空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具在立体几何中的应用，通过精选典例系统训练线面角、面面角的向量求法，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面角的向量求法|3例+3变式（四棱锥/直三棱柱等）|含线面证明的线面角正弦值计算|基于空间向量基本定理的法向量应用| |面面角的向量求法|3例+3变式（三棱锥/四棱锥/圆锥等）|含面面关系证明的二面角余弦/正弦值计算|两平面法向量夹角与二面角关系推导|

空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 考点目录 线面角的向量求法 面面角的向量求法 考点一 线面角的向量求法 例1．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点，则： ， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． (2) 【分析】（1）根据已知四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量数量积计算得出线线垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论； （2）求出平面相关向量及平面法向量，进而利用线面角公式计算求解． 【详解】（1）略 （2），设平面的法向量为， 则，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式得：． 例2．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形， ，为的中点，点在上，且平面. (1)求证：点为的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：连接，因为平面， 平面，平面平面， 所以， 因为为的中点， 所以点为的中点． (2) 【分析】（1）作出辅助线，由线面平行的性质定理求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的正弦公式求出答案. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 侧面为正方形，， 故， ， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 例3．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为棱上靠近点的三等分点，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由条件得，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. (2) 【分析】（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，两两垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的法向量，则， 令，则，所以， 设直线MN与平面所成角为， 则. 变式1．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）如图，三棱锥中，，是的中点，平面平面，． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为，是的中点， 所以,又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算即可. 【详解】（1）略 （2）如图，分别以所在直线为轴，以过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以, 设平面的法向量， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 变式2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接； 因为为平行四边形，故为的中点； 又因为为中点，故， 因为平面，平面， 故平面； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，找平面内一条直线与已知直线平行，根据题干所给中点以及平行四边形的性质利用中位线证明平行，即可证明线面平行； （2）利用空间向量求出平面的法向量和直线的方向向量，根据线面夹角的正弦值等于直线的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值的绝对值进行计算． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，因为平面，故平面； 又因为底面为平行四边形，且，故底面为菱形， 则； 则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，可知，，则为等边三角形； 故，；； 故，，，，， 则，，； 设为平面的法向量， 则，令，则； 设为直线与平面所成角， 则； 故直线与平面所成角的正弦值为． 变式3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出对应向量坐标，根据向量相等构造方程组求解系数； （2）求出平面法向量，利用线面角的向量计算公式完成求解. 【详解】（1）不妨设正方体棱长为3. 如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 是、交点，故， 是靠近的三等分点，则， 向量，，，， 因为， 则， 即，解得. 则. （2），，，设平面法向量， 则， 令，得， 设线面角为，满足， 因为， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 考点二 面面角的向量求法 例1．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在三棱锥中，点在上，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)因为，，平面，， 所以平面，而平面，则， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，再利用线面垂直的判定得到面，最后结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法即可. 【详解】（1）略 （2）如图，在平面内过点作交于点， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 由题意得，，， ， 则，，，，， 由题意得，， 设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 由题意得，， 设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 例2．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，且平面，，，过点的平面分别与棱、、交于、、，，． (1)求到底面的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）以为空间坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法及四点共面，求出的坐标，根据其竖坐标即可得答案； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得、、两两垂直， 故以为空间坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则,,,,, 又因为，． 所以为中点，为靠近的三等分点，所以，， 因为，在上，且设, 所以，所以, 又因为，，且四点共面， 所以，所以， 所以解得，所以， 解得，所以，所以到底面的距离为； （2）因为轴与平面垂直，所以轴与平面垂直， 取平面的法向量， 因为，所以设平面的法向量， 则，所以解得， 取，设平面与平面所成角为， 则, 所以平面与平面所成角的余弦值为. 例3．（25-26高三下·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知是圆锥的轴截面，，． (1)求圆锥的外接球的表面积； (2)若为弧的中点，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到外接球球心，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用面面角余弦公式和同角三角函数关系进行求解即可. 【详解】（1）因为是圆锥的轴截面，所以平面． 又平面，所以． 在中，，，所以． 设圆锥的外接球的球心为，半径为， 结合圆锥的定义及对称性易知球心在上． 在中，，则， 整理得，解得． 所以圆锥的外接球的表面积． （2）因为为弧的中点，所以． 因为平面，平面，所以． 又， 设为原点，以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． ，， 设平面的一个法向量为， 则，，令，则，， 所以． 因为，，，平面， 所以平面， 则即为平面的一个法向量，． 设二面角的平面角为，从图中可以看出为锐角， 则， ， 故二面角的正弦值为． 变式1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)在中，，，， 由余弦定理可得，即， 所以，即， 且，，BD，平面BCD，所以平面BCD， 又因为，，则，即， 以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 则，可得， 因为平面BCD，可知为平面BCD的一个法向量， 因为，则， 且平面BCD，所以平面BCD. (2) 【分析】（1）可证平面BCD，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）分别求平面APC、平面PCM的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，，， 设平面APC的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面PCM的法向量为，则， 令，则，，可得； 设二面角的平面角为θ，由题意可知θ为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 变式2．（25-26高二下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：取中点，连接， 则，. 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； (2). 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形是平行四边形，从而得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为，即. 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为. 因为， 设平面的法向量为， 则，则有，取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 变式3．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：直线 (2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，平面， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 因为，所以， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以； (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）首先根据体积公式求侧棱长，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系，分别求平面和平面的法向量，再代入向量公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，得， 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，连结， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 因为 平面平面，且平面平面， 又，点是的中点，所以， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， ，，，， ，， 设平面与平面所成锐二面角为， 则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 考点一 线面角的向量求法 考点目录 线面角的向量求法 面面角的向量求法 例1.(26-27高三上·湖南长沙开学考试)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PAL底面ABCD, AP=AB=2,AD=4,E是侧棱PB的中点. (I)求证：AE⊥平面PBC: (2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值. 例2.(26-27高三上北京朝阳开学考试)如图，在直三棱柱 ACCA为正方 BC-4C中，∠4CB=90,侧面1C 形，4C=BC=2,D为4B的中点，点E在1C上，且DE/平面B,CC 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 C B A B D AC )求证：点E为AC的中点： BDE (②)求直线1C与平面 所成角的正弦值。 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 ABB,A 例3.(26-27高三上陕西渭南阶段检测)如图，在三棱柱 BC-AB,C中，平面 平面BC,AB1A4 4B=1,4C=25,M=BC=3,M为枝CC上靠近点C的三等分点，V为棱8C的中点. CC C B (1)证明：AC1平面 ABB A AB (2)求直线MW与平面 所成角的正弦值. 变式1，(26-27高三上福建泉州开学考试)如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC，E是AC的中点，平面PAC⊥ 平面ABC,PA⊥BC. E (I)证明：平面PBC⊥平面PAC: (2)若BC=EC=PE=2,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 变式2.(25-26高二上·重庆阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面 ABCD,M为PC中点. M 。” B (I)求证：PAW平面MBD; (2)若AB=AD=PA=2,∠BAD=120°，求直线PB与平面AMD所成角的正弦值， 8CD-ABG0,其中点E为线段B上靠近B的三 B 变式3.(25-26高二下·安徽宿州期末)如图，已知正方体 等分点，点0为直线 C BD的交点， D A B E D B )考E0=xDA+DC+D ,求x,y,的值： ②)求直线B0与平面 所成角的正弦值. 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 考点二 面面角的向量求法 例1.(26-27高三上湖南长沙开学考试)如图，在三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE, CD⊥AD (I)证明：平面ACD⊥平面ABD: 包若DE=2,BE=1,B=2.CD=25,求平面A8C与平面4CD 角的余弦值 例2.(25-26高二下贵州贵阳阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且PA⊥平面 1BCD.PH=4.B=D=2,过点的平面“分别与楼PB、PC、PD交于E、F、G.PB=2PE 、 、 PD=3PG (I)求F到底面ABCD的距离： (2)求平面FAB与平面AEP所成角的余弦值. 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 例3.(25-26高三下贵州贵阳阶段检测)如图，已知△PAB是圆锥PO的轴截面，PA=3,AB=2. A- B (1)求圆锥PO的外接球的表面积； (②)若C为弧AB的中点，求二面角C-PA-B的正弦值. 变式1.(25-26高二下甘肃兰州期中)如图，在四面体ABCD中，D=BD=V5.AC=BC=2.4D1DB ∠CAD=30° A0=30C M是AD的中点，P是BM的中点，点O在线段AC上，且 p (1)证明：PO/平面BCD: (2)求二面角A-PC-M的余弦值 6 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 变式2.(25-26高二下山西大同期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB/CD AB=2AD=2CD=2,直线PB与平面ABCD所成角为60°，M为线段PB的中点. B (I)证明：CMII平面PAD； (2)求平面PAD与平面ACM的夹角的余弦值. 变式3.(25-26高二下·贵州遵义·阶段检测)如图，在直三棱柱 BC-ABC中，D,E分别为1B,BC的中点， 点尸在侧 BB BD⊥AF·AC1⊥AB 上，且 C B1 E B D DE⊥B,D (1)求证：直线 8 (2)若AB=4C=4,且三棱锥B-ACF的体积为3，求平面ACF与平面BCCB所成锐二面角的余弦值