湖南省湘潭市第一中学2026-2027学年高三上学期入学检测数学试题

**基本信息** 2026年高三入学检测数学试卷以基础巩固为核心，通过分层题型考查集合、复数等必备知识，融入概率分布、立体几何翻折等综合应用，适配开学阶段学情诊断与能力摸底需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数模、等差数列|聚焦基础概念，如第3题通过等差数列性质考查运算能力| |多选题|3/18|三角函数图像、导数应用、立体几何|注重多维度辨析，如第11题结合翻折问题考查空间想象| |填空题|3/15|双曲线离心率、排列组合、数列求和|融入数学抽象，如第13题以数阵考有限排列思想| |解答题|5/77|概率分布、解三角形、立体几何、圆锥曲线、导数综合|体现分层设计，从概率期望（第15题）到导数证明（第19题），梯度提升，强化数学思维与建模能力|

2026年高三年级入学检测 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.己知集合A={xx+6>x2},B={x∈N-1<x≤4}，则A∩B=() A.0,1,2 B.1,2 C.1,2,3} D.{0,1,2,3} 2.己知复数z满足z+z=2,且(：-)i=4,则=() A.√ B.3 C.2 D.√5 3.在等差数列{a}中，4+3a,+43=15,则3a,-43的值为() A.3 B.6 C.9 D.12 4.已知0<a<5,且sima-cosa 3,则sin2a=() 1 A.9 B c D.g 5.在Rt△ABC中，AB=BC=4,E,F两点在AC边上运动，且EF=2√2，则BE+BF的取值范围是() A.「V2,o B.[22,vi0 c.「2W2,2M0 D.[4W2,20 6.已知事件A,B满足P(A)=0.2,P(B)=0.5,则下列命题正确的是() A.若A∈B,则P(AB)=0.1 B.若A,B互斥，则P(AB)=01 C.若A二B,则P(A+B)=0.7 D.若A,B相互独立，则P(A+B)=0.6 7.已知正实数a,b,c满足ae“=bnb=c2,则（) A.a<c<b B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 8.己知抛物线y=8x的焦点为R,定点A(-2,0),点P是抛物线上的动点，则当P PF 的值最小时，PF=() A.1 B.2 C.2W2 D.4 试卷第1页（共4页） 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.函数f)=Asn(a+0)4>00>0州←的部分图象如图，下列说法正确的有（） 2 12 B.函数f)的图象关于x=对称 12 C.函数f(在0,2 上的值域为[-5，√] D.要得到函数g()=Ac0s(x+列的图象，只需将函数，f(w)的图象向左平移个单位 10.对于函数)-怎，下列说法正确的是() A.f(x)单调递减 B.f四在x=1处取得极大值 e C.f(x)有两个不同零点 D.f(x)在(0,0)处的切线方程为y=x I1.如图，在矩形AEFC中，AE=2√5，EF=4,B为EF中点，现分别沿AB,BC将△ABE、△BCF翻折，使点E,F 重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则() C B A.三棱锥P-ABC的体积为8V2 3 B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为5 6 C直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D.三棱锥P-ABC外接球的半径为V 2 试卷第2页（共4页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 3 2,双曲线1@>0，b≥0)的一条新近线方程为v,则该双曲线的离心率为 13.一个数阵有行5列，第一行中的5个数互不相同，其余行都由这5个数以不同的顺序组成，如果要使任意两 行的数字顺序都不相同，那么m的最大取值为 14.已知O为平面四边形ABCD内一点，数列{a}满足4=4，当n≥2时，恒有 OD=(a.-2n)OA-(a.+a1-4n+1)OB+(a1-2n+2)0C,AC,BD相交于点E,且2AE=c,设数列{a}的前n 项和为Sn,则S= 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)某会议主办方邀请甲、乙、丙、丁、戊5位专家参加一项学术会议并安排了专家的位置，若5位专家随 机选择一个位置就座，恰好坐到主办方安排的位置上，为坐对位置，否则，为坐错位置，设坐对位置的专家人数为 X (1)求随机变量X的分布列及数学期望： (2)在其中的3位专家坐错位置的条件下，求恰有2位专家坐对位置的概率. 16.(15分)已知a1BC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为4，b,c,若2C-b+ +cosC=tan Asin C. a (1)求角A的值： (2)若a=√2，求△ABC面积S的最大值. 17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C1中，BA=BC,E为棱AB的中点，AC=V2AA=2,二面角E-AC-A 的大小 6. B B CL (1)求证：BC1∥平面EAC: (2)求直线B,C与平面EAC所成角的正弦值. 试卷第3页（共4页） 18.（17分)已知圆A:(x+1)+y2=16和点B1,0),点P是圆上任意一点，线段PB的垂直平分线与线段PA相交于 点Q,记点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程 (2)设动直线I与坐标轴不垂直，1与曲线C交于不同的M,N两点，且直线BM和BN的斜率互为相反数. ①证明：动直线I恒过x轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求△OW面积的最大值. 19.(17分)已知函数f(y)=x+业，飞，，（飞<飞）是两个不同的正数，且满足f(飞)=f6)。 (1)讨论f(x)的单调性： (2)若函数f(x)在闭区间[1，e]上的最大值为0，求m的值： (3)当m=3时，证明： 1+1>2e2 X1X2 试卷第4页（共4页）2026年高三年级入学检测 数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D D D AD BD 题号 11 答案 ABD 5 12.4 13.120 14.92 15.(1)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,5： P(x=0)=C2+3x3)_4-1 A -12030, P(K=1)=Cx9-453 Aξ1208. P(x=2)-Cx2-20-1 A1206, P(X=3)=Cx1=101 A;12012, =列定高. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 5 11 3 1 1 1 30 8 6 12 120 所以E(X)=0x +1x3+2x2+3x 30 6 12 +5x 120=1: (2)设事件A表示“其中的3位专家坐错位置”，事件B表示“恰有2位专家坐对位置”， 到P到=-Pr=-rx-列-1oP叫=P0X-2 所以PB0=P1-6-20 P(4)109109,即所求概率为20 120 109 2c-b-tan Asin C-cosC-sin Asin C-cos AcosC-cos(C) 16.(1)由已知可得，a cos A cosA. 因为4+B+C=元，所以os(A+C)=cos(r-B)=-c0sB 2c-b cos B 所以 a=cosA,整理可得acosB+bcosA=2 ccosA: 由正弦定理得sin Acos B+sin B cos A=2 sin CcosA, sin(4+B)=2sin CcosA. 又sin(4+B)=sim(a-C)=sinC,所以cosA= 占于4@.所以4 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA,可得2=b2+c2-bc. 又b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时取得等号， 所以bc≤2. 5.we=besin 4=bcs 1 -bc≤ 所以，△ABC面积 2 4 2, 3 所以，△ABC面积S的最大值为2. @E质：如图，益接1C交4C于0，连接0E,然0是4C的中点 因为5为4B的中点，所以OE为△1C OElIBC 的中位线， CT百E4C,0Ec平面E4C,所BC平mE4C 而 平面 平面 B C (2)设4G的中点为4，连接M0并延长交4C于点M. 因为B1=BC,所以月A=BC,于是有8M1AG ABC-ABC 因为三棱柱 是直三棱柱，所以平面 ABC⊥AACC 平面 而平面48G∩平面41CG=4C.所uM+平面4CC AACC 因为侧面 是矩形，所以4G1MM 以M为原点，分别以直线 ,M山，B4为产轴、'轴、轴建立如图所示的空间直角些标系. a-(2-50.到 EAC 的法向量为 n=(x,y,z) 设平面 -2x-V2y=0 C=0, 则有 i-CE=0,2x+ x=1 易知平面4C4的一个法向量为 =(0,0,1) 元mV3 因为二面角E-4C-A的大小为6，所以0。同2， 3 P-1 即。9 2,解得 (负值舍去)· 3 2-1 t=√2 故B(0.0,1,BC=(（12,-.i=(,-2,3) 设直线C。 EAC 与平面 所成的角为， 则sin0= BCi_1-2-3-5 BC问2x253,即直线aC与平面E4C所成角的正弦值为 3 18.(1)由题意知，圆心为A(-L,0),半径为4，且OPHOB1,|AB=2 因为|QA+|OBHOA1+|OPHPA=4>AB=2, 所以点Q的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆. 股椭圆方程为。+a>6>0,则20=4'2e2解得2，。 所以公=a2-c2=3”所以曲线c的方程为4+3=1. (2)①设直线1：x=my+(m≠0)， x=my+t 由'3x2+4y2=12,得(3m2+4)y2+6my+32-12=0, 3t2-12 M’y'N')所以乃+3m+43 所似如+w产+六回山 (x-1)(x2-1D 因为直线BM和BN的斜率互为相反数， 所以kMB+kNa=0,所以 y(my2 +t-1)+y(m+t-1)=0 (x1-10x2-) 所以m+1-)+ymy+1-少=0 2m1yy2+(t-1)y+y2)=0 ，所以 即2加×器是+0-0×4=0，所以6m-利=0， 3m2+4 因为m≠0，所以t=4,所以动直线l恒过x轴上的定点T(4,0). 24m 36 ②由①知，y+h=3m2+4,%=3m2+4 △=(24m)2-43m2+4)-36>0 即m>4 又5aa=orH-⅓卡分40-为P-4 24m}-4,36 =23m2+4 3m2+4 =24 m2-4 V(3m2+4)2 令n=m2-4>0,则m2=n+4, 24. n ≤24. =24V43”6=5 n ∴.SSOMN= (3n+16) (2.V3n.16)2 (当且仅当3n=16时取“=”) ∴(SowN)a=V5 19.①邀f刊的定义镀为0+）.)=1二ar+m）_1-m- x x2 由)>0，可符0<x<e,由f四)k0 ,由 可得>em 所以f四在0e）上单调遥增，在(e,+切)上单调造减 2)由()，当e≥c时，m≤0，因在上单调造增， fs=fg)-g=0,m- 当e≤1时，m≥L,f在可上单调速藏，=f0=m=0 与前提矛盾，舍去： 当0<m<1时，了()在(Qe）)上单调递增，在(e,+)上单调递减，)s=f(e）。二≠0，不合 题意： 综上，m=-1: )法1：由山0<<e<5,令5=伍，1>，当m=3时，由)=f),得 Inx,+3 In )+3 tx,整理可得血x+3t=lnt+lnx+3, t3-3,x=,%=÷ t-1t-1 1+1>2e 要证明为，只需证明2x<e2(G+x)】 肝e二<G0+小即e户<兰，两边取白然对最，同E号 F Int-1<Intt 2t 化简转化为要证h+)-n2)+1>0, 又1>1，即证-儿n(0+)-h(2）+1]-nr>0 设80=-l儿n+）-n(2)+-lr.t>1. 8'0=h(0+）-1n(2r)+1- t+1: 设0-g0=h0+)-h21-,品.0=7石≥0，所议4的在单河适者 所以0)>h0-=0.即8@>0，从而80在化o)上单调莲指， 所以8)小>80=0 故原命题成立 法2： 由，老祝6f-,么，是2“有根-〔-动 lx+3= 可转化为 。1 2x是(3-l)=“两根， 令F0=B-l),F'=2-l,令F四=0,1=e2,解F'O>0,1<c2: F'00,>e,所以F0在0，e)上单调递增，在e,+)上单调递减， 1+1>2e2 不妨设0<4<e2<4,要证xx,即4+4，>2e,只需证>2e2-4>e2, 只需证F6)=FG)kF(2e2-4)) 令G0=F0)-F(2e2-t,G'()=(2-l）-[2-lh(2e2-小(-1)=4-n(-2+2e) 当e(0.e)时，-+2e2e(0,e）,h(-+2ek4, :G0>0,G0在0，e)上单调递增，G6)kG(e)=0,(9式得证，目标得证. 2026年高三年级入学检测 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，且，则（    ） A． B． C．2 D． 3．在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知事件满足，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，互斥，则 C．若，则 D．若，相互独立，则 7．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，（      ） A．1 B．2 C． D．4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 10．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．单调递减 B．在处取得极大值 C．有两个不同零点 D．在处的切线方程为 11．如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ______ ． 13．一个数阵有行5列，第一行中的5个数互不相同，其余行都由这5个数以不同的顺序组成，如果要使任意两行的数字顺序都不相同，那么的最大取值为_____________ 14．已知为平面四边形内一点，数列满足，当时，恒有，，相交于点，且，设数列的前项和为，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）某会议主办方邀请甲、乙、丙、丁、戊位专家参加一项学术会议并安排了专家的位置，若位专家随机选择一个位置就座，恰好坐到主办方安排的位置上，为坐对位置，否则，为坐错位置，设坐对位置的专家人数为. (1)求随机变量的分布列及数学期望； (2)在其中的位专家坐错位置的条件下，求恰有位专家坐对位置的概率． 16．（15分）已知的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，若． (1)求角A的值； (2)若，求面积S的最大值． 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，，二面角的大小为． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数． ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值． 19．（17分）已知函数，是两个不同的正数，且满足. (1)讨论的单调性； (2)若函数在闭区间上的最大值为0，求的值； (3)当时，证明：. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $