2.3.3 点到直线的距离公式专项训练【8大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以点到直线距离公式为核心，通过8大考点构建从直接应用到综合拓展的知识网络，注重数学思维与几何直观的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求点到直线的距离|4题|选择/填空/解答，直接套用公式|公式基础应用，培养运算能力| |已知距离求参数|6题|含参数方程与最值问题|方程思想，深化公式可逆应用| |距离相等的直线|6题|选择/多选/解答，涉及平行与中点|对称思想，连接距离与几何位置| |两点的对称轴|4题|对称点求直线方程|垂直平分性质，体现空间观念| |点关于直线的对称点|4题|坐标求解，含参数条件|对称变换，培养几何直观| |直线围成图形面积|6题|综合几何图形，含动态问题|距离与面积公式结合，发展应用意识| |光线反射问题|4题|物理情境，求反射直线|对称转化，体现数学眼光| |利用对称求最值|6题|多选与最值计算|数形结合，培养推理能力|

2.3.3 点到直线的距离公式 8大考点汇总 考点01 求点到直线的距离 考点02 已知点到直线距离求参数 考点03 求到两点距离相等的直线方程 考点04 求两点的对称轴 考点05 求点关于直线的对称点 考点06 直线围成图形的面积问题 考点07 光线反射问题 考点08 利用对称求最值问题 题型专练 考点01 求点到直线的距离 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江台州·期末）已知的三个顶点是. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 3．（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 4．（2026高二·全国·专题练习）点到直线的距离为______． 考点02 已知点到直线距离求参数 5．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 6．（25-26高二上·全国·专题训练）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点到直线：的距离为1，则＝________． 8．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 9．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）据所给条件求直线的方程： (1)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点，且原点到直线的距离为5. 10．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为___________． 考点03 求到两点距离相等的直线方程 11．（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 12．（25-26高二上·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 13．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 14．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知点、. (1)求经过点，且倾斜角为的直线方程； (2)求经过点、的直线在轴和轴上的截距； (3)若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程； (4)已知直线经过点，且、两点到直线的距离相等，求直线的方程． 15．（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）点，，则经过原点且与、两点距离相等的直线方程是____________. 考点04 求两点的对称轴 17．（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 19．（25-26高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 20．（25-26高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 考点05 求点关于直线的对称点 21．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 22．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 23．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 24．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）点关于直线对称的点在x轴上，则______． 考点06 直线围成图形的面积问题 25．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求点坐标、直线的方程、点的坐标； (2)求的面积． 26．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 27．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，，，且围成． (1)判断的形状； (2)已知，求的取值范围． 28．（25-26高二上·全国·专题训练）已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 29．（25-26高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为______. 30．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点07 光线反射问题 31．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 33．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 考点08 利用对称求最值问题 35．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 36．（25-26高二上·陕西·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 37．（25-26高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为______，的最大值为______ . 38．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知点和是直线上的动点，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．存在，使最小 D．存在，使最小 39．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 点到直线的距离公式 8大考点汇总 考点01 求点到直线的距离 考点02 已知点到直线距离求参数 考点03 求到两点距离相等的直线方程 考点04 求两点的对称轴 考点05 求点关于直线的对称点 考点06 直线围成图形的面积问题 考点07 光线反射问题 考点08 利用对称求最值问题 题型专练 考点01 求点到直线的距离 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二上·浙江台州·期末）已知的三个顶点是. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）求出边所在直线的斜率，根据直线的点斜式方程，写出边所在直线的方程； （2）利用两点间距离公式求边的长度，利用点到直线的距离公式求边上的高，进而求得的面积. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. （2）线段， 设为点到直线的距离，则， . 即的面积为. 3．（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：.    4．（2026高二·全国·专题练习）点到直线的距离为______． 【答案】 【分析】将直线方程化成一般式，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由得到， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 考点02 已知点到直线距离求参数 5．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 6．（25-26高二上·全国·专题训练）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点到直线：的距离为1，则＝________． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点到直线：的距离为1，则， 解得：或. 故答案为：或 8．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 9．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）据所给条件求直线的方程： (1)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点，且原点到直线的距离为5. 【答案】(1)或. (2)或 【分析】（1）利用截距式方程来待定系数求解； （2）分类讨论斜率存在与否来待定系数，利用原点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）设截距式直线方程，由直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12可得： ，解得或， 所以所求直线方程为：或， 化为一般方程得：或. （2）当直线过点的斜率不存在时，此时直线方程为，满足原点到直线的距离为5， 故所求的直线方程为； 当直线过点的斜率存在时，可设直线方程为， 由原点到直线的距离为5，可得， 所以此时直线方程为； 综上可得所求直线方程为：或 10．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为___________． 【答案】或 【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑，斜率存在时，设直线方程，然后根据原点到直线的距离列方程，解方程即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到直线的距离为3，不符合题意，所以直线的斜率存在． 因为直线过点，所以设直线的方程为． 因为点到直线的距离为4，所以，解得或． 所以直线的方程为或 故答案为：或 考点03 求到两点距离相等的直线方程 11．（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 12．（25-26高二上·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两条直线垂直的斜率关系，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）点和到直线距离相等，分两种情况：①直线，②直线过中点，分别求出直线方程即可. 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为．因为，所以直线的斜率为． 因为直线过点，所以直线的方程为， 即． （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线，因为直线斜率， 故直线方程为，即． ②直线过中点．中点为，又直线经过点， 所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 13．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 14．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知点、. (1)求经过点，且倾斜角为的直线方程； (2)求经过点、的直线在轴和轴上的截距； (3)若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程； (4)已知直线经过点，且、两点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 (3) (4)或 【分析】（1）求出直线的斜率，结合点斜式可得出所求直线的方程； （2）将直线的方程化为截距式，结合直线截距的概念可得结果； （3）设为所求直线上一点，根据可得出所求直线的一般式方程； （4）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出的等式，解出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）因为、两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等， 所以直线的两点式方程，整理得，化为截距式方程得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. （3）设为所求直线上一点，则与垂直， 因为，所以， 整理可得一般式方程为. （4）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，点在直线上，不合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为、两点到直线的距离相等，所以， 即，解得或，因此直线的方程为或. 15．（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据几何意义得，所求直线l需满足与MN平行或经过MN的中点，逐个选项检验即可． 【详解】当l与MN平行时，直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即， D选项的直线方程为，斜率为，显然与直线 MN平行，符合题意； 当l过MN的中点时，经检验只有A选项的直线方程符合题意． 故选：AD． 16．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）点，，则经过原点且与、两点距离相等的直线方程是____________. 【答案】或. 【分析】由条件可知直线平行于直线或经过线段的中点，求出所求直线的斜率，即可由点斜式得到所求直线的方程. 【详解】设所求直线为，由条件知，直线平行于或经过线段的中点. ① 时，因直线的斜率为，故此时直线的方程为； ②当直线经过线段的中点时，直线的斜率为，故此时直线的方程为. 综上，可得所求直线的方程为或. 故答案为：或. 考点04 求两点的对称轴 17．（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 18．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 【答案】 【分析】利用直线的位置关系结合点斜式计算两点中垂线即可. 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为， 所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：， 整理得. 故答案为： 19．（25-26高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 20．（25-26高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 考点05 求点关于直线的对称点 21．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用轴对称的意义列式求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 22．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设出点的坐标，再利用轴对称列出方程求解. 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 23．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 【答案】 【分析】设出对称点为，根据对称点求解的方法得到方程组，解出即可. 【详解】设对称点为，由题意可知， 解得，所以对称点为. 故答案为：. 24．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）点关于直线对称的点在x轴上，则______． 【答案】 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，列出方程组求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 所以，解得，． 故答案为： 考点06 直线围成图形的面积问题 25．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求点坐标、直线的方程、点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）点，根据中点在直线上求参数，即得坐标，利用点关于直线对称及点斜式求直线，进而联立直线方程求的坐标； （2）应用两点距离、点线距离公式及三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由点在上，设点，则中点在直线上， 于是，解得，即点， 设A关于直线的对称点为，则，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点，    所以，直线的方程为，点的坐标为． （2）由（1）得， 点A到直线的距离， 所以的面积． 26．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线、的方程，求出点的坐标，根据两直线平行求出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）求出点、，可求出的值，以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）由得，即点. 因为所求直线与直线平行，所以，所求直线斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）直线与轴交点的坐标为，直线与轴交点的坐标为， 则，点到的距离， 所以，的面积. 27．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，，，且围成． (1)判断的形状； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题意，分与讨论，分别得到，即可得到结果； （2）根据题意，由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式代入计算，再由基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）当时，，显然，所以为直角三角形； 当时，设直线的斜率分别为，则． 因为，所以，所以为直角三角形，故为直角三角形． （2）易知均恒过点，记为． 记为点到直线的距离，即． 联立解得故． 为点到直线的距离，即． 所以， 当且仅当时等号成立，所以． 28．（25-26高二上·全国·专题训练）已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、、三点的坐标，求出的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，推出面积的表达式，然后求解面积的最大值时的值． 【详解】由题意知，，，， 易知，故直线所在方程为，即， 点到该直线的距离为， 故 ， ， 当时，有最大值，此时． 故选：B． 29．（25-26高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为______. 【答案】1 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 30．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 考点07 光线反射问题 31．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 32．（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 33．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 34．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 考点08 利用对称求最值问题 35．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 36．（25-26高二上·陕西·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】可以验证点与点关于直线对称，从而，结合三角不等式即可得解. 【详解】 设，注意到点，，所以中点为，满足， 且，所以点关于直线对称， 从而，等号成立当且仅当三点共线， 所以的最大值为. 故选：A. 37．（25-26高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为______，的最大值为______ . 【答案】 . 【分析】由图，求出B关于l的对称点为的坐标，当A，，Q三点共线时，可求的最大值及相应Q坐标. 【详解】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 38．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知点和是直线上的动点，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．存在，使最小 D．存在，使最小 【答案】ABD 【分析】求出关于直线的对称点坐标，即为的最小值，判断A 的最大值为（是直线与的交点），判断B， 线段的垂直平分线与的交点使得最小为，判断C， 利用函数性质可得的最小值，从而判断D． 【详解】在平面直角坐标系中作出点和直线， 由图可知，点和在直线同侧， 设点关于直线的对称点为， 则有，解得，得， 则，当且仅当为直线与直线的交点时，有最小值， 直线的斜率为，方程为， 由，解得， 所以存在，使最小， 最小值为，A选项正确；    又，当且仅当为直线与直线的交点时有最大值， 直线的方程为，即， 由，解得， 存在，使最大，最大值为，B选项正确； 最小值为，当且仅当，即为线段的垂直平分线与直线的交点， 的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为，即， 由，解得， 存在，使最小，C选项错误 设， 当时有最小值，此时， 所以存在，使最小，D选项正确. 故选：ABD． 39．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点之间距离公式分析出表示到、的距离之和，求出关于对称点为，连接交于点，此时最小. 【详解】由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离， 所以代数式表示， 由图象可知在上运动，所以易得关于对称点为， 连接交于点，此时最小，最小值为. 故选：B. 40．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $