专题08勾股定理及逆定理精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理及逆定理核心知识点，系统梳理从定义（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）、符号表达与变形，到逆定理（三边平方关系判定直角）、勾股数及三角形形状判定的完整脉络，构建从概念理解到边长计算、直角判定、实际建模的学习支架。 资料通过15类分层题型（如折叠问题、网格问题、“引葭赴岸”实际应用）培养数学思维，结合面积法推导与记忆口诀强化几何直观，重点辨析推理方向与常见错误提升推理能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，深化知识应用。

专题08勾股定理及逆定理精讲学案 核心立意 掌握勾股定理与逆定理双向推理逻辑，实现直角三角形三边数量转化；掌握边长计算、直角判定、实际建模，规范推导书写，提升几何计算与证明能力。 勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形， 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 勾股数 1. 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 必备条件：① 均为正整数；② 满足 a2+b2=c2。 2. 常用基础勾股数（熟记，解题提速） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 倍数规律：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，所得三组数仍是勾股数。 例：3,4,5 扩大 2 倍得 6,8,10，依旧为勾股数。 三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 重点辨析 1. 推理方向：勾股定理：直角⇒三边平方关系；逆定理：三边平方关系⇒直角，二者因果相反，证明不可颠倒。 2. 逆定理操作：优先定位最长边，禁止随意选取边长代入验算。 3. 适用范围：勾股定理仅作用于直角三角形；逆定理可判定任意三角形是否为直角三角形。 4. 概念边界：勾股数必须为正整数；小数、分数满足平方等式，不属于勾股数。 1. 混淆直角边、斜边，盲目套用公式，造成边长计算错误。 2. 使用逆定理未确定最长边，错误判定三角形形状。 3. 证明混淆定理与逆定理，因果倒置，推理失效。 4. 非直角三角形强行使用勾股定理，忽略使用前提。 5. 将小数、分数误判定为勾股数。 6. 错误使用勾股数倍数性质，引发计算失误。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 勾股定理与网格问题 ★★ 题型四 勾股定理与折叠问题 ★★★ 题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★ 题型六 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型七 勾股定理的证明方法 ★★ 题型八 以弦图为背景的计算题 ★★ 题型九 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★ 题型十 勾股定理与无理数 ★★ 题型十一 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十二 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十三 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十四 勾股树（数）问题 ★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★综合拔高 题型一：用勾股定理解三角形 解题思路：①识别图形中的直角三角形，区分直角边与斜边；②选取勾股定理对应变形公式；③代入已知边长求解未知边长；④核验边长取值合理性。 1．在中，，，则的长为__________． 【答案】或 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 2．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 【答案】/ 【分析】由勾股定理可得的长，再根据作图得出的长，即可求解． 【详解】解：由图可得，， 在中，， 在中，， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E， ∴， ∴点E表示的数为． 3．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，根据等面积法得到，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 解题思路：①提取直角三角形三边长；②分别表示三边对应图形的面积；③依据a2+b2=c2，推导两直角边对应图形面积之和等于斜边对应图形面积；④代入数据完成面积运算。 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得大正方形的面积等于正方形、、、的面积的和，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， ∴大正方形的面积． 5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，， ∴，， ∴． 6．如图，是的边上的高．分别以线段为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则关于，，，的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形面积公式表示出各正方形面积，再在两个直角三角形中分别利用勾股定理表示出公共直角边 的平方，建立等量关系即可求解． 【详解】解：∵分别以线段 为边向外作正方形，面积分别为， ∴， ∵是的边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得， ∴， ∴． 题型三：勾股定理与网格问题 解题思路：①依托网格构建直角三角形，确定直角边的格数；②应用勾股定理计算线段长度；③结合图形条件完成求值。 7．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，若“车”“炮”两枚棋子均放置在格点上，则这两枚棋子所在格点之间的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】通过网格确定水平与竖直距离，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：观察图形可知，“车”与“炮”在水平方向上相距1个单位长度，在竖直方向上相距3个单位长度． ∴这两枚棋子所在格点之间的距离为． 故选：B． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，，， ． 9．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（     ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，，再由勾股定理计算得出，从而可得，代入，结合二次根式的乘法法则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， ∴． 题型四：勾股定理与折叠问题 解题思路：①依据折叠性质，确定相等的对应边；②设未知线段为参数；③在折叠生成的直角三角形中建立勾股定理方程；④解方程求得目标线段长度。 10．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 11．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由翻折的性质可知，则， 是的中点， ． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 即． 12．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度． 利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后． 在中，，，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：A． 题型五：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 解题思路：①定位包含目标线段的直角三角形；②对各线段列出勾股定理平方等式；③对等式执行作和或作差运算，消去中间变量；④得到线段平方和（差）的结果。 13．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 14．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 15．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 题型六：利用勾股定理证明线段平方关系 解题思路：①找出图中全部直角三角形；②写出各线段对应的勾股定理等式；③执行等量代换；④整理等式，推导出待证的线段平方关系式。 16．如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（    ）． A．大于 B．等于 C．小于 D．大小关系不确定 【答案】C 【分析】由题意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，则AB2−AC2＝BH2−HC2，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，则AB2−AC2＝MB2−MC2．再根据平方差公式即可求解． 【详解】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2， ∴AB2−AC2＝BH2−HC2， 又∵MH⊥BC，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2， ∴AB2−AC2＝MB2−MC2， 即（AB＋AC）（AB−AC）＝（MB＋MC）（MB−MC）， 又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC， 则AB−AC＜MB−MC． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用． 17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 18．用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式． 【详解】解：∵，即， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，根据题意列出相应的等式是解答本题的关键． 题型七：勾股定理的证明方法 解题思路：①采用两种不同方式表达同一图形的总面积；②分别写出两套面积表达式；③建立面积相等的等式；④化简等式推导出a2+b2=c2。 19．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 20．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 21．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 题型八：以弦图为背景的计算题 解题思路：①辨识弦图中大、小正方形与全等直角三角形；②以直角三角形边长表示大小正方形边长；③依据正方形面积建立方程；④代入已知条件求解直角三角形边长。 22．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：B． 23．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为_____． 【答案】3 【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到的值，由已知条件得到的值，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为16， ， 由题意， ， ∴． 24．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 【答案】A 【分析】用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，，则， 故，，，解答即可． 本题考查了勾股定理，完全平方公式，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，， 则， 故，，， 故， 故选：A． 题型九：用勾股定理构造图形解决问题 解题思路：①将题干条件转化为直角三角形几何模型；②标注已知线段长度；③依托勾股定理建立数量关系式；④求解目标线段完成作答。 25．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用；找到题中的直角三角形，设芦苇长为x尺，则水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺， 设芦苇长为x尺，则水深尺， 由勾股定理得：， 解得：， 即这根芦苇的长度是13尺． 故选：C． 26．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为________． 【答案】5 【分析】连接，延长、交于点F，当点A、C、E三点共线时，最小，即为的长度，最后由勾股定理可得结论． 【详解】解：连接，延长、交于点F， ∵，， ∴， 当点A、C、E三点共线时，最小，即最小， ∴的最小值为： 27．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺（即尺）时，秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高，且．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为（   ）． A．尺 B．14尺 C．尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理、列出方程是解题的关键． 设绳索尺，则尺，再根据题意运用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【详解】解：设绳索尺，则尺，尺， 根据题意得：， 所以，解得：， 所以绳索的长为尺． 故选C． 题型十：勾股定理与无理数 解题思路：①借助网格构造直角三角形，取整数直角边；②利用勾股定理求得斜边（无理数）；③以圆规截取斜边长度，在数轴上定位对应无理数点。 28．如图，在数轴上点A 表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由勾股定理得 ∴在数轴上点A 表示的实数是． 29．如图，A、B为数轴上两点，，过点B作，且．以点A为圆心、的长为半径作圆弧交数轴于点P．若点P所表示的数是，则点A表示的数是__________． 【答案】 【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】 解：在中，， ， 点所表示的数是， 点所表示的数是． 故答案为：． 30．如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，确定对应的数，进而求出，，，等点对应的数，通过观察数据找出的规律，最后代入的值求解． 【详解】解：由图可知，点坐标为，点坐标为， ∴， ∵以长度为半径，原点为圆心画圆交数轴正半轴于点， ∴对应的数为， ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为3， ∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点， ∴， ∴对应的数为， ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为4， ∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点， ∴， ∴对应的数为， 同理可得对应的数为5，对应的数为， ， 观察规律可知： 对应的数为， 对应的数为， ， 对应的数为， ∵， ∴对应的数为． 故选：A． 题型十一：判断三边能否构成直角三角形 解题思路：①对三边数值排序，锁定最长边；②计算最长边的平方与两短边平方和；③比对两组计算结果；④相等则为直角三角形，反之则不是。 31．以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】如果三角形三边长满足，那么这个三角形是直角三角形，其中最长边所对的角是直角． 【详解】解：：，符合题意； ：，：，：，均不符合题意． 32．在中，，，，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】先对已知等式变形，得到三角形三边的数量关系，再利用勾股定理的逆定理判断的形状，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且． 33．下列由线段，，组成的三角形，是直角三角形的为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据各个选项中的线段长，由勾股定理的逆定理代值验证即可得到答案． 【详解】解：选项A：最长边，，，， 该三角形不是直角三角形； 选项B：最长边，，，， 该三角形不是直角三角形； 选项C：最长边，，，，符合勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形； 选项D：最长边，，，， 该三角形不是直角三角形． 34．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD边上，且，F为CD的中点，连接AE，AF，EF，则的度数为______． 【答案】 【分析】结合正方形性质、勾股定理与勾股定理逆定理分析即可解答 【详解】解：边长为4的正方形ABCD，且， ， ， F为CD的中点， ， 在中，由勾股定理，， 在中，由勾股定理：， 在中，由勾股定理：， ， 是直角三角形，且， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理求边长，勾股定理逆定理判断直角三角形是解题的关键． 题型十二：在网格中判断直角三角形 解题思路：①利用网格结合勾股定理计算三角形三边长度；②对三边排序确定最长边；③验证最长边平方是否等于两短边平方和；④判定三角形是否为直角三角形。 35．如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，共有6个格点使为直角三角形． 故选：B． 36．如图，在的网格中，______． 【答案】45 【分析】连接，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据平行线的性质得出，，根据即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明为等腰直角三角形． 37．如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和网格，解题关键是熟练运用勾股定理和勾股定理逆定理进行推理，证明，得出等腰直角三角形即可． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 题型十三：利用勾股定理的逆定理求解 解题思路：①根据已知边长，运用逆定理判定三角形为直角三角形；②确定直角顶点位置；③结合直角条件计算边长、面积等几何量。 38．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 39．如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为___________． 【答案】150 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． 已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：150． 40．如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据及的长求出的长，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，从而得出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 在中，，， ， 是直角三角形，且， ， ． 题型十四：勾股树（数）问题 解题思路：①明确勾股树模型，正方形面积对应边长的平方；②利用直角三角形性质：两直角边对应正方形面积之和等于斜边对应正方形面积；③逐层递推求解各正方形面积。 41．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．7，8，9 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数是勾股数，只需逐个验证即可求解． 【详解】解：∵勾股数需满足三个正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方， 对选项A，，，，不是勾股数，不符合题意； 对选项B，，，，不是勾股数，不符合题意； 对选项C，，，，且三个数都是正整数，是勾股数，符合题意； 对选项D，，，，不是勾股数，不符合题意． 42．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 【答案】15 【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形的面积等于正方形，面积之和与正方形，面积之和的总和，由此即可求解． 【详解】解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． 43．我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究．根据题意可得，求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意，， 则， 解得，则， 所以． 故选：A． 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 解题思路：①把实际问题抽象为三角形几何模型；②提取模型的三边长度；③运用逆定理判定三角形是否为直角三角形；④依托直角条件完成实际问题求解。 44．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴三角形菜地为直角三角形， ∴三角形菜地的面积为． 故选：A． 45．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为____________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据题意可知，m，m，m，根据勾股定理的逆定理可得到，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，m，m，m， ∵ ∴ ∴小洛所在班级植树围成的区域的面积为． 故答案为：． 46．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口后分别位于点Q，R处，且相距．如果“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号航行的方向是（     ） A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】C 【分析】根据路程=速度时间求出的长，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据方位角的定义求解 【详解】解：由题意得：，， ， ，， ， 是直角三角形，且， “远航”号沿北偏东方向航行， ， ， “海天”号航行的方向是北偏西． 解答题 1．能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：，，，． 第二类：，，，． (1)任写一组勾股数满足第一类形式为________； (2)假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 解：可猜想：第二类每组勾股数的第一个数为偶数，记为m，则． 证明：， ， ∴， m为偶数，且，故和为正整数， ∴是一组勾股数． 【分析】（1）根据第一类每组勾股数的三个数之间的规律可得答案； （2）根据第二类每组勾股数的变化规律，猜想并证明即可． 【详解】（1）解：取第一个数为11，第二个数为60，第三个数为61， ∵，， ∴， 故一组勾股数满足第一类形式为（答案不唯一）； （2）略 2．已知图中每个小正方形的边长为，判断的形状． 【答案】是直角三角形． 【分析】根据勾股定理分别求出、、的长；根据勾股定理的逆定理，即可判断的形状． 【详解】解：，，， ∵，即， 故是直角三角形． 3．欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【答案】证明：如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、．先根据证明，则可得，进而可得，同理可得，进而可得，从而可得． 【详解】略 【点睛】本题主要考查利用割补法和面积法证明勾股定理，证明， 是解题的关键． 4．在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 【答案】． 【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得， ∴，， ∵四边形是长方形，，， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，得， 解得，， ∴的面积为． 5．如图，四边形中，，，，对角线． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理计算即可； （2）根据勾股定理得到，设，则，求出，根据勾股定理得到，根据四边形的面积计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：如图，作交于E， ∴，， ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴， ∴四边形的面积 6．分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解； （2）观察上述结论，可以发现，即可求解； （3）的值就是把面积的平方相加即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… 按此规律，， ∴（负值已舍去）； （2）解：， ， ， …… 按此规律，， ， ， ， …… 按此规律，（是正整数）； （3）解： ． 7．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1)12 (2) (3)5880元 【分析】(1)利用勾股定理直接计算求解即可． (2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． (3) 根据面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为12米． （2）∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． （3）解：根据题意，得（元）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08勾股定理及逆定理精讲学案 核心立意 掌握勾股定理与逆定理双向推理逻辑，实现直角三角形三边数量转化；掌握边长计算、直角判定、实际建模，规范推导书写，提升几何计算与证明能力。 勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形， 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 勾股数 1. 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 必备条件：① 均为正整数；② 满足 a2+b2=c2。 2. 常用基础勾股数（熟记，解题提速） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 倍数规律：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，所得三组数仍是勾股数。 例：3,4,5 扩大 2 倍得 6,8,10，依旧为勾股数。 三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 重点辨析 1. 推理方向：勾股定理：直角⇒三边平方关系；逆定理：三边平方关系⇒直角，二者因果相反，证明不可颠倒。 2. 逆定理操作：优先定位最长边，禁止随意选取边长代入验算。 3. 适用范围：勾股定理仅作用于直角三角形；逆定理可判定任意三角形是否为直角三角形。 4. 概念边界：勾股数必须为正整数；小数、分数满足平方等式，不属于勾股数。 1. 混淆直角边、斜边，盲目套用公式，造成边长计算错误。 2. 使用逆定理未确定最长边，错误判定三角形形状。 3. 证明混淆定理与逆定理，因果倒置，推理失效。 4. 非直角三角形强行使用勾股定理，忽略使用前提。 5. 将小数、分数误判定为勾股数。 6. 错误使用勾股数倍数性质，引发计算失误。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 勾股定理与网格问题 ★★ 题型四 勾股定理与折叠问题 ★★★ 题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★ 题型六 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型七 勾股定理的证明方法 ★★ 题型八 以弦图为背景的计算题 ★★ 题型九 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★ 题型十 勾股定理与无理数 ★★ 题型十一 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十二 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十三 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十四 勾股树（数）问题 ★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★综合拔高 题型一：用勾股定理解三角形 解题思路：①识别图形中的直角三角形，区分直角边与斜边；②选取勾股定理对应变形公式；③代入已知边长求解未知边长；④核验边长取值合理性。 1．在中，，，则的长为__________． 2．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 3．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 解题思路：①提取直角三角形三边长；②分别表示三边对应图形的面积；③依据a2+b2=c2，推导两直角边对应图形面积之和等于斜边对应图形面积；④代入数据完成面积运算。 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 6．如图，是的边上的高．分别以线段为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则关于，，，的等式为（    ） A． B． C． D． 题型三：勾股定理与网格问题 解题思路：①依托网格构建直角三角形，确定直角边的格数；②应用勾股定理计算线段长度；③结合图形条件完成求值。 7．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，若“车”“炮”两枚棋子均放置在格点上，则这两枚棋子所在格点之间的距离为（    ） A．3 B． C． D． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的值为____________． 9．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（     ） A． B．5 C．4 D． 题型四：勾股定理与折叠问题 解题思路：①依据折叠性质，确定相等的对应边；②设未知线段为参数；③在折叠生成的直角三角形中建立勾股定理方程；④解方程求得目标线段长度。 10．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 12．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型五：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 解题思路：①定位包含目标线段的直角三角形；②对各线段列出勾股定理平方等式；③对等式执行作和或作差运算，消去中间变量；④得到线段平方和（差）的结果。 13．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 14．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 15．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 题型六：利用勾股定理证明线段平方关系 解题思路：①找出图中全部直角三角形；②写出各线段对应的勾股定理等式；③执行等量代换；④整理等式，推导出待证的线段平方关系式。 16．如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（    ）． A．大于 B．等于 C．小于 D．大小关系不确定 17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    18．用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型七：勾股定理的证明方法 解题思路：①采用两种不同方式表达同一图形的总面积；②分别写出两套面积表达式；③建立面积相等的等式；④化简等式推导出a2+b2=c2。 19．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 20．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 21．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 题型八：以弦图为背景的计算题 解题思路：①辨识弦图中大、小正方形与全等直角三角形；②以直角三角形边长表示大小正方形边长；③依据正方形面积建立方程；④代入已知条件求解直角三角形边长。 22．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 23．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为_____． 24．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 题型九：用勾股定理构造图形解决问题 解题思路：①将题干条件转化为直角三角形几何模型；②标注已知线段长度；③依托勾股定理建立数量关系式；④求解目标线段完成作答。 25．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 26．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为________． 27．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺（即尺）时，秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高，且．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为（   ）． A．尺 B．14尺 C．尺 D．15尺 题型十：勾股定理与无理数 解题思路：①借助网格构造直角三角形，取整数直角边；②利用勾股定理求得斜边（无理数）；③以圆规截取斜边长度，在数轴上定位对应无理数点。 28．如图，在数轴上点A 表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 29．如图，A、B为数轴上两点，，过点B作，且．以点A为圆心、的长为半径作圆弧交数轴于点P．若点P所表示的数是，则点A表示的数是__________． 30．如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（    ） A． B． C． D． 题型十一：判断三边能否构成直角三角形 解题思路：①对三边数值排序，锁定最长边；②计算最长边的平方与两短边平方和；③比对两组计算结果；④相等则为直角三角形，反之则不是。 31．以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 32．在中，，，，若，则的度数是__________． 33．下列由线段，，组成的三角形，是直角三角形的为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 34．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD边上，且，F为CD的中点，连接AE，AF，EF，则的度数为______． 题型十二：在网格中判断直角三角形 解题思路：①利用网格结合勾股定理计算三角形三边长度；②对三边排序确定最长边；③验证最长边平方是否等于两短边平方和；④判定三角形是否为直角三角形。 35．如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 36．如图，在的网格中，______． 37．如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 题型十三：利用勾股定理的逆定理求解 解题思路：①根据已知边长，运用逆定理判定三角形为直角三角形；②确定直角顶点位置；③结合直角条件计算边长、面积等几何量。 38．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 39．如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为___________． 40．如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 题型十四：勾股树（数）问题 解题思路：①明确勾股树模型，正方形面积对应边长的平方；②利用直角三角形性质：两直角边对应正方形面积之和等于斜边对应正方形面积；③逐层递推求解各正方形面积。 41．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．7，8，9 42．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 43．我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 解题思路：①把实际问题抽象为三角形几何模型；②提取模型的三边长度；③运用逆定理判定三角形是否为直角三角形；④依托直角条件完成实际问题求解。 44．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 45．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为____________． 46．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口后分别位于点Q，R处，且相距．如果“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号航行的方向是（     ） A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 解答题 1．能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：，，，． 第二类：，，，． (1)任写一组勾股数满足第一类形式为________； (2)假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想． 2．已知图中每个小正方形的边长为，判断的形状． 3．欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 4．在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 5．如图，四边形中，，，，对角线． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 6．分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 7．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $