湖南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

湖南师范大学附属中学2026一2027学年高三上学期开学考试 数学试题 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.一个样本3,4,5,6，a的平均数是b,且不等式x2-12x+c<0的解集为(b,a),则这个样本的标准差是 A.1 B.√2 C.5 D.2 2.已知向量、满足2+=√5,2a-=3,则.6= A-方 B.7 C.-1 D.1 3.已知集合A={xnx>0,B={二号≤0}，则，B= A.{x1<x<2} B.{x1<x≤2} C.{xx>2} D.{xx≥2} 4.已知函数f(x)=子x-2-3x+a(a∈R)在区间(c-3,t+5)上单调递增，则实数1的取值范围是 A.-6<t<6 B.t≥6或t≤-6 C.t>6或t<-6 D.-6≤t≤6 5.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=nan-2n(n-1),则 A.S6=a17+a1 B.S6=a17-a1 C.S6=a17+a2 D.S6=a7-a2 6,三次函数f)=am+bx2+cx+da≠0)(xe),f()在x=xw,≠-品)处的切线与函数y=f()的 图象的交点个数为 A.1个 B.3个 C.1个或者2个 D.2个 7.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线1与C相交于A,B两点，点P在y轴上，PA⊥PB,M为线段AB的 中点，O为坐标原点，则∠OPM的取值范围是 A[g,受) B.[罕，) c.[号) D.[) 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4, PC=PD=2√2，则该四棱锥的外接球的表面积为 A2受 B.S6a C.32π D.112π 3 数学试题第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列有关复数的结论正确的是 A.3+i>1+i B.若m为实数，复数z=m+1+(m一1)i是纯虚数，则m=一1 C.若2i-3是关于x的方程2x2+px+g=0(p,9∈R)的一个根，则p+g=38 D.若复数z满足1≤：<√5则复数z对应的点所构成的图形面积为3π 10.如图，在直三校柱ABC-A1B,C,中，AC⊥AB,AB=AC=AA1=2,点D,E,F分别为A1B,AA1,CD的 中点.下列结论正确的是 C A.EF∥平面ABC B.异面直线EF与BC所成角的余弦值为C 10 C.直线BE与平面C,D所成角的正弦值为号 D.平面4，CD与平面C,D夹角的余弦值为 11.已知定义在R上的函数∫(x)的图象连续不间断，当x≥0时，(1+)=2∫(1-x),且当x>0时， "(1+x)+'(1-x)<0,则下列说法正确的是 A.f(1)=0 B.∫(x)在(-o,1]上单调递减 C.若x1<x,f(x)<f(x),则x1+x<2 D.若，6是g的=四)-c05的两个零点，且<，则1<侧<2 (x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知双曲线号 一卡=1a>0,6>0)的一条渐近线方程是)y=受x,则该双曲线的离心率为 13.已知函数f(x)=sinx-cosx(w>0),若集合A={x∈[0，元儿f(x)=1}只含有3个元素，则实数w的 取值范国是 14.在两个实数a,b之间插入这两个数的和，得到数列A1:a,a+b,b,在数列A1的每相邻两个数之间插入 这相邻两个数的和，得到数列A2:a,2a+b,a+b,a+2b,b,用同样的方式依次构造数列A5,A4,….,若 数列Am中所有各项的和为31m+1,则a+b= 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 I5.如图，在三棱锥A一BCD中，点E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD. (1)证明：平面ACD⊥平面ABD: (2)若DE=2,BE=1,AE=2,CD=2W3,求平面ABC与平面ACD夹角的 余弦值. 数学试题第2页共4页 16.△4BC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且bP+c2-a2=-2 besinA.. (1)求角A: (2)点D在BC边上，且BD=2DC,AD=2,求△MBC面积的最大值. 17,某次联考中，有一道四选一的单项选择题考查了某个核心知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了 这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题 数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立， 用频率估计概率。 (1)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，求X=1的 概率及X的数学期望. (2)教育测量学中，常采用如下模型分析单选题：学生如果未掌握该知识点，就会从四个选项中随机盲猜 一个作为答案.假设甲校学生只要掌握了该知识点，就能100%选择正确， ①求甲校学生真正掌握该知识点的概率估计值P: ②已知抽查到的一名甲校学生该题选择正确，求该生实际上是靠“盲猜答对的概率. 数学试题第3页共4页 18已知椭圆E:专+若=1ob>0)的离心率为9，长轴长与短轴长的然为2，点，A,C都在E上， 0为坐标原点，且0元=号0+号0成. (1)求E的方程： (2)求直线OA与OB的斜路之积： (3)设直线OA与E的另一个交点为D,点P在线段AD上运动，过点P作斜率为二的直线/与E相交于 M,W两点.若直线AD的斜率为3，求PM+2PW的最大值. 19.当xE[0,]时，定义函数：)=cosx+2x-1,g()=了)-k,完成以下问题： (1)证明不等式：(x)≥0(x∈[0，])，并指出等号成立条件. (2)若g)≥0对任意x∈[0，]恒成立，求实数k的取值范围。 o)设致列a}满足a一户0一…证明：数列a单间运减，且对任意正整数n,有一品<0 2n <-30a+1) 数学试题第4页共4页