湖南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

湖南师范大学附属中学2026—2027学年高三上学期开学考试 数学试题 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1．一个样本3，4，5，6，a的平均数是b，且不等式的解集为，则这个样本的标准差是 A． B． C． D． 2．已知向量、满足，，则 A． B． C． D． 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．已知函数（）在区间上单调递增，则实数t的取值范围是 A． B．或 C．或 D． 5．设数列的前n项和为，已知，，则 A． B． C． D． 6．三次函数（）（），在（）处的切线与函数的图象的交点个数为 A．1个 B．3个 C．1个或者2个 D．2个 7．过抛物线C：的焦点F作直线l与C相交于A，B两点，点P在y轴上，，M为线段的中点，O为坐标原点，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，则该四棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关复数的结论正确的是 A． B．若m为实数，复数是纯虚数，则 C．若是关于x的方程（p，）的一个根，则 D．若复数z满足则复数z对应的点所构成的图形面积为 10．如图，在直三棱柱中，，，点D，E，F分别为，，的中点．下列结论正确的是 A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 11．已知定义在上的函数的图象连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是 A． B．在上单调递减 C．若，，则 D．若，是的两个零点，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线（，）的一条渐近线方程是，则该双曲线的离心率为______． 13．已知函数（），若集合只含有3个元素，则实数的取值范围是______． 14．在两个实数a，b之间插入这两个数的和，得到数列：a，，b，在数列的每相邻两个数之间插入这相邻两个数的和，得到数列：a，，，，b，用同样的方式依次构造数列，，…，若数列中所有各项的和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，在三棱锥中，点E在上，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，，，求平面与平面夹角的余弦值． 16．中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且． （1）求角A； （2）点D在边上，且，，求面积的最大值． 17．某次联考中，有一道四选一的单项选择题考查了某个核心知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． （1）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，求的概率及X的数学期望． （2）教育测量学中，常采用如下模型分析单选题：学生如果未掌握该知识点，就会从四个选项中随机盲猜一个作为答案．假设甲校学生只要掌握了该知识点，就能100%选择正确． ①求甲校学生真正掌握该知识点的概率估计值； ②已知抽查到的一名甲校学生该题选择正确，求该生实际上是靠“盲猜”答对的概率． 18．已知椭圆E：（）的离心率为，长轴长与短轴长的差为2，点A，B，C都在E上，O为坐标原点，且． （1）求E的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设直线与E的另一个交点为D，点P在线段上运动，过点P作斜率为的直线l与E相交于M，N两点．若直线的斜率为3，求的最大值． 19．当时，定义函数：，，完成以下问题： （1）证明不等式：（），并指出等号成立条件． （2）若对任意恒成立，求实数k的取值范围． （3）设数列满足，证明：数列单调递减，且对任意正整数n，有． 学科网（北京）股份有限公司 $