第二十五章 一元二次方程的实际应用6种高频考点专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程6类实际应用场景，以典例带变式构建“问题情境-模型抽象-方程求解”的完整逻辑链，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |传播问题|3例+3变式|病毒/流感传播，两轮传染模型|从具体传播过程抽象“(1+x)²=总数”等量关系| |增长率问题|3例+3变式|投资/产量增减，连续增长/降低|基于“初始量(1±x)ⁿ=终量”建立方程| |营销问题|3例+3变式|售价-销量-利润关系，含函数结合|通过“利润=(售价-成本)×销量”构建二次函数模型| |图形面积与体积|3例+3变式|矩形折叠/围栏设计，几何度量计算|运用面积体积公式转化为方程求解| |动态几何问题|3例+3变式|动点运动形成的面积/距离问题|用变量t表示线段长度，结合几何性质列方程| |握手循环赛|1例+2变式|单/双循环比赛场次计算|通过“n(n-1)/2”或“n(n-1)”模型解决组合问题|

一元二次方程的实际应用6种高频考点专项训练 一元二次方程的实际应用6种高频考点专项训练 考点目录 二次方程的实际应用：传播问题 二次方程的实际应用：增长率问题 二次方程的实际应用：营销问题 二次方程的实际应用：图形面积与体积问题 二次方程的实际应用：动态几何问题 二次方程的实际应用：握手、循环赛问题 考点一 二次方程的实际应用：传播问题 例1．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 例2．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 例3．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 变式2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， (1)用含x的解析式表示：第一轮后共有①______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有②______人患了流感； (2)根据题意，列出相应方程为③______； (3)解这个方程，得④______； (4)根据问题的实际意义，平均一个人传染了⑤______个人． 变式3．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮感染中平均一个人感染几人? (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮感染后累计是否超过200人患了甲流? 考点二 二次方程的实际应用：增长率问题 例1．（25-26九年级上·吉林·期末）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2012年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”864万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率． 例2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，该市服务行业引进机器人的数量逐年增加，计划2025年该市服务行业引进机器人万台．求这两年该市服务行业引进机器人台数的年平均增长率． 例3．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）两年前生产1吨某药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨该药品的成本是3200元． (1)生产1吨该药品的成本年平均降低率是多少？ (2)在问题（1）的基础上，明年生产1吨该药品的成本是多少元？ 变式1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．8月份投入资金30万元，10月份投入资金万元，已知每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率： (2)按照这个增长率，预计该商场11月份投入资金将达到多少万元？ 变式2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）年是全面贯彻落实党的二十大精神的关键之年，各地积极推进“红色文旅乡村振兴”融合发展．某革命老区依托红色资源打造研学基地，月接待研学团队个，随着宣传推广和服务升级，月接待研学团队达到个． (1)假设从月到月，每月接待研学团队数量的增长率相同，求月到月每个月的增长率． (2)按照这个增长率，月该基地能接待多少个研学团队？ 变式3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同． (1)求每年盈利的年增长率； (2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计到年底能否实现盈利万元的目标？ 考点三 二次方程的实际应用：营销问题 例1．（25-26九年级上·四川泸州·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？ 例2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）甲商场购进一款成本价为40元的机器狗玩具，如果按售价每个60元销售，每天可卖出20个．调查发现，售价每降低1元，日销售量增加2个． (1)若想保持日销售利润与售价每个60元时一样，且想尽快售完该款商品，每个机器狗玩具售价应为多少元？ (2)乙商场也销售同款机器狗玩具，标价为每个元．为提高市场竞争力，决定对该商品打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 例3．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)若销售单价为64元，连续两次降价后售价为49元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为______； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． (1)若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是___________斤； (2)若每斤售价降低元，则每天的销售量是___________斤（用含的代数式表示，需要化简）： (3)水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，且销售量不能少于280斤，需将每斤苹果的售价定为多少元？ 变式2．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）某商场销售某品牌冰箱，每台进货价为元．请你运用所学数学知识根据市场情况和该商场老板的要求，帮助制定这种冰箱的销售策略． 商场进行试销，当销售价为元时，平均每天能售出台；而当销售价每降低元时，平均每天就能多售出4台． 任务一： （1）设每台冰箱降价元，用含的代数式填空： ①降价后，该冰箱的售价为（___________）元； ②降价后，每台冰箱的利润为（___________）元，平均每天售出冰箱（___________）台． 任务二： （2）实际销售中，促销活动规定售价不能超过元．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的定价应为多少元？ 变式3．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）为了更好推广乐平特产——乐平桃酥，让我们一起制定销售方案吧： 主题：乐平桃酥销售方案制定问题 乐平桃酥被国内食品专家誉为“中国桃酥王”，为了满足消费者的不同需求， 某线上平台推出“桶装原味桃酥”，“经典原味桃酥”两种不同包装的乐平桃酥． 素材1 桶装原味桃酥 经典原味桃酥       素材2 经统计，该线上平台8月份“桶装原味桃酥”销售量为320桶，10月份销售量为500桶；“经典原味桃酥”10月份销售量为600箱． 素材3 为了尽快减少库存，决定11月份对“经典原味桃酥”作降价促销，已知每箱“经典原味桃酥”的成本为24元．经试验发现该款经典原味桃酥售价每降低元，月销售量就会增加50箱． 问题解决 任务1 求该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店11月份“经典原味桃酥”的总利润达到5600元，求该款经典原味桃酥应该降价多少元? 考点四 二次方程的实际应用：图形面积与体积问题 例1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 例2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． (1)如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． (2)如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程： ． 例3．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成长方形和长方形，且长方形与长方形面积比为，若栅栏的总长度为，请解决以下问题： (1)若设的长度为，则的长度可表示为___________，的长度可表示为___________，（用含的代数式表示） (2)当长方形养殖场总面积为时，的长度为多少？ 变式1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买了米的木栅栏，如图所示． (1)若，，直接写出y与x的函数关系式； (2)若要围出的矩形的面积为平方米，求的长为多少米？ (3)若要围出的矩形的面积为平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 变式3．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图（1）是用总长为的木板制作的矩形置物架，抽象为图（2）中的矩形，该置物架上面部分是边长为的正方形，中间部分为矩形，点M，N分别为线段，的中点，且． (1)当时，的长为 ； (2)置物架的高的长为 （用含x的式子表示）； (3)为了便于放置物品，要求EG的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 考点五 二次方程的实际应用：动态几何问题 例1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图所示，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以2厘米秒的速度移动，点沿边从点开始向点以1厘米秒的速度移动，如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： (1)当运动秒时，用含的式子表示__________，__________，__________，__________． (2)当为何值时，的面积为8？ (3)求四边形的面积，并写出一个与计算结果有关的结论． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 例3．（25-26九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 变式1．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： (1)填空：________，________（用含t的代数式表示） (2)经过几秒，的面积等于？ 变式3．（25-26九年级上·云南保山·阶段检测）已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． (1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； (2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； 考点六 二次方程的实际应用：握手、循环赛问题 例1．（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 例2．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 变式1．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程的实际应用6种高频考点专项训练 一元二次方程的实际应用6种高频考点专项训练 考点目录 二次方程的实际应用：传播问题 二次方程的实际应用：增长率问题 二次方程的实际应用：营销问题 二次方程的实际应用：图形面积与体积问题 二次方程的实际应用：动态几何问题 二次方程的实际应用：握手、循环赛问题 考点一 二次方程的实际应用：传播问题 例1．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了4人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人，根据1人感染了后经过两轮传染共有25人感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人， 依题意得：，即 解得，（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了4人． 例2．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染13头生猪 (2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据第一天及第三天生猪发病的头数，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据3天后生猪发病头数（每头发病生猪平均每天传染的头数），即可求出结论． 【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪． （2）解：3天后生猪发病头数为：（头）， ， 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头． 例3．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设每天平均一个人传染了x人，根据“经过两天的传染后共有81人患了甲型流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 ， 解得：，（舍去）， （人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)7 (2)512 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）(人． 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 变式2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， (1)用含x的解析式表示：第一轮后共有①______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有②______人患了流感； (2)根据题意，列出相应方程为③______； (3)解这个方程，得④______； (4)根据问题的实际意义，平均一个人传染了⑤______个人． 【答案】(1)， (2) (3) (4)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有人，一个人传染x个人，则第二轮又有人患病，则两轮后有人患病； （2）据两轮后有人患病，即可列方程求解； （3）利用直接开平方法解方程； （4）根据问题的实际意义得出答案． 【详解】（1）由题意可得，第一轮后共有人患了流感； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，第二轮后共有人患了流感； 故答案为：，； （2）根据题意，列出相应方程为，即． 故答案为：； （3），开平方得，， 解得， 故答案为：； （4）根据问题的实际意义，不符合题意，应该舍去，， 即平均一个人传染了10个人． 故答案为：10． 变式3．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮感染中平均一个人感染几人? (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮感染后累计是否超过200人患了甲流? 【答案】(1)每轮感染中平均一个人感染人 (2)经过三轮感染后累计超过200人患了甲流 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每轮感染中平均一个人感染人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，解方程即可得出答案； （2）先计算出经过三轮感染后患甲流的人数，再和进行比较即可． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人感染人， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， ， ， 每轮感染中平均一个人感染人； （2）解：由题意得： 经过三轮感染后患甲流的人数为：（人）， ， 经过三轮感染后累计超过200人患了甲流． 考点二 二次方程的实际应用：增长率问题 例1．（25-26九年级上·吉林·期末）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2012年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”864万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设A市投资“改水工程”的年平均增长率为x，根据2012年和2014年的投资额建立方程求解即可． 【详解】解：设A市投资“改水工程”的年平均增长率为x， 由题意得， 解得或（舍去）， 答：A市投资“改水工程”的年平均增长率为． 例2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，该市服务行业引进机器人的数量逐年增加，计划2025年该市服务行业引进机器人万台．求这两年该市服务行业引进机器人台数的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年该市服务行业引进机器人台数年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设这两年该市服务行业引进机器人台数年平均增长率为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 所以两年该市服务行业引进机器人台数的年平均增长率为． 例3．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）两年前生产1吨某药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨该药品的成本是3200元． (1)生产1吨该药品的成本年平均降低率是多少？ (2)在问题（1）的基础上，明年生产1吨该药品的成本是多少元？ 【答案】(1) (2)2560元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设生产1吨该药品的成本年平均降低率是，再结合两年前生产1吨某药品的成本是5000元，现在生产1吨该药品的成本是3200元，进行列方程，解方程，即可作答． （2）根据生产1吨该药品的成本年平均降低率是，进行列式计算得出明年生产1吨该药品的成本，即可作答． 【详解】（1）解：设生产1吨该药品的成本年平均降低率是， 依题意：， 解得：，（舍） 答：生产1吨该药品的成本年平均降低率是． （2）解：由（1）得生产1吨该药品的成本年平均降低率是， 依题意， 答：明年生产1吨该药品的成本是2560元． 变式1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．8月份投入资金30万元，10月份投入资金万元，已知每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率： (2)按照这个增长率，预计该商场11月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1)商场投入资金的月平均增长率为10% (2)预计11月份投入资金将达到万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据“8月份投入资金30万元，10月份投入资金万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得11月份投入资金． 【详解】（1）解：设商场投入资金的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：商场投入资金的月平均增长率为； （2）解：由题意得：（万元）． 答：预计11月份投入资金将达到万元． 变式2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）年是全面贯彻落实党的二十大精神的关键之年，各地积极推进“红色文旅乡村振兴”融合发展．某革命老区依托红色资源打造研学基地，月接待研学团队个，随着宣传推广和服务升级，月接待研学团队达到个． (1)假设从月到月，每月接待研学团队数量的增长率相同，求月到月每个月的增长率． (2)按照这个增长率，月该基地能接待多少个研学团队？ 【答案】(1) (2)个 【分析】（）设月到月每个月的增长率为，根据题意列出方程即可求解； （）根据（）的结果列出算式解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设月到月每个月的增长率为， 由题意得，， 解得，（不合理，舍去）， 答：月到月每个月的增长率为； （2）解：（个）， 答：月该基地能接待个研学团队． 变式3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同． (1)求每年盈利的年增长率； (2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计到年底能否实现盈利万元的目标？ 【答案】(1) (2)能实现盈利目标 【分析】本题考查一元二次方程的应用，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设每年盈利的年增长率为x，则到年的盈利为万元，根据年盈利万元列方程即可； （2）计算年盈利万元，与万元作比较即可． 【详解】（1）解：设每年盈利的年增长率为x，根据题意得 或（不合题意，应舍去） 答：每年盈利的年增长率为； （2）解：(万元)， ， ∴能实现盈利目标． 考点三 二次方程的实际应用：营销问题 例1．（25-26九年级上·四川泸州·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？ 【答案】(1) (2) 解：由题可得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 即周销售单价定为80元； (3)这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价为90元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用和二次函数的实际应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列二次函数求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把，代入可得：， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）略 （3）解：设周销售利润为w元， 则：， 即当周销售单价为90元时，这种绿茶最大周利润为1800元． 例2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）甲商场购进一款成本价为40元的机器狗玩具，如果按售价每个60元销售，每天可卖出20个．调查发现，售价每降低1元，日销售量增加2个． (1)若想保持日销售利润与售价每个60元时一样，且想尽快售完该款商品，每个机器狗玩具售价应为多少元？ (2)乙商场也销售同款机器狗玩具，标价为每个元．为提高市场竞争力，决定对该商品打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】(1)50元 (2)八折 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设每个机器狗玩具的售价定为元，根据题意列方程求解，再根据“尽快售完”舍去不合题意的解即可； （2）设该商品打折，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个机器狗玩具的售价定为元， ， 解得：（舍）， 答：每个机器狗玩具售价为50元； （2）解：设该商品打折， 根据题意得：， 解得：， 答：至少打八折销售价格不超过50元． 例3．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)若销售单价为64元，连续两次降价后售价为49元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为______； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ 【答案】(1) (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元 【分析】 （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出方程，即可解答； （2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， ， 解得或（舍去）， 即每次下降的百分率为； 故答案为：； （2）解：设，由题意可得： ， 解得：， ∴， 则， 整理得：， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 故每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． (1)若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是___________斤； (2)若每斤售价降低元，则每天的销售量是___________斤（用含的代数式表示，需要化简）： (3)水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，且销售量不能少于280斤，需将每斤苹果的售价定为多少元？ 【答案】(1)200 (2) (3)3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列出算式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据题意列出一元二次方程解方程求解即可，根据每天至少售出280斤取舍最后的结果即可 【详解】（1）解：根据题意，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤， 则每斤售价降低0.5元，每天可多售出20（斤）， 每天的销售量是（斤） 故答案为：200； （2）解：若每斤售价降低x元，则每天的销售量是斤， 故答案为：； （3）解：设若每斤售价降低x元， 根据题意得： 解得 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， （元）， 则售价为3元， 答：水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为3元． 变式2．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）某商场销售某品牌冰箱，每台进货价为元．请你运用所学数学知识根据市场情况和该商场老板的要求，帮助制定这种冰箱的销售策略． 商场进行试销，当销售价为元时，平均每天能售出台；而当销售价每降低元时，平均每天就能多售出4台． 任务一： （1）设每台冰箱降价元，用含的代数式填空： ①降价后，该冰箱的售价为（___________）元； ②降价后，每台冰箱的利润为（___________）元，平均每天售出冰箱（___________）台． 任务二： （2）实际销售中，促销活动规定售价不能超过元．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】 任务一：（1）①②，；任务二：（2）元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①利用降价后该冰箱的售价试销时该冰箱的售价每台冰箱降低的价格，可用含的代数式表示出降价后该冰箱的售价； ②利用降价后每台冰箱的利润降价后每台冰箱的售价每台冰箱的进价，可用含的代数式表示出降价后每台冰箱的利润；利用降价后每天的销售量试销时每天的销售量，可用含的代数式表示出降价后每天的销售量； （2）利用总利润每台的销售量日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其代入中，取其符合题意的值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：降价后，该冰箱的售价为元； 故答案为：； ②根据题意得： 降价后，每台冰箱的利润为元， 平均每天售出冰箱台； 故答案为：，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每台冰箱的定价应为元． 变式3．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）为了更好推广乐平特产——乐平桃酥，让我们一起制定销售方案吧： 主题：乐平桃酥销售方案制定问题 乐平桃酥被国内食品专家誉为“中国桃酥王”，为了满足消费者的不同需求， 某线上平台推出“桶装原味桃酥”，“经典原味桃酥”两种不同包装的乐平桃酥． 素材1 桶装原味桃酥 经典原味桃酥       素材2 经统计，该线上平台8月份“桶装原味桃酥”销售量为320桶，10月份销售量为500桶；“经典原味桃酥”10月份销售量为600箱． 素材3 为了尽快减少库存，决定11月份对“经典原味桃酥”作降价促销，已知每箱“经典原味桃酥”的成本为24元．经试验发现该款经典原味桃酥售价每降低元，月销售量就会增加50箱． 问题解决 任务1 求该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店11月份“经典原味桃酥”的总利润达到5600元，求该款经典原味桃酥应该降价多少元? 【答案】任务1：该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是；任务2：该店总利润达到5600元，经典原味桃酥应该降价2元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据增长率问题和利润问题的数量关系，建立一元二次方程求解． 任务1，设月平均增长率为x，根据8月份销售量和10月份销售量的关系，列出一元二次方程求解；任务2，设“经典原味桃酥”应该降价m元，则每份的利润为元，月销售量为箱，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设月平均增长率是x， ∴，整理得， ∴或（不合题意，舍去）， 答：该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是； 任务2，∵每降低元，月销售量就会增加50箱， ∴每降低1元，月销售量就会增加100箱． 设经典原味桃酥应该降价m元，则每箱的利润为元，月销售量为箱， ∴， ∴， ∴，， 为了减少库存，∴ 答：该店总利润达到5600元，经典原味桃酥应该降价2元． 考点四 二次方程的实际应用：图形面积与体积问题 例1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 例2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． (1)如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． (2)如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程： ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形，根据题意列出方程求解即可； （2）根据矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为，即可列出方程． 【详解】（1）解：设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴盒子的体积； （2）解：∵矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为， ∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形． 根据题意得：． 故答案为：． 例3．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成长方形和长方形，且长方形与长方形面积比为，若栅栏的总长度为，请解决以下问题： (1)若设的长度为，则的长度可表示为___________，的长度可表示为___________，（用含的代数式表示） (2)当长方形养殖场总面积为时，的长度为多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先根据长方形与长方形面积比为，得，再结合的长度为，则的长度可表示为，故，即可作答． （2）因为长方形养殖场总面积为，所以，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵长方形与长方形面积比为， ∴， ∴， 依题意，设的长度为， 则的长度可表示为， ∴ ∵栅栏的总长度为， ∴， ∴的长度可表示为； （2）解：由（1）得的长度可表示为，， ∵长方形养殖场总面积为， ∴， 则， 整理得， 解得， ∴的长度为． 变式1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买了米的木栅栏，如图所示． (1)若，，直接写出y与x的函数关系式； (2)若要围出的矩形的面积为平方米，求的长为多少米？ (3)若要围出的矩形的面积为平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为米 (3) 解：∵矩形的面积为平方米，列方程得： ， 整理得， ， 方程无实根， 因此他的想法不能实现． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由木栅栏长20米为等量关系可求解； （2）由矩形的面积为平方米为等量关系列出方程求解即可； （3）由矩形的面积为平方米为等量关系列出方程后，方程无解． 【详解】（1）解：∵木栅栏长20米， ； （2）∵矩形的面积为平方米，列方程得： 解得： 米； （3）略 变式2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 【答案】（1）40；（2）；（3） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）由储物位置的底面尺寸判断即可； （2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可； （3）根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；； 故答案为：40； （2）设裁去小长方形的宽为，长为， 则， 解得：（舍去），； 则体积为； （3）由题意可得阴影部分的长为， 储物盒的底面长为， 则需要裁出的正方形为图中③，④两块， 裁出的正方形的边长为， 底面的宽为， ． 答：储物盒的底面积为． 变式3．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图（1）是用总长为的木板制作的矩形置物架，抽象为图（2）中的矩形，该置物架上面部分是边长为的正方形，中间部分为矩形，点M，N分别为线段，的中点，且． (1)当时，的长为 ； (2)置物架的高的长为 （用含x的式子表示）； (3)为了便于放置物品，要求EG的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）依题意得四边形，四边形，四边形均为矩形，则，，，当时，则，则，由此可得出的长； （2）根据，，，则，进而得，； （3）依题意得，由（2）可知，，根据矩形的面积为得，由此解得，，当时，则，符合题意，当时，则，不合题意，舍去，由此可得x的值． 【详解】（1）解：依题意得：四边形是矩形，四边形是正方形， ∴四边形，四边形，四边形均为矩形， ，，， 当时，则， ∵矩形置物架是用总长为的木板制作的， ， ， 故答案为：5； （2）解：，，， ， ， ； 故答案为：； （3）解：依题意得：， 由（2）可知，， ∵矩形的面积为， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，则， ∵为了便于放置物品，要求的高度不小于， 符合题意， 当时，则，不合题意，舍去， ∴x的值为． 【点睛】此题主要考查了用一元二次方程解决实际问题，矩形的判定与性质，正方形的性质，列代数式，理解矩形的判定与性质，正方形的性质，根据矩形的面积列出一元二次方程是解决问题的关键． 考点五 二次方程的实际应用：动态几何问题 例1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图所示，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以2厘米秒的速度移动，点沿边从点开始向点以1厘米秒的速度移动，如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： (1)当运动秒时，用含的式子表示__________，__________，__________，__________． (2)当为何值时，的面积为8？ (3)求四边形的面积，并写出一个与计算结果有关的结论． 【答案】(1)厘米，厘米，厘米，厘米 (2)或 (3)平方厘米， 结论：在、运动过程中，四边形的面积始终保持不变，为平方厘米，且等于矩形面积的一半 【分析】（1）根据“路程速度时间”及线段之间的和差关系即可直接得出答案； （2）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可求出的值； （3）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得（平方厘米），（平方厘米），由于（平方厘米），根据可得（平方厘米），于是可得结论． 【详解】（1）解：根据“路程速度时间”，点的速度是1厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 点的速度是2厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 故答案为：厘米，厘米，厘米，厘米； （2）解：四边形是矩形， ， ， ，，， ， 整理，得：， ， 或， 解得：，， 答：当或时，的面积为8； （3）解：四边形是矩形， ， （平方厘米）， （平方厘米）， 又（平方厘米）， （平方厘米）． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用（动态几何问题），因式分解法解一元二次方程，三角形的面积公式，列代数式，整式加减的应用，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． （1）作交于点，利用矩形的性质得到，，再利用勾股定理列出方程求解即可； （2）分两种情况①；②，根据矩形的性质和勾股定理分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：作交于点，则， 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 解得：， 当时，点P、Q之间的距离为． （2）解：①若，作交于点，则， 由题意得，，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，， 或； ②若， ， 四边形是矩形， ，， ， 由①得，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ； 综上所述，当或或时，为直角三角形． 例3．（25-26九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 【答案】(1)为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. (2)当为或2时，中有一个内角与相等. 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题关键． （1）根据面积列出一元二次方程，求值即可. （2）分两种情况讨论：或，再根据相似三角形的判定和性质即可求得答案. 【详解】（1）解：∵动点从点出发，沿方向向点运动，点的速度是， ， ∵动点从点出发，沿线段方向向点运动，点的速度是， ， ． 四边形的面积是面积的2倍，，， ， ， 即：，解得：． 为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. （2）， ①当时，， ， ， 解得：； ②当时，， ， 解得：． 综上所述，当为或2时，中有一个内角与相等． 变式1．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)存在， 【分析】本题借助动点问题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形的定义计算． （1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程速度时间，分别表示出、的长度，由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，可列出方程，从而求出x的值； （2）根据四边形的面积的面积的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴当时，为等腰三角形； （2）解：假设存在x的值，使得四边形的面积等于， 则， 解得． 假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于． 变式2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： (1)填空：________，________（用含t的代数式表示） (2)经过几秒，的面积等于？ 【答案】(1)， (2)1秒 【分析】本题考查的是动点问题，理解动点距离和三角形面积公式是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间即以表示出，．再用就可以求出的值． （2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：根据题意得，，． 故答案为：，； （2）解：， 解得：，． ∵，当点Q运动到点C时，两点停止运动，，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，即， 则秒． 变式3．（25-26九年级上·云南保山·阶段检测）已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． (1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； (2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； 【答案】(1)秒 (2)秒 【分析】（1）于，连接，由可求解； （2）由勾股定理可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动，设运动的时间为， ∴点从到的运动时间为（秒），点从到的运动时间为（秒），，， ∴， ∵当点停止运动时点也停止运动， ∴， 作于，连接， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形的面积是， 又∵， ∴， 解得：； ∴点和点两点从出发开始到秒，四边形的面积是； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：，（，舍去）， ∴点和点两点从出发开始到秒，点和点之间的距离是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，一元一次方程和一元二次方程的应用．利用方程的思想解决问题是解题的关键． 考点六 二次方程的实际应用：握手、循环赛问题 例1．（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】(1)应该邀请支球队参加比赛 (2)有支球队参加比赛 【分析】（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛， ∴ 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）解：设有支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行场比赛， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 答：有支球队参加比赛． 例2．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 变式1．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 变式2．（25-26九年级上·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $