第一章 有理数 题型精讲（讲义）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过课时核心导图和知识梳理表格系统构建有理数知识体系，将正数负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值等知识点按逻辑关系梳理，用对比表格呈现有理数两种分类方式，明确重点为相反意义量表示和有理数比较，难点是带字母的符号判断。 讲义亮点在于“题型+变式+易错”的三阶练习设计，如题型5通过“求绝对值”“|a|=a成立条件”等例题培养运算能力和推理意识，变式题覆盖不同情境，易错专练剖析符号判断等常见错误。课后作业分基础、能力、拓展三层，帮助不同学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

人教版·七年级上册·第一章 有理数·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第一章 有理数 题型精讲（讲义）-2026-2027学年七年级上册数学人教版 人教版（2024年版）七年级数学上册　第一章 有理数　1.1 正数和负数　1.2 有理数及其大小比较 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出正数与负数的意义，会用正数、负数表示温度、海拔、盈亏、增减这类具有相反意义的量，并知道0既不是正数也不是负数。 2．能说出有理数的概念，知道教材用“可以写成分数形式的数”给有理数下定义，会按“整数与分数”“正有理数、0与负有理数”两种常用方式给一个数归类；会画数轴，会在数轴上表示有理数，也会由数轴上的点读出它表示的数。 3．能说出相反数与绝对值的意义，会求一个数的相反数与绝对值，会化简多重符号，并会用数轴法和比较法则比较两个有理数的大小。 学习重难点 重点：用正数、负数表示具有相反意义的量；有理数的两种分类；数轴三要素与“数轴上的点表示有理数”；相反数、绝对值的意义与求法。 难点：带字母的符号判断：-a不一定是负数、|a|＝a成立的条件、a＜0时a与-a、|a|的排序。 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　正数、负数与具有相反意义的量 大于0的数叫作正数；在正数前面加上符号“-”的数叫作负数，这里的“-”是负号，读作“负”。为了明确表达与负数相反的意义，正数前面也可以加上符号“+”，读作“正”，例如+18与18是同一个数。0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。一个问题里如果出现意义相反的两个量，就可以把其中一个记为正、另一个记为负：把零上7摄氏度记作+7℃，零下7摄氏度就记作-7℃。 大于0的数→正数；正数前加“-”→负数；0既不是正数，也不是负数 小提示：先认准题目把哪一边定为正，另一边才记成负；“+”号可以省略，“-”号一个也不能少。 知识点　02　有理数的概念与两种分类 正整数、0、负整数统称为整数，正分数与负分数统称为分数。可以写成分数形式的数称为有理数。整数也能写成分数形式，例如5可以写成，所以整数也是有理数；有限小数与无限循环小数都能化成分数，所以0.7（即）这样的小数也是有理数。整理一个数的身份时，常用下面这张表： 按形式分：有理数→整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数） 按符号分：有理数→正有理数、0、负有理数 类别 包括哪些数 举例 正整数 大于0的整数 3，25，+9 0 既不是正数，也不是负数 0 负整数 小于0的整数 -3，-25 正分数 大于0、能写成分数形式而不是整数的数 0.8， 负分数 小于0、能写成分数形式而不是整数的数 -0.8，-1.25 小提示：归类前先把每个数化到最简：带“+”的先去掉正号，多重符号先化简；百分数与有限小数都要想到它们能写成分数形式。教材用“可以写成分数形式的数”给有理数下定义，按“整数与分数”“正、0、负”这样整理，是使用这个定义时的两种常用方式。 知识点　03　数轴的三个要素 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。画数轴时，先画一条直线，在直线上任取一个点作为原点表示0；通常规定从原点向右为正方向，用箭头标出来；再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度依次表示1，2，3，……，从原点向左依次表示-1，-2，-3，……。三个要素缺一不可：单位长度一变，同一个位置上的点读出来的数就跟着变——若每相邻两个刻度之间表示2个单位长度，那么原点右边第3个刻度表示的就不是3而是6。 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 小提示：画完数轴先自查三处：表示0的原点有没有标、右端箭头有没有画、每相邻两个刻度之间是不是一样长。 知识点　04　数轴上的点与有理数的对应 有理数都可以用数轴上的点表示。原点把数轴（原点除外）分成两部分，正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作负半轴：正数对应正半轴上的点，负数对应负半轴上的点，0对应原点。设a是一个正数，那么表示a的点在正半轴上，与原点相距a个单位长度；表示-a的点在负半轴上，与原点也相距a个单位长度。下面的数轴上，点M表示-3.5，点N表示2。 正数↔正半轴上的点　0↔原点　负数↔负半轴上的点 小提示：由点读数，先看它在原点的哪一边定符号，再数它离原点有几个单位长度。 知识点　05　相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，例如8与-8互为相反数，0的相反数是0。一般地，a和-a互为相反数，这里的a可以是正数、负数，也可以是0，所以-a的正负要看a本身，不能一看到负号就断定它是负数。在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数，因此-（+8）＝-8，-（-8）＝8。数前面的“-”号有偶数个时，化简的结果与原数同号；有奇数个时，化简的结果与原数异号。 a与-a互为相反数；-（-a）＝a；0的相反数是0 小提示：“-a”读作“a的相反数”，它的正负要看a本身，不能一看到负号就断定它是负数。 知识点　06　绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。例如表示9与-9的点到原点的距离都是9，所以|9|＝9，|-9|＝9；显然|0|＝0。由此可以得到：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。用字母写出来就是：如果a是正数，那么|a|＝a；如果a是0，那么|a|＝0；如果a是负数，那么|a|＝-a。 a是正数时|a|＝a；a是0时|a|＝0；a是负数时|a|＝-a 小提示：绝对值是一段距离，所以不论a取什么有理数，|a|都不会是负数。 知识点　07　有理数的大小比较 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。由这个规定可以归纳出比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。异号两数比大小只要看正负；同号两数比大小才要动用绝对值。例如比较-2与-6：|-2|＝2，|-6|＝6，2＜6，于是-2＞-6。 正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小 小提示：两个负数比大小要走两步：先求出各自的绝对值比一比，再把结论反过来写。 知识点　08　用正数和负数表示相反意义的量的常见模型 实际问题里成对出现的量，只要意义相反，就可以一个记为正、另一个记为负。常见的有五类：温度的零上与零下、海拔的高于海平面与低于海平面、账目的收入与支出、数量的增加与减少、方向的向东与向西（或向上与向下）。记的时候先认准题目把哪一边规定为正。例如把水位上升记为正，那么上升0.4m记作+0.4m，下降0.4m就记作-0.4m。每一类里的0都有确定的含义：0℃是一个确定的温度，海拔0m是一个确定的高度，账目记0元表示不盈不亏，增长率是0表示与上期相比没有变化。 一边记为正　→　意义相反的另一边记为负；0表示“两边都不偏”的那个基准 小提示：写这类答案时别把单位丢了，也别把题目规定的正方向换掉；读一个带负号的记录，要还原成“少多少”“低多少”“降多少”。 知识点　09　绝对值与数轴上的距离 |a|就是数轴上表示a的点与原点的距离，所以一个数的绝对值越大，表示它的点离原点越远。反过来，已知一个点与原点的距离，就能找出它表示的数：与原点距离是3个单位长度的点，在原点左右各有一个。数轴上两点之间的距离，可以按它们与原点的位置分两段数：两点在原点同侧时，用较远那点与原点的距离减去较近那点与原点的距离；两点分居原点两侧时，把两点各自与原点的距离合起来。例如表示-2的点与表示3的点分居原点两侧，它们之间的距离是2个单位长度加3个单位长度，共5个单位长度。 |a|＝表示a的点到原点的距离；与原点距离为正数d的点有两个，它们互为相反数 小提示：凡是“相距几个单位长度”的问法，都要先判断这样的点在定点的哪一边，通常左右各有一个。 【题型1】用正数和负数表示具有相反意义的量 这一类题先找准题目把哪一边规定成了正，与它意义相反的那一边就写成负数，单位跟着数一起写。 例1　一种袋装奶粉的标准质量是900g，质检时把超过标准质量的克数记为正数。比标准质量重8g与比标准质量轻5g各怎样表示？记录“-3g”表示什么意思？ 【分析】题目已经把“超过标准质量的克数”规定为正，那么与它意义相反的“不足标准质量的克数”就要记成负数。反过来读一个带负号的记录，也要把它还原成“少多少”。 【解答】比标准质量重8g，超过了标准，记作+8g；比标准质量轻5g，不足标准，记作-5g。记录“-3g”中的负号表示不足，所以它表示这袋奶粉的质量比标准质量少3g。 【方法小结】读题第一步永远是找出题目规定的“正”指哪一边，第二步才把相反的一边写成负数；写答案时别把单位丢了。 例2　四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化情况如下：A品牌减少2%，B品牌增长4%，C品牌没有变化，D品牌减少3%。用正数、负数写出这四种品牌手机第二季度销售量的增长率；“增长-2%”与“增长率是0”各表示什么意思？ 【分析】要写的是“增长率”，增长与减少是一对意义相反的量：题目把增长定为正，减少就要记成负数；既不增也不减的那一种，用0表示。 【解答】A品牌销售量减少2%，增长率记作-2%；B品牌增长4%，增长率记作4%；C品牌没有变化，增长率记作0；D品牌减少3%，增长率记作-3%。“增长-2%”里的负号表示的是减少，所以它的意思是第二季度的销售量比第一季度减少了2%；“增长率是0”表示第二季度的销售量与第一季度一样多，既没有增加也没有减少。 【方法小结】读一个带负号的记录，要把它翻译成“少了多少”“降了多少”；这里的0不是“没有销售量”，而是“与上一季度相比没有变化”，它是增长与减少的分界。 题型1　变式：温度、账目、方向与记录表 四道题分别落在温度、账目、方向和一张记录表上：前两道练“怎么记”，第三道练“哪一对才算意义相反”，第四道练“怎么读”。 变式1　气象站记录某地一天的最高气温为零上6℃，写作+6℃；同一天的最低气温为零下9℃，应写作（　　）℃。 变式2　某便民服务点3月盈利820元，记作+820元；4月亏损75元，应记作（　　）元；若某个月记作0元，则表示这个月（　　）。 变式3　下面四组量中，两个量不具有相反意义的一组是（　　）。 A．收入80元与支出80元 B．水位上升2m与水位下降2m C．买进7t与卖出7t D．向东走9m与向北走9m 变式4　某水库管理员记录了一周里每天的水位变化，以前一天的水位为标准，上升的米数记为正数，下降的米数记为负数（单位：m），记录如下表。哪几天的水位比前一天低了？周三记作0表示什么？ 日期 周一 周二 周三 周四 周五 水位变化 +0.15 -0.2 0 +0.06 -0.35 【题型2】有理数的分类 归类前先把每个数化简、看清符号：带“+”的先去掉正号，百分数与小数都要想到它们能写成分数。 例1　下面八个有理数分成两行写着：第一行是-7，，0，+5.8，第二行是-0.25，13，-，62%。把它们分别填入相应的有理数集合里。 正有理数集合：｛　　　　　　　　　　　　　　　…｝ 负有理数集合：｛　　　　　　　　　　　　　　　…｝ 整数集合：　　｛　　　　　　　　　　　　　　　…｝ 【分析】先看符号定正负：带负号的三个数是负有理数，其余大于0的数是正有理数，0两边都不属于。再看能不能写成分数形式定是不是整数：+5.8、62%、都不是整数。 【解答】正有理数有，+5.8，13，62%；负有理数有-7，-0.25，-；整数有-7，0，13。把它们分别填进三个集合，注意0要填进整数集合，正、负两个集合里都不能出现它。 【方法小结】一个数可以同时属于好几个集合（例如13既是正有理数又是整数），但正有理数集合与负有理数集合之间不重叠，0只进整数集合。 例2　判断下面三句话是不是正确的，把不正确的改正过来：①负分数一定是负有理数；②有限小数都能写成分数形式，所以它们都是有理数；③一个有理数如果不是整数，就一定是负数。 【分析】判断这类说法，先把句子里出现的每一个名称按定义摊开——负分数、有限小数、整数、分数各指哪些数，再看句子有没有把两种分类方式混着用。 【解答】①负分数小于0，又能写成分数形式，所以它是有理数，而且是负的，①正确。②有限小数都能化成分母是10，100，……的分数，而能写成分数形式的数就是有理数，②正确。③把按形式分和按符号分这两种方式混在一起了：0.7不是整数，它是正分数，并不是负数。应改为：一个有理数如果不是整数，就一定是分数。 【方法小结】按形式分只分整数与分数两类，按符号分才分正、0、负三类，两种方式各管各的，不能交叉着用；要推翻一句话，举出一个反例就够了。 题型2　变式：0的归属、分数形式与集合关系 第一题盯住0的身份，第二题按定义把数写成分数形式，第三题考“非负整数”“负分数”圈住了哪些数，第四题理一理几个集合之间的关系。 变式1　关于数0，下面的说法正确的是（　　）。 A．0是正数 B．0是最小的整数 C．0是整数，也是有理数 D．0不能写成分数形式 变式2　把5，-3，0.7，-1.25这四个数分别写成分数形式（分母不为0），由此说明它们都是有理数。 变式3　把-12，0，，-1.5，+9，-40%这六个数中属于非负整数的写在前一行，属于负分数的写在后一行。 变式4　下面四句话中，正确的一句是（　　）。 A．整数只包括正整数和负整数 B．分数都是有理数 C．有理数不是正有理数，就是负有理数 D．0不是有理数 【题型3】在数轴上表示数与由点读数 画数轴与读点是一对互逆的本领：画的时候按三要素落笔，读的时候先定符号，再数它离原点有几个单位长度。 例1　画出数轴，并在数轴上表示下列各数：-3，1.5，0，-，4。 【分析】先按三要素画好数轴：定原点、标正方向、取单位长度。再逐个数落点：负数在原点左边，正数在原点右边，0就是原点。1.5与-都不在整数刻度上，要落在相邻两个整数刻度的正中间。 【解答】如图，表示-3的点在原点左边3个单位长度处；表示-的点在原点左边半个单位长度处；0就用原点表示；表示1.5的点在原点右边1个半单位长度处；表示4的点在原点右边4个单位长度处。 【方法小结】落点分两步：先由符号定在原点的哪一边，再由这个数与原点的距离数出它占几个单位长度；不是整数的数要先想清楚它夹在哪两个整数刻度之间。 例2　一条数轴上，相邻两个刻度之间表示2个单位长度，那么原点右边第3个刻度与原点左边第4个刻度各表示什么数？如果改成相邻两个刻度之间表示0.5个单位长度，原点右边第3个刻度又表示什么数？ 【分析】三要素里的单位长度决定了每相邻两个刻度之间代表多大。刻度的序号只告诉我们隔了几段，要先弄清一段代表多少，再定这个点表示的数。 【解答】相邻两个刻度之间表示2个单位长度时，原点右边第3个刻度与原点隔了3段，一段2个单位长度，三段合起来是6个单位长度，这个点在正半轴上，表示6；原点左边第4个刻度与原点隔了4段，合起来是8个单位长度，它在负半轴上，表示-8。改成相邻两个刻度之间表示0.5个单位长度后，原点右边第3个刻度与原点相距1.5个单位长度，表示1.5。 【方法小结】读点分两步：先看点在原点的哪一边定符号，再把每一段代表的长度按段数累加，算出它与原点的距离。同一个位置，单位长度取得不一样，读出来的数就不一样。 题型3　变式：读点、落点、数点与估位置 读点、落点、数点、估位置各练一道：读点的关键是先定符号再数单位长度，数点时别忘了两端的点也要算。 变式1　下面的数轴上标出了A，B，C，D，E五个点，把这五个点各自表示的数依次写出来。 变式2　把-4.5，-2，0，1，3这五个数在同一条数轴上标出来，并指出其中哪个数离原点最远。 变式3　在数轴上，表示-2的点与表示3的点之间（包括这两个点）表示整数的点一共有（　　）个，其中表示负整数的点有（　　）个。 变式4　在数轴上，表示-的点落在（　　）与（　　）这两个整数刻度之间；表示2.5的点落在2与3这两个刻度的（　　）（填“正中间”或“靠近2的一侧”）。 【题型4】相反数与多重符号的化简 求相反数只改符号不改数字；化简多重符号时，把数前面的“-”号数一数，看它是奇数个还是偶数个。 例1　分别写出-6与这两个有理数的相反数，再把-[-(-3)]化到最简。 【分析】求一个数的相反数，只要在这个数前面添上“-”号再化简，数字部分一点不动。化简多重符号时由里往外一层一层脱括号，也可以直接数“-”号的个数。 【解答】-6的相反数是-（-6）＝6；的相反数是-。化简-[-(-3)]：最里层-(-3)＝3，再取一次相反数得-3，所以-[-(-3)]＝-3。这个数前面一共有3个“-”号，是奇数个，结果与3异号，正好印证了“数负号个数”这一算法。 【方法小结】相反数只管符号：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。多重符号化简可以直接数“-”号：偶数个得正，奇数个得负。 例2　下面的数轴上标出了3与-3、1.5与-1.5这两对数。互为相反数的两个数，它们对应的点与原点的位置有什么关系？如果表示a的点在原点左边4个单位长度处，那么表示-a的点在哪里？ 【分析】互为相反数的两个数只有符号不同：数字部分相同说明两点与原点的距离相等，符号不同说明两点分别在原点的两边。 【解答】从图上看，表示3与-3的两点分别在原点右边、左边3个单位长度处；表示1.5与-1.5的两点分别在原点右边、左边1.5个单位长度处。可见互为相反数的两个数，它们的点关于原点对称，与原点的距离相等。表示a的点在原点左边4个单位长度处，说明a是负数，它的相反数-a是正数，所以表示-a的点在原点右边4个单位长度处。 【方法小结】“互为相反数”画到数轴上就是“关于原点对称”：把其中一个点搬到原点另一边、与原点的距离保持不变，就得到另一个点。0的相反数是0，这两个点重合在原点上。 题型4　变式：相反数、符号个数与对称点 前两道把“只改符号”与“数负号个数”各练一遍，第三道由相反数倒推原数，第四道把相反数的结论逐句过一遍。 变式1　-9，0，4.7，-这四个有理数的相反数分别是什么？依次写出来。 变式2　把-（-7），-（+0.5），-[-（-6）]，+[-（-）]这四个式子里的多重符号化去，写出最简结果。 变式3　已知某个有理数的相反数是2.4，那么这个有理数是（　　）；如果一个有理数的相反数与它本身相等，那么这个数是（　　）。 变式4　判断下面各句话是否正确，对的画“√”，错的画“×”：①-5的相反数是5（　　）；②相反数等于它本身的数只有0（　　）；③互为相反数的两个数，它们在数轴上对应的点与原点的距离相等（　　）；④数轴上表示互为相反数的两个数的点，一定分别在原点的两边（　　）。 【题型5】求绝对值与“|a|＝a”成立的条件 求绝对值先看这个数的正负：正数与0照抄，负数去掉负号；带字母的题要把三种情况分开说。 例1　求|-4.5|，|0|，|+|的值；再说出|a|＝a成立时，a是什么样的数。 【分析】绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离，距离不会是负的。按法则分三种情况：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 【解答】-4.5是负数，它的绝对值是它的相反数，|-4.5|＝4.5；|0|＝0；+是正数，绝对值是它本身，|+|＝。要使|a|＝a成立，a不能是负数：a是正数时|a|＝a成立，a是0时|a|＝0也成立，所以a是正数或0。 【方法小结】遇到|a|先问一句“a是正是负还是0”，再按对应的法则写结果；带字母的条件题要把正数、0、负数三种情况分别代进去检验，不能只看其中一种。 例2　一种零件的标准长度是60mm，加工时把比标准长的毫米数记为正数，比标准短的毫米数记为负数；与标准相差不超过0.5mm的零件算合格品。五个零件的记录分别是+0.3，-0.5，0，+0.8，-0.2（单位：mm）。哪个零件的长度最接近标准？哪个零件不是合格品？ 【分析】记录里的符号只说明比标准长还是比标准短，与标准“差了多少”要看这个数与0的距离，也就是它的绝对值。绝对值越小，越接近标准。 【解答】五个记录的绝对值依次是0.3，0.5，0，0.8，0.2。其中0最小，所以记录为0的那个零件长度正好等于标准，最接近标准。再看合格与否：|+0.8|＝0.8，0.8＞0.5，超出了允许的范围，所以记录为+0.8的那个零件不是合格品；其余四个记录的绝对值都不超过0.5，都是合格品（|-0.5|＝0.5，正好不超过）。 【方法小结】“最接近标准”“偏差最大”“是否合格”这类问题，一律先把每个记录取绝对值再比较：符号回答“偏大还是偏小”，绝对值才回答“偏了多少”。 题型5　变式：分情况求绝对值与字母排序 第一题练分情况求值，第二题把两条法则反过来用，第三题在四个式子里挑错，第四题把带字母的式子排成一队。 变式1　求-8，3.9，-，-（-13）这四个有理数各自的绝对值。 变式2　绝对值等于它本身的数是（　　）；绝对值等于它的相反数的数是（　　）。 变式3　下面四个式子都用到了绝对值，其中结果正确的一个是（　　）。 A．|-3|＝-3 B．-|5|＝5 C．|-|＝ D．|0|＝1 变式4　已知a＜0，把a，-a，|a|，-|a|，0这五个式子按从小到大的顺序排列。 【题型6】已知绝对值反过来求这个数 已知绝对值求原数，等于在数轴上找“与原点距离一定”的点：一般有两个，正负各一个。 例1　已知|x|＝5，求x的值；如果|x|＝0，那么x又等于几？ 【分析】|x|＝5的意思是：数轴上表示x的点与原点的距离是5个单位长度。这样的点在原点两边各有一个，所以x有两个值，它们互为相反数。 【解答】与原点距离5个单位长度的点有两个，分别在正半轴与负半轴上，表示5与-5，所以x＝5或x＝-5。与原点距离为0的点只有原点本身，所以由|x|＝0得x＝0。 【方法小结】由绝对值反求原数，先问“有几个”：绝对值是正数时有两个互为相反数的解，绝对值是0时只有一个解0，绝对值不可能等于负数。 例2　已知|a|＝|b|，那么a与b之间有什么关系？再求出满足|x|＝|-4|的所有x的值。 【分析】|a|＝|b|的意思是：数轴上表示a的点与表示b的点，与原点的距离相等。与原点距离相等的点，可能就是同一个点，也可能分别在原点的两边。 【解答】当表示a与b的是同一个点时，a＝b；当这两个点分别在原点两边时，a与b互为相反数。所以由|a|＝|b|可以得到：a＝b，或者a与b互为相反数。再看|x|＝|-4|：先把右边化简，|-4|＝4，于是|x|＝4；与原点距离4个单位长度的点有两个，分别表示4与-4，所以x＝4或x＝-4。 【方法小结】见到|a|＝|b|要立刻想到两种情形，不能只写a＝b；遇到|x|＝|某个数|，先把右边的绝对值求出来，再按“与原点距离一定的点有两个”写全答案。 题型6　变式：由绝对值倒推原数与非负性 四道题都在“由距离找数”：第一道用绝对值相等找数，第二道靠附加条件筛掉一个解，第三道把范围内的整数一个不漏地列出来，第四道盯住绝对值的非负性。 变式1　已知|m|＝|n|，且m＝-2.5，写出n的所有可能值；若|x|＝|-7|，且x是负数，求x的值。 变式2　若|m|＝1.5，且m＜0，则m＝（　　）；若|n|＝n，且n≠0，则n一定是（　　）数（填“正”或“负”）。 变式3　写出所有绝对值小于3的整数，其中最大的整数是几？ 变式4　不论x取什么有理数，|x|都（　　）（填“大于0”或“不小于0”）；当|x|取到最小的值时，x＝（　　）。 【题型7】有理数的大小比较 异号两数看正负就能定大小；同号两数才要动用绝对值，其中两个负数的结论要反过来写。 例1　下面三组数，每组两个数，分别比出它们谁大谁小，并写出判断的依据：（1）5与-2；（2）-2.5与-；（3）-与0。 【分析】比较两个有理数先看正负：异号两数、以及一个数与0比，看符号就能定大小；只有同号两数（本章主要是两个负数）才要动用绝对值。 【解答】（1）5是正数，-2是负数，正数大于负数，所以5＞-2。（2）-2.5与-都是负数，|-2.5|＝2.5，|-|＝＝0.4，因为2.5＞0.4，两个负数绝对值大的反而小，所以-2.5＜-。（3）-是负数，0大于负数，所以-＜0。 【方法小结】比大小先分堆：正数＞0＞负数，异号一眼定。两个负数比大小走三步——求绝对值、比绝对值、把结论反过来写，第三步最容易漏。 例2　在数轴上表示-3，-1.5，0，2这四个数，再按从小到大的顺序把它们用“＜”连接起来。 【分析】除了用法则，还可以直接用数轴来比：在水平的数轴上，左边的数小于右边的数。把几个数一起落到数轴上，从左往右读一遍，顺序就出来了。 【解答】如图，-3在原点左边3个单位长度处，-1.5在原点左边1个半单位长度处，0在原点上，2在原点右边2个单位长度处。这四个点从左到右依次表示-3，-1.5，0，2，所以-3＜-1.5＜0＜2。 【方法小结】数轴法的好处是一次能排一串数：先落点，再从左往右抄一遍。排完用法则验一次更稳妥——|-3|＞|-1.5|，绝对值大的反而小，同样得到-3＜-1.5。 题型7　变式：填符号、找整数、看情境与带字母 填符号、找整数、读情境、带字母各一道；不论哪一道，都先把数按正、0、负分堆，再在同一堆里比绝对值。 变式1　下面每一组都是两个有理数，把“＞”或“＜”填进括号，使式子成立：-3（　　）-7，-（　　）-0.9，-（　　）0。 变式2　比-3大的负整数有（　　）个，它们是（　　）；负整数中最大的是（　　），正整数中最小的是（　　）。 变式3　某年1月，甲、乙、丙、丁四地的平均气温分别是-7.2℃，5.4℃，-15.8℃，1.9℃。把这四个气温按从高到低的顺序排列。 变式4　已知a＞0，b＜0，且|b|＞|a|。在数轴上，表示a，b，0，-b的四个点从左到右依次是哪几个点？由此写出这四个数的大小关系。 【题型8】数轴上的距离与点的移动 在数轴上向右移动就是往数大的一边走，向左移动就是往数小的一边走；两点间的距离就是中间隔着的单位长度的个数。 例1　数轴上点A表示-3。把点A向右移动5个单位长度得到点B，点B表示什么数？到点A的距离恰好是2个单位长度的点又表示哪些数？ 【分析】向右移动就在数轴上往正方向数，从-3出发数5个单位长度。第二问里“相距2个单位长度”的点在点A的左右各有一个，要分两边找，不能只答一个。 【解答】从表示-3的点出发向右数5个单位长度，依次经过-2，-1，0，1，落在2上，所以点B表示2。与点A相距2个单位长度的点：往左数2个单位长度落在-5上，往右数2个单位长度落在-1上，所以这样的点表示-5与-1。 【方法小结】移动题在数轴上一个单位长度一个单位长度地数最稳妥：向右数就往右走，向左数就往左走。凡是“相距几个单位长度”的问法，都要想到左右各有一个答案。 例2　数轴上点A表示-2。把点A向右移动6个单位长度得到点B，再把点B向左移动9个单位长度得到点C。点B、点C各表示什么数？点A与点C相距几个单位长度？ 【分析】两步移动要按顺序一步一步落点，不能把两次移动的距离直接合起来算：向右移动往正方向数，向左移动往负方向数。最后求两点间的距离，先看它们在原点的同侧还是异侧。 【解答】从表示-2的点向右数6个单位长度，依次经过-1，0，1，2，3，落在4上，所以点B表示4。再从表示4的点向左数9个单位长度，依次经过3，2，1，0，-1，……，落在-5上，所以点C表示-5。点A表示-2，点C表示-5，两点都在原点左边，与原点的距离分别是2个和5个单位长度，所以它们之间相距3个单位长度。 【方法小结】多步移动按顺序逐步落点最稳妥；求两点间的距离，同侧就用大的距离减去小的距离，异侧就把两段距离合起来。 题型8　变式：移动、对称、数距离与算路程 移动、对称、数距离、算路程各一道；跨过原点数距离时，分成左右两段数更不容易错。 变式1　一只蚂蚁停在数轴上表示-1的点P处，它沿数轴向左爬行4个单位长度后停在点Q处。点Q表示什么数？点Q表示的数，它的绝对值是多少？ 变式2　数轴上点M与点N表示的数互为相反数，且M，N两点间的距离是9个单位长度，则点M表示的数是（　　）或（　　）。 变式3　在数轴上，从表示-6的点走到表示-1的点，要走过几个单位长度？从表示2的点走到表示-4的点呢？ 变式4　数轴上点P表示3。一只小虫从点P出发，先向左爬行8个单位长度到点Q，再向右爬行5个单位长度到点R。点R表示什么数？小虫一共爬行了多少个单位长度？ 【题型9】规律探究与新定义问题 新定义题只有一条要求：照着题目给的规定做。规律题则先摆出前几项，找出符号与数字各自的变化。 例1　定义一种新运算：当|a|≥|b|时，规定a⊕b＝|a|-|b|。求（-9）⊕（+4）的值；若a⊕b的结果是0，且a＝-7，写出满足条件的b。 【分析】新定义的符号⊕只是一个约定：先把两个数各自换成绝对值，再让前一个减去后一个（本章只在|a|≥|b|时使用这个规定，结果才不会出现负数）。第二问反过来用这个约定：结果是0，说明两个绝对值一样大。 【解答】按规定，（-9）⊕（+4）＝|-9|-|+4|＝9-4＝5。若a⊕b的结果是0，则|a|与|b|相等；已知a＝-7，|a|＝7，所以|b|＝7，满足条件的b是7或-7。 【方法小结】做新定义题不要去猜⊕像哪种运算，照抄题目的规定代入即可；反过来求字母时，把定义写成“|a|与|b|的关系”再解。 例2　一个点从原点出发在数轴上跳动：第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，依此类推。前4次跳动后它分别停在哪些数上？第6次跳动后它停在哪个数上？ 【分析】规律题先把前几次的结果老老实实摆出来，再分两条线看：停在原点的哪一边（符号），离原点有多远（距离）。 【解答】第1次从原点向右跳1个单位长度，停在1；第2次从1向左跳2个单位长度，越过原点，停在-1；第3次从-1向右跳3个单位长度，停在2；第4次从2向左跳4个单位长度，停在-2。观察这一串数：跳动次数是奇数时停在原点右边，是偶数时停在原点左边；再看与原点的距离，第1，2次后都是1个单位长度，第3，4次后都是2个单位长度，每两次增加1个单位长度，所以第5，6次后都是3个单位长度。第6次是偶数次，停在原点左边，于是停在-3上。 【方法小结】数轴上的跳动规律题按两条线整理：符号看停在原点哪一边，距离看离原点多远；把前几次的结果列成一串，两条线的规律各自就清楚了。 题型9　变式：找规律与照定义办事 一道找符号规律，一道找点列规律，两道照定义办事；新定义题做完别忘了回看一眼题目的规定，核对结果是不是它要的那个数。 变式1　按下面的规律接着往下排：-1，2，-3，4，-5，6，……。第11个数是（　　），它与第20个数的符号（　　）（填“相同”或“不同”）。 变式2　规定：a※b表示a与b这两个数中绝对值较大的那个数；若两个数的绝对值相等，规定a※b＝a。求（-2.5）※1的值，再求（-7）※（-0.5）的值。 变式3　把数轴上表示1的点记作P1，表示-2的点记作P2，表示3的点记作P3，表示-4的点记作P4，依此类推。点P7表示什么数？在点P1到点P10这十个点中，表示负数的点一共有几个？ 变式4　规定：max{a，b}表示a与b中较大的那个数。求max{-6，1.5}与max{|-4|，0}的值；若max{x，-4}＝-4，写出x满足的条件。 　易错专练 下面八道题都取自常见的错答。先把题做一遍，再对照答案里的错解与错因，看看自己是不是也在同一处摔过跤。 易错1　判断下面这句话是否正确，并举例说明：在任意一个数前面添上“-”号，得到的一定是负数。 易错2　已知|a|＝-a，写出a可以取的所有情况。 易错3　比较-8与-3这两个负有理数的大小，并把比较的过程完整写出来。 易错4　小宇画了一条直线，并在这条直线上等距地标了刻度，他说这就是一条数轴。他画的图缺少了数轴三要素中的哪一个？ 易错5　从-2.5，0，+16，-，-（-6）这五个有理数里挑出全部负有理数，再挑出全部整数。 易错6　|-2|与-|-5|这两个式子，化简以后哪一个大？写出化简与判断的全过程。 易错7　-5与3这两个数，哪一个大？把判断的依据写清楚。 易错8　数轴上点A表示-3，从点A出发沿数轴移动4个单位长度到达点B，求点B表示的数。 　课后作业（一）基础过关 第1～8题为选择题，每小题只有一个选项符合题意，把它的字母写在题后的括号里；第9～12题把答案直接写在题中的括号里。这一组题对着九个题型的基本要求，逐条过一遍。 1．在+3，0，-，1.7这四个有理数中，在数轴上表示它的点落在原点左边的是（　　）。 A．+3　　B．0　　C．-　　D．1.7 2．把-3，0.5，0，-，12，-2.4这一组有理数分别用数轴上的点表示出来，其中落在负半轴上的点一共有（　　）个。 A．2　　B．3　　C．4　　D．5 3．数轴上表示-2.5的点的位置是（　　）。 A．原点右边2.5个单位长度处 B．原点左边2.5个单位长度处 C．与原点重合 D．正半轴上 4．在下面给出的四个有理数中，相反数等于3的那一个是（　　）。 A．-3　　B．3　　C．　　D．- 5．把下面每一组中的两个式子都化到最简，其中化简以后两个数互为相反数的一组是（　　）。 A．-（-3）与3 B．|-3|与3 C．-3与-|3| D．-（+3）与3 6．在数轴上，点E表示-2，点F表示1.5。关于这两个点以及它们表示的数，下面判断正确的是（　　）。 A．点E在点F的右边 B．点E与原点的距离比点F与原点的距离大 C．点E表示的数比点F表示的数大 D．点E与点F都在负半轴上 7．在数轴上，表示下面四个数的点中，离原点最远的一个表示的数是（　　）。 A．3　　B．0　　C．-5　　D．-4.2 8．在数轴上，从表示4的点出发向左走7个单位长度，落到的那个点表示（　　）。 A．-3　　B．3　　C．11　　D．-11 9．一辆检修车沿东西向的公路行驶，把它向东行驶12km记作+12km，那么它向西行驶30km应记作（　　）km。 10．-5.4这个有理数的相反数是（　　），它的绝对值|-5.4|＝（　　）。 11．数轴上有两个点，一个表示-4，另一个表示1，这两点之间隔着（　　）个单位长度。 12．已知有理数x满足|x|＝3.8，那么x＝（　　）。 　课后作业（二）能力提升 这一组题把两个以上的知识点接在一起用：数轴与绝对值合起来考，相反数与距离合起来考。先想清楚要用哪一条结论，再动笔。 13．数轴上有两个点，到表示2的点的距离都是6个单位长度，这两个点表示的数分别是（　　）和（　　）。 14．把|-3.6|，-|2|，0这三个数先化到最简，再按从小到大的顺序排列，结果是（　　）。 15．验光时把近视50度记作-0.50D，近视100度记作-1.00D。某同学的验光记录是-2.25D，他的近视度数是（　　）度；另一位同学的近视度数是150度，他的验光记录应写作（　　）D。 16．数轴上点P表示-3.2。另有一点Q与点P在原点的同一侧，且点Q到原点的距离是点P到原点距离的一半，点Q表示的数是（　　）。 17．下面的数轴上已经标出了点A与点B。写出这两个点各自表示的数，再在这条数轴上把-1.5与3标出来。 18．下面四个数的前面都带着不止一个符号，请逐个化简并写出结果：-（+2.7），-（-），-[-（-11）]，+[-（+1.3）]。 19．数轴上点A表示-2，点B在点A的右边，且A，B两点间的距离是9个单位长度。点B表示什么数？点B与原点相距多少个单位长度？ 20．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c的相反数是2.5。写出a，b，c的值，再把a，b，c按从小到大的顺序排列。 　课后作业（三）拓展探究 这一组题把数轴、绝对值和新定义接在一起，难度比前两组高一层：先把题目给的每一个条件翻译成数轴上的位置，再一步步推。 21．数轴上点A表示-7。从点A开始，每次都向右移动2个单位长度：移动1次到达点A1，移动2次到达点A2，依此类推。点A1，A2，A3各表示什么数？第几次移动后，所到达的点第一次落在正半轴上？ 22．数轴上点A表示-4，点B表示2。（1）点A与点B之间的距离是多少个单位长度？（2）点C在数轴上，且它到点A的距离与到点B的距离相等，点C表示什么数？ 23．规定：数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离记作d(a，b)。例如d(1，4)＝3。求d(-3，2)与d(-6，-2)的值；若d(a，-1)＝4，且a＜0，求a的值。 24．有同学认为：“不是正数的数就是负数。”把数的范围扩大到有理数以后，这个说法还成立吗？请说明理由。 　参考答案与解析 　题型1　变式：温度、账目、方向与记录表 变式1　【答案】-9 【解析】零上与零下是一对意义相反的量，题目把零上定为正，零下就要写成负数。 零下9摄氏度记作-9℃，负号表示它在0℃以下。 变式2　【答案】-75；不盈不亏 【解析】盈利与亏损意义相反，盈利定为正，亏损就记成负数，所以亏损75元记作-75元。 0是盈与亏的分界，记作0元表示这个月既没有盈利，也没有亏损。 变式3　【答案】D 【解析】具有相反意义的量，必须是同一个方面上方向相反的两件事：收与支、升与降、买进与卖出都成对出现。 D中的“向东”与“向北”是两个不同的方向，不是同一条路线上的一来一回，谈不上意义相反，选D。 变式4　【答案】周二与周五这两天的水位比前一天低了；周三记作0表示这一天的水位与前一天相比既没有上升，也没有下降 【解析】表中的正数表示水位比前一天上升，负数表示比前一天下降。带负号的是周二与周五，所以这两天的水位比前一天低了。 0是上升与下降的分界：周三记作0，说明这一天的水位与前一天一样高，既没升也没降。 　题型2　变式：0的归属、分数形式与集合关系 变式1　【答案】C 【解析】0既不是正数也不是负数，A错；整数里还有-1，-2，……，它们都比0小，B错。 0属于整数，而整数可以写成分数形式，所以它也是有理数，C对；0能写成这样的分数形式，D错。 变式2　【答案】5＝，-3＝-，0.7＝，-1.25＝-；它们都能写成分数形式，所以都是有理数 【解析】整数写成分数形式最简单：把它自己作分子、1作分母，5＝，-3＝-。 有限小数先看它是几位小数：0.7是一位小数，写成；-1.25是两位小数，先写成-，约分后是-。教材用“可以写成分数形式的数”定义有理数，这四个数都写成了分数形式，所以它们都是有理数。 变式3　【答案】非负整数：0，+9；负分数：-1.5，-40% 【解析】“非负整数”指的是0与正整数，所以只有0与+9入选，虽然是正数却不是整数。 负分数要同时满足两条：带负号、不是整数。-1.5与-40%都能写成负分数形式，而-12是负整数，不能算进去。 变式4　【答案】B 【解析】整数包括正整数、0与负整数，A把0漏在了外面；有理数除了正有理数与负有理数，中间还夹着一个0，C也漏了0。 0能写成分数形式，是有理数，D错；正分数与负分数都能写成分数形式，都是有理数，所以B正确。 　题型3　变式：读点、落点、数点与估位置 变式1　【答案】A表示-3，B表示-1.5，C表示0，D表示1，E表示3.5 【解析】读点先看它在原点的哪一边：A，B在左边，读出来是负数；D，E在右边，读出来是正数；C正好落在原点上，表示0。 再数距离：A离原点3个单位长度，B离原点1个半单位长度，D离原点1个单位长度，E离原点3个半单位长度，于是五个点依次表示-3，-1.5，0，1，3.5。 变式2　【答案】-4.5在原点左边4个半单位长度处，-2在原点左边2个单位长度处，0就用原点表示，1与3分别在原点右边1个、3个单位长度处；离原点最远的是-4.5 【解析】先按三要素画好数轴，再把五个数落上去：0落在原点上，-4.5与-2落在原点左边，1与3落在原点右边；-4.5不在整数刻度上，它在-5与-4的正中间。 比“远近”就是比各数与原点的距离：这五个数与原点的距离依次是4.5，2，0，1，3，其中4.5最大，所以-4.5离原点最远。 变式3　【答案】6；2 【解析】从-2到3之间的整数依次是-2，-1，0，1，2，3，一共6个，两端的-2与3也要数进去。 这6个整数里带负号的是-2与-1，所以表示负整数的点有2个，0不算负整数。 变式4　【答案】-1；0；正中间 【解析】-是负数，表示它的点在原点左边；它与原点相距个单位长度，还不到1个单位长度，所以这个点落在-1与0之间。 2.5比2大、比3小，而且与2、3各相距0.5个单位长度，所以它落在2与3这两个刻度的正中间。 把分数、小数落到数轴上时，先看它夹在哪两个整数之间，再看它离哪一端更近。 　题型4　变式：相反数、符号个数与对称点 变式1　【答案】9；0；-4.7； 【解析】求相反数时数字不动、符号相反：-9前面添负号化简得9，4.7添负号得-4.7，-添负号化简得。 0比较特别，它的相反数还是0，这也是相反数里唯一一个等于它本身的数。 变式2　【答案】7；-0.5；-6； 【解析】-（-7）前面有2个“-”号，偶数个，化简得7；-（+0.5）只有1个“-”号，化简得-0.5。 -[-（-6）]前面有3个“-”号，奇数个，化简得-6；+[-（-）]里的“+”号不影响符号，剩下2个“-”号，化简得。 变式3　【答案】-2.4；0 【解析】互为相反数的两个数只有符号不同，2.4的相反数是-2.4，反过来这个数就是-2.4。 在有理数里，只有0取相反数以后还是自己，所以第二个空填0。 变式4　【答案】①√；②√；③√；④× 【解析】①-5与5只有符号不同，互为相反数，①正确；②在有理数里，取相反数以后还等于自己的只有0，②正确。 ③互为相反数的两个数，数字部分相同，所以两点与原点的距离相等，③正确；④0的相反数还是0，这两个数对应的点都落在原点上，并没有分居原点两边，所以④不正确。 　题型5　变式：分情况求绝对值与字母排序 变式1　【答案】8；3.9；；13 【解析】-8与-都是负数，绝对值取它们的相反数，分别是8与；3.9是正数，绝对值就是3.9。 -（-13）要先化简：两个“-”号抵消得13，它是正数，所以绝对值是13。带多重符号的数一定先化简再求绝对值。 变式2　【答案】正数和0；负数和0 【解析】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0也等于它本身，所以第一空是正数和0。 负数的绝对值是它的相反数；0的相反数还是0，绝对值也是0，所以第二空是负数和0。两处都要带上0。 变式3　【答案】C 【解析】|-3|是-3的相反数3，A错；-|5|先算|5|＝5，再取相反数得-5，B错。 -是负数，绝对值是它的相反数，C对；0的绝对值是0不是1，D错。 变式4　【答案】a＝-|a|＜0＜-a＝|a| 【解析】a＜0说明a是负数，它的相反数-a是正数；负数的绝对值等于它的相反数，所以|a|＝-a，也是正数。 |a|是正数，-|a|是|a|的相反数，是负数；又因为|a|＝-a，所以-|a|＝a。于是这五个式子排成：a与-|a|相等且都小于0，0居中，-a与|a|相等且都大于0，即a＝-|a|＜0＜-a＝|a|。 带字母的排序题，先由条件定出每个式子的正负，再按“负数＜0＜正数”排队，相等的式子用等号连在一起。 　题型6　变式：由绝对值倒推原数与非负性 变式1　【答案】n＝-2.5或n＝2.5；x＝-7 【解析】|m|＝|n|说明n与m相等，或者n与m互为相反数。由m＝-2.5得n＝-2.5或n＝2.5。 先化简右边：|-7|＝7，所以|x|＝7，与原点距离7个单位长度的点有两个，x＝7或x＝-7；再由“x是负数”把正的那个排除掉，得x＝-7。 变式2　【答案】-1.5；正 【解析】绝对值是1.5的数有两个，1.5与-1.5，再由m＜0这个条件把正的那个排除掉，得m＝-1.5。 |n|＝n说明n不是负数，又已知n≠0，把0也排除，所以n一定是正数。 变式3　【答案】-2，-1，0，1，2；其中最大的是2 【解析】绝对值小于3，就是数轴上与原点的距离不到3个单位长度，这一段里的整数点有-2，-1，0，1，2。 把它们按从小到大排好，最右边的2就是其中最大的整数。注意3与-3本身的绝对值等于3，不满足“小于3”。 变式4　【答案】不小于0；0 【解析】绝对值是数轴上的点与原点的距离，距离不会是负的：x是正数或负数时|x|大于0，x＝0时|x|＝0，所以|x|不小于0。 由此可知|x|最小的值是0，这时x＝0。只说“|x|大于0”就把x＝0这一种情况漏掉了，这是常见的错答。 　题型7　变式：填符号、找整数、看情境与带字母 变式1　【答案】＞；＞；＜ 【解析】-3与-7都是负数，|-3|＝3，|-7|＝7，3＜7，绝对值小的反而大，所以-3＞-7。 -＝-0.8，|-0.8|＝0.8，|-0.9|＝0.9，0.8＜0.9，所以-＞-0.9；最后一组是负数与0比，0大于负数，所以-＜0。 变式2　【答案】2；-2与-1；-1；1 【解析】负整数是-1，-2，-3，……，其中比-3大的只有-2与-1，共2个；再往右就是0，而0不是负整数。 把负整数按从小到大排是……，-3，-2，-1，最右边的-1最大，所以最大的负整数是-1；正整数按从小到大排是1，2，3，……，最左边的1最小，所以最小的正整数是1。 变式3　【答案】5.4℃＞1.9℃＞-7.2℃＞-15.8℃ 【解析】正数大于0，0大于负数，所以两个正的气温5.4℃与1.9℃排在前面，5.4＞1.9。 两个负的气温比大小：|-7.2|＝7.2，|-15.8|＝15.8，7.2＜15.8，绝对值小的反而大，所以-7.2℃＞-15.8℃。合起来就是5.4℃＞1.9℃＞-7.2℃＞-15.8℃。 变式4　【答案】从左到右依次是表示b，0，a，-b的点；b＜0＜a＜-b 【解析】a是正数，表示a的点在原点右边；b是负数，表示b的点在原点左边；-b是b的相反数，是正数，表示-b的点在原点右边。 |b|＞|a|说明表示b的点比表示a的点离原点远，而表示-b的点与表示b的点到原点的距离相等，所以表示-b的点比表示a的点更靠右。于是四个点从左到右依次是表示b，0，a，-b的点，在数轴上左边的数小于右边的数，所以b＜0＜a＜-b。 　题型8　变式：移动、对称、数距离与算路程 变式1　【答案】点Q表示-5；它的绝对值是5 【解析】向左移动就是往数小的一边走，从-1出发向左数4个单位长度，依次经过-2，-3，-4，落在-5上，所以点Q表示-5。 点Q表示的数是-5，它的绝对值|-5|＝5，这也正是点Q到原点的距离。 变式2　【答案】4.5；-4.5 【解析】互为相反数的两个数，在数轴上的点分别在原点两边，与原点的距离相等，所以原点正好在M，N的正中间。 两点相距9个单位长度，各自与原点相距4.5个单位长度，于是点M表示4.5或-4.5，点N表示的数与它互为相反数。 变式3　【答案】5个单位长度；6个单位长度 【解析】-6与-1都在原点左边，从-6数到-1要经过-5，-4，-3，-2，共5个单位长度，所以相距5个单位长度。 2在原点右边，-4在原点左边，可以先从-4数到原点是4个单位长度，再从原点数到2是2个单位长度，一共6个单位长度，所以相距6个单位长度。 变式4　【答案】点R表示0；小虫一共爬行了13个单位长度 【解析】从表示3的点向左数8个单位长度：先数3个单位长度到原点，还要再数5个单位长度，落在-5上，所以点Q表示-5。 再从表示-5的点向右数5个单位长度，正好回到原点，所以点R表示0。爬行的路程与方向无关，把两次爬行的距离合起来：8个单位长度与5个单位长度合起来是13个单位长度。注意点R表示的数是0，但小虫走过的路程并不是0。 　题型9　变式：找规律与照定义办事 变式1　【答案】-11；不同 【解析】这列数的数字部分依次是1，2，3，……，第几个数的数字就是几；符号则一负一正交替出现。 第11个数排在奇数位上，取负号，所以是-11；第20个数排在偶数位上，取正号，两者符号不同。 变式2　【答案】（-2.5）※1＝-2.5；（-7）※（-0.5）＝-7 【解析】按规定先比绝对值：|-2.5|＝2.5，|1|＝1，2.5＞1，绝对值较大的是-2.5，所以（-2.5）※1＝-2.5。 同样地，|-7|＝7，|-0.5|＝0.5，7＞0.5，绝对值较大的是-7，所以（-7）※（-0.5）＝-7。注意结果要写那个数本身，不是写它的绝对值。 变式3　【答案】点P7表示7；表示负数的点一共有5个 【解析】观察前几个点：下标是几，表示的数的数字部分就是几；下标是奇数时取正号，下标是偶数时取负号。 7是奇数，所以点P7表示7。下标是偶数的点表示负数，点P1到点P10里下标为偶数的有P2，P4，P6，P8，P10，一共5个，它们依次表示-2，-4，-6，-8，-10。 变式4　【答案】max{-6，1.5}＝1.5；max{|-4|，0}＝4；x＝-4或x＜-4 【解析】按规定只要挑出较大的那个数：-6是负数，1.5是正数，正数大于负数，所以max{-6，1.5}＝1.5。 先把式子化简：|-4|＝4，4＞0，所以max{|-4|，0}＝4。若max{x，-4}＝-4，说明两个数中较大的是-4，也就是x不比-4大，所以x＝-4或x＜-4。 　易错专练 易错1　【答案】不正确。例如a＝-2时，-a＝2是正数；a＝0时，-a＝0，既不是正数也不是负数 【解析】错解示例：因为-a的前面带着负号，所以-a一定是负数。 错因：把写在字母前面的那个负号当成了整个式子的符号，忘了字母本身也可能带负号或等于0。 正解：-a表示的是a的相反数。当a＝2时，-a是-2，确实是负数；但当a＝-2时，-a是2，成了正数；当a＝0时，-a是0，既不是正数也不是负数。所以这句话不正确。 提醒：以后见到-a，先问一句“a是正是负还是0”，再判断-a的符号。 易错2　【答案】a是负数或a＝0 【解析】错解示例：绝对值不会是负数，而-a带着负号，所以这样的a根本不存在。 错因：把“-a”直接当成了负数。-a表示a的相反数，当a是负数时，-a恰好是正数，等式完全可能成立。 正解：a是负数时|a|＝-a，正好符合法则；a＝0时|a|＝0，-a＝0，两边相等，也符合；a是正数时|a|＝a，而-a是负数，两边不可能相等。所以满足条件的a是负数或0，也就是a不是正数。 提醒：见到“-a”先判断a的正负，再决定-a是正是负；与绝对值有关的条件题，0这一种情况要单独过一遍。 易错3　【答案】-8＜-3 【解析】错解示例：因为8比3大，所以-8＞-3。 错因：拿两个数去掉负号以后的数字部分直接比大小，忘了“两个负数，绝对值大的反而小”这条法则。 正解：|-8|＝8，|-3|＝3。因为8＞3，绝对值大的反而小，所以-8＜-3。在数轴上也能看清楚：表示-8的点在表示-3的点的左边，左边的数小于右边的数。 提醒：两个负数比大小，比完绝对值一定要把结论反过来写，这一步不能省。 易错4　【答案】缺少原点（图上没有一个点表示0） 【解析】错解示例：图上有直线、有等距排列的刻度，右端还有箭头，三个要素都齐了，这就是数轴。 错因：只数了看得见的线、刻度和箭头，把原点漏掉了。数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，三个缺一不可。 正解：图上相邻两个刻度之间一样长，单位长度有了；右端有箭头，正方向有了；但是没有一个点表示0，原点没有定下来，所以它还不是数轴。把表示0的原点补上，它才成为数轴。 提醒：判断一张图是不是数轴，按原点、正方向、单位长度逐条打勾，最容易漏掉的就是原点。 易错5　【答案】负有理数：-2.5，-；整数：0，+16，6（即-（-6）化简后的结果） 【解析】错解示例：负有理数是-2.5，-，-（-6）；整数只有+16。 错因：一是看见-（-6）带着负号就把它当成了负数，没有先化简；二是把0漏在了整数之外。 正解：-（-6）化简后是6，是正整数，不能算负有理数。带负号的只有-2.5与-，它们是负有理数。整数包括正整数、0与负整数，所以0，+16，-（-6）这三个都是整数。 提醒：分类之前先把每个数化到最简，再看符号；0是整数，只是它既不是正有理数，也不是负有理数。 易错6　【答案】|-2|＞-|-5| 【解析】错解示例：|-2|＝2，|-5|＝5，2＜5，所以|-2|＜-|-5|。 错因：只算了括在绝对值符号里面的部分，把写在绝对值符号外面的那个负号丢了——-|-5|并不是|-5|。 正解：|-2|＝2；-|-5|要分两步，先算|-5|＝5，再取它的相反数，得-5。2是正数，-5是负数，正数大于负数，所以|-2|＞-|-5|。 提醒：见到-|a|这样的式子，先把绝对值算出来，再处理外面的负号；-|a|一定不是正数。 易错7　【答案】-5＜3 【解析】错解示例：因为|-5|＝5，|3|＝3，5＞3，绝对值大的那个数大，所以-5＞3。 错因：“两个负数，绝对值大的反而小”这条法则只管两个负数，而-5与3是异号两数；异号两数比大小只要看正负，用不着比绝对值。 正解：-5是负数，3是正数，正数大于负数，所以-5＜3。在数轴上看也一样：表示-5的点在表示3的点的左边，左边的数小于右边的数。 提醒：比大小前先分堆——异号两数以及与0比，看符号就够了；只有两个负数才需要比绝对值，并且要把结论反过来写。 易错8　【答案】点B表示1或-7 【解析】错解示例：从-3出发移动4个单位长度，落在1上，所以点B表示1。 错因：题目只说“沿数轴移动4个单位长度”，并没有说往哪个方向移动，向右、向左都有可能，只答一个就漏了一半。 正解：向右移动4个单位长度时，从-3依次数到-2，-1，0，1，点B表示1；向左移动4个单位长度时，从-3依次数到-4，-5，-6，-7，点B表示-7。所以点B表示1或-7。 提醒：题目没有指定方向、也没有给出正负条件时，答案通常有两个；写完先回头看一眼，条件是不是真的把另一种情形排除掉了。 　课后作业（一）基础过关 1．【答案】C 【解析】负数是在正数前面加上“-”号的数，四个选项里只有-带负号。 +3与1.7都是正数，0既不是正数也不是负数，所以选C。 2．【答案】B 【解析】负有理数就是带负号的有理数，这里有-3，-，-2.4，共3个。 0.5与12是正有理数，0既不是正有理数也不是负有理数，所以选B。 3．【答案】B 【解析】-2.5是负数，表示它的点在负半轴上，也就是原点的左边。 它与原点的距离是2.5个单位长度，所以选B。 4．【答案】A 【解析】互为相反数的两个数只有符号不同：-3前面添上负号化简得3，所以-3的相反数是3。 3的相反数是-3，与-互为相反数，都不符合要求，所以选A。 5．【答案】D 【解析】先把每一组中的式子化到最简：-（-3）＝3，|-3|＝3，-|3|＝-3，-（+3）＝-3。 A、B两组化简后都是3与3，两个数相等；C组化简后是-3与-3，也相等；只有D组化简后是-3与3，它们只有符号不同，互为相反数，所以选D。 6．【答案】B 【解析】-2是负数，点E在原点左边；1.5是正数，点F在原点右边，所以点E在点F的左边，A错，D也错。 |-2|＝2，|1.5|＝1.5，2＞1.5，所以点E与原点的距离大，B对；负数小于正数，-2＜1.5，C错。 7．【答案】C 【解析】一个点离原点有多远，就看它表示的数的绝对值：|3|＝3，|0|＝0，|-5|＝5，|-4.2|＝4.2。 5最大，所以表示-5的点离原点最远，选C。注意“离原点最远”问的是绝对值最大，不是这个数最大——这四个数中最大的其实是3。 8．【答案】A 【解析】向左移动就是往数小的一边走，从4出发向左数7个单位长度，经过3，2，1，0，-1，-2，落在-3上。 所以得到的点表示-3，选A。移动的单位长度数比原来的数大时会越过原点，符号跟着变。 9．【答案】-30 【解析】向东行驶与向西行驶是一对意义相反的量，题目把向东定为正。 所以向西行驶30km要记作-30km，括号里填-30。 10．【答案】5.4；5.4 【解析】-5.4的相反数只改符号不改数字，是5.4。 -5.4是负数，它的绝对值等于它的相反数，所以|-5.4|＝5.4。负数的相反数与绝对值恰好相等。 11．【答案】5 【解析】从-4数到原点是4个单位长度，从原点数到1是1个单位长度。 两段合起来是5个单位长度，所以这两点间的距离是5个单位长度。 12．【答案】3.8或-3.8 【解析】绝对值是3.8的数，在数轴上对应与原点距离3.8个单位长度的两个点。 这两个点分别在正、负半轴上，所以x＝3.8或x＝-3.8，两个值缺一不可。 　课后作业（二）能力提升 13．【答案】8；-4 【解析】到定点距离相等的点，在这个定点的左右各有一个，要分两边找。 从表示2的点向右数6个单位长度落在8上；向左数6个单位长度，先数2个到原点，再数4个，落在-4上。所以这两个点分别表示8和-4。 14．【答案】-|2|＜0＜|-3.6| 【解析】先化简：|-3.6|＝3.6，是正数；-|2|先算|2|＝2，再取相反数得-2，是负数；0既不是正数也不是负数。 负数小于0，0小于正数，所以-2＜0＜3.6，写成原来的式子就是-|2|＜0＜|-3.6|。绝对值符号外面的负号不能丢，这是本题的关键。 15．【答案】225；-1.50 【解析】记录里的数与近视度数之间的换算，从两个例子就能看出来：近视50度记作-0.50D，近视100度记作-1.00D，也就是把度数缩小到百分之一再添上负号。 -2.25D还原成度数是225度；近视150度按同样的方式记录，写作-1.50D。负号在这里表示的是近视，并不是“度数是负的”。 16．【答案】-1.6 【解析】点P表示-3.2，它到原点的距离是|-3.2|＝3.2个单位长度；一半就是1.6个单位长度。 点Q与点P同在原点左边，所以点Q表示的是负数；它与原点相距1.6个单位长度，因此点Q表示-1.6。 17．【答案】点A表示-3，点B表示2；-1.5的点落在-2与-1这两个刻度的正中间，3的点落在点B右边1个单位长度处 【解析】点A在原点左边3个单位长度处，表示-3；点B在原点右边2个单位长度处，表示2。 再在同一条数轴上标两个数：-1.5是负数，落在-2与-1的正中间；3落在原点右边3个单位长度处，也就是点B右边1个单位长度处。 18．【答案】-2.7；；-11；-1.3 【解析】-（+2.7）只有1个“-”号，化简得-2.7；-（-）有2个“-”号，化简得。 -[-（-11）]有3个“-”号，奇数个，化简得-11；+[-（+1.3）]中的“+”号不起作用，只剩1个“-”号，化简得-1.3。 19．【答案】点B表示7；点B与原点相距7个单位长度 【解析】点B在点A右边，从-2出发向右数9个单位长度：先数2个单位长度到原点，还要再数7个单位长度，落在7上，所以点B表示7。 点B与原点的距离就是7的绝对值，|7|＝7，所以相距7个单位长度。 20．【答案】a＝-1，b＝0，c＝-2.5；c＜a＜b 【解析】负整数按从小到大排是……，-3，-2，-1，最右边的-1最大，所以a＝-1；绝对值就是到原点的距离，距离最小的点是原点本身，所以b＝0。 c的相反数是2.5，求相反数只改符号不改数字，所以c＝-2.5。再排序：a与c都是负数，|a|＝1，|c|＝2.5，1＜2.5，绝对值小的反而大，所以c＜a；0大于负数，于是c＜a＜b。 　课后作业（三）拓展探究 21．【答案】点A1表示-5，点A2表示-3，点A3表示-1；第4次移动后第一次落在正半轴上 【解析】每向右移动一次，落点就往正方向数2个单位长度：从-7数2个单位长度到-5，再数2个到-3，再数2个到-1，所以点A1，A2，A3依次表示-5，-3，-1。 接着从-1向右数2个单位长度落在1上。-5，-3，-1都是负数，对应的点都在负半轴上，而1是正数，对应的点在正半轴上，所以第4次移动后第一次落在正半轴上。 22．【答案】（1）6个单位长度；（2）点C表示-1 【解析】（1）点A在原点左边4个单位长度处，点B在原点右边2个单位长度处，两点分居原点两侧，把两段距离合起来，A、B相距6个单位长度。 （2）点C到A、B两点的距离相等，说明它正好在A、B的正中间：A、B相距6个单位长度，各分一半是3个单位长度，从-4向右数3个单位长度落在-1上，所以点C表示-1。 23．【答案】d(-3，2)＝5；d(-6，-2)＝4；a＝-5 【解析】-3与2分居原点两侧，把两段距离合起来：3个单位长度与2个单位长度合起来是5个单位长度，所以d(-3，2)＝5。 -6与-2都在原点左边，用远的减去近的：6个单位长度减去2个单位长度是4个单位长度，所以d(-6，-2)＝4。 与表示-1的点相距4个单位长度的点有两个：向右数4个单位长度落在3上，向左数4个单位长度落在-5上；再由a＜0把3排除，所以a＝-5。 24．【答案】不成立 【解析】有理数按符号分成正有理数、0、负有理数三类，除了正数与负数，中间还夹着一个0。 0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。所以“不是正数的数”可能是负数，也可能是0，这个说法不成立。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $