍去负根，得到旗杆高度。 5．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 7．数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 8．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 题型三：求小鸟飞行距离 解题思路：①找出两点的水平距离、竖直高度差，作为直角三角形两条直角边。②小鸟飞行的直线距离为斜边。③直接代入勾股定理计算直线飞行距离。 9．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 10．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 11．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 12．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 题型四：求大树折断前的高度 解题思路：①折断的斜树干为斜边，剩余竖直树干、地面水平距离为直角边。②用勾股定理计算出折断斜段的长度。③大树原来总高度 = 剩余竖直树干长度 + 折断斜段长度，不要漏加。 13．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面4米，树的顶端离树根3米，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 14．如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 15．折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 16．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 题型五：解决水杯中筷子问题 解题思路：①水杯高度、杯底直径作为直角边，杯子内部筷子部分为斜边。②利用勾股定理求出杯内筷子的长度。③加上筷子露出杯口的长度，得到筷子总长度。 17．如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 18．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则的最小值为_______． 19．《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 20．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 题型六：解决航海问题 解题思路：①南北、东西方向位移互相垂直，作为两条直角边。②两船之间的直线距离为斜边。③代入勾股定理，计算两船相距距离。 21．2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 22．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 23．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 24．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 题型七：求河宽 解题思路：①河宽为一条直角边，岸边水平距离为另一条直角边，斜向距离为斜边。②设河宽为未知数，构建勾股方程。③解方程得到河宽。 25．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 26．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 27．如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 28．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 题型八：求台阶上地毯长度 解题思路：①本题不用勾股定理。②将台阶所有竖直线段、水平线段分别平移。③地毯总长度 = 全部台阶竖直高度之和 + 全部台阶水平宽度之和。 29．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元． 30．为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 31．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 32．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 题型九：判断汽车是否超速 解题思路：①观测点、汽车前后两个位置构成直角三角形。②利用勾股定理求出汽车行驶的路程。③结合行驶时间算出实际车速，和道路限速对比，判断是否超速。 33．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 34．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 35．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． (1)求小汽车6秒走的路程； (2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 36．校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使与l垂直，测得长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使，． (1)求的长（精确到0.1米，参考数据：，）； (2)已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由． 题型十：判断是否受台风影响 解题思路：①过该地向台风移动路线作垂线，利用勾股定理求出垂线段（最短距离）。②把最短距离和台风影响半径进行比较。③若最短距离≤影响半径，则受台风影响；反之不受影响。 37．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 38．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 39．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 40．如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 题型十一：选址使到两地距离相等 解题思路：①设选址点位置为未知数。②分别用勾股定理表示选址点到两个地点的距离。③根据两段距离相等建立方程，求解得到选址位置。 41．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 42．如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 43．如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 44．如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． (1)站应建在站多少处？ (2)求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积． 题型十二：求最短路径 解题思路：①平面场景：利用两点之间线段最短，构造直角三角形，用勾股定理求线段长。②立体图形（圆柱、长方体）：将立体展开成平面图形，再用勾股定理计算斜边。③圆柱：展开后直角边为圆柱高、底面半圆弧长；长方体：算出3种展开路径，取最小值。 45．如图所示，圆柱的底面圆的半径是，高为2，若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短路程是（结果保留根号）（     ） A． B． C． D． 46．勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 47．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池的示意图，该U形池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一名滑板爱好者从A点滑到E点，求他滑行的最短距离．（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3） 48．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $