知识板块九 二次函数与角度 专项练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以“构造法”为主线系统整合二次函数与角度问题，通过模型提炼与分层突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |45°角构全等|3题|45°角→等腰直角三角形→三垂直全等|从特殊角切入，建立几何构造与坐标运算联系| |等角构等腰|3题|等角转化→等腰三角形→线段等量关系|强化等角性质的代数表达，发展模型意识| |等角构全等|2题|等角条件→构造全等三角形→坐标关系推导|深化全等构造在动态问题中的应用| |等角构特殊角|2题|等角转化→特殊角（45°）→直角三角形性质|拓展特殊角构造的变式应用| |二倍角|2题|加倍法/减半法→角关系转化|构建二倍角与基本角的转化逻辑| |角的和差|3题|和差角→隐特殊角/等角→构造全等/等腰|综合运用构造法解决复杂角度问题|

知识板块九二次函数与角度 拆分突破46二次函数与角度（一）45°角构全等 模型 思路：45°角→构等腰直角三角形→三垂 直全等 B 条件：∠PAB=45°· 方法：构等腰Rt△ABQ→△AB0≌△BQH→点 Q坐标→直线AQ→与抛物线联立→点P的 坐标. 必刷考点一45°角 1.(2026黄陂实验中学)如图，抛物线 和直线 - 1交于点A,B,点P在 y≈ y=- 直线AB下方的抛物线上，若∠PAB=45°，求点P的坐标 必刷考点二斜交45°角 2.(2026光谷未来)如图，抛物线 y-2x 5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C.D是抛物线第四象限上一点，若∠CB0+∠B0D=45°，求点D的坐标. B 必刷考点三和差45°角 3.(2026武汉六中)如图，抛物线 交x轴于A,B两点（点A在点B的左 y=-x2-2x+3 边)，交y轴于点C(O,3).D是第二象限内抛物线上一点，连接BD,BC,若 ∠ABD+∠BC0=45°，求点D的坐标. A B X 拆分突破47二次函数与角度（二）等角构等腰 B 条件：∠PCA=∠CAO. 条 件 条 件 结论：AQ=CQ. ∠PCB=∠ACB,BDIPC ∠PAC=∠ACO. 结论：CD=BD, 结论：AQ=CQ 1.(2026武汉市汉阳区期末)如图，抛物线 交x轴于点A,B,交y轴于点C.D y=x2-x-6 为第四象限内抛物线上一点，若∠DAC=∠ACB,求点D的坐标. 武汉四调政编如图抛物线y正-X-3交x轴于AB两点（点A在点 4 左边)，交y轴于点C.D是第四象限的抛物线上的一点，连接AD分别交BC,OC于 E,F两点，若∠FEC=∠FCE,求直线AD的解析式. 年1) B x C 3.(2026黄陂)如图，抛物线 多交x抽于AB两点点A在左边，过点日 y=- 2+2 作不与y轴平行且与抛物线只有一个公共点的直线1，平移直线1交抛物线于M,N两 点(M,N都在A右侧)，求证：△MAN的内心在x轴上. M B 拆分突破48二次函数与角度（三）等角构全等 条件：OB=OC, 条件：OB=OC,CDIx轴，BC平分 ∠PBD, ∠PBA=∠ACO. 结论：△EBC=△DBC. 结论：△OBQ≈△OCA. D 1.如图，抛物线 与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点为 y=ax2+bx+c D.其中A(-3,0),D(-1,-4): (1)直接写出该抛物线的解析式： (2)E为第三象限内抛物线上一点，且∠OCE=∠OAD.求点E的坐标. B E 2.如图，抛物线 与x轴交于点A,B(点A在点B的左边)，与y轴交于点 y=-x2+2x+3 C,P为抛物线上一点，连接AC,PB.若∠PBA=∠ACO,求点P的坐标 拆分突破49二次函数与角度（四）等角构特殊角 条件：OB=OC, 条件：OB=OC, ∠PCB=∠ACO. ∠ADO=∠ACB C 结论：∠ACP=45°. 结论：∠CAP=45° 1.(2025武珞路中学期中)如图，抛物线 与x轴交于A,B两点，与y轴 y=-x+3x+4 交于点C.点P在抛物线上，若∠PCB=∠ACO,求点P的坐标. A B x 2.(2026江岸)如图，抛物线 与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于点 y=-x2+3x+4 C,D是BC上方抛物线上异于B,C的一点，AD交y轴于点E,当∠ACB=∠AEO时，求点D的 坐标 D 拆分突破50二次函数与角度（五）二倍角 必刷考点一二倍角→加倍 1.如图，抛物线 交x轴于A,B两点（点A在点B的左边），交 y=-x+a+1x-aa1 y轴于点C.且S△ABC=3. (1)直接写出抛物线的解析式： (2)若对称轴右侧的抛物线上有一点P,射线PA与y轴交于点Q,且 ∠PQC=2∠AC0,求点P的坐标. y B 必刷考点二二倍角→减半 2.如图，抛物线 交x轴于A,B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴 y=x2-2x-3 于点C,点M,N均在抛物线上，设点M的横坐标为m,点N的横坐标为n(O<n<m<3),连 接MN,连接AM,AN分别与y轴交于点S,T,且∠AMN=2∠BAM,求30S+ST的值. B 拆分突破51二次函数与角度（六）角的和差 必刷考点一角的和差隐特殊角构全等 1.(2025武昌区五调)如图，抛物线 交x轴于A(-1,O),B两点， y=x2-2mx-3m2m0) 交y轴于点C. (1)直接写出点B,C的坐标； (2)设点N在y轴上，满足∠OCA+∠ANO=∠ABC,求点N的坐标. 必刷考点二角的和差隐等角构全等 2.如图，抛物线 与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点 y=-x2-2x+3 C,点M是第二象限抛物线上的一点，且∠MCA+∠ABC=135°，求点M的坐标. M B 必刷考点三角的和差隐等角构等腰 3.如图，抛物线 y=-3x+2 与坐标轴分别交于A,B,C三点，P是第一象限内抛 +4 3 3 物线上的一点，且横坐标为m连接CP,是否存在点P,使得∠BC0+2∠PCB=90°？若存 在，求m的值；若不存在，请说明理由 p A 0 BI 支 知识板块九二次函数与角度 拆分突破46二次函数与角 度（一）45°角构全等 1解令-3=宁， 解得X1=-4,X2=3, .A(-4,1). 过点0作OQ LOA交直线AP于点Q,分别过点A,Q作y轴的垂线，垂足为G,H,则 △A0Q为等腰直角三角形， .△A0G2△0QH, .0H=AG=4,QH=0G=1, .Q(-1,-4), 直线AQ:y=-号x-17 33 -3= 517 3 X-3’ 解得Xp=-8 1 2.解：设OD,BC交于点E,过点C作CG∥OD,过点B作BG⊥BC交CG于点G,过点G作 GHLx轴于点H.则∠BCG=∠0EC=∠CB0+∠B0D=45° .△CBG为等腰直角三角形， .△OBC≌△HGB, ∴.BH=OC= 2 GH=0B=5, 1 .直线CG:y=- 5 直线0D:y=- 3,与抛物线联立，可得D5r/0.5·70。 3.解：，∠ABD+∠CBD+∠BC0=90°，∠ABD+∠BC0=45°，∴.∠CBD=45°. 过点C作CE⊥CB,交直线BD于点E,过点E作F⊥y轴于点R,则△BCE为等腰直角三 角形， .△ECF2△CBO, 由 y=-x2-2x+3, 可得A(-3,0),B(1,0),C(0,3), ∴.EF=0C=3,CF=0B=1,0F=2, ∴.E(-3,2), tx.1 ·直线B:y=- 2 联立-x2-2X+3三-X+1 21 新衍产 拆分突破47二次函数与角 度（二）等角构等腰 1.解：设AD交BC于点M由 y=X2X6,可知A(-20),B3:0,c(0,-6, ∴.直线BC:y=2x-6, 设M(m,2-6), ,∠DAC=∠ACB, ..AM=CM, ..AM2=CM2, .m+2+2m-6=m2+22,解得.r2 M(2,-2）, 1 .直线AM:y=- *1, 联立x2-x-6=-1 2 -1, 得n=2 0 2.解：过点B作BG∥AD交y轴于点G.则∠GBC=∠FEC. ,∠FEC=∠FCE, ∴.∠GBC=∠FCE, ..GB=GC. 设0G=m,则GB=GCm+3. 在Rt△OBG中， .BG2=OB2+OG2, ∴.m+3=62+m2, 解得m=2 9 .G(o, ), 3.9 ∴.直线BG:y=- 4+2 .可设AD:y=- 心 6 将A(-2,0)代入，得b=- 3 .3 直线AD:y=寻X2 3.证明：设M,N的横坐标分别为m,n,直线AM,AN分别交y轴于E,F,设直线1：y=kx+b, 与物线联立，得父+2k-3x+2b-4=0,2X。=3-2k,解得k=号 设直线AM:y=kx+b,与抛物线联立，得X+2k,-3x+2b,-4= 0,XAM=2b1-4, b1=4-m 2 设直线AN:y=k2X+b2, 同理，得b2=4/2, 设直线MN:y=- 2x地3， 与抛物线联立，得X2-8x+2b,40,mn8, b+b,=4二m+4】 2 .∴.0E=0F, ,AO⊥EF, .AE=AF,∠EA0=∠FAO,x轴平分∠MAN, ∴.△MAN的内心在x轴上 拆分突破48二次函数与角 度（三）等角构全等 1解：1y=X2+2x-3; (2)延长AD交y轴于点F,延长CE交x轴于点G. 点A(-3,0), 又可知点C(0,-3), .0A=0C=3, 又，'∠OCE=∠OAD, ∠A0F=∠C0G ∴.△C0G≌△A0F, .0G=0F 由A(-3,0),D(-1,-4),可得直线AD:y=-2x-6, F(0,-6), ∴.0G=0F=6, .G(-6,0), 直线cc:y=x-3, 联立y×-3, y=x2+2x-3, 到 2.解：设直线PB交y轴于点D, 由 y=-x23+2x+3可得 A(-1,0),B(3,0),C(0,3), ∴.0B=0C=3, ,'∠PBA=∠AC0,∠A0C=∠B0D=90°， ∴.△A0C≌△D0B, .0D=0A=1, .D(0,1)或D(0,-1), 直线BD:y=-号x+1, 3 或BD:y=3X-1, 1 联立{y=3x+1, y=-x2+2x+3, 可得 211 同理可得 P2 4-13 3-9 综上所述，点 号g 2.11-4，-13 3,-9 拆分突破49二次函数与角 度（四）等角构特殊角 1.解：当点P在x轴下方时，过点A作AD⊥AC交CP于点D,过点D作DE⊥x轴于点E. B D y=-X2+2x+3可知 由 A(-1,0),B(4,0),C(0,4), ∴.0B=0C,∠0CB=45°， ,∠BCD=∠ACO, .∠ACD=∠0CB=45°， ∴.△ACD为等腰直角三角形， ∴.△AOC≌△DEA, ∴.AE=0C=4,DE=0A=1, .D(3,-1), 直线cD:y3x+4 联立-x2+3x+4= 14 3X+4,得xp= 3 ∴.p 34 当点P在x轴上方时，作点D关于点B的对称点D,则D(⑤，1)， 直线CD:y=- X+4与抛物线联立，得p1846 5’25 综上所述点P的丝杯为（兰普成《 18 2.解：由 y=-X2+3X+4可得 A(-1,0),B(4,0),C(0,4), ∴.0B=0C,∠0CB=45°， ∠ACB=∠AEO, ∴.∠AC0+∠OCB=∠AC0+∠CAD, ∴.∠CAD=∠0CB=45°. 过点C作CP⊥CA交AD的延长线于点F,过点F作HLOC于点H,则△ACF为等 腰直角三角形，△FCH≌△CAO, ∴.CH=0A=1,FH=0C=4,∴.F(4,3), 直线AD:y=3x+ 联立 3x+3=-X+3x+4, 5 5 17 解得x3=-1(舍去，x2=5, D 1766 5’25 拆分突破50二次函数与 角度（五）二倍角 1.解：1y=-×2+4x-3 (2)在OC上取点D,使AD=AQ,连接AD,则∠ADQ∠AQD, '∠PQC=2∠AC0, ∴.∠ADQ=2.∠AC0=∠AC0+∠CAD, ∴.∠AC0=∠CAD, ..AD=CD, 设0Q=m, 则0D=m,AD=CD=3-m, .0D2+0A2=AD2, .m2+12=3-m2, 解得m=4 :.q(o,3 ), .可求得直线AQ的解析式为 3* 4 3 由-X+4x-3=-号x+ 4 4 解得x=3 或x=1(舍去)， 2解：由题意，得Mm,m2-2m-3,过点M作版∥x轴， 作点A关于MK的对称点A, .∠BAM=∠AK, ,'∠AMN=2∠BAM ∴.∠AMK=∠KMA', .延长N.则MN经过点A, A(-1,0), .∴.A-1,2m2-4m-6, 六直线1：y=(3-x+22-5n-3,由X2-2x-3=3-mx+2m2_5m-3, 解得x=5-2m, .N5-2m,4m2-16m+12, ,直线AM:y=(m-3)x+m-3, .S(0,m-3), 直线AN:y=(2-2m)x+2-2m, ∴.T(0,2-2m, ∴.ST=m-3-2+2m=3m-5,0S=3-m, ∴.30S+ST=9-3m+3m-5=4, ∴.30S+ST是定值4. 拆分突破51二次函数与 角度（六）角的和差 1.解：@)将A(-1.0代入y=X-2mx-3m,得1+2m-3m2=0, 第物m1,=子 ,m>0,∴.m=1, .∴.y=x-2x-3, ∴.B(3,0),C(0,-3): (2)·B(3,0),C(0,-3), ∴.0B=0C=3, ∴，△OBC为等腰直角三角形， ∴，∠OCA+∠ANO=∠ABC=45°，当点N在y轴正半轴上时，延长NA至点D,则 ∠CAD=∠0CA+∠ANO=45°，过点C作CD⊥CA交AD于点D,过点D作DELy轴于点 E,则△ACD为等腰直角三角形，△AOC≌△CED, A(-1,0), ∴，CE=0A=1,DE=0C=3, .D(-3,-4) B .直线AD:y=2x+2, N(O,2).可知当N在y轴负半轴上时N(0,-2). .点N的坐标为(0,2)或(0，-2). 2.解：易求A(-3,0),B(1,0),C(0,3),,.0A=0C, .∠CAB=45°， ∴.∠ACB+∠ABC=135°， ∴.∠MCA=∠ACB, 过点A作AD LAB交CM的延长线于点D, .∴.∠DAC=∠CAB=45°， ∴.△ABC≌△ADC, ..AD=AB=4, .D(-3,4), 直线0的解折式为y= 38联立{y x+3, y=-x2-2x+3. 5 x1=0, x2=一 3, y1=3, 32 y: 9 ..M- 32 3’9 3.解：由y=- x2+ 3 x+4可求B3,0),C0,4, 2 .BC=5. 假设存在点P,使得∠BC0+2∠BCP=90°，延长CP交x轴于点M ,∠BC0+2∠PCB=90°，∠BC0+∠OBC=90°， .∠OBC=2∠PCB, ∴.∠BCP=∠BMC, .'.BC=BM. .BC=5, ,.BM=5,OM=8, M(8,0), ∴.直线CM的解析式为y=- 联立得一 x+ 3x+4=-1 x+4,解得x=Z或x0(舍， 2 4 、存在点P满足题意，此时m=4