第二十五章 一元二次方程全章高频重点题型突破（五大高频+三大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“概念-解法-应用-综合”为逻辑链条，通过易错警示与方法口诀系统构建一元二次方程解题体系，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|5题型（含28题）|解法口诀+易错警示（如“a≠0”条件）|从概念参数到解法、判别式、韦达定理，再到实际应用，形成完整知识链| |核心提升|3题型（含15题）|含参整数根讨论、几何综合转化、新定义迁移|在基础上深化，聚焦中考重难，培养分类讨论与综合思维| |综合攻坚|综合题（含12题）|跨模块知识整合（如方程与几何动态问题）|通过综合题实现知识网络化，提升问题解决能力|

第二十五章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程的概念与参数问题 题型2 一元二次方程的解法 题型3 根的判别式及其应用 题型4 根与系数的关系（韦达定理） 题型5 一元二次方程的实际应用 核心提升·重难题型归纳 题型1 含参方程的整数根问题 题型2 一元二次方程与几何综合 题型3 阅读理解与新定义 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 一元二次方程的概念与参数问题 【易错警示】①忽略"a≠0"条件，导致参数范围出错；②将分式方程、根式方程误判为一元二次方程；③化为一般形式时符号出错。 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 6．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ ◆题型2 一元二次方程的解法 【方法选择口诀】含平方直接开，能分解优先分；否则公式法通用，配方法要掌握。 【易错警示】①直接除以含未知数的因式导致丢根；②配方法忘记两边同时加；③公式法中b的符号出错；④因式分解后右边未化为0。 7．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 8．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）解方程： (1) (2) 9．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程： (1)． (2)． 10．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：． 13．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：． 14．（25-26九年级下·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2) 请用小强同学发现的新解法解方程：． ◆题型3 根的判别式及其应用 【易错警示】①"有两个实数根"⇒Δ≥0且a≠0；"有实数根"⇒需讨论a是否为0；②求参数范围时遗漏a≠0；③证明恒正时常数项算错。 15．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 16．（2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 17．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 18．（2026·甘肃嘉峪关·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 19．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 20．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． ◆题型4 根与系数的关系（韦达定理） 【易错警示】①使用韦达定理前不验证Δ≥0，导致求出的参数使方程无实根；②x₁²+x₂²变形时漏写系数2；③求|x₁-x₂|时忘记开方；④两根之和的符号出错（-b/a，注意负号）。 21．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 22．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 23．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 24．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 25.已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 26．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 27．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 28．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． ◆题型5 一元二次方程的实际应用 【易错警示】①增长率问题中混淆"增长到"和"增长了"；②面积问题不检验解的合理性；③利润问题中销售量的表达式列错（每涨1元减10件，涨了(x-50)元）；④传播问题中忘记第一轮被传染的人在第二轮也会传染。 29．（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 30．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 31．（25-26九年级下·山东淄博·期末）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 32．（2026·广东肇庆·三模）某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． (1)求该公司研发投入资金的年平均增长率． (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 33．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 34．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 35．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 36．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ ◆题型1 含参方程的整数根问题 【易错警示】整数根问题遗漏二次项系数为0的情况讨论。 37．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 38．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 39．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 40.已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． ◆题型2 一元二次方程与几何综合 【易错警示】几何综合题漏解（直角顶点有多种可能）；不检验解是否在取值范围内。 41．（2026·江西吉安·二模）如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________． 42．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 43．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 44．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 45．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． ◆题型3 阅读理解与新定义 【易错警示】新定义问题未严格按定义转化。 46．（24-25九年级上·山西·期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为________．    校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（ 47．（2026·山东德州·一模）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，例如：，若，则的值是__________． 48．（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 49．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 50．（2026·安徽合肥·三模）我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：就是一个数集，其中的实数具有互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同．如：．已知数集，数集，且． （1）若、为非负数，则________； （2）若、为任意实数，则所有可能值的和为________． 51．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 52．（25-26八年级下·福建福州·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 一、单选题 1．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 4．（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 5．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）形如的方程的图解法：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取．则该方程的一个正实数根等于线段___的长．   6．（25-26九年级上·福建泉州·期中）关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 三、解答题 7．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）解方程①    ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 8．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 9．（2026·上海静安·三模）舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． (1)已知关于的方程：有增根，求：； (2)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 10．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 11．（2026·河北邯郸·模拟预测）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 12．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)分别用含t的代数式表示与； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程的概念与参数问题 题型2 一元二次方程的解法 题型3 根的判别式及其应用 题型4 根与系数的关系（韦达定理） 题型5 一元二次方程的实际应用 核心提升·重难题型归纳 题型1 含参方程的整数根问题 题型2 一元二次方程与几何综合 题型3 阅读理解与新定义 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 一元二次方程的概念与参数问题 【易错警示】①忽略"a≠0"条件，导致参数范围出错；②将分式方程、根式方程误判为一元二次方程；③化为一般形式时符号出错。 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 2．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【详解】解：将代入，得， ， ． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 4．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 6．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． ◆题型2 一元二次方程的解法 【方法选择口诀】含平方直接开，能分解优先分；否则公式法通用，配方法要掌握。 【易错警示】①直接除以含未知数的因式导致丢根；②配方法忘记两边同时加；③公式法中b的符号出错；④因式分解后右边未化为0。 7．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， 解得． 8．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）解方程： (1) (2) 【详解】（1） 所以， （2）解：将方程化为一般形式，得 ∵，， ∴， ∴ 解得：， 9．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：， ，即， ． ，． （2）解：原方程可化为， ，，． 方程有两个不相等的实数根， ． ，． 10．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ， ∴或， 解得：， 检验：当时，， 当时，， 故原方程的解为，． 13．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 14．（25-26九年级下·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． ◆题型3 根的判别式及其应用 【易错警示】①"有两个实数根"⇒Δ≥0且a≠0；"有实数根"⇒需讨论a是否为0；②求参数范围时遗漏a≠0；③证明恒正时常数项算错。 15．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 16．（2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 17．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 18．（2026·甘肃嘉峪关·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 19．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】 证明：∵， ， 即，                             ∴无论取何值，方程总有实数根． 20．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：把代入方程，得 ， 解得； （2）证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． ◆题型4 根与系数的关系（韦达定理） 【易错警示】①使用韦达定理前不验证Δ≥0，导致求出的参数使方程无实根；②x₁²+x₂²变形时漏写系数2；③求|x₁-x₂|时忘记开方；④两根之和的符号出错（-b/a，注意负号）。 21．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 22．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 23．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 24．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 25.已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 26．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 27．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 28．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． ◆题型5 一元二次方程的实际应用 【易错警示】①增长率问题中混淆"增长到"和"增长了"；②面积问题不检验解的合理性；③利润问题中销售量的表达式列错（每涨1元减10件，涨了(x-50)元）；④传播问题中忘记第一轮被传染的人在第二轮也会传染。 29．（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【答案】 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，初始有5个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为，第二轮传染后，总患病人数为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染6人． 30．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 31．（25-26九年级下·山东淄博·期末）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 【答案】这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为， 依题意得：， 解得，（舍去）． 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为． 32．（2026·广东肇庆·三模）某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． (1)求该公司研发投入资金的年平均增长率． (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 【答案】(1)该公司研发投入资金的年平均增长率为 (2)当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元 【详解】（1）解：设该公司研发投入资金的年平均增长率为x， 依题意得，， 解得（负值已舍去）， 答：该公司研发投入资金的年平均增长率为； （2）解：设生产A款装备a台，则生产B款装备台， 根据题意，得， 解得． 设销售总收入为W万元，则， ， 随a的增大而增大． ， 当时W值最大，（万元）． 答：当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元． 33．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【答案】(1)； (2)3 【详解】（1）解：由题意，种菜区的面积为； 休闲区能接的雨水量为； （2）解：由题意，， 解得，（不合题意，舍去）； 故的值为3. 34．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【答案】(1)矩形菜地的长和宽都为10米． (2)不能围成面积是120平米的菜地 【详解】（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 35．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 36．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． ◆题型1 含参方程的整数根问题 【易错警示】整数根问题遗漏二次项系数为0的情况讨论。 37．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 38．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 39．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 40.已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． ◆题型2 一元二次方程与几何综合 【易错警示】几何综合题漏解（直角顶点有多种可能）；不检验解是否在取值范围内。 41．（2026·江西吉安·二模）如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________． 【答案】2或6或 【详解】解：当点在线段上时， ∵，， ∴，，， ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∴或； 如图2，当点在线段延长线上时， 同理可得，， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∵ ∴； 综上所述，的长为2或6或． 42．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) 可以平分的周长说法错误．理由如下： ∵，，， ∴； ∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，，， 根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动， 根据题意，平分的周长， ∴， ∴， 解得， 大于了3秒． 故平分的周长的说法是错误的． (2) 平分的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得，， 若平分的面积，得， 解得（舍去）． 故当时，平分的面积． 43．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 44．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 45．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【详解】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． ◆题型3 阅读理解与新定义 【易错警示】新定义问题未严格按定义转化。 46．（24-25九年级上·山西·期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为________．    校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（ 【答案】 【详解】解：设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 47．（2026·山东德州·一模）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，例如：，若，则的值是__________． 【答案】或 【详解】解：由题意知，等于a、b中较大的值 ∴当时 ∴ ∴ 解出， ∵ ∴取 当时 ∴ 解得：， ∵ ∴取 综上所述：的值为或． 48．（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 49．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 50．（2026·安徽合肥·三模）我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：就是一个数集，其中的实数具有互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同．如：．已知数集，数集，且． （1）若、为非负数，则________； （2）若、为任意实数，则所有可能值的和为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴与的元素完全相同， ∵有意义， ∴， （1）∵为非负数， ∴， ∴，， ①当，时，则， 将代入得， 解得， ∵， ∴，符合条件，此时； ②当，时，则， 将代入， 得 ∴，与非负矛盾，舍去； 综上所述，； （2）∵含元素， ∴必有一个元素为， 当时，则，中有两个相等元素，违反互异性，舍去； 当时，①，，由得， 同（1）可得符合条件的解，故是有效解； ②，， 将代入得，，， 此时，不成立，舍去； 当时，则， ①，，则， 将代入得，， 此时，，符合互异性， ∴是有效解； ②，， 将代入得，矛盾，舍去； 综上所述，的所有可能值为和， ∴所有可能值的和为． 51．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 52．（25-26八年级下·福建福州·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 一、单选题 1．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【答案】A 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 二、填空题 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 4．（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 5．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）形如的方程的图解法：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取．则该方程的一个正实数根等于线段___的长．   【答案】 【详解】解：∵， ∴移项，得． 用求根公式求得， ∵在中，， ∴由勾股定理可得， ∴， ∴的长就是该方程的一个正实数根． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期中）关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 【答案】②③④ 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题 7．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）解方程①    ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 【答案】（1）① ；②，；（2）每个支干长出9个小分支 【详解】解：（1）①， ， ， 或 解得，； ②， ，，，， ∴ ∴，； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，则支干有x个，小分支共有个， 由题意得：， 整理得， 解得，（舍去）， 即每个枝干长出9个小分支． 8．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 9．（2026·上海静安·三模）舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． (1)已知关于的方程：有增根，求：； (2)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵关于的方程：有增根， ∴，即或，解得或， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，k的值为； （2）解：设6、7月相同的增长率为x， 根据题意，得，解得(不合题意，舍去)， 答：增长率为． 10．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2043 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， ∴或， 解得或， 综上可知，或且． （2）解：取满足（1）中条件的最小正整数，即． 代入方程得， 设两根为和，则，，， ∴，， ． 11．（2026·河北邯郸·模拟预测）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据矩形与长方体的关系可知，矩形纸板对应两个“长高”， 即； （2）解：设长方体的高为，则长方体的宽为，长为， ∵包装盒底面积为， ∴，即， 解得（大于的长度，不满足题意，舍）， ∴长方体的高为，宽为，长为， 故包装盒的体积为． 12．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)分别用含t的代数式表示与； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在 【详解】（1）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动， ∴． ∵， ∴． ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动， ∴． （2）在中，依据勾股定理得：． 即． 解得： （不合题意舍去），． 故当秒时，的长度等于． （3）存在秒，使得五边形的面积等于．理由如下： ∵长方形的面积是：，五边形的面积等于， ∴的面积为：． ∴． 解得：（不合题意舍去），． 故当秒时，使得五边形的面积等于． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $