精品解析：四川达州市渠县文崇中学2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

四川省达州市文崇中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、它不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、它是轴对称图形，不是中心对称图形； C、它既是轴对称图形，也是中心对称图形； D、它是轴对称图形，不是中心对称图形． 2. 如果，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：选项A：由，两边减得，故不成立，错误； 选项B：由，两边同乘，不等号方向不变，得，故不成立，错误； 选项C：由，两边同乘3得，再两边同减1得，故不成立，错误； 选项D：由，两边同乘，不等号方向改变，得，成立． 故选：D ． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的定义，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一与直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：由作图可得是线段的垂直平分线， ，， ，， ． 5. 下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，符合题意； B、能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：A． 6. 关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　） A. ±3 B. 3 C. ﹣3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据增根的定义可求出x的值，把方程去分母后，再把求得的x的值代入计算即可. 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0， 解得x＝3， 方程两边都乘（x﹣3）， 得：x﹣1＝2（x﹣3）+k， 当x＝3时，k＝2，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根.增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程． 7. 如图，将三角形向右平移得到三角形，已知四边形的周长是，则三角形的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移性质可得，，根据题意可得，则有，从而求出三角形的周长，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵三角形向右平移得到三角形， ∴，， ∵四边形的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的周长是， 故选：． 8. 如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质说明，再由等角对等边得，同理说明，由此求出，又即可求解． 【详解】解：在中，， ， 平分， ， ， ， 同理可证， 在中，，， ， ， 即， ， ， ． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式： _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，运用提公因式来进行因式分解，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 10. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据代数式有意义，列出不等式组求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：且， 故答案为：且． 11. 如图，在等边三角形ABC中，D是内一点，将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，则旋转角（）为________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，根据旋转角即为的度数，然后根据等边三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵绕点A按逆时针方向旋转到， ∴旋转角为， 故答案为：． 12. 已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组有解， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而，在中，，则，由此即可求解． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）解不等式组： （2）解分式方程： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】此题考查了求不等式组的解集和解分式方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集取公共部分即可； （2）去分母化为整式方程并解方程，代入最简公分母检验即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集是； （2） 两边同乘以得， 整理得， 解方程得， 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 15. 先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先得出化简结果为，再根据，，得出，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴且且， ∴， 当时，原式． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2） 如图所示：，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 四边形中，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，则，得到，即可证明结论； （2）由（1）可知，得到，求出，由四边形是平行四边形得到，，即可得到四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 18. 如图所示，在和中，，，，将绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结，，求证：； （2）如图2所示，若，判断和的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边的中点，M点在右侧，在中，，，连接，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） ．理由： 连接，交于点K，与交于点R， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴垂直平分， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据，，，得到，从而证明结论； （2）连接，交于点K，与交于点R，根据，，得到，根据三线合一得到垂直平分，得到，由等腰直角三角形性质即得； （3）过点O作，使，连接、，并延长交于点Q，交于点H，连接， 根据等腰直角三角形性质证明，∴，，证明，得到是等腰直角三角形，设，则，在中，由勾股定理求得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点O作，使，连接、，并延长交于点Q，交于点H，连接，则， ∵是等腰直角三角形，O是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转变换综合，添加恰当辅助线构造全等三角形，熟练掌握旋转的性质，等腰直角三角形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，三线合一，线段垂直平分线性质，勾股定理等解直角三角形，是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则代数式的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了代数式求值，分式的加法运算，先计算出，再整体代入，，计算即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：3． 20. 关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质3，可得、的关系，根据不等式的性质3，可得答案．本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出是解题关键． 【详解】解：的解集是， ∴ ，， ， ， ， ． 故答案为： 21. 如图，是的对角线，延长至E，使，点O是的中点，连接，．与相交于点F，若是等边三角形，,则的长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质和为等边三角形得到为等边三角形，由可以得到，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，且为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴在中，由勾股定理有，即， ∵点O是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理有，即． 22. 已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键． 解分式方程得，由题意可知，当时，，方程有增根．即可求出答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 解得：， ∵解为负数， ∴， ∴， 当时，， ∴且， 故答案为：且． 23. 如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元． （1）求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？ 【答案】（1）甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元； （2）该超市最多采购甲玩具75件． 【解析】 【分析】（1）设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元，根据“所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍”列出分式方程，解之即可； （2）设该超市采购甲玩具a件，根据“购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件”列出不等式，解之取其中的整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的根， （元）， 答：甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元； 【小问2详解】 解：设该超市采购甲玩具a件， 根据题意得：， 解得：， 答：该超市最多采购甲玩具75件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 25. 课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2），证明如下： 如图所示，过点作交于，连接， ， ， ，即， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 互相平分， 点为的中点， 三点共线， ， 在中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明； （2）过点作交于，连接，则，先证明是等边三角形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则． 【详解】略 26. 如图，已知直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）若C是线段上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上． ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由． 【答案】（1） （2）①点的坐标为，点的坐标为；②存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）①过作轴于点，证明，利用全等三角形的性质可求出、的长，进而可得出点、的坐标； ②分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线经过，两点， ∴，解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 ①解：过作轴于点，则， ∴，， 由旋转可得，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ，． 设， ∴， ∴点的坐标为， 点在直线上， ， ， ∴，， 点的坐标为，点的坐标为； ②存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．理由如下： 设点的坐标为， 分两种情况考虑： ①当为边时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为； 或， 或， 当时，； 当时， 点的坐标为或； ②当为对角线时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， ， ， 当时， 点的坐标为 综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市文崇中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则( ) A. B. C. D. 5. 下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　） A. ±3 B. 3 C. ﹣3 D. 2 7. 如图，将三角形向右平移得到三角形，已知四边形的周长是，则三角形的周长是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式： _______． 10. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 11. 如图，在等边三角形ABC中，D是内一点，将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，则旋转角（）为________． 12. 已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是________． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 _______ ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）解不等式组： （2）解分式方程： 15. 先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 17. 四边形中，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 18. 如图所示，在和中，，，，将绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结，，求证：； （2）如图2所示，若，判断和的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边的中点，M点在右侧，在中，，，连接，，求的长度． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则代数式的值是______． 20. 关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______． 21. 如图，是的对角线，延长至E，使，点O是的中点，连接，．与相交于点F，若是等边三角形，,则的长为 ______． 22. 已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是_______． 23. 如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元． （1）求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？ 25. 课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 26. 如图，已知直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）若C是线段上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上． ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $