第03讲绝对值与有理数大小的比较 2026-2027学年人教版七年级数学上册暑假预习讲义（知识点+题型精讲）

第03讲 绝对值与有理数大小的比较 目录 知识点1 绝对值的定义（几何+代数） 2 知识点2 绝对值核心性质 2 知识点3 有理数大小比较法则 2 知识点4 数轴与绝对值关联公式 3 题型1 绝对值的几何意义 3 题型2 求一个数的绝对值 4 题型3 绝对值非负性 5 题型4 绝对值的其他应用 8 题型5 有理数大小比较 9 题型6 有理数大小比较的实际应用 11 题型7 含字母绝对值化简 14 题型8 绝对值培优模型 18 题型9 数轴距离综合题 26 1. 理解绝对值的几何意义与代数定义，掌握绝对值的表示方法，明确绝对值的非负性核心性质。 2. 熟练掌握任意有理数绝对值的求解方法，能快速化简基础绝对值算式。 3. 吃透绝对值非负性考点，掌握“几个非负数和为0，则各自为0”的核心解题模型。 4. 系统掌握有理数大小比较的两种方法（数轴法、绝对值法），能灵活比较多个有理数的大小。 5. 会结合生活场景进行有理数大小比较，解决对应的实际应用问题。 6. 掌握含字母绝对值的化简思路，能根据字母取值范围判断正负、去绝对值符号。 7. 熟练掌握绝对值培优常见模型，突破绝对值最值、定值类难点题型。 8. 结合数轴距离公式，攻克数轴与绝对值综合题型，构建完整的数轴绝对值知识体系。 知识点1 绝对值的定义（几何+代数） 1. 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作。 核心本质：距离一定大于或等于0，因此绝对值没有负数。 2. 代数意义（去绝对值核心公式） 若，则（正数的绝对值是它本身）； 若，则（0的绝对值是0）； 若，则（负数的绝对值是它的相反数）。 知识点2 绝对值核心性质 1. 非负性：任意有理数的绝对值都满足 ，绝对值最小的数是0； 2. 互为相反数的两个数绝对值相等：； 3. 绝对值等于本身的数：非负数（正数和0）； 4. 绝对值等于相反数的数：非正数（负数和0）； 5. 若，则或。 知识点3 有理数大小比较法则 1. 数轴比较法（万能法）：数轴上右边的数始终大于左边的数，即左小右大。 2. 代数比较法（口诀） 正数＞0＞负数，正数大于一切负数； 两个正数比较：绝对值大的数更大； 两个负数比较：绝对值大的数反而小（核心重难点）。 知识点4 数轴与绝对值关联公式 1.：表示数a的点到原点的距离； 2. ：表示数轴上数a、数b两点之间的距离； 3. ：可转化为两点距离求解。 题型1 绝对值的几何意义 解题技巧： 1. 绝对值本质是距离，距离无负值，所有绝对值结果均≥0； 2. ，表示数轴上到原点距离为m的点，对应两个数和； 3. ，表示数轴上的点只能是原点，即； 4. 几何题型优先画图，通过数轴距离直观解题，规避计算错误。 【典例1】．数轴上不同的两点M、N到原点距离相等，已知点M表示，则点N表示的数是（     ） A．5 B． C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据数轴的性质，到原点距离相等的两个不同点表示的数互为相反数，利用该性质即可求解． 【详解】解：∵数轴上不同的两点M、N到原点距离相等， ∴点M和点N表示的数互为相反数， ∵点M表示的数为，的相反数是， ∴点N表示的数是． 【变式1】．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵数轴上某点到原点的距离等于该点所表示的数的绝对值． ∴分别计算各选项的绝对值∶，，，． 比较大小得， ∴对应的点与原点距离最近． 【变式2】．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 【变式3】．数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是_____. 【答案】 【分析】根据数轴上点到原点距离的定义，结合绝对值的性质求解，所求数的绝对值等于3，即可得到对应的数． 【详解】设该点表示的数为，由题意得， 解得或， ∴数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是． 题型2 求一个数的绝对值 解题技巧： 1. 先判断数的正负，再套代数公式化简； 2. 正数、0直接去绝对值符号，负数去掉符号后取相反数； 3. 多层绝对值：从内到外逐层化简，先算内层，再算外层； 4. 易错提醒：结果一定非负，算出负数直接判定错误。 【典例2】．（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 【变式1】．的绝对值是（ ） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】解：． 【变式2】．若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式3】．若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 题型3 绝对值非负性 解题技巧： 1. 核心考点：绝对值是典型非负数，初中三大非负数：绝对值、平方、算术平方根； 2. 万能模型：若几个非负数的和为0，则每一个非负数必须单独为0； 3. 常见考法：，直接得； 4. 解题步骤：列式为0→分别求解未知数→代入求值。 【典例3】．如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． 【变式1】．下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值、相反数、正负数的定义，熟练掌握绝对值、相反数、正负数的定义是解题的关键． 根据绝对值、相反数、正负数的定义判断各说法的正误即可． 【详解】对于①：绝对值最小的数是0，不是1，∴①不正确； 对于②：0既不是正数也不是负数，∴②正确； 对于③：0的相反数是0，∴③正确； 对于④：绝对值等于本身的数是非负数（包括0和正数），不一定是正数，∴④不正确； ∴不正确的有①和④，共2个， 故选：B． 【变式2】．若，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了非负性的性质，解决本题的关键是求解出a与b的值． 利用绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分为零，求出a和b的值运算即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式3】．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 题型4 绝对值的其他应用 解题技巧： 1. 误差检测问题：零件、产品误差绝对值越小，产品越标准、质量越好； 2. 行程距离问题：路程只看绝对值，与运动方向无关； 3. 温差、波动问题：用绝对值计算数值波动幅度； 4. 解题关键：脱离正负意义，只关注数值大小、波动距离。 【典例4】．在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】零件误差的精确程度由误差的绝对值决定，误差的绝对值越小，精确程度越高，只需计算各选项误差的绝对值并比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵ 误差的精确程度由误差的绝对值决定，绝对值越小，精确程度越高， ∵ ，，， ， 又∵ ， ∴ 的误差绝对值最小，精确程度最高． 【变式1】．某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是选项C． 【变式2】．检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 【答案】 丁 【详解】解：∵，，，，且 ， ∴最小，即丁球偏离标准质量的偏差最小，因此最接近标准质量的球是丁． 【变式3】．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 题型5 有理数大小比较 解题技巧： 1. 数的分类比较：正数最大，0居中，负数最小； 2. 两负数比较必考口诀：绝对值越大，数值越小； 3. 多个数排序：先区分正负，再分别比较，最后整体排序； 4. 通用方法：全部标在数轴上，从左到右即为从小到大顺序。 【典例5】．下列四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较的性质：正数大于0，0大于负数，两个正数比较，数值大的数更大即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 四个数中最大的数是8． 【变式1】．下列不等式关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值性质、分数通分比较法、负数比较大小规则，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：逐个判断各选项： 对于A选项，∵ ，，，∴ ，A错误． 对于B选项，∵ ，，， ∴ ，B正确． 对于C选项，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小， ∵ ， ∴ ，C错误． 对于D选项，∵ 负数小于一切正数，为负数，为正数， ∴ ，D错误． 【变式2】．比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 【变式3】．比较大小：______________． 【答案】 【分析】先求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，根据两个负数绝对值大的反而小得到结果． 【详解】解：，， 又， ． 题型6 有理数大小比较的实际应用 解题技巧： 1. 温度比较：零下温度数值越大，实际温度越低； 2. 海拔比较：负数海拔，绝对值越大，位置越低； 3. 盈亏、涨跌比较：结合正负含义，正数代表盈利/上涨，负数代表亏损/下跌； 4. 答题规范：先比较数值，再结合题干实际意义作答。 【典例6】．比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据允许误差求出符合标准的乒乓球直径的取值范围，再判断各选项的数值是否在范围内即可得到答案． 【详解】解：∵标准直径为，允许误差为 ∴符合标准的直径满足 即 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，符合标准； 选项D：，不符合． 【变式1】．某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【答案】3 【分析】比较各种房间预订数量的多少可得答案． 【详解】解：∵， ∴三人间市场需求最高， ∴最应该多设置床位数量为3的客房． 【变式2】．科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【答案】(1)13 (2)147万件 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较表格中的数据即可确定分拣包裹数量最多的一天和最少的一天，再进行相减即可求解最多的一天比最少的一天多分拣多少； （2）先计算原计划天的分拣量，再将表格数据相加得到的和再与原计划天的分拣量相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴周六的分拣量高出原计划7万件，最多；周日的分拣量低于原计划6万件，最少； ∴最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹； （2）解：（万件） 答：该仓库本周实际一共分拣147万件包裹． 【变式3】．小明和小红在做运算游戏，他们分别从一摞混合三角形和正方形的卡片中抽取四张，游戏规定：从数字5开始运算，三角形表示减卡片上的数字，正方形表示加卡片上的数字，按抽到的卡片顺序依次计算，结果大者获胜．抽取结果如图： (1)小明的算式为： _________ (2)通过计算说明小明和小红谁获胜． 【答案】(1) (2)小红获胜，说明见解析 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的规定列式即可； （2）根据题中的规定计算出两人的得分，比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：； （2）解：小明： ， 小红： 因为， 所以小红获胜． 题型7 含字母绝对值化简 解题技巧： 1. 化简核心：先判正负，再去绝对值，正负未知不能随意化简； 2. 已知范围：根据题干给出的字母取值范围，判断绝对值内部式子的正负； 3. 正负判定后：正留本身，负变相反数，0直接为0； 4. 无范围分类讨论：字母正负不确定时，分正数、0、负数三种情况讨论。 【典例7】．有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)＞，＝，＞，＜， (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，在数轴上表示有理数，利用数轴判断式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察数轴，得，，故，，，结合，得，即可作答． （2）先化简绝对值，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：观察数轴，得，， ∴，，， ∵ ∴， ∴， （2）解： ． 【变式1】．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 【变式2】．（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【答案】（1）2（2）或2；（3）7；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （3）由绝对值的几何意义可知式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （4）由绝对值的几何意义可知式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，当表示x的点位于3和6之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则， 由题意得，， 故答案为：2； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或2； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端）， ∵， ∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为7； （4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：3． 【变式3】．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 题型8 绝对值培优模型 解题技巧： 1. 最值模型：单个绝对值最小值为0，当且仅当时取到； 2. 和式最值模型：，最小值为a、b两点距离，x在两点之间可取最小值； 3. 定值模型：判断x取值范围，消去变量得到固定数值； 4. 培优解题关键：结合数轴几何意义，不用复杂计算，直观求解最值。 【典例8】．已知a是最大的负整数，b、c满足，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，点C表示的数为______． (2)若动点P以每秒3个单位长度从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q以每秒1个单位长度同时从点B出发沿数轴负方向运动．设运动时间为t秒时，点P，点Q之间的距离为3，求点P、C两点之间的距离． 【答案】(1)；3； (2)或 【分析】本题考查负整数，绝对值和平方的非负性，两点间的距离． （1）由最大负整数的定义求出a，根据绝对值和平方的非负性求出b，c，即可解答； （2）当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P与点Q的距离为3得到，求解得到t的值，从而得到点P所表示的数，再根据两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴． ∵，，且， ∴，， ∴，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为． 故答案为：；3；． （2）解：当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P，点Q之间的距离为3， ∴， 解得或， 当时，点P表示的数， ∴点P、C两点之间的距离为； 当时，点P表示的数， ∴点P、C两点之间的距离为； 综上所述，点P、C两点之间的距离为或． 【变式1】．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【答案】(1)，4 (2)4.5或9 (3)每秒个单位 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）由题意得，点P表示的数为，分别表示出、的长，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）利用两点间的距离求出，设，动点C，D运动的速度为，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧，分析可得；要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间，分析可得，联立方程即可求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴t的值为4.5或9； （3）解：， C，D为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，动点C，D运动的速度为， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为3秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 即， 解得， 点的速度为每秒个单位． 【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的和与差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，运用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式2】．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 【变式3】．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 题型9 数轴距离综合题 解题技巧： 1. 距离公式：数轴上A(a)、B(b)两点距离 ； 2. 已知距离求点：分左右两个方向，一般有两个解，切勿漏解； 3. 点的平移+距离综合：先根据平移算出新数，再代入距离公式计算； 4. 动点综合：设动点表示的数，用绝对值列式，结合方程求解。 【典例9】．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 【变式1】．如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1)直接写出______，_______； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； (3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10；22 (2)①；②22 (3)存在，或11 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案；②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：10，22； （2）解：①∵点P为线段的中点， ∴， ∴， 解得． ②∵点P为线段上的一个动点， ∴， （3）解：∵动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， ∴， ∴点M表示的数为； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为． 当时，， ∴或， 解得或； 当时，， ∴或， 解得或． ∴存在t值，使得，或11． 【变式2】．数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)8 (2)或 (3)、、、、、 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握“绝对值表示数轴上两点之间的距离”是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，计算与在数轴上的距离； （2）将变形为，结合距离的意义列方程求解； （3）根据的几何意义（到和的距离和），分析的取值范围后确定整数解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴或， 即或， ∴或； （3）解：∵表示到和的距离和，且与在数轴上的距离为， ∴在到之间（含和）． ∴符合条件的整数为：，，，，，． 【变式3】．数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移． （1）若点表示的数是，点表示的数是，，求的值． （2）如图1，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点A，B表示的数互为相反数．动点P，Q分别同时从点A，C出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒2个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为．当点P，Q之间的距离为2时，求此时的值． 【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图2：标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位角度．若射线表示，射线表示，则： 【应用】（3）如图3所示，已知，，，射线，同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒 ．当为何值时，？ 【答案】（1）7或；（2）或0；（3）或5 【分析】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上的距离公式列出方程即可求解； （2）依题意得，的值为，的值为6，c的值为10，根据数轴上的距离公式列出方程，再解方程即可； （3）由题意得，，再分两种情况讨论：①、重合前；②、重合后，根据题意分别列出方程，再解方程求解即可． 【详解】（1）∵点表示的数是，点表示的数是，， ， 或， 或， 答：的值为7或； （2）∵点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点A，B表示的数互为相反数， ，， ， ， ， 点表示的数为，点表示的数为， ， 解得或， 当时，； 当时，； 的值为或0， 答：当点P，Q之间的距离为2时，此时的值为或0； （3）由题意得，， ①、重合前， ， ， ， ； ②、重合后， ， ， ， ； ∴当为或5时，， 答：当为或5时，． 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 2．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 3．等于（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 4．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 5．比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偏差的绝对值越小，乒乓球质量越接近标准质量，则只需比较各选项偏差的绝对值大小即可得到结果． 【详解】∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小， 分别计算各选项偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵ ， ∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量． 6．某气象站记录了以下四个地点当日的平均气温，如图所示，则其中平均气温最低的地区是（     ）      A．鼓浪屿 B．佳木斯 C．颐和园 D．北安 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值越大的负数数值越小进行比较即可． 【详解】解：首先整理四个地点的平均气温：鼓浪屿，佳木斯，颐和园，北安， 根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值越大的负数数值越小， 可得大小关系：， ∴平均气温最低的地区是北安． 7．根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴气温最低的值为，对应景区是罗浮山． 8．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 9．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 10．（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 11．①一个整数不是正数就是负数； ②一定不是负数；③数轴上的点只能表示有理数；④一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数．上述说法正确的是_________（填写序号）． 【答案】 ②④ 【分析】根据有理数的分类，绝对值的性质，数轴的意义，相反数的性质，逐个判断四个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①整数分为正整数、0、负整数，0既不是正数也不是负数，因此一个整数还可能是0，故①错误； ②根据绝对值的非负性，可得，因此一定不是负数，故②正确； ③不是有理数，但也可以表示在数轴上，则数轴上的点不仅可以表示有理数，故③错误； ④正数的相反数是负数（小于它本身），负数的相反数是正数（大于它本身），0的相反数是0（等于它本身），则正数和0的相反数不大于它本身，所以一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数，故④正确． 则正确的说法有②④． 12．市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 【答案】 ⑤ 【分析】本题考查正数和负数的意义，以及绝对值的作用，解题的关键是理解绝对值的意义． 比较各编号超出标准重量的绝对值，绝对值越小表示越接近标准重量． 【详解】解：计算各编号超出标准重量的绝对值：①，②，③，④，⑤，⑥． ∵， ∴绝对值最小为0.01，对应编号⑤． 故答案为⑤． 13．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 14．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 15．科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期________，最少的一天是星期______，最多的一天比最少的一天多分拣_______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【答案】(1)六，日，13 (2)144万件 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的大小比较，有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较表格中的数据即可确定分拣包裹数量最多的一天和最少的一天，再进行相减即可求解最多的一天比最少的一天多分拣多少； （2）先计算原计划天的分拣量，再将表格数据相加得到的和再与原计划天的分拣量相加即可求解． 【详解】（1）解：由表格可得，， ∴周六的分拣量高出原计划6万件，最多；周日的分拣量低于原计划7万件，最少； 最多的一天比最少的一天多分拣：， 故答案为：六，日，13 （2）解：（万件） 答：该仓库本周实际一共分拣144万件包裹． 16．小明在探究有理数大小比较的方法时，观察到两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，让我们来和小明一起完成他的探究． (1)观察并补全下表： 已知 计算 比较大小 a b 与0 a与b 5 3 2 2     0 (2)发现规律： 若，则a b；若，则a b；若，则； (3)应用扩展： 在整式中，整式A和整式B也是满足上述规律的，请利用上面发现的规律解决问题． ①比较大小： ； ②整式，整式，试讨论比较整式与整式的大小． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；②当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了有理数的减法运算，有理数的大小比较，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算即可补全表格； （2）根据规律填空即可； （3）①先计算与的差，再结合（2）中的规律即可得出结论；②先计算，再根据计算结果分类讨论即可． 【详解】（1）解：， 补全下表如下： 已知 计算 比较大小 a b 与0 a与b 5 3 2 2 5 0 （2）解：若，则；若，则；若，则； 故答案为：；； （3）解：①， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ② ， 当时，即，，则； 当时，即，，则； 当时，即，，则； ∴综上所述，当时，；当时，；当时，． 17．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______用含的式子表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，且点，，同时出发． 当为何值时，点、两点到点的距离相等？ 式子的值不随时间的变化而变化，求的值． 【答案】(1)，，； (2)①或；② 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性、数轴上两点距离、整式的加减运算及一元一次方程的应用，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性、数轴上两点距离及一元一次方程的应用是解题的关键； （1）根据绝对值与偶次幂的非负性可进行求解； （2）①根据题意可分当点在点的右边时，即，当点和点重合，即，进而分类进行求解即可； ②根据题意可知，，，然后可根据整式加减运算中无关型问题进行求解即可． 【详解】（1）解：数轴上两点、对应的数分别为、，且， ，， ，， 点、表示的数分别为、， 点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：①点、到点的距离相等，有两个时间点， 当点在点的右边时，即， ∴， 解得：， 当点和点重合，即， ， 解得：， 当的值为或时，点、两点到点的距离相等； 根据题意可知，，， ， 式子的值不随时间的变化而变化， ， ， 的值为． 18．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足． (1)求m，n的值； (2)①有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m．则玩具火车的长为______个单位长度； ②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，求出此时点A所表示的数； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①4；②5或 (3)存在，，这个定值是16 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示相关点所表示的数． （1）由绝对值，偶次方的非负性可得答案； （2）①求出，根据当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m，知，即玩具火车的长为4个单位长度； ②设A表示的数为x，则B表示的数为，可得，即可解得答案； （3）求出A表示的数为，B表示的数，根据已知可得，，故，知，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：①， ∵当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m， ∴， ∴玩具火车的长为4单位长度； 故答案为：4； ②设A表示的数为x，则B表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 即或， 解得或； ∴A表示的数为5或； （3）解：存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，理由如下： 由（2）①知A表示的数为，B表示的数， ∵火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动后对应的位置为， ∴表示的数为，表示的数为， ∵点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴P表示的数为，Q表示的数为， ∴，， ∴， 的值与它们的运动时间t无关，则， 解得， 此时， ∴存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，，这个定值是16． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 绝对值与有理数大小的比较 目录 知识点1 绝对值的定义（几何+代数） 2 知识点2 绝对值核心性质 2 知识点3 有理数大小比较法则 2 知识点4 数轴与绝对值关联公式 3 题型1 绝对值的几何意义 3 题型2 求一个数的绝对值 3 题型3 绝对值非负性 4 题型4 绝对值的其他应用 5 题型5 有理数大小比较 6 题型6 有理数大小比较的实际应用 6 题型7 含字母绝对值化简 7 题型8 绝对值培优模型 9 题型9 数轴距离综合题 11 1. 理解绝对值的几何意义与代数定义，掌握绝对值的表示方法，明确绝对值的非负性核心性质。 2. 熟练掌握任意有理数绝对值的求解方法，能快速化简基础绝对值算式。 3. 吃透绝对值非负性考点，掌握“几个非负数和为0，则各自为0”的核心解题模型。 4. 系统掌握有理数大小比较的两种方法（数轴法、绝对值法），能灵活比较多个有理数的大小。 5. 会结合生活场景进行有理数大小比较，解决对应的实际应用问题。 6. 掌握含字母绝对值的化简思路，能根据字母取值范围判断正负、去绝对值符号。 7. 熟练掌握绝对值培优常见模型，突破绝对值最值、定值类难点题型。 8. 结合数轴距离公式，攻克数轴与绝对值综合题型，构建完整的数轴绝对值知识体系。 知识点1 绝对值的定义（几何+代数） 1. 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作。 核心本质：距离一定大于或等于0，因此绝对值没有负数。 2. 代数意义（去绝对值核心公式） 若，则（正数的绝对值是它本身）； 若，则（0的绝对值是0）； 若，则（负数的绝对值是它的相反数）。 知识点2 绝对值核心性质 1. 非负性：任意有理数的绝对值都满足 ，绝对值最小的数是0； 2. 互为相反数的两个数绝对值相等：； 3. 绝对值等于本身的数：非负数（正数和0）； 4. 绝对值等于相反数的数：非正数（负数和0）； 5. 若，则或。 知识点3 有理数大小比较法则 1. 数轴比较法（万能法）：数轴上右边的数始终大于左边的数，即左小右大。 2. 代数比较法（口诀） 正数＞0＞负数，正数大于一切负数； 两个正数比较：绝对值大的数更大； 两个负数比较：绝对值大的数反而小（核心重难点）。 知识点4 数轴与绝对值关联公式 1.：表示数a的点到原点的距离； 2. ：表示数轴上数a、数b两点之间的距离； 3. ：可转化为两点距离求解。 题型1 绝对值的几何意义 解题技巧： 1. 绝对值本质是距离，距离无负值，所有绝对值结果均≥0； 2. ，表示数轴上到原点距离为m的点，对应两个数和； 3. ，表示数轴上的点只能是原点，即； 4. 几何题型优先画图，通过数轴距离直观解题，规避计算错误。 【典例1】．数轴上不同的两点M、N到原点距离相等，已知点M表示，则点N表示的数是（     ） A．5 B． C．0 D．无法确定 【变式1】．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 【变式2】．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【变式3】．数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是_____. 题型2 求一个数的绝对值 解题技巧： 1. 先判断数的正负，再套代数公式化简； 2. 正数、0直接去绝对值符号，负数去掉符号后取相反数； 3. 多层绝对值：从内到外逐层化简，先算内层，再算外层； 4. 易错提醒：结果一定非负，算出负数直接判定错误。 【典例2】．（     ） A． B． C．3 D． 【变式1】．的绝对值是（ ） A． B． C． D．2026 【变式2】．若，则 __________． 【变式3】．若，则_________． 题型3 绝对值非负性 解题技巧： 1. 核心考点：绝对值是典型非负数，初中三大非负数：绝对值、平方、算术平方根； 2. 万能模型：若几个非负数的和为0，则每一个非负数必须单独为0； 3. 常见考法：，直接得； 4. 解题步骤：列式为0→分别求解未知数→代入求值。 【典例3】．如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．若，则的值为_________． 【变式3】．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 题型4 绝对值的其他应用 解题技巧： 1. 误差检测问题：零件、产品误差绝对值越小，产品越标准、质量越好； 2. 行程距离问题：路程只看绝对值，与运动方向无关； 3. 温差、波动问题：用绝对值计算数值波动幅度； 4. 解题关键：脱离正负意义，只关注数值大小、波动距离。 【典例4】．在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 【变式3】．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 题型5 有理数大小比较 解题技巧： 1. 数的分类比较：正数最大，0居中，负数最小； 2. 两负数比较必考口诀：绝对值越大，数值越小； 3. 多个数排序：先区分正负，再分别比较，最后整体排序； 4. 通用方法：全部标在数轴上，从左到右即为从小到大顺序。 【典例5】．下列四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列不等式关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．比较大小：________．(填“”“”或“”) 【变式3】．比较大小：______________． 题型6 有理数大小比较的实际应用 解题技巧： 1. 温度比较：零下温度数值越大，实际温度越低； 2. 海拔比较：负数海拔，绝对值越大，位置越低； 3. 盈亏、涨跌比较：结合正负含义，正数代表盈利/上涨，负数代表亏损/下跌； 4. 答题规范：先比较数值，再结合题干实际意义作答。 【典例6】．比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【变式2】．科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【变式3】．小明和小红在做运算游戏，他们分别从一摞混合三角形和正方形的卡片中抽取四张，游戏规定：从数字5开始运算，三角形表示减卡片上的数字，正方形表示加卡片上的数字，按抽到的卡片顺序依次计算，结果大者获胜．抽取结果如图： (1)小明的算式为： _________ (2)通过计算说明小明和小红谁获胜． 【 题型7 含字母绝对值化简 解题技巧： 1. 化简核心：先判正负，再去绝对值，正负未知不能随意化简； 2. 已知范围：根据题干给出的字母取值范围，判断绝对值内部式子的正负； 3. 正负判定后：正留本身，负变相反数，0直接为0； 4. 无范围分类讨论：字母正负不确定时，分正数、0、负数三种情况讨论。 【典例7】．有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0； (2)化简：． 【变式1】．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【变式2】．（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【变式3】．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 题型8 绝对值培优模型 解题技巧： 1. 最值模型：单个绝对值最小值为0，当且仅当时取到； 2. 和式最值模型：，最小值为a、b两点距离，x在两点之间可取最小值； 3. 定值模型：判断x取值范围，消去变量得到固定数值； 4. 培优解题关键：结合数轴几何意义，不用复杂计算，直观求解最值。 【典例8】．已知a是最大的负整数，b、c满足，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，点C表示的数为______． (2)若动点P以每秒3个单位长度从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q以每秒1个单位长度同时从点B出发沿数轴负方向运动．设运动时间为t秒时，点P，点Q之间的距离为3，求点P、C两点之间的距离． 【变式1】．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【变式2】．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【变式3】．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 题型9 数轴距离综合题 解题技巧： 1. 距离公式：数轴上A(a)、B(b)两点距离 ； 2. 已知距离求点：分左右两个方向，一般有两个解，切勿漏解； 3. 点的平移+距离综合：先根据平移算出新数，再代入距离公式计算； 4. 动点综合：设动点表示的数，用绝对值列式，结合方程求解。 【典例9】．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【变式1】．如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1)直接写出______，_______； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； (3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】．数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【变式3】．数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移． （1）若点表示的数是，点表示的数是，，求的值． （2）如图1，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点A，B表示的数互为相反数．动点P，Q分别同时从点A，C出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒2个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为．当点P，Q之间的距离为2时，求此时的值． 【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图2：标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位角度．若射线表示，射线表示，则： 【应用】（3）如图3所示，已知，，，射线，同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒 ．当为何值时，？ 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 2．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．等于（     ） A．2027 B． C． D． 4．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 5．比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 6．某气象站记录了以下四个地点当日的平均气温，如图所示，则其中平均气温最低的地区是（     ）      A．鼓浪屿 B．佳木斯 C．颐和园 D．北安 7．根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 8．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 9．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 10．（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 11．①一个整数不是正数就是负数； ②一定不是负数；③数轴上的点只能表示有理数；④一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数．上述说法正确的是_________（填写序号）． 12．市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 13．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 14．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 15．科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期________，最少的一天是星期______，最多的一天比最少的一天多分拣_______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 16．小明在探究有理数大小比较的方法时，观察到两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，让我们来和小明一起完成他的探究． (1)观察并补全下表： 已知 计算 比较大小 a b 与0 a与b 5 3 2 2     0 (2)发现规律： 若，则a b；若，则a b；若，则； (3)应用扩展： 在整式中，整式A和整式B也是满足上述规律的，请利用上面发现的规律解决问题． ①比较大小： ； ②整式，整式，试讨论比较整式与整式的大小． 17．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______用含的式子表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，且点，，同时出发． 当为何值时，点、两点到点的距离相等？ 式子的值不随时间的变化而变化，求的值． 18．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足． (1)求m，n的值； (2)①有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m．则玩具火车的长为______个单位长度； ②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，求出此时点A所表示的数； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $