2026-2027学年人教版八年级数学上学期第一次月考自编模拟卷（广东省广州市适用）

**基本信息** 立足八年级上册三角形知识，以建筑情境、赵爽弦图等素材为载体，通过基础巩固（如三角形稳定性）、能力提升（如全等证明）、创新应用（如测量方案设计）三级梯度，考查几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角形稳定性、全等判定、角度计算|第1题结合建筑工人加木条情境，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6/24|角平分线性质、垂直平分线、三等分角仪原理|第14题以古希腊三等分角仪为背景，渗透数学文化| |解答题|9/86|全等证明、项目式测量、赵爽弦图模型|23题设计测量高度方案，24题融合赵爽弦图探究“一线三等角”模型，25题分层设问（基础判断-全等证明-最值探究），考查推理能力与创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：这样做的道理是三角形具有稳定性； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，数学要学以致用，会对生活中的一些现象用数学知识解释． 2．如图，已知，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，可直接求解． 【详解】解：，， ， 故选：D． 3．如图，的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角可得，，，然后求和解答即可． 【详解】解：如图，设交点为O， 则，，， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②； 步骤3：连接，交延长线于点； 下列叙述错误的是（    ）    A．垂直平分线段 B．平分 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知作法可知、，则点B、C在的垂直平分线上，据此判断即可． 【详解】解：如图：连接，，    ∵以C为圆心，为半径画弧①， ∴， ∵以B为圆心，为半径画弧② ∴， ∴点B、C在的垂直平分线上，是边上的高， ∴垂直平分线段，，，A、C、D结论正确， 无法证明平分，故B结论错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图，常见的尺规作图有①作一条线段等于已知线段，②作一个角等于已知角，③作已知线段的垂直平分线，④作已知角的角平分线，⑤过一点作已知直线的垂线． 6．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，点与点恰好重合，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ≌， ， 点在的垂直平分线上， 又是的垂直平分线， 点是的外心， ， ， 根据折叠的性质可得， ， ， ． 故选：C． 7．如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 8．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点C作于H，连接，先证明是的垂直平分线得到，进而推出当、在上时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵，是边上的高， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当、在上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选D． 9．如图，在中，，M为边上一点，且，则与的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，，再结合三角形的外角的性质进一步求解可得结论； 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． ， 故选：D． 10．在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D．随着A，C位置的变化而变化 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，易证，，由，得出，由证得，得出，，推出，求出，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键； 根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是． 【详解】解：在中， ∵，， ∴若以“”判定，需添加的条件是； 故答案为：． 12．如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为__________ 【答案】4 【详解】解：过点P作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N， ∵AD∥BC， ∴MN⊥BC， ∵∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E， ∴PM=PE=2，PE=PN=2， ∴MN=2+2=4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键． 13．如图，在中，若，分别垂直平分，，如果，则的周长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，然后进行求解即可． 【详解】解：∵，分别垂直平分，， ∴， ∴的周长是， ∵， ∴的周长是． 故答案为：． 14．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，为的中点，平分与交于点，若的面积比的面积大，则的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了解平分线的性质、三角形的面积公式．首根据平分，可知点到的距离和点到的距离相等，所以可得，设，，则，根据点为的中点，可知，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，把和的面积用含的代数式表示出来，再根据和的面积差为，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到的面积． 【详解】解：平分， 点到的距离和点到的距离相等， ， 设，， 则， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， 若的面积比的面积大， ， 解得：， ． 故答案为： ． 16．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交，于点，点，过点作于点，下列六个结论： ①若，则；②与为等腰三角形； ③；④点到各边的距离相等； ⑤若周长为，，则面积为； ⑥若，，则．正确的有______． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的面积，角的平分线的性质定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，根据知识综合解答即可． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当，则， 故①正确； ∵ 和的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与为等腰三角形， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 即， 故③正确； 过点作于点，过点作于点， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴点到各边的距离相等 故④正确； ∵周长为，， ∴， 连接， ∴ ， 故⑤正确； ∵，， 连接， ∴ ， 故⑥正确． 故答案为：①②③④⑤⑥． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） 如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由已知条件即可得出，再根据证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】略 18．（6分） 如图，已知， (1)尺规作图：作平分，交于，（不写作法，要保留作图痕迹） (2)若，连接交于点，且，求证： 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 证明：， ， 平分， ， ， ，即， ，， ． 【分析】本题考查了作图，角平分线的定义，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，再连接交于点，则即为所求； （2）由平行的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，结合，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 19．（8分） 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． (2)若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数． 【答案】(1) 证明：∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE=CF，AB=BC， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； (2)68° 【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠ACB=45°，从而得到∠BAE=23°，再根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BAE=23°，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°， ∵∠CAE＝22°， ∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-22°=23°， 由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=23°， ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+23°=68°． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质．此题难度不大，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 20．（8分） 如图，在中，，点D在的延长线上，于点E，，平分． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，的面积是15，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)5 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形中线等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）角平分线的定义，对顶角相等结合等角的余角相等可得，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：连接，证明得到，进而得到三角形的中线得到，进而得到，最后根据面积的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 如图：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∴． ∴的面积=． 21．（8分） 如图，为等边三角形，，与相交于点P，于Q，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 【答案】(1) 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （3）求出，再由直角三角形的性质得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（10分） 已知，如图，在中，是的平分线，且，点E是延长线上的一点，连接，且．    (1)尺规作图：过点C作，垂足为H． (2)写出与的位置关系并说明理由； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 如图：H点即为所求；    (2) ，理由如下： 由作图可得：，而， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】本题考查了尺规作图、平行线的判定、等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法，以及利用角的关系进行推理证明． （1）利用尺规作图中过直线外一点作已知直线垂线的方法作图； （2）由作图可得：，而，可得，证明，结合，可得，可证明； （3）证明，可得，结合，可得，从而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（12分） 下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务。 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度? 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到________；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段________的长度，即为点到水平地面的高度. 项目数据 …… 任务： (1)请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性： (2)若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗?请说明理由. 【答案】(1) 解：①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段的长度，即为点到水平地面的高度. 在和中， ， ∴， ∴． 即线段的长度即为线段的长度，即点A的高度． (2) 解：同意小明的观点，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，理解题意并熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由证明，即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 24．（14分） 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． (1)如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请判断，，之间数量关系，并说明理由； (3)如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，求的面积． 【答案】(1) 证明：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (2) 解：，证明如下： 由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，最后进等量代换即可证明； （2）根据（1）的证明思路即可解答； （3）过点B作交的延长线于点E，过点A作于点F，由（1）可得可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点B作交的延长线于点E，过点A作于点F， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18且的长为9， ∴，即，解得：， ∴， ∵的长为9， ∴， ∴． 25．（14分） 如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) 解：全等，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 过D作交于F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出，根据等边对等角可求出，根据三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边可得出，即可得出结论； （2）过D作交于F，证明是等边三角形，得出，结合可得出，根据等边对等角得出，结合，，可得出，然后根据证明即可； （3）过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接，由（1）知：，根据含角的直角三角形的性质求出，，则，故当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合，然后根据平行线间的距离求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形、全等三角形是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 2．如图，已知，，，那么（   ） A． B． C． D． 3．如图，的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 4．如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 5．如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②； 步骤3：连接，交延长线于点； 下列叙述错误的是（    ） A．垂直平分线段 B．平分 C． D． 6．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，点与点恰好重合，则为（ ） A． B． C． D． 7．如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 9．如图，在中，，M为边上一点，且，则与的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D．随着A，C位置的变化而变化 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______． 12．如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为__________ 13．如图，在中，若，分别垂直平分，，如果，则的周长为_________． 14．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是___________． 15．如图，在中，为的中点，平分与交于点，若的面积比的面积大，则的面积是_____． 16．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交，于点，点，过点作于点，下列六个结论： ①若，则；②与为等腰三角形； ③；④点到各边的距离相等； ⑤若周长为，，则面积为； ⑥若，，则．正确的有______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） 如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 18．（6分） 如图，已知， (1)尺规作图：作平分，交于，（不写作法，要保留作图痕迹） (2)若，连接交于点，且，求证： 19．（8分） 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． (2)若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数． 20．（8分） 如图，在中，，点D在的延长线上，于点E，，平分． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，的面积是15，求的面积． 21．（8分） 如图，为等边三角形，，与相交于点P，于Q，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 22．（10分） 已知，如图，在中，是的平分线，且，点E是延长线上的一点，连接，且． (1)尺规作图：过点C作，垂足为H． (2)写出与的位置关系并说明理由； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 23．（12分） 下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务。 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度? 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到________；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段________的长度，即为点到水平地面的高度. 项目数据 …… 任务： (1)请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性： (2)若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗?请说明理由. 24．（14分） 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． (1)如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请判断，，之间数量关系，并说明理由； (3)如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，求的面积． 25．（14分） 如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $