四川达州市开江县第二中学2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

**基本信息** 开江县第二中学九年级上学期学情自测数学卷分A、B卷（100+50分），以垃圾分类标志、交通路线等现实情境命题，融入几何变换、函数动态探究等综合题，考查运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|不等式性质、轴对称与中心对称|题2结合垃圾分类标志考图形性质，体现数学眼光| |填空题|10题40分|多边形内角和、因式分解应用|题12用代数式变形考整体思想，题13结合垂直平分线考30°角性质| |解答题|8题78分|分式方程、函数与几何综合|题18动态正方形存在性问题，B卷26题旋转探究考推理能力与创新意识|

四川省达州市开江县第二中学2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．已知x＜y，则下列不等式成立的是（　　） A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y 2．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．厨余垃圾FoodWaste B．可回收物Recyclable C．其他垃圾ResidualWaste D．有害垃圾HazardousWaste 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 4．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若∠BDE＝65°，则∠C＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 5．为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程15千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高30%，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°，得到△ADE，连接BE，若AD∥BE，则∠CAE的度数为（　　） A．20° B．30° C．25° D．35° 7．如图，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b相交于点（1，2）．则不等式组ax+b＞kx＞0的解集为（　　） A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＜0或x＞1 8．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．不等式4x＞7x﹣9的正整数解的是 　　 ． 10．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 　　 ． 11．如图，将周长为12的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得△DEF，则四边形ABFD的周长为 　　 ． 12．若b+a＝3，则9﹣6a+a2﹣b2的值为 　　 ． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）解分式方程：． （2）解不等式组：； 15．（8分）先化简：，再从±1，±2中选择一个合适的m值代入求值． 16．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4），B（1，1），C（4，2）． （1）在图中画出平面直角坐标系xOy，并标出坐标原点O； （2）将△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转90°，请画出旋转后的图形△A1B1C1； （3）将△A1B1C1向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度得到△A2B2C2，请画出平移后的图形△A2B2C2，并直接写出线段A2C的长度为 　　 ． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C，且△ABC面积为10． （1）求点C的坐标及直线BC的解析式； （2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标； （3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是______． 20．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 　　 ． 21．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若AE＝12，BF＝8，则AB的长为 　　 ． 22．若关于x的不等式组的解集是x≤3，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为 　　 ． 23．如图，将含30°角的三角尺（△ABC，∠ACB＝90°）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD，∠ADC＝90°）的斜边恰好重合放置，已知，P，Q分别是AC，BC上的动点，当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 25．（10分）课本再现：在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD． 知识应用 （2）在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC到E，使得CE＝AB，连接DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 26．（12分）在△ABC中，AB＝BC，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得线段BE． （1）如图1，若α＝∠ABC，连接AE，求证：∠E+∠ADB＝180°； （2）如图2，若α+∠ABC＝180°，连接CE，作△BCE的中线BM，用等式表示线段BM，AC，CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠ABC＝120°，AC＝6，∠DBM＝15°，求BM的长． 参考答案 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去2，不等式仍成立，即x﹣2＜y﹣2，原变形错误，故本选项不符合题意； B、在不等式x＜y的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2x＜2y，原变形错误，故本选不项符合题意； C、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，在不等式﹣2x＞﹣2y的两边同时加上3，不等式仍成立，即﹣2x+3＞﹣2y+3，原变形正确，故本选项符合题意； D、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，原变形错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．【解答】解：由作图过程可知，直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴∠BED＝90°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠C． ∵∠BDE＝65°， ∴∠DBC＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝25°， ∴∠C＝25°． 故选：B． 5．【解答】解：设走甲路线的平均速度为x千米/时，列方程为， 故选：A． 6．【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°得到△ADE， ∴AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝80°， ∴∠AEB（180°﹣∠BAE）50°， ∵AD∥BE， ∴∠EAD＝∠AEB＝50°， ∴∠CAE＝∠CAD﹣∠EAD＝80°﹣50°＝30°， 故选：B． 7．【解答】解：在x轴的上方，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式ax+b＞kx＞0的解集， 观察图象可知：不等式的解集为：0＜x＜1， 故选：B． 8．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6． ∴∠AFB＝∠FBC． ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC． ∴∠AFB＝∠ABF． ∴AF＝AB＝6． 同理可得DE＝DC＝6． ∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．【解答】解：∵4x＞7x﹣9， ∴4x﹣7x＞﹣9， ∴﹣3x＞﹣9， 解得x＜3， ∴不等式4x＞7x﹣9的正整数解是1和2． 故答案为：1和2． 10．【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得： （n﹣2）•180°＝2×360°， 解得，n＝6． 故答案为：6． 11．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF， ∴AD＝CF＝3，AC＝DF， ∴四边形ABFD的周长＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF， ∵△ABC的周长＝12， ∴AB+BC+AC＝12， ∴四边形ABFD的周长＝12+3+3＝18． 故答案为：18． 12．【解答】解：9﹣6a+a2﹣b2 ＝a2﹣6a+9﹣b2 ＝（a﹣3）2﹣b2， ∵b+a＝3， ∴a﹣3＝﹣b， 把a﹣3＝﹣b代入（a﹣3）2﹣b2， 得（﹣b）2﹣b2＝0， 故答案为：0． 13．【解答】解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△CBE中，CE＝8，∠CBE＝30°， ∴BE＝2CE＝16， ∴AE＝BE＝16， 故答案为：16． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．【解答】解：（1）2， 去分母，方程两边同时乘以（x﹣3）得： 1＝2（x﹣3）﹣x， 1＝2x﹣6﹣x， x＝7， 检验：将x＝7代入x﹣3得到，7﹣3＝4≠0， 所以x＝7是原方程的根． （2）， 解不等式，得x≥﹣1， 解不等式5x﹣1＜3（x+1），得x＜2， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2； 15．【解答】解： • • ， ∵m＝1或±2时，原分式无意义， ∴x＝﹣1， 当x＝﹣1时，原式3． 16．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系xOy如图所示． （2）如图，△A1B1C1即为所求． （3）如图，△A2B2C2即为所求． 由勾股定理得，A2C． 故答案为：． 17．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAF＝∠DCE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA， ∴ED∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF， ∵AB＝DC＝DF， ∴AB＝BE， ∴∠BEA＝∠BAC＝80°， ∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB（180°﹣80°）＝50°， ∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°． 18．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∵S△ABC•AC•OB＝10， ∴AC＝5， ∴OC＝3， ∴C（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有， ∴． ∴直线BC的解析式为yx+4． （2）∵FA＝FB，A（﹣2，0），B（0，4）， ∴F（﹣1，2），设G（0，n）， ①当n＞2时，如图2﹣1中，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N． ∵四边形FGQP是正方形，易证△FMG≌△GNQ， ∴MG＝NQ＝1，FM＝GN＝n﹣2， ∴Q（n﹣2，n﹣1）， ∵点Q在直线yx+4上， ∴n﹣1（n﹣2）+4， ∴n， ∴G（0，）． ②当n＜2时，如图2﹣2中，同法可得Q（2﹣n，n+1）， ∵点Q在直线yx+4上， ∴n+1（2﹣n）+4， ∴n＝﹣1， ∴G（0，﹣1）． 综上所述，满足条件的点G坐标为（0，）或（0，﹣1）． （3）如图3中，设M（m，m+4）， ∵S△AMB＝S△AOB， ∴S△ABC﹣S△AMC＝S△AOB， ∴5×45×（m+4）2×4， ∴m， ∴M（，）， ∴直线AM的解析式为yx， 作BE∥OC交直线AM于E，此时E（，4）， 当CD＝BE时，可得四边形BCDE，四边形BECD1是平行四边形，可得D（，0），D1（，0）， 当点E在第三象限，根据BC＝DE，可得D2（，0）也符合条件， 综上所述，满足条件的点D的坐标为（，0）或（，0）或（，0）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3， ∵不等式组有解， ∴m＜3， 故答案为：m＜3． 20．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+k＝0中得4﹣6+k＝0， 解得：k＝2． 解法二：设另一个因式为（x+p），则有x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x+p）＝x2+（﹣2+p）x﹣2p， ∴， 解得． 故答案为：2． 21．【解答】解：设AE与BF相交于点O， 由作图过程可知，AB＝AF，AE⊥BF， ∴OB＝OF4，AO平分∠BAF， ∴∠FAE＝∠BAE． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， ∴△ABE为等腰三角形， ∵BO⊥AE， ∴OA＝OE6． 在Rt△BOE中，由勾股定理得，BE， ∴AB． 故答案为：． 22．【解答】解：关于x的不等式组整理得， 而不等式组的解集为x≤3， ∴a+1＞3 ∴a＞2， 解分式方程得x且2， ∵关于x的分式方程有整数解，且a为整数， ∴符合条件的所有整数a为3，7， ∴符合条件的所有整数a的和为：3+7＝10． 故答案为：10． 23．【解答】解：如图，当四边形DPBQ为平行四边形时， ∴DP∥BC， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∴DP⊥AC， ∵△DAC是等腰直角三角形， ∴PA＝PC， ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴BCAB84， ∴AC12， ∴PCAC＝6， ∵∠DCP＝45°，∠DPC＝90°， ∴△DCP是等腰直角三角形， ∴PD＝PC＝6， ∵PC⊥PD， ∴平行四边形DPBQ的面积＝PD•PC＝6×6＝36． 故答案为：36． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．【解答】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元， 根据题意得， 解得x＝160， 经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意， ∴x+40＝160+40＝200． 答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元； （2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个， 依题意得：200（20﹣y）+160y≤3600， 解得：y≥10， ∵y为正整数， ∴y的最小值为10． 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个． 25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， ∴△OAD≌△OCB（ASA）， ∴OA＝OC，OB＝OD； （2）解：BE＝2AP，证明如下： 如图所示，过点B作BH∥AE交DE于H，连接PH，CH， ∴∠DBH＝∠BAC＝60°， ∵AB＝CE，AC＝BD， ∴AB+BD＝AC+CE，即AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠D＝60°，DE＝DA， ∴△DBH是等边三角形， ∴BH＝BD＝DH， ∴BH＝AC， 又∵BH∥AC， ∴四边形ABHC是平行四边形， ∴AH，BC互相平分， ∵点P为BC的中点， ∴A、P、H三点共线， ∴AH＝2AP， 在△ADH和△EDB中， ， ∴△ADH≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AH， ∴BE＝2AP． 26．【解答】（1）证明：将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得线段BE． ∴BE＝BD，∠DBE＝α， 又∵α＝∠ABC， ∴∠DBE＝∠ABC， ∴∠DBE﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠ABD，即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴∠E＝∠BDC， 又∵∠BDC+∠ADB＝180°， ∴∠E+∠ADB＝180°． （2）， 理由如下； 如图，延长CB使BF＝CB． ∵BM是△BCE的中线， ∴CM＝ME， ∴BM是△CEF的中位线， ∴， ∵将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得线段BE． ∴BE＝BD，∠DBE＝α， ∵α+∠ABC＝180°，即∠DBE+∠ABC＝180°， 又∵∠ABF+∠ABC＝180°， ∴∠ABF＝∠DBE， ∴∠ABF﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，即∠FBE＝∠ABD， ∵CB＝FB，CB＝AB， ∴FB＝AB， 在△FBE和△ABD中， ， ∴△FBE≌△ABD（SAS）， ∴FE＝AD， ∴； （3）情况一：设AB与FE的交点为G，过B点作BH⊥AC于H点． ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴， 又∵AC＝6，BH⊥AC， ∴AH＝CH＝3，． 设BH＝x．则AB＝2x，则（2x）2﹣x2＝32，解得， ∴， ∵BF＝BA， ∴， 若∠ABC＝120°， ∴∠ABF＝60°，由（2）知△FBE≌△ABD， ∴∠BFE＝∠BAD＝30°， ∴∠FGB＝90°，∠BGE＝90°， ∴BG，FG， ∵∠DBE＝α，α+∠ABC＝180°， ∴∠DBE＝60°， ∵∠DBM＝15°，∠EBM＝60°﹣15°＝45°， ∵BM∥FE， ∴∠MBC＝∠F＝30°， ∴∠ABM＝∠ABC﹣∠MBC＝90°， ∴∠GBE＝∠ABM﹣∠EBM＝45°， ∴∠GEB＝90°﹣∠GBE＝45°，，， 由（2）知． 情况二：当BM在BD右侧时，如图，过点E作ET∥BM交CB的延长线于T， 则∠TEB＝∠EBM＝75°， ∴TE＝TB＝2， ∵M是CE中点， ∴BM是△TEB的中位线， ∴BMTB， 综上，BM或． 学科网（北京）股份有限公司 $