集合与常用逻辑用语：由集合包含关系求参数、由集合运算结果求参数、由充分条件与必要条件求参数专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与逻辑用语中参数求解，以“集合包含关系→集合运算结果→充分必要条件”为逻辑主线，通过分层例题与变式题构建系统性训练，培养数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由集合包含关系求参数|3例+2变式|含不等式/方程解集，需讨论空集与端点值|从集合概念生成参数范围问题，体现数学抽象与推理| |由集合运算结果求参数|3例+3变式|涉及交并补运算，强调运算结果对参数的约束|集合关系延伸至运算应用，培养数学运算能力| |由充分条件与必要条件求参数|3例+3变式|逻辑关系转化为集合包含，需辨析条件类型|逻辑用语与集合知识融合，发展逻辑推理与数学表达|

由集合包含关系求参数、由集合运算结果求参数、由充分条件与必要条件求参数专项训练 由集合包含关系求参数、由集合运算结果求参数、由充分条件与必要条件求参数专项训练 考点目录 由集合包含关系求参数 由集合运算结果求参数 由充分条件与必要条件求参数 考点一 由集合包含关系求参数 例1．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 例2．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 例3．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数； （2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且 故的取值范围是； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 变式2．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 考点二 由集合运算结果求参数 例1．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 例2．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 例3．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据交集的结果可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）由题意可得，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，或，且， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. （2）因为，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. （3）由题意可得， 因为，则，所以，解得， 因此实数的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知全集为R，集合. (1)求； (2)求； (3)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3)或 【分析】（1）解不等式得集合，由集合并集的定义求得； （2）由集合交集的定义求得，再由集合补集的定义求得； （3）由集合的补集求得，由集合的关系建立不等式，然后求得的取值范围. 【详解】（1）. 所以. （2）因为， 所以， 所以或. （3）因为，所以或. 因为，且， 所以或， 解得：或. 即的取值范围或 变式2．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的概念求解. （2）根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为，所以. 所以实数的取值范围为. 变式3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知集合为全体实数集，或，. (1)若，求; (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得； （2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得. 【详解】（1）当时，， 所以或， 又或， 所以或； （2）由题可得， 当时，则 ，即时，此时满足， ②当时，则，所以， 综上，实数的取值范围为 考点三 由充分条件与必要条件求参数 例1．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知全集，集合，. (1)若，求，； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）当时，可得，然后求并集交集即可； （2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【详解】（1）当时，， 因为，所以；； （2）若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为. 例2．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集和补集的概念直接求解即可； （2）将充分不必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合关系列不等式组可求. 【详解】（1）若，则， 又或，所以； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 例3．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入到集合，再结合交集的运算即可求解； （2）由题意得是集合的真子集，结合集合间的关系计算即可求出a的取值范围. 【详解】（1）若，则，则有. （2）由“”是“”的充分不必要条件，得集合是集合的真子集， 即，解得， 故实数的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由集合的运算可得； （2）先由已知判断是的真子集，再由集合间的包含关系列不等式可得. 【详解】（1）因为，所以或或 所以， 或 （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集． 则或，所以或， 所以实数m的取值范围为或. 变式2．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）解不等式可化简集合B，即可得，然后由集合子集个数相关结论可得答案； （2）由题可得，然后分，为单元素集，为双元素集三种情况讨论可得答案. 【详解】（1）当时， ，， 其子集个数为个； （2）由题意，是的充分条件，则. 当时，此时，解得：； 当时， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若为双元素集，则，结合韦达定理， 则有，则不存在实数满足题意. 综上所述，实数的取值范围为． 变式3．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的值确定集合，再求出集合在全集下的补集，最后再求交集. （2）“”是“”的必要条件得出集合和集合的包含关系，再结合集合非空列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 因为，所以或， 又，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以. 又集合为非空集合，所以，解得. 实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $由集合包含关系求参数、由集合运算结果求参数、由充分条件与必要条件求参数专项训练 由集合包含关系求参数、由集合运算结果求参数、由充分条件与必要条件求参数专项训练 考点目录 由集合包含关系求参数 由集合运算结果求参数 由充分条件与必要条件求参数 考点一 由集合包含关系求参数 例1．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 例2．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 例3．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 变式1．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 变式2．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 考点二 由集合运算结果求参数 例1．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 例2．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 例3．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 变式1．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知全集为R，集合. (1)求； (2)求； (3)若，且，求的取值范围. 变式2．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知集合为全体实数集，或，. (1)若，求; (2)若，求实数a的取值范围. 考点三 由充分条件与必要条件求参数 例1．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知全集，集合，. (1)若，求，； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 例2．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 例3．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 变式1．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式2．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $